X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Fduality.ma;fp=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Fduality.ma;h=44b7880fa45fc1986121acf443e5b1c7b345b991;hb=0881f6e27c5bb3434e967f4d966465c576146a6e;hp=8b7f5a399a6894962442facc4b630b534c8254c5;hpb=eef06951eedca0b538ed74c4daa937c808c3fc09;p=helm.git

diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
index 8b7f5a399..44b7880fa 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
@@ -1,14 +1,49 @@
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
 
-include "nat/minus.ma".
+(* Esercizio 0
+   ===========
+
+   Compilare i seguenti campi:
+
+   Nome1: ...
+   Cognome1: ...
+   Matricola1: ...
+   Account1: ...
+
+   Nome2: ...
+   Cognome2: ...
+   Matricola2: ...
+   Account2: ...
 
-let rec max n m on n ≝ match n - m with [ O => m | _ => n]. 
-let rec min n m on n ≝ match n - m with [ O => n | _ => m]. 
+   Prima di abbandonare la postazione:
+
+   * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
+     /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+     account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+   * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+     usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
+*)
+
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue 
+*)
+include "nat/minus.ma".
 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n. 
+definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m. 
 
-
+(* Ripasso
+   =======
+   
+   Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
+   rapperesentati da un numero naturale
+*)
 inductive Formula : Type ≝
 | FBot: Formula
 | FTop: Formula
@@ -19,11 +54,19 @@ inductive Formula : Type ≝
 | FNot: Formula → Formula
 .
 
+(* Esercizio 1
+   ===========
+   
+   Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
+   esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
+   atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
+   maggiore di 1.
+*) 
 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ 0
   | FTop ⇒ 1
-  | FAtom n ⇒ min (v n) 1
+  | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
   | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
@@ -31,37 +74,68 @@ let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
   ]
 .
 
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue.
+*)
 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
 
+definition v20 ≝ λx.
+       if eqb x 0 then 2
+  else if eqb x 1 then 1
+  else                 0.
+  
+(* Test 1
+   ======
+   
+   La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui 
+   `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
+   
+*)    
+eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. 
+
+
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue.
+*)
 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.
 intros; elim F; simplify;
 [left;reflexivity;
 |right;reflexivity;
 |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity;
 |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify;
-        first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].
+   first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].
 |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;]
 qed.
-
 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.
 intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity;
 qed.  
-
 lemma min_max : ∀F,G,v.
   min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.
 intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
 simplify; reflexivity;
 qed.
-
 lemma max_min : ∀F,G,v.
   max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.
 intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
 simplify; reflexivity;
 qed.
 
+(* Esercizio 2
+   ===========
+   
+   Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
+   che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+   
+   Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
+   `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+*)
 let rec negate (F: Formula) on F ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ FBot
@@ -73,14 +147,43 @@ let rec negate (F: Formula) on F ≝
   | FNot F ⇒ FNot (negate F)
   ].
 
+(* Test 2
+   ======
+  
+   Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
+   
+       FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1))) 
+*)
+
+eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
 
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue
+*)
 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
-
 lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
 
+(* Esercizio 3
+   ===========
+   
+   Definire per ricorsione strutturale la funzione di
+   dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
+   
+   * Sambia FTop con FBot e viceversa
+   
+   * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+   
+   * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+     prima sottoformula.
+   
+   Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+   `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`. 
+*)  
 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
   match F with
   [ FBot ⇒ FTop
@@ -92,64 +195,92 @@ let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
   | FNot F ⇒ FNot (dualize F)
   ].
 
+(* Test 3
+   ======
+   
+   Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
+   
+       FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop) 
+*)
+
+eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
+
+(* Spiegazione
+   ===========
+   
+   La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+   Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+   `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+*)
 definition invert ≝
  λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
  
+interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
+ 
 (*DOCBEGIN
 
 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
 ========================================
 
-Per dimostrare questo teorema in modo agevole è necessario utilizzare il 
-seguente comando:
+Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario 
+utilizzare il seguente comando:
 
