X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Fduality.ma;h=7fe9082e154ef754a4f01a9a9488df5a4468e7e1;hb=72f8ff3c58c5ac927f572267386f17be39d5a026;hp=4f16daf04492267f42bc18571859215e7de8fe08;hpb=7958e5cb010a06e744de3a4f859557bd31af5083;p=helm.git

diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
index 4f16daf04..7fe9082e1 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/duality.ma
@@ -1,126 +1,644 @@
-
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
+
+(* Esercizio 0
+   ===========
+
+   Compilare i seguenti campi:
+
+   Nome1: ...
+   Cognome1: ...
+   Matricola1: ...
+   Account1: ...
+
+   Nome2: ...
+   Cognome2: ...
+   Matricola2: ...
+   Account2: ...
+
+   Prima di abbandonare la postazione:
+
+   * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
+     /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+     account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+   * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+     usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
+*)
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il teorema di dualità
+=====================
+
+Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
+se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le 
+loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
+
+L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
+   
+   * Scambia FTop con FBot e viceversa
+   
+   * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+   
+   * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+     prima sottoformula.
+   
+   Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+   `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+
+Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
+definire altre nozioni:
+
+* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+  Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+   
+* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+  Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+  `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+   
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue 
+*)
 include "nat/minus.ma".
-definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
-definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
-
-
-
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n. 
+definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m. 
+
+(* Ripasso
+   =======
+   
+   Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
+   rapperesentati da un numero naturale
+*)
 inductive Formula : Type ≝
 | FBot: Formula
-| FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
-| FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
+| FTop: Formula
+| FAtom: nat → Formula
 | FAnd: Formula → Formula → Formula
-| FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
-| FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
-| FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
+| FOr: Formula → Formula → Formula
+| FImpl: Formula → Formula → Formula
+| FNot: Formula → Formula
 .
 
-
-
-let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
+(* Esercizio 1
+   ===========
+   
+   Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
+   esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
+   atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
+   maggiore di 1.
+   
+   Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
+   e tantomento il predicato di maggiore o uguale.
+*) 
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ 0
-  | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
-  (*BEGIN*)
-  | FAtom n ⇒ v n
-  (*END*)
-  | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
-  (*BEGIN*)
+  | FTop ⇒ 1
+  | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
+  | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
-  (*END*)
   | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
   ]
 .
 
-
-definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue.
+*)
 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
 
-
-let rec subst (F: Formula) on F ≝
+definition v20 ≝ λx.
+       if eqb x 0 then 2
+  else if eqb x 1 then 1
+  else                 0.
+  
+(* Test 1
+   ======
+   
+   La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui 
+   `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
+   
+*)    
+eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. 
+
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
+librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
+sono necessari i seguenti lemmi:
+
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
+* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
+* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue.
+*)
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.  intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].  |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
+lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.  intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.  
+lemma min_max : ∀F,G,v.  min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma max_min : ∀F,G,v.  max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.  intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+
+(* Esercizio 2
+   ===========
+   
+   Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
+   che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+   
+   Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
+   `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+*)
+let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
  match F with
-  [ FBot ⇒ FBot
+  [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
   | FTop ⇒ FTop
   | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
-  | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst F1) (subst F2)
-  | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst F1) (subst F2)
-  | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst F1) (subst F2)
-  | FNot F ⇒ FNot (subst F)
+  | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
+  | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
+  | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
+  | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
   ].
 
-
+(* Test 2
+   ======
+  
+   Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
+   
+       FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1))) 
+*)
+
+eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
+
+(* ATTENZIONE
+   ==========
+   
+   Non modificare quanto segue
+*)
 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
-
+lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
+
+(* Esercizio 3
+   ===========
+   
+   Definire per ricorsione strutturale la funzione di
+   dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
+   
+   * Scambia FTop con FBot e viceversa
+   
+   * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+   
+   * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+     prima sottoformula.
+   
+   Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+   `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`. 
+*)  
 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
   match F with
-  [ FBot ⇒ FTop
+  [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
   | FTop ⇒ FBot
   | FAtom n ⇒ FAtom n
   | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
-  | FNot F ⇒ FNot (dualize F)
+  | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
   ].
 
