X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Fcontribs%2Fdidactic%2Finduction.ma;h=99a0e8a5a07b55768b5266f4a799f3de965e4419;hb=a4e18d465037106982d84a85194c4593dad530b8;hp=2ae94646d8a03a26d74682ae4eb917b226a6999d;hpb=e9111f50a843ffe4d8dd2ba81dc849ef382d72b0;p=helm.git diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma index 2ae94646d..99a0e8a5a 100644 --- a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma +++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma @@ -1,6 +1,9 @@ -(* Esercitazione di logica 22/10/2008. +(* Esercitazione di logica 22/10/2008. *) - Esercizio 0: compilare i seguenti campi +(* Esercizio 0 + =========== + + Compilare i seguenti campi: Nome1: ... Cognome1: ... @@ -16,108 +19,117 @@ * compilare il questionario in fondo al file - * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella) + * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella) /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma *) -(* - Come scrivere i simboli - ======================= - - Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome - e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma - '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno - dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome - '\Rightarrow' sia '=>'. - - Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola, - Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare - l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'. - - * → : \to, -> - * ⇒ : \Rightarrow, => - * ℕ : \naturals - * ≝ : \def, := - * ≡ : \equiv - * ∀ : \forall - - La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'". - - La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio - significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione) - non ha lo stesso significato in Matita. - - La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale - restituiscono un numero naturale. - - La sintassi di Matita - ===================== - - Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si - differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata - per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso - di programmazione. - - * applicazione - - Se 'f' è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di 'f' - agli argomenti 'x' e 'y' si scrive '(f x y)' e non 'f(x,y)'. Le parentesi - possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare - vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario. - Esempio: 'f x y + f y x' si legge '(f x y) + (f y x)'. - - * minimo e massimo - - Le funzioni 'min' e 'max' non fanno eccezione, per calcolare il - massimo tra 'x' e 'y' si scrive '(max x y)' e non 'max{x,y}' - - * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto - 'let rec' (ricorsione) e il costrutto 'match' (analisi per casi). - - Ad esempio la funzione count definita a lezione come - +(*DOCBEGIN + +Come scrivere i simboli +======================= + +Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome +e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma +`\nome`, ad esempio `\equiv`. Alcuni simboli molto frequenti hanno +dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio `⇒` ha sia il nome +`\Rightarrow` sia `=>`. + +Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola, +Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare +l'intera lista dal menù a tendina `View ▹ TeX/UTF8 table`. + +* `→` : `\to`, `->` +* `⇒` : `\Rightarrow`, `=>` +* `ℕ` : `\naturals` +* `≝` : `\def`, `:=` +* `≡` : `\equiv` +* `∀` : `\forall` + +La sintassi `∀v.P` significa "per tutti i `v` vale `P`". + +La sintassi `F → G` dove `F` e `G` sono proposizioni nel metalinguaggio +significa "`F` implica `G`". Attenzione, il simbolo `⇒` (usato a lezione) +non ha lo stesso significato in Matita. + +La sintassi `ℕ → ℕ` è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale +restituiscono un numero naturale. + +La sintassi di Matita +===================== + +Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si +differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata +per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso +di programmazione. + +* applicazione + + Se `f` è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di `f` + agli argomenti `x` e `y` si scrive `(f x y)` e non `f(x,y)`. Le parentesi + possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare + vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario. + Esempio: `f x y + f y x` si legge `(f x y) + (f y x)`. + +* minimo e massimo + + Le funzioni `min` e `max` non fanno eccezione, per calcolare il + massimo tra `x` e `y` si scrive `(max x y)` e non `max{x,y}` + +* Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto + `let rec` (ricorsione) e il costrutto `match` (analisi per casi). + + Ad esempio la funzione count definita a lezione come + count ⊤ ≝ 1 count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2 ... - - la si esprime come + la si esprime come + let rec count F on F ≝ match F with [ ⊤ ⇒ 1 | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2 ... ]. - - * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi - simile a BNF. Per esempio per definire - - ::= "+" | "*" | "0" | "1" - si usa il seguente comando +* Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi + simile a BNF. Per esempio per definire + + ::= "+" | "*" | "0" | "1" + + si usa il seguente comando + + inductive A : Type ≝ + | Plus : A → A → A + | Times : A → A → A + | Zero : A + | One : A + . - inductive A : Type ≝ - | Plus : A → A → A - | Times : A → A → A - | Zero : A - | One : A - . - - La ratio è che 'Plus' prende due argomenti di tipo A per darmi un A, - mentre 'Zero' non prende nessun argomento per darmi un A. Al posto di usare - operatori infissi (0 + 0) la definizione crea operatori prefissi (funzioni). - Quindi (0+0) si scriverà come (Plus Zero Zero). - -*) +La ratio è che `Plus` prende due argomenti di tipo `A` per darmi un `A`, +mentre `Zero` non prende nessun argomento per darmi un `A`. Al posto di usare +operatori infissi `(0 + 0)` la definizione crea operatori prefissi (funzioni). +Quindi `(0+0)` si scriverà come `(Plus Zero Zero)`. -(* non modificare le seguenti tre righe *) +DOCEND*) + +(* ATTENZIONE + ========== + + Non modificare le seguenti tre righe +*) include "nat/minus.ma". definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b. definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b. -(* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *) +(* Esercizio 1 + =========== + + Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi +*) inductive Formula : Type ≝ | FBot: Formula | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*) @@ -129,9 +141,13 @@ inductive Formula : Type ≝ . -(* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la - funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica - (o denotazione) *) +(* Esercizio 2 + =========== + + Data la funzione di valutazione per gli atomi `v`, definire la + funzione `sem` per una generica formula `F` che vi associa la semantica + (o denotazione) +*) let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝ match F with [ FBot ⇒ 0 @@ -148,23 +164,29 @@ let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝ ] . - -(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione: +(* NOTA + ==== + + I comandi che seguono definiscono la seguente notazione: if e then risultato1 else risultato2 - Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa - è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'. + Questa notazione permette di valutare l'espressione `e`. Se questa + è vera restituisce `risultato1`, altrimenti restituisce `risultato2`. - Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali - 'n' ed 'm'. + Un esempio di espressione è `eqb n m`, che confronta i due numeri naturali + `n` ed `m`. * [[ formula ]]_v - Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in - particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'. + Questa notazione utilizza la funzione `sem` precedentemente definita, in + particolare `[[ f ]]_v` è una abbreviazione per `sem v f`. + - Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3 + ATTENZIONE + ========== + + Non modificare le linee seguenti *) definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f]. notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }. @@ -176,27 +198,52 @@ notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @ interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a). -(* TESTARE LA DEFINIZIONE DI SEM *) -definition v110 ≝ λx. +(* Test 1 + ====== + + Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata `v1101`. + Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1, + invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0. + + Viene fornita una formula di esempio chiamata `esempio1` che rappresenta + la formula + + D => (C ∨ (B ∧ A)) + + Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ... + + Tale formula è valida per la funzione di valutazione `v1101`. + + Il comando `eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101` permette di calcolare + la funzione `sem` che avete appena definito. Tale funzione deve + computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato). + Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella + definizione di `sem` e prima di continuare è necessario che la sistemiate. +*) +definition v1101 ≝ λx. if eqb x 0 then 1 (* Atom 0 ↦ 1 *) else if eqb x 1 then 1 (* Atom 1 ↦ 1 *) else if eqb x 2 then 0 (* Atom 2 ↦ 0 *) + else if eqb x 3 then 1 (* Atom 3 ↦ 1 *) else 0. (* Atom _ ↦ 0 *) -definition formula1 ≝ (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)). - +definition esempio1 ≝ (FImpl (FAtom 3) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))). -eval normalize on [[ formula1 ]]_v110. +eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101. -(* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto - degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *) +(* Esercizio 3 + =========== + + Definire la funzione di sostituzione di una formula `G` al posto + degli atomi uguali a `x` in una formula `F`. +*) let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝ match F with [ FBot ⇒ FBot | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*) - | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*) + | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*)) (*BEGIN*) | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2) | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2) @@ -208,20 +255,27 @@ let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝ (* AGGIUNGERE ALCUNI TEST *) -(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione: +(* NOTA + ==== + + I comandi che seguono definiscono la seguente notazione: * F [ G / x ] - Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare - la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'. + Questa notazione utilizza la funzione `subst` appena definita, in particolare + la scrittura `F [ G /x ]` è una abbreviazione per `subst x G F`. * F ≡ G - Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'. - Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f' - in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'. + Questa notazione è una abbreviazione per `∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v`. + Asserisce che for ogni funzione di valutazione `v`, la semantica di `f` + in `v` è uguale alla semantica di `g` in `v`. - Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4 + + ATTENZIONE + ========== + + Non modificare le linee seguenti *) notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }. notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }. @@ -232,9 +286,87 @@ notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }. interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b). +(*DOCBEGIN + +Il linguaggio di dimostrazione di Matita +======================================== + +L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione +deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita. +Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi: + +* `assume nome : tipo` + + Quando si deve dimostrare un tesi come `∀F : Formula.P`, il comando + `assume F : Formula` fissa una generica `Formula` `F` e la tesi + diventa `P` dove `F` è fissata. + +* `suppose P (nome)` + + Quando si deve dimostrare una tesi come `P → Q`, il comando + `suppose P (Ipotesi1)` da il nome `Ipotesi1` a `P` e cambia la tesi + `Q`, che ora può essere dimostrata facendo riferimento all'assunzione + `P` tramite il nome `Ipotesi1`. -(* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *) -theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x]. +* `we procede by induction on F to prove Q` + + Se `F` è il nome di una (ad esempio) `Formula` precedentemente + assunta tramite il comando `assume`, inizia una prova per induzione su `F`. + +* `case name` + + Nelle prove per induzione o per casi, ogni caso deve iniziare con il + comando `case nome`, ad esempio se si procede per induzione di una + formula uno dei casi sarà quello in cui la formula è `⊥`, si deve quindi + iniziare la sotto dimostrazione per tale caso con `case ⊥`. + +* `we procede by cases on x to prove Q` + + Analogo a `we procede by induction on F to prove Q` + +* `by induction hypothesis we know P (name)` + + Nei casi non base di una prova per induzione sono disponibili delle ipotesi + induttive, quindi la tesi è della forma `P → Q`, ed è possibile + dare un nome a `P` e procedere a dimostrare `Q`. Simile a `suppose`. + +* `the thesis becomes P` + + Permette di modificare la tesi, utilizzando le definizioni (eventualmente + ricorsive) che vi compaiono. Ad esempio se la tesi fosse `min 3 5 = max 1 3` + si potrebbe usare il comando `the thesis becomes (3 = max 1 3)` in quanto + per definizione di minimo, il minimo tra `3` e `5` è `3`. + +* `by name1 we proved P (name2)` + + Permette di ottenere una nuova ipotesi `P` chiamandola `name2` utilizzando + l'ipotesi `name1`. + +* `conclude (P) = (Q) by name` + + Quando la tesi è della forma `P = Q`, si possono utilizzare delle ipotesi + della forma `A = B` riscrivendo `A` in `B` (o viceversa) in `P`. Per esempio + se la tesi fosse `sin π + 3 = 3` e si avesse una ipotesi `sin π = 0` dal + nome `H`, si potrebbe usare il comando `conclude (0 + 3) = 3 by H`. + +* `= (P) by name` + + Da utilizzare in seguito a un comando `conclude` per riscrivere con altre + ipotesi. + +* `done` + + Termina un caso della dimostrazione, è possibile utilizzarlo quando la tesi + è della forma `t = t`, ad esempio `0 = 0` oppure `v x = v x`. + +DOCEND*) + +(* Esercizio 4 + =========== + + Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione +*) +theorem sostituzione: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x]. assume G1 : Formula. assume G2 : Formula. (*BEGIN*) @@ -244,6 +376,7 @@ assume x : ℕ. suppose (G1 ≡ G2) (H). we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]). case FBot. + the thesis becomes (FBot[ G1/x ] ≡ FBot[ G2/x ]). the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]). the thesis becomes (FBot ≡ FBot). the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v). @@ -253,6 +386,7 @@ case FBot. done. case FTop. (*BEGIN*) + the thesis becomes (FTop[ G1/x ] ≡ FTop[ G2/x ]). the thesis becomes (FTop ≡ FTop). the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v). assume v : (ℕ → ℕ). @@ -261,6 +395,7 @@ case FTop. done. case FAtom. assume n : ℕ. + the thesis becomes ((FAtom n)[ G1/x ] ≡ (FAtom n)[ G2/x ]). the thesis becomes (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]). the thesis becomes @@ -357,9 +492,6 @@ case FNot. (*END*) done. qed. - -eval normalize on - (substitution (FAtom 1) (FAtom 1) formula1 1 (λ_.refl_eq ??) v110). (* Questionario