-*  `symmetry` 
+* `symmetry` 
 
   Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
 
 DOCEND*)
-theorem negate_invert:
- ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+
+(* Esercizio 4
+   ===========
+   
+   Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
+   la semantica in un mondo `v` associato alla formula
+   negata di `F` e uguale alla semantica associata
+   a `F` in un mondo invertito.
+*) 
+lemma negate_invert:
+  ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
 assume F:Formula.
 assume v:(ℕ→ℕ).
 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
   case FBot .
-   the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
   done.
   case FTop .
-   the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
   done.
   case FAtom.
-   assume n : ℕ.
-  the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
-  the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
-  the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
-  by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
-  we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
-  case Left.
-    conclude 
-        (1 - (min (v n) 1)) 
-      = (1 - 0) by H.
-      = 1.
-    symmetry.
-    conclude 
-        (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
-      = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
-      = (min 1 1).
-      = 1.
-  done.
-  case Right.
-    conclude 
-        (1 - (min (v n) 1)) 
-      = (1 - 1) by H.
-      = 0.
-    symmetry.
-    conclude 
-        (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
-      = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
-      = (min 0 1).
-      = 0.
-  done.
+    assume n : ℕ.
+    the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
+    the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+    by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
+    we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+      case Left.
+        conclude 
+            (1 - (min (v n) 1)) 
+          = (1 - 0) by H.
+          = 1.
+        symmetry.
+        conclude 
+            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+          = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
+          = (min 1 1).
+          = 1.
+      done.
+      case Right.
+        conclude 
+            (1 - (min (v n) 1)) 
+          = (1 - 1) by H.
+          = 0.
+        symmetry.
+        conclude 
+            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+          = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
+          = (min 0 1).
+          = 0.
+      done.
   case FAnd.
     assume f : Formula.
     by induction hypothesis we know
@@ -210,14 +341,12 @@ we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
  done.  
 qed.   
 
-(*
-lemma negate_fun : ∀F,G. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
-intros; intro v; rewrite > (negate_invert ? v);rewrite > (negate_invert ? v);
-apply H;
-qed.
+(* Esercizio 5
+   ===========
+   
+   Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
 *)
-
-theorem negate_fun:
+lemma negate_fun:
  ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
  assume F:Formula.
  assume G:Formula.
@@ -232,21 +361,14 @@ theorem negate_fun:
    = [[ negate G ]]_v by negate_invert.
  done.  
 qed.
-(*
-lemma not_dualize_eq_negate : ∀F. FNot (dualize F) ≡ negate F.
-intros; intro; elim F; intros; try reflexivity;
-[1,2: simplify in ⊢ (? ? ? %); rewrite <(H); rewrite <(H1);
-        [rewrite < (min_max (dualize f) (dualize f1) v); reflexivity;
-        |rewrite < (max_min (dualize f) (dualize f1) v); reflexivity;]
-|3: change in ⊢ (? ? ? %) with [[FImpl (negate f) (negate f1)]]_v;
-    change in ⊢ (? ? ? %) with (max (1 - [[negate f]]_v) [[negate f1]]_v);
-    rewrite <H1; rewrite <H;
-    rewrite > (max_min (FNot (dualize f)) ((dualize f1)) v);reflexivity;
-|4: simplify; rewrite < H; reflexivity;]
-qed.
-*)
 
-theorem not_dualize_eq_negate:
+(* Esercizio 6
+   ===========
+   
+   Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negae F)` equivale a 
+   dualizzarla e negarla.
+*)
+lemma not_dualize_eq_negate:
  ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
  assume F:Formula.
  the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
@@ -328,17 +450,11 @@ theorem not_dualize_eq_negate:
  done.
 qed.
 
-
-(*
-lemma not_inj : ∀F,G. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G.
-intros; intro v;lapply (H v) as K; 
-change in K with (1 - [[ F ]]_v = 1 - [[ G ]]_v);
-cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H1; rewrite > H2;
-try reflexivity; rewrite > H1 in K; rewrite > H2 in K; simplify in K;
-symmetry; assumption;
-qed.
+(* Esercizio 7
+   ===========
+   
+   Dimostrare che la negazione è iniettiva
 *)
-
 theorem not_inj:
  ∀F:Formula.∀G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
  assume F:Formula.
@@ -385,17 +501,13 @@ theorem not_inj:
    done.
 qed.
 
-(*
-theorem duality: ∀F1,F2. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡  dualize F2.
-intros; apply not_inj; intro v; rewrite > (not_dualize_eq_negate ? v);
-rewrite > (not_dualize_eq_negate ? v); apply (negate_fun ??? v); apply H;
-qed.
+(* Esercizio 8
+   ===========
+   
+   Dimostrare il teorema di dualità
 *)
-
-
-
 theorem duality:
- ∀F1:Formula.∀F2:Formula.F1 ≡ F2→dualize F1 ≡ dualize F2.
+ ∀F1:Formula.∀F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
  assume F1:Formula.
  assume F2:Formula.
  suppose (F1 ≡ F2) (H).