X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Finduction.ma;h=2296666c70682aa7374983c374fc5590663b7a04;hb=a773ee47c7539bdbafbfdca306424abaee4a9024;hp=c9c165218582f2d7f4169f030a60d8132d10a622;hpb=e74a2893a14da614919420a9661462b23dbfd9f6;p=helm.git
diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
index c9c165218..2296666c7 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
@@ -1,6 +1,9 @@
-(* Esercitazione di logica 22/10/2008.
+(* Esercitazione di logica 22/10/2008. *)
- Esercizio 0: compilare i seguenti campi
+(* Esercizio 0
+ ===========
+
+ Compilare i seguenti campi:
Nome1: ...
Cognome1: ...
@@ -16,68 +19,117 @@
* compilare il questionario in fondo al file
- * salvare il file (menu 'File â¹ Save as ...') nella directory (cartella)
+ * salvare il file (menu `File â¹ Save as ...`) nella directory (cartella)
/public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
*)
-(*DOCBEGIN
+(*DOCBEGIN
- Come scrivere i simboli
- =======================
-
- Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
- e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
- '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
- dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio â ha sia il nome
- '\Rightarrow' sia '=>'.
-
- Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
- Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
- l'intera lista dal menù a tendina 'View ⹠TeX/UTF8 table'.
+Come scrivere i simboli
+=======================
+
+Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
+e poi premere ALT-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
+`\nome`, ad esempio `\equiv`. Alcuni simboli molto frequenti hanno
+dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio `â` ha sia il nome
+`\Rightarrow` sia `=>`.
+
+Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
+Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
+l'intera lista dal menù a tendina `View ⹠TeX/UTF8 table`.
+
+* `â` : `\to`, `->`
+* `â` : `\Rightarrow`, `=>`
+* `â` : `\naturals`
+* `â` : `\def`, `:=`
+* `â¡` : `\equiv`
+* `â` : `\forall`
+
+La sintassi `âx.P` significa "per tutti gli `x` vale `P`".
+
+La sintassi `F â G` dove `F` e `G` sono proposizioni nel metalinguaggio
+significa "`F` implica `G`". Attenzione, il simbolo `â` (usato a lezione)
+non ha lo stesso significato in Matita.
+
+La sintassi `â â â` è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
+restituiscono un numero naturale.
+
+La sintassi di Matita
+=====================
+
+Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
+differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
+per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
+di programmazione.
+
+* applicazione
+
+ Se `f` è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di `f`
+ agli argomenti `x` e `y` si scrive `(f x y)` e non `f(x,y)`. Le parentesi
+ possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
+ vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
+ Esempio: `f x y + f y x` si legge `(f x y) + (f y x)`.
+
+* minimo e massimo
+
+ Le funzioni `min` e `max` non fanno eccezione, per calcolare il
+ massimo tra `x` e `y` si scrive `(max x y)` e non `max{x,y}`
+
+* Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
+ `let rec` (ricorsione) e il costrutto `match` (analisi per casi).
+
+ Ad esempio la funzione count definita a lezione come
+
+ count ⤠â 1
+ count (F1 ⧠F2) â 1 + count F1 + count F2
+ ...
+
+ la si esprime come
+
+ let rec count F on F â
+ match F with
+ [ ⤠â 1
+ | F1 ⧠F2 â 1 + count F1 + count F2
+ ...
+ ].
+
+* Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
+ simile a BNF. Per esempio per definire
+
+ ::= "+" | "*" | "0" | "1"
- * â : \to, ->
- * â : \Rightarrow, =>
- * â : \naturals
- * â : \def, :=
- * â¡ : \equiv
- * â : \forall
-
- La sintassi 'âv.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
-
- La sintassi 'F â G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
- significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo 'â' (usato a lezione)
- non ha lo stesso significato in Matita.
-
- La sintassi 'â â â' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
- restituiscono un numero naturale.
-
- LA sintassi ..
- ==============
- * applicazione
- * match
- * min/max a b
- * sottrazione
-
- I comandi per le definizioni
- ============================
-
- Esistono due tipi di definizioni: definizioni ricorsive tramite sintassi
- simile a BNF, definizione di funzioni per ricorsione strutturale.
-
- Definire una nuova sintassi astratta
- ------------------------------------
-
- Definizione
-
+ si usa il seguente comando
+
+ inductive A : Type â
+ | Plus : A â A â A
+ | Times : A â A â A
+ | Zero : A
+ | One : A
+ .
+
+La ratio è che `Plus` prende due argomenti di tipo `A` per darmi un `A`,
+mentre `Zero` non prende nessun argomento per darmi un `A`. Al posto di usare
+operatori infissi `(0 + 0)` la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
+Quindi `(0+0)` si scriverà come `(Plus Zero Zero)`.
