X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;ds=sidebyside;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Fduality.ma;h=0138975b2fdd2fbebc3ffb1ce1b774912ff5a362;hb=7270b6b325f031944a732c9561986988d0dddcf0;hp=44b7880fa45fc1986121acf443e5b1c7b345b991;hpb=0881f6e27c5bb3434e967f4d966465c576146a6e;p=helm.git

diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
index 44b7880fa..0138975b2 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
@@ -1,4 +1,10 @@
-(* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008. 
+
+   Note per gli esercizi: 
+   
+     http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
+
+*)
 
 (* Esercizio 0
    ===========
@@ -25,6 +31,39 @@
      usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
 *)
 
+(*DOCBEGIN
+
+Il teorema di dualità
+=====================
+
+Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
+se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le 
+loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
+
+L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
+   
+   * Scambia FTop con FBot e viceversa
+   
+   * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+   
+   * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+     prima sottoformula.
+   
+   Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+   `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+
+Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
+definire altre nozioni:
+
+* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+  Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+   
+* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+  Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+  `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+   
+DOCEND*)
+
 (* ATTENZIONE
    ==========
    
@@ -59,10 +98,14 @@ inductive Formula : Type ≝
    
    Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
    esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
-   atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
+   atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
    maggiore di 1.
+   
+   Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
+   e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
+   usare la funzione `min`.
 *) 
-let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ 0
   | FTop ⇒ 1
@@ -96,36 +139,37 @@ definition v20 ≝ λx.
    `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
    
 *)    
-eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. 
+eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. 
+
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
+librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
+sono necessari i seguenti lemmi:
 
+* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
+* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
+* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
+* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
+
+DOCEND*)
 
 (* ATTENZIONE
    ==========
    
    Non modificare quanto segue.
 *)
-lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.
-intros; elim F; simplify;
-[left;reflexivity;
-|right;reflexivity;
-|cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity;
-|4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify;
-   first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].
-|cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;]
-qed.
-lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.
-intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity;
-qed.  
-lemma min_max : ∀F,G,v.
-  min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.
-intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
-simplify; reflexivity;
-qed.
-lemma max_min : ∀F,G,v.
-  max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.
-intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
-simplify; reflexivity;
-qed.
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.  intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].  |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
+lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.  intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.  
+lemma min_max : ∀F,G,v.  min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma max_min : ∀F,G,v.  max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
+lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
 
 (* Esercizio 2
    ===========
@@ -136,15 +180,15 @@ qed.
    Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
    `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
 *)
-let rec negate (F: Formula) on F ≝
+let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
  match F with
-  [ FBot ⇒ FBot
+  [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
   | FTop ⇒ FTop
   | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
   | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
-  | FNot F ⇒ FNot (negate F)
+  | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
   ].
 
 (* Test 2
@@ -174,25 +218,27 @@ lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros
    Definire per ricorsione strutturale la funzione di
    dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
    
-   * Sambia FTop con FBot e viceversa
+   * Scambia FTop con FBot e viceversa
    
    * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
    
    * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
-     prima sottoformula.
+     prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
+     è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
+     cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
    
    Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
    `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`. 
 *)  
 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
   match F with
-  [ FBot ⇒ FTop
+  [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
   | FTop ⇒ FBot
   | FAtom n ⇒ FAtom n
   | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
-  | FNot F ⇒ FNot (dualize F)
+  | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
   ].
 
 (* Test 3
@@ -211,9 +257,10 @@ eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
    La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
    Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
    `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+   
 *)
 definition invert ≝
- λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
+ λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
  
 interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
  
@@ -225,9 +272,11 @@ Il linguaggio di dimostrazione di Matita
 Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario 
 utilizzare il seguente comando:
 
-* `symmetry` 
+* by H1, H2 we proved P (H)
 
-  Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
+  Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
+  permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
+  separandoli con una virgola.
 
 DOCEND*)
 
@@ -244,16 +293,20 @@ lemma negate_invert:
 assume F:Formula.
 assume v:(ℕ→ℕ).
 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
-  case FBot .
+  case FBot.
+    (*BEGIN*)
     the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
+    (*END*)
   done.
-  case FTop .
+  case FTop.
+    (*BEGIN*)
     the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
+    (*END*)
   done.
   case FAtom.
     assume n : ℕ.
-    the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
-    the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
+    the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
+    the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
     the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
     by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
     we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
@@ -262,42 +315,40 @@ we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
             (1 - (min (v n) 1)) 
           = (1 - 0) by H.
           = 1.
-        symmetry.
-        conclude 
-            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
-          = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
           = (min 1 1).
-          = 1.
+          = (min (if true then 1 else O) 1).
+          = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
+          = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
       done.
       case Right.
+        (*BEGIN*)
         conclude 
             (1 - (min (v n) 1)) 
           = (1 - 1) by H.
           = 0.
-        symmetry.
-        conclude 
-            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
-          = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
           = (min 0 1).
-          = 0.
+          = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
+          = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
+        (*END*)
       done.
   case FAnd.
     assume f : Formula.
     by induction hypothesis we know
-      ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+      ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
     assume f1 : Formula.
     by induction hypothesis we know
-     ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+     ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
     the thesis becomes
      ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
     the thesis becomes
      (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
     conclude 
         (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
-      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
-      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
+      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
   done.
   case FOr.
+    (*BEGIN*)
     assume f : Formula.
     by induction hypothesis we know
       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
@@ -312,8 +363,10 @@ we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
         (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
       = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
       = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+    (*END*)
   done.
   case FImpl.
+    (*BEGIN*)
     assume f : Formula.
     by induction hypothesis we know
       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
@@ -328,17 +381,20 @@ we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
         (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
       = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
       = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+    (*END*)
   done.
   case FNot.
+    (*BEGIN*)
     assume f : Formula.
     by induction hypothesis we know
       ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
-   the thesis becomes
-     ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
-   the thesis becomes
-     (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
-   conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
- done.  
+    the thesis becomes
+      ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes
+      (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+    conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
+    (*END*)
+  done.  
 qed.   
 