+(* Test 3
+   ======
+   
+   Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
+   
+       FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop) 
+*)
+
+eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
+
+(* Spiegazione
+   ===========
+   
+   La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+   Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+   `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+   
+*)
+definition invert ≝
+ λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
+ 
+interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
+ 
+(*DOCBEGIN
+
+Il linguaggio di dimostrazione di Matita
+========================================
+
+Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario 
+utilizzare il seguente comando:
+
+* `symmetry` 
+
+  Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
+  
+* by H1, H2 we proved P (H)
+
+  Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
+  permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
+  separandoli con una virgola.
+
+DOCEND*)
+
+(* Esercizio 4
+   ===========
+   
+   Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
+   la semantica in un mondo `v` associato alla formula
+   negata di `F` e uguale alla semantica associata
+   a `F` in un mondo invertito.
+*) 
+lemma negate_invert:
+  ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+assume F:Formula.
+assume v:(ℕ→ℕ).
+we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
+  case FBot.
+    (*BEGIN*)
+    the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
+    (*END*)
+  done.
+  case FTop.
+    (*BEGIN*)
+    the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
+    (*END*)
+  done.
+  case FAtom.
+    assume n : ℕ.
+    the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
+    the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+    by min_bool we proved ((*BEGIN*)min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1(*END*)) (H1);
+    we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+      case Left.
+        conclude 
+            (1 - (min (v n) 1)) 
+          = (1 - 0) by H.
+          = 1.
+        symmetry.
+        conclude 
+            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+          = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
+          = (min 1 1).
+          = 1.
+      done.
+      case Right.
+        (*BEGIN*)
+        conclude 
+            (1 - (min (v n) 1)) 
+          = (1 - 1) by H.
+          = 0.
+        symmetry.
+        conclude 
+            (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+          = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
+          = (min 0 1).
+          = 0.
+        (*END*)
+      done.
+  case FAnd.
+    assume f : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+      ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+    assume f1 : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+    the thesis becomes
+     ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes
+     (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
+    conclude 
+        (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
+      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
+      = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
+  done.
+  case FOr.
+    (*BEGIN*)
+    assume f : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+      ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+    assume f1 : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+    the thesis becomes
+     ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes
+     (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
+    conclude 
+        (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
+      = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
+      = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+    (*END*)
+  done.
+  case FImpl.
+    (*BEGIN*)
+    assume f : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+      ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+    assume f1 : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+    the thesis becomes
+     ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes
+     (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
+    conclude 
+        (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
+      = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
+      = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+    (*END*)
+  done.
+  case FNot.
+    (*BEGIN*)
+    assume f : Formula.
+    by induction hypothesis we know
+      ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+    the thesis becomes
+      ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+    the thesis becomes
+      (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+    conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
+    (*END*)
+  done.  
+qed.   
+
+(* Esercizio 5
+   ===========
+   
+   Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
+*)
+lemma negate_fun:
+ ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ assume G:Formula.
+ suppose (F ≡ G) (H).
+ the thesis becomes (negate F ≡ negate G).
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ conclude 
+     [[ negate F ]]_v
+   = [[ F ]]_(invert v) by negate_invert.
+   = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
+   = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
+ done.  
+qed.
+
+(* Esercizio 6
+   ===========
+   
+   Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negae F)` equivale a 
+   dualizzarla e negarla.
+*)
+lemma not_dualize_eq_negate:
+ ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ case FBot.
+   (*BEGIN*)
+   the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
+   (*END*)
+ done.
+ case FTop.
+   (*BEGIN*)
+   the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
+   (*END*)
+ done.
+ case FAtom.
+   (*BEGIN*)
+   assume n : ℕ.
+   the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
+   (*END*)
+ done.
+ case FAnd.
+   assume f : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+   assume f1 : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+    ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+   the thesis becomes
+    ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
+   the thesis becomes
+    (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
+   conclude 
+       (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
+     = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.    
+     = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+     = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+     = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
+ done.
+ case FOr.
+   (*BEGIN*)
+   assume f : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+   assume f1 : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+    ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+   the thesis becomes
+    ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
+   the thesis becomes
+    (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
+   conclude 
+       (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
+     = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.    
+     = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+     = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+     = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+   (*END*)
+ done.
+ case FImpl.
+   (*BEGIN*)
+   assume f : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+   assume f1 : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+    ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+   the thesis becomes
+    ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
+   the thesis becomes
+    (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
+   conclude 
+       (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
+     = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.    
+     = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+     = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+     = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+   (*END*)
+ done.
+ case FNot.
+   (*BEGIN*) 
+   assume f : Formula.
+   by induction hypothesis we know
+     ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+   the thesis becomes
+      ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
+   the thesis becomes
+      (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
+   conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
+   (*END*)
+ done.
+qed.
+
+(* Esercizio 7
+   ===========
+   
+   Dimostrare che la negazione è iniettiva
+*)
+theorem not_inj:
+ ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ assume G:Formula.
+ suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
+ the thesis becomes (F ≡ G).
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
+ by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O ∨ [[ F ]]_v=1) (H2).
+ by (*BEGIN*)sem_bool(*END*) we proved ([[ G ]]_v=(*BEGIN*)O ∨ [[ G ]]_v=1(*END*)) (H3).
+ we proceed by cases on H2 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ case Left.
+   we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+   case Left.
+   done.
+   case Right.
+     conclude 
+         ([[ F ]]_v)
+       = 0 by H4;
+       = (1 - 1).
+       = (1 - [[G]]_v) by H5.
+       = [[ FNot G ]]_v.
+       = [[ FNot F ]]_v by H1.
+       = (1 - [[F]]_v).
+       = (1 - 0) by H4.
+       = 1.
+     done.
+ case Right.
+   (*BEGIN*)
+   we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+   case Left.
+     conclude 
+         ([[ F ]]_v)
+       = 1 by H4;
+       = (1 - 0).
+       = (1 - [[G]]_v) by H5.
+       = [[ FNot G ]]_v.
+       = [[ FNot F ]]_v by H1.
+       = (1 - [[F]]_v).
+       = (1 - 1) by H4.
+       = 0.
+     done.
+   case Right.
+   (*END*)
+     done.
+qed.
+
+(*DOCBEGIN
+
+La prova del teorema di dualità
+===============================
+
+Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule 
+`F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
+        
+    ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+        
+Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
+
+1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
+   `min_bool`
+   
+        ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+
+2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
+
+        ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+        
+2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
+   utilizzando `max_min` e `min_max`
+
+        ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
+        
+4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
+ 
+        ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
 