+
DOCEND*)
-(* non modificare le seguenti tre righe *)
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le seguenti tre righe
+*)
include "nat/minus.ma".
definition max : nat â nat â nat â λa,b:nat.let rec max n m on n â match n with [ O â b | S n â match m with [ O â a | S m â max n m]] in max a b.
definition min : nat â nat â nat â λa,b:nat.let rec min n m on n â match n with [ O â a | S n â match m with [ O â b | S m â min n m]] in min a b.
-(* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
+
+(* Esercizio 1
+ ===========
+
+ Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi
+*)
inductive Formula : Type â
| FBot: Formula
| FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
@@ -88,9 +140,14 @@ inductive Formula : Type â
| FNot: (*BEGIN*)Formula â Formula(*END*)
.
-(* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
- funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
- (o denotazione) *)
+
+(* Esercizio 2
+ ===========
+
+ Data la funzione di valutazione per gli atomi `v`, definire la
+ funzione `sem` per una generica formula `F` che vi associa la semantica
+ (o denotazione)
+*)
let rec sem (v: nat â nat) (F: Formula) on F â
match F with
[ FBot â 0
@@ -107,40 +164,87 @@ let rec sem (v: nat â nat) (F: Formula) on F â
]
.
-(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
if e then risultato1 else risultato2
- Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
- è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
+ Questa notazione permette di valutare l'espressione `e`. Se questa
+ è vera restituisce `risultato1`, altrimenti restituisce `risultato2`.
- Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
- 'n' ed 'm'.
+ Un esempio di espressione è `eqb n m`, che confronta i due numeri naturali
+ `n` ed `m`.
* [[ formula ]]_v
- Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in
- particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
+ Questa notazione utilizza la funzione `sem` precedentemente definita, in
+ particolare `[[ f ]]_v` è una abbreviazione per `sem v f`.
- Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3
+
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
*)
-definition if_then_else â λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true â t | false â f].
+definition if_then_else â λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true â t | false â f].
notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else e t f).
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
-(* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
- degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
+(* Test 1
+ ======
+
+ Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata `v1101`.
+ Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1,
+ invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0.
+
+ Viene fornita una formula di esempio chiamata `esempio1` che rappresenta
+ la formula
+
+ D => (C ⨠(B ⧠A))
+
+ Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ...
+
+ Tale formula è valida per la funzione di valutazione `v1101`.
+
+ Il comando `eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101` permette di calcolare
+ la funzione `sem` che avete appena definito. Tale funzione deve
+ computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato).
+ Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella
+ definizione di `sem` e prima di continuare è necessario che la sistemiate.
+*)
+definition v1101 â λx.
+ if eqb x 0 then 1 (* FAtom 0 ⦠1 *)
+ else if eqb x 1 then 1 (* FAtom 1 ⦠1 *)
+ else if eqb x 2 then 0 (* FAtom 2 ⦠0 *)
+ else if eqb x 3 then 1 (* FAtom 3 ⦠1 *)
+ else 0. (* FAtom _ ⦠0 *)
+
+
+definition esempio1 â
+ (FImpl (FNot (FAtom 3)) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))).
+
+eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101.
+
+
+(* Esercizio 3
+ ===========
+
+ Definire la funzione di sostituzione di una formula `G` al posto
+ degli atomi uguali a `x` in una formula `F`.
+*)
let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F â
match F with
[ FBot â FBot
| FTop â (*BEGIN*)FTop(*END*)
- | FAtom n â if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
+ | FAtom n â if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
(*BEGIN*)
| FAnd F1 F2 â FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
| FOr F1 F2 â FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
@@ -149,20 +253,28 @@ let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F â
| FNot F â FNot (subst x G F)
].
-(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
* F [ G / x ]
- Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
- la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'.
+ Questa notazione utilizza la funzione `subst` appena definita, in particolare
+ la scrittura `F [ G /x ]` è una abbreviazione per `subst x G F`.
* F â¡ G
- Questa notazione è una abbreviazione per 'âv.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'.
- Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
- in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
+ Questa notazione è una abbreviazione per `âv.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v`.
+ Asserisce che for ogni funzione di valutazione `v`, la semantica di `f`
+ in `v` è uguale alla semantica di `g` in `v`.
+
- Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
*)
notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
@@ -172,8 +284,108 @@ notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (â¡) \nbsp b)" non associat
notation > "a â¡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
-(* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
-theorem substitution: âG1,G2,F,x. G1 â¡ G2 â F[G1/x] â¡ F[G2/x].
+(* Test 2
+ ======
+
+ Viene fornita una formula di esempio `esempio2`,
+ e una formula `esempio3` che rimpiazzerà gli atomi
+ `FAtom 2` di `esempio2`.
+
+ Il risultato atteso è la formula:
+
+ FAnd (FImpl (FOr (FAtom O) (FAtom 1)) (FAtom 1))
+ (FOr (FAtom O) (FAtom 1))
+
+*)
+
+definition esempio2 â (FAnd (FImpl (FAtom 2) (FAtom 1)) (FAtom 2)).
