record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
{ states : FinSet;
- trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
+ trans : states × (option sig) → states × (option sig) × move;
start: states;
halt : states → bool
}.
-definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
- match lt with
- [ nil ⇒ leftof sig c rt
- | cons c0 lt0 ⇒ midtape sig lt0 c0 (c::rt) ].
+definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λt:tape sig.
+ match t with
+ [ niltape ⇒ niltape sig
+ | leftof _ _ ⇒ t
+ | rightof a ls ⇒ midtape sig ls a [ ]
+ | midtape ls a rs ⇒
+ match ls with
+ [ nil ⇒ leftof sig a rs
+ | cons a0 ls0 ⇒ midtape sig ls0 a0 (a::rs)
+ ]
+ ].
+
+definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λt:tape sig.
+ match t with
+ [ niltape ⇒ niltape sig
+ | rightof _ _ ⇒ t
+ | leftof a rs ⇒ midtape sig [ ] a rs
+ | midtape ls a rs ⇒
+ match rs with
+ [ nil ⇒ rightof sig a ls
+ | cons a0 rs0 ⇒ midtape sig (a::ls) a0 rs0
+ ]
+ ].
-definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
- match rt with
- [ nil ⇒ rightof sig c lt
- | cons c0 rt0 ⇒ midtape sig (c::lt) c0 rt0 ].
+definition tape_write ≝ λsig.λt: tape sig.λs:option sig.
+ match s with
+ [ None ⇒ t
+ | Some s0 ⇒ midtape ? (left ? t) s0 (right ? t)
+ ].
-definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
+definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:move.
match m with
- [ None ⇒ t
- | Some m' ⇒
- let 〈s,m1〉 ≝ m' in
- match m1 with
- [ R ⇒ tape_move_right ? (left ? t) s (right ? t)
- | L ⇒ tape_move_left ? (left ? t) s (right ? t)
- | N ⇒ midtape ? (left ? t) s (right ? t)
- ] ].
+ [ R ⇒ tape_move_right ? t
+ | L ⇒ tape_move_left ? t
+ | N ⇒ t
+ ].
+
+definition tape_move_mono ≝
+ λsig,t,mv.
+ tape_move sig (tape_write sig t (\fst mv)) (\snd mv).
record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
{ cstate : states;
definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
let current_char ≝ current ? (ctape ?? c) in
- let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
- mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
+ let 〈news,a,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
+ mk_config ?? news (tape_move sig (tape_write ? (ctape ?? c) a) mv).
(******************************** loop ****************************************)
let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
@(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % /2/
qed.
+lemma GRealize_to_GRealize_2 : ∀alpha,M,P1,P2,R1,R2.
+ P2 ⊆ P1 → R1 ⊆ R2 → GRealize alpha M P1 R1 → GRealize alpha M P2 R2.
+#alpha #M #P1 #P2 #R1 #R2 #Himpl1 #Himpl2 #H1 #intape #HP
+cases (H1 intape (Himpl1 … HP)) -H1 #k * #outc * #Hloop #H1
+@(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % /2/
+qed.
+
lemma acc_Realize_to_acc_Realize: ∀sig,M.∀q:states sig M.∀R1,R2,R3,R4.
R1 ⊆ R3 → R2 ⊆ R4 → M ⊨ [q:R1,R2] → M ⊨ [q:R3,R4].
#alpha #M #q #R1 #R2 #R3 #R4 #Hsub13 #Hsub24 #HRa #intape
definition nop ≝
λalpha:FinSet.mk_TM alpha nop_states
- (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,None ?〉)
+ (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,None ?,N〉)
start_nop (λ_.true).
definition R_nop ≝ λalpha.λt1,t2:tape alpha.t2 = t1.
λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
match s with
[ inl s1 ⇒
- if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
- else let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in 〈inl … news1,m〉
- | inr s2 ⇒ let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in 〈inr … news2,m〉
+ if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?,N〉
+ else let 〈news1,newa,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in 〈inl … news1,newa,m〉
+ | inr s2 ⇒ let 〈news2,newa,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in 〈inr … news2,newa,m〉
].
definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
#sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
qed.
-lemma trans_seq_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
+lemma trans_seq_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,newa,move.
halt ? M1 s = false →
- trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
-#sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
+ trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,newa,move〉.
+#sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
-lemma trans_seq_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
+lemma trans_seq_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,newa,move.
halt ? M2 s = false →
- trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
-#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
+ trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,newa,move〉.
+#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
halt ? M1 s = true →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?,N〉.
#sig #M1 #M2 #s #a #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
qed.