-lemma : F[G/x] ≡ F
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-lemma max_n_O : ∀n. max n O = n. intros; cases n; reflexivity; qed.
-
-lemma min_n_n : ∀n. min n n = n. intros; elim n; [reflexivity] simplify;assumption;
+Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità 
+procede come di seguito:
 
-lemma min_minus_n_m : ∀n,m. min (n-m) n = n-m. intro; elim n; try reflexivity;
-cases m; [
-simplify in ⊢ (? ? (? % ?) ?);simplify; rewrite > (H n1);
+1. Assume l'ipotesi  
 
-lemma min_one :
-  ∀x,y.1 - max x y = min (1 -x) (1-y).
-intros; apply (nat_elim2 ???? y x); intros;
-[ rewrite > max_n_O;
-whd in ⊢ (? ? ? (? ? %));
+        F1 ≡ F2
 
+2. Utilizza `negate_fun` per ottenere 
 
+        negate F1 ≡ negate F2
 
+3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
+   `equiv_rewrite` ottiene 
 
- 
+        FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
 
-axiom dualize2 : ∀F. FNot (dualize F) ≡ subst F. 
-[[ subst f ]]v = [[ f ]]_(1-v)
-f=g -> subst f = subst g
-not f = not g => f = g
+4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi 
 
-theorem dualize1: ∀F1,F2. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡  dualize F2.
-intros;
-cut (FNot F1 ≡ FNot F2);
-.
-cut (dualize (subst F1) ≡ dualize (subst F2)).
-cut (subst (subst F1) ≡ subst (subst F2)).
+        dualize F1 ≡ dualize F2
 
-dual f = dual (subst subst f)
-       = (dual subst) (subst f)
-       = not (subst f)
-       =  
+DOCEND*)
 
+(* Esercizio 8
+   ===========
+   
+   Dimostrare il teorema di dualità
+*)
+theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+ assume F1:Formula.
+ assume F2:Formula.
+ suppose (F1 ≡ F2) (H).
+ the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
+ by (*BEGIN*)negate_fun(*END*) we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
+ by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
+ done.
+qed.