| Some a0 ⇒ if is_sep a0 then 〈copy2,null_action ? n〉
else 〈copy1,change_vec ? (S n)
(change_vec ?(S n)
- (null_action ? n) (Some ? 〈a0,R〉) src)
- (Some ? 〈a0,R〉) dst〉 ]
+ (null_action ? n) (〈Some ? a0,R〉) src)
+ (〈Some ? a0,R〉) dst〉 ]
| S q ⇒ match q with
[ O ⇒ (* 1 *) 〈copy1,null_action ? n〉
| S _ ⇒ (* 2 *) 〈copy2,null_action ? n〉 ] ].
is_sep x1 = false ∧
outt = change_vec ??
(change_vec ?? int
- (tape_move ? (nth src ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x1,R〉)) src)
- (tape_move ? (nth dst ? int (niltape ?)) (Some ? 〈x1,R〉)) dst.
+ (tape_move_mono ? (nth src ? int (niltape ?)) (〈Some ? x1,R〉)) src)
+ (tape_move_mono ? (nth dst ? int (niltape ?)) (〈Some ? x1,R〉)) dst.
definition R_copy_step_false ≝
λsrc,dst:nat.λsig,n,is_sep.λint,outt: Vector (tape sig) (S n).
[ >current_chars_change_vec // whd in match (trans ????);
>nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(???%)?); >Hsep %
| >current_chars_change_vec // whd in match (trans ????);
- >nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(???????(???%))?);
+ >nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(????(???%))?);
>Hsep @tape_move_null_action
]
qed.
-lemma change_vec_commute : ∀A,n,v,a,b,i,j. i ≠ j →
- change_vec A n (change_vec A n v a i) b j
- = change_vec A n (change_vec A n v b j) a i.
-#A #n #v #a #b #i #j #Hij @(eq_vec … a)
-#k #Hk cases (decidable_eq_nat k i) #Hki
-[ >Hki >nth_change_vec // >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hij))
- >nth_change_vec //
-| cases (decidable_eq_nat k j) #Hkj
- [ >Hkj >nth_change_vec // >(nth_change_vec_neq ??????? Hij) >nth_change_vec //
- | >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hki))
- >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hkj))
- >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hki))
- >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hkj)) //
- ]
-]
-qed.
-
-lemma copy_q0_q1 :
+axiom copy_q0_q1 :
∀src,dst,sig,n,is_sep,v,t.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
∀s.current ? t = Some ? s → is_sep s = false →
step sig n (copy_step src dst sig n is_sep)
mk_mconfig ??? copy1
(change_vec ? (S n)
(change_vec ?? v
- (tape_move ? t (Some ? 〈s,R〉)) src)
- (tape_move ? (nth dst ? v (niltape ?)) (Some ? 〈s,R〉)) dst).
+ (tape_move_mono ? t (〈Some ? s,R〉)) src)
+ (tape_move_mono ? (nth dst ? v (niltape ?)) (〈Some ? s,R〉)) dst).
+(*
#src #dst #sig #n #is_sep #v #t #Hneq #Hsrc #Hdst #s #Hcurrent #Hsep
whd in ⊢ (??%?); >(eq_pair_fst_snd … (trans ????)) whd in ⊢ (??%?); @eq_f2
[ >current_chars_change_vec // whd in match (trans ????);
>nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(???%)?); >Hsep %
| >current_chars_change_vec // whd in match (trans ????);
- >nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(???????(???%))?);
- >Hsep whd in ⊢ (??(???????(???%))?); >change_vec_commute // >pmap_change
+ >nth_change_vec // >Hcurrent whd in ⊢ (??(????(???%))?);
+ >Hsep whd in ⊢ (??(????(???%))?); >change_vec_commute // >pmap_change
>change_vec_commute // @eq_f3 //
<(change_vec_same ?? v dst (niltape ?)) in ⊢(??%?);
>pmap_change @eq_f3 //
]
-qed.
+qed.*)
lemma sem_copy_step :
∀src,dst,sig,n,is_sep.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
outt = int) ∧
(current ? (nth src ? int (niltape ?)) = None ? → outt = int).
-lemma change_vec_change_vec : ∀A,n,v,a,b,i.