+
+definition esempio3 â (FOr (FAtom 0) (FAtom 1)).
+
+eval normalize on (esempio2 [ esempio3 / 2]).
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il linguaggio di dimostrazione di Matita
+========================================
+
+L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione
+deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita.
+Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi:
+
+* `assume nome : tipo`
+
+ Quando si deve dimostrare un tesi come `âF : Formula.P`, il comando
+ `assume F : Formula` fissa una generica `Formula` `F` e la tesi
+ diventa `P` dove `F` è fissata.
+
+* `suppose P (nome)`
+
+ Quando si deve dimostrare una tesi come `P â Q`, il comando
+ `suppose P (Ipotesi1)` da il nome `Ipotesi1` a `P` e cambia la tesi
+ `Q`, che ora può essere dimostrata facendo riferimento all'assunzione
+ `P` tramite il nome `Ipotesi1`.
+
+* `we procede by induction on F to prove Q`
+
+ Se `F` è il nome di una (ad esempio) `Formula` precedentemente
+ assunta tramite il comando `assume`, inizia una prova per induzione su `F`.
+
+* `case name`
+
+ Nelle prove per induzione o per casi, ogni caso deve iniziare con il
+ comando `case nome`, ad esempio se si procede per induzione di una
+ formula uno dei casi sarà quello in cui la formula è `â¥`, si deve quindi
+ iniziare la sotto dimostrazione per tale caso con `case â¥`.
+
+* `we procede by cases on x to prove Q`
+
+ Analogo a `we procede by induction on F to prove Q`
+
+* `by induction hypothesis we know P (name)`
+
+ Nei casi non base di una prova per induzione sono disponibili delle ipotesi
+ induttive, quindi la tesi è della forma `P â Q`, ed è possibile
+ dare un nome a `P` e procedere a dimostrare `Q`. Simile a `suppose`.
+
+* `the thesis becomes P`
+
+ Permette di modificare la tesi, utilizzando le definizioni (eventualmente
+ ricorsive) che vi compaiono. Ad esempio se la tesi fosse `min 3 5 = max 1 3`
+ si potrebbe usare il comando `the thesis becomes (3 = max 1 3)` in quanto
+ per definizione di minimo, il minimo tra `3` e `5` è `3`.
+
+* `by name1 we proved P (name2)`
+
+ Permette di ottenere una nuova ipotesi `P` chiamandola `name2` utilizzando
+ l'ipotesi `name1`.
+
+* `conclude (P) = (Q) by name`
+
+ Quando la tesi è della forma `P = Q`, si possono utilizzare delle ipotesi
+ della forma `A = B` riscrivendo `A` in `B` (o viceversa) in `P`. Per esempio
+ se la tesi fosse `sin Ï + 3 = 7 - 4` e si avesse una ipotesi `sin Ï = 0` dal
+ nome `H`, si potrebbe usare il comando `conclude (sin Ï + 3) = (0 + 3) by H`
+ per cambiare la conclusione in `0 + 3 = 7 - 4`.
+
+* `= (P) by name`
+
+ Da utilizzare in seguito a un comando `conclude` per riscrivere con altre
+ ipotesi.
+
+* `done`
+
+ Termina un caso della dimostrazione, è possibile utilizzarlo quando la tesi
+ è della forma `t = t`, ad esempio `0 = 0` oppure `v x = v x`.
+
+DOCEND*)
+
+(* Esercizio 4
+ ===========
+
+ Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione
+*)
+theorem sostituzione: âG1,G2,F,x. G1 â¡ G2 â F[G1/x] â¡ F[G2/x].
assume G1 : Formula.
assume G2 : Formula.
(*BEGIN*)
@@ -183,6 +395,7 @@ assume x : â.
suppose (G1 â¡ G2) (H).
we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] â¡Â F[ G2/x ]).
case FBot.
+ the thesis becomes (FBot[ G1/x ] â¡Â FBot[ G2/x ]).
the thesis becomes (FBot â¡Â FBot[ G2/x ]).
the thesis becomes (FBot â¡ FBot).
the thesis becomes (âv.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
@@ -192,6 +405,7 @@ case FBot.
done.
case FTop.
(*BEGIN*)
+ the thesis becomes (FTop[ G1/x ] â¡ FTop[ G2/x ]).
the thesis becomes (FTop â¡ FTop).
the thesis becomes (âv. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
assume v : (â â â).
@@ -200,6 +414,7 @@ case FTop.
done.
case FAtom.
assume n : â.
+ the thesis becomes ((FAtom n)[ G1/x ] ⡠(FAtom n)[ G2/x ]).
the thesis becomes
(if eqb n x then G1 else (FAtom n) ⡠(FAtom n)[ G2/x ]).
the thesis becomes