(* the main properies *******************************************************)
-theorem lift_conf_rev: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1,e1] T1 ≡ T →
- ∀d2,e2,T2. ↑[d2 + e1, e2] T2 ≡ T →
- d1 ≤ d2 →
- ∃∃T0. ↑[d1, e1] T0 ≡ T2 & ↑[d2, e2] T0 ≡ T1.
+theorem lift_div_le: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
+ ∀d2,e2,T2. ↑[d2 + e1, e2] T2 ≡ T →
+ d1 ≤ d2 →
+ ∃∃T0. ↑[d1, e1] T0 ≡ T2 & ↑[d2, e2] T0 ≡ T1.
#d1 #e1 #T1 #T #H elim H -H d1 e1 T1 T
[ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #Hk #Hd12
lapply (lift_inv_sort2 … Hk) -Hk #Hk destruct -T2 /3/
| #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
- lapply (lift_inv_lref2 … Hi) -Hi * * #Hid2 #H destruct -T2
- [ -Hid2 /4/
- | elim (lt_false d1 ?)
- @(le_to_lt_to_lt … Hd12) -Hd12 @(le_to_lt_to_lt … Hid1) -Hid1 /2/
- ]
+ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
+ lapply (lift_inv_lref2_lt … Hi ?) -Hi /3/
| #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
- lapply (lift_inv_lref2 … Hi) -Hi * * #Hid2 #H destruct -T2
+ elim (lift_inv_lref2 … Hi) -Hi * #Hid2 #H destruct -T2
[ -Hd12; lapply (lt_plus_to_lt_l … Hid2) -Hid2 #Hid2 /3/
| -Hid1; lapply (arith1 … Hid2) -Hid2 #Hid2
@(ex2_1_intro … #(i - e2))
]
qed.
-theorem lift_trans: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
- ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 →
- d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + e1 → ↑[d1, e1 + e2] T1 ≡ T2.
+theorem lift_trans_be: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
+ ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 →
+ d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + e1 → ↑[d1, e1 + e2] T1 ≡ T2.
#d1 #e1 #T1 #T #H elim H -d1 e1 T1 T
[ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #_
>(lift_inv_sort1 … HT2) -HT2 //
| #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #Hd12 #_
- lapply (lift_inv_lref1 … HT2) -HT2 * * #Hid2 #H destruct -T2
- [ -Hd12 Hid2 /2/
- | lapply (le_to_lt_to_lt … d1 Hid2 ?) // -Hid1 Hid2 #Hd21
- lapply (le_to_lt_to_lt … d1 Hd12 ?) // -Hd12 Hd21 #Hd11
- elim (lt_false … Hd11)
- ]
+ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
+ lapply (lift_inv_lref1_lt … HT2 Hid2) /2/
| #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #Hd21
- lapply (lift_inv_lref1 … HT2) -HT2 * * #Hid2 #H destruct -T2
- [ lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+e1) Hid2 ?) // -Hid2 Hd21 #H
- lapply (lt_plus_to_lt_l … H) -H #H
- lapply (le_to_lt_to_lt … d1 Hid1 ?) // -Hid1 H #Hd11
- elim (lt_false … Hd11)
- | -Hd21 Hid2 /2/
+ lapply (lift_inv_lref1_ge … HT2 ?) -HT2
+ [ @(transitive_le … Hd21 ?) -Hd21 /2/
+ | -Hd21 /2/
]
| #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
- lapply (lift_inv_bind1 … HX) -HX * #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
+ elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 HV20 #HV10
lapply (IHT12 … HT20 ? ?) /2/
| #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
- lapply (lift_inv_flat1 … HX) -HX * #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
+ elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 HV20 #HV10
lapply (IHT12 … HT20 ? ?) /2/
]