- change_vec A n (change_vec A n v a i) b i = change_vec A n v b i.
-#A #n #v #a #b #i @(eq_vec … a) #i0 #Hi0
-cases (decidable_eq_nat i i0) #Hii0
-[ >Hii0 >nth_change_vec // >nth_change_vec //
-| >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec_neq //
- >nth_change_vec_neq // ]
-qed.
-
lemma wsem_copy : ∀src,dst,sig,n,is_sep.src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
copy src dst sig n is_sep ⊫ R_copy src dst sig n is_sep.
#src #dst #sig #n #is_sep #Hneq #Hsrc #Hdst #ta #k #outc #Hloop
lapply (sem_while … (sem_copy_step src dst sig n is_sep Hneq Hsrc Hdst) … Hloop) //
--Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar
-[ #tc whd in ⊢ (%→?); *
+-Hloop * #tb * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar) -Hstar -ta
+[ whd in ⊢ (%→?); *
[ * #x * * #Hx #Hsep #Houtc % [ %
[ #ls #x0 #xs #rs #sep #Hsrctc #Hnosep >Hsrctc in Hx; normalize in ⊢ (%→?);
#Hx0 destruct (Hx0) lapply (Hnosep ? (memb_hd …)) >Hsep
| #c #Hc #Hsepc @Houtc ]
| #_ @Houtc ]
]
-| #tc #td #te * #c0 * * #Hc0 #Hc0nosep #Hd #Hstar #IH #He
+| #td #te * #c0 * * #Hc0 #Hc0nosep #Hd #Hstar #IH #He
lapply (IH He) -IH * * #IH1 #IH2 #IH3 % [ %
[ #ls #x #xs #rs #sep #Hsrc_tc #Hnosep #Hsep #ls0 #x0 #target
#c #rs0 #Hlen #Hdst_tc
>Hsrc_tc in Hc0; normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
- <(change_vec_same … tc src (niltape ?)) in Hd:(???(???(???%??)??));
- <(change_vec_same … tc dst (niltape ?)) in ⊢(???(???(???%??)??)→?);
- >Hdst_tc >Hsrc_tc >change_vec_change_vec >change_vec_change_vec
- >(change_vec_commute ?? tc ?? dst src) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
+ <(change_vec_same … td src (niltape ?)) in Hd:(???(???(???%??)??));
+ <(change_vec_same … td dst (niltape ?)) in ⊢(???(???(???%??)??)→?);
+ >Hdst_tc >Hsrc_tc >(change_vec_change_vec ?) >change_vec_change_vec
+ >(change_vec_commute ?? td ?? dst src) [|@(sym_not_eq … Hneq)]
>change_vec_change_vec @(list_cases2 … Hlen)
[ #Hxsnil #Htargetnil #Hd>(IH2 … Hsep)
[ >Hd -Hd >Hxsnil >Htargetnil @(eq_vec … (niltape ?))
>nth_change_vec // >nth_change_vec // >Hxsnil % ]
|#hd1 #hd2 #tl1 #tl2 #Hxs #Htarget >Hxs >Htarget #Hd
>(IH1 (c0::ls) hd1 tl1 rs sep ?? Hsep (c0::ls0) hd2 tl2 c rs0)
- [ >Hd >(change_vec_commute … ?? tc ?? src dst) //
+ [ >Hd >(change_vec_commute … ?? td ?? src dst) //
>change_vec_change_vec
- >(change_vec_commute … ?? tc ?? dst src) [|@sym_not_eq //]
+ >(change_vec_commute … ?? td ?? dst src) [|@sym_not_eq //]
>change_vec_change_vec
>reverse_cons >associative_append >associative_append %
| >Hd >nth_change_vec // >nth_change_vec_neq // >Hdst_tc >Htarget //
>change_vec_change_vec >change_vec_commute // #Ht1 >Ht1 @IH
]
]
+qed.
+
+lemma sem_copy : ∀src,dst,sig,n,is_sep.
+ src ≠ dst → src < S n → dst < S n →
+ copy src dst sig n is_sep ⊨ R_copy src dst sig n is_sep.
+#src #dst #sig #n #is_sep #Hneq #Hsrc #Hdst @WRealize_to_Realize /2/
qed.
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