 (* Esercizio 5
@@ -347,42 +403,50 @@ qed.
    Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
 *)
 lemma negate_fun:
- ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
- assume F:Formula.
- assume G:Formula.
- suppose (F ≡ G) (H).
- the thesis becomes (negate F ≡ negate G).
- the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v).
+ ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+ assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
+ assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
+ suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
+ the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
+ the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
  assume v:(ℕ→ℕ).
  conclude 
      [[ negate F ]]_v
-   = [[ F ]]_(invert v) by negate_invert.
-   = [[ G ]]_(invert v) by H.
-   = [[ negate G ]]_v by negate_invert.
+   = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
+   = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
+   = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
  done.  
 qed.
 
 (* Esercizio 6
    ===========
    
-   Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negae F)` equivale a 
+   Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a 
    dualizzarla e negarla.
 *)
 lemma not_dualize_eq_negate:
  ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
+ (*BEGIN*)
  assume F:Formula.
  the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ (*END*)
  assume v:(ℕ→ℕ).
  we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
- case FBot .
+ case FBot.
+   (*BEGIN*)
    the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
+   (*END*)
  done.
- case FTop .
+ case FTop.
+   (*BEGIN*)
    the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
+   (*END*)
  done.
  case FAtom.
+   (*BEGIN*)
    assume n : ℕ.
    the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
+   (*END*)
  done.
  case FAnd.
    assume f : Formula.
@@ -396,13 +460,14 @@ lemma not_dualize_eq_negate:
    the thesis becomes
     (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
    conclude 
-       (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
-     = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.    
-     = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+       (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
+     = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.    
+     = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
      = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
      = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
  done.
  case FOr.
+   (*BEGIN*)
    assume f : Formula.
    by induction hypothesis we know
      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
@@ -419,8 +484,10 @@ lemma not_dualize_eq_negate:
      = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
      = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
      = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+   (*END*)
  done.
  case FImpl.
+   (*BEGIN*)
    assume f : Formula.
    by induction hypothesis we know
      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
@@ -437,8 +504,10 @@ lemma not_dualize_eq_negate:
      = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
      = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
      = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+   (*END*)
  done.
- case FNot. 
+ case FNot.
+   (*BEGIN*) 
    assume f : Formula.
    by induction hypothesis we know
      ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
@@ -447,6 +516,7 @@ lemma not_dualize_eq_negate:
    the thesis becomes
       (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
    conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
+   (*END*)
  done.
 qed.
 
@@ -456,65 +526,94 @@ qed.
    Dimostrare che la negazione è iniettiva
 *)
 theorem not_inj:
- ∀F:Formula.∀G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ (*BEGIN*)
  assume F:Formula.
  assume G:Formula.
  suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
  the thesis becomes (F ≡ G).
  the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ (*END*)
  assume v:(ℕ→ℕ).
- by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
- by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O∨[[ F ]]_v=1) (H2).
- by sem_bool we proved ([[ G ]]_v=O∨[[ G ]]_v=1) (H3).
- we proceed by cases on H2 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
- case Left.
-   we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
-   case Left.
-   done.
-   case Right.
-     conclude 
-         ([[ F ]]_v)
-       = 0 by H4;
-       = (1 - 1).
-       = (1 - [[G]]_v) by H5.
-       = [[ FNot G ]]_v.
-       = [[ FNot F ]]_v by H1.
-       = (1 - [[F]]_v).
-       = (1 - 0) by H4.
-       = 1.
-     done.
- case Right.
-   we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
-   case Left.
-     conclude 
-         ([[ F ]]_v)
-       = 1 by H4;
-       = (1 - 0).
-       = (1 - [[G]]_v) by H5.
-       = [[ FNot G ]]_v.
-       = [[ FNot F ]]_v by H1.
-       = (1 - [[F]]_v).
-       = (1 - 1) by H4.
-       = 0.
-     done.
-   case Right.
-   done.
+ by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
+ by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
+ by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
+ by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
+ conclude 
+     ([[F]]_v)
+   = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
+   = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
+   = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
+   = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
+   = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
+ done.
 qed.
 
+(*DOCBEGIN
+
+La prova del teorema di dualità
+===============================
+
+Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule 
+`F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
+        
+    ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+        
+Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
+
+1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
+   `min_bool`
+   
+        ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+
+2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
+
+        ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+        
+2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
+   utilizzando `max_min` e `min_max`
+
+        ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
+        
+4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
+ 
+        ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
+
+Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità 
+procede come di seguito:
+
+1. Assume l'ipotesi  
+
+        F1 ≡ F2
+
+2. Utilizza `negate_fun` per ottenere 
+
+        negate F1 ≡ negate F2
+
+3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
+   `equiv_rewrite` ottiene 
+
+        FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
+
+4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi 
+
+        dualize F1 ≡ dualize F2
+
+DOCEND*)
+
 (* Esercizio 8
    ===========
    
    Dimostrare il teorema di dualità
 *)
-theorem duality:
- ∀F1:Formula.∀F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
  assume F1:Formula.
  assume F2:Formula.
  suppose (F1 ≡ F2) (H).
  the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
- by negate_fun we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
- by not_dualize_eq_negate, equiv_rewrite we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
- by not_dualize_eq_negate, equiv_rewrite we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
- by not_inj we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
+ by (*BEGIN*)negate_fun(*END*) we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
+ by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
  done.
-qed.
\ No newline at end of file
+qed.