X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=helm%2Fsoftware%2Fmatita%2Flibrary%2Fdidactic%2Fexercises%2Fnatural_deduction.ma;h=47cb9e4ab2f74b5874ca15720908492528184e99;hb=e91eb82d2b5e032907758bff0b474d62d57463dc;hp=de1c1f482cf91cd1cafbd54565cd119ae9c974df;hpb=e189bde1e0a562e8689ff41d55d392431609e749;p=helm.git

diff --git a/helm/software/matita/library/didactic/exercises/natural_deduction.ma b/helm/software/matita/library/didactic/exercises/natural_deduction.ma
index de1c1f482..47cb9e4ab 100644
--- a/helm/software/matita/library/didactic/exercises/natural_deduction.ma
+++ b/helm/software/matita/library/didactic/exercises/natural_deduction.ma
@@ -1,3 +1,23 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___	                                                          *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
+(*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+(* Istruzioni: 
+
+     http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-natural_deduction.html 
+
+*)
+
 (* Esercizio 0
    ===========
 
@@ -15,58 +35,337 @@
 
 *)
 
+(*DOCBEGIN
+
+Scopo della lezione
+===================
+
+Lo scopo della lezione è di farvi imparare ad usare Matita
+per auto-correggervi gli esercizi di deduzione naturale, che
+saranno parte dell'esame scritto. Il consiglio è di 
+fare prima gli esercizi su carta e poi digitarli in Matita
+per verificarne la correttezza. Fare direttamente gli esercizi
+con Matita è difficile e richiede molto più tempo.
+
+I connettivi logici
+===================
+
+Per digitare i connettivi logici:
+
+* `∧` : `\land`
+* `∨` : `\lor`
+* `¬` : `\lnot`
+* `⇒` : `=>`, `\Rightarrow` 
+* `⊥` : `\bot`
+* `⊤` : `\top`
+
+I termini, le formule e i nomi delle ipotesi
+============================================
+
+* Le formule, quando argomenti di
+  una regola, vengono scritte tra `(` e `)`.
+
+* I nomi delle ipotesi, quando argomenti di
+  una regola, vengono scritti tra `[` e `]`.
+
+Le regole di deduzione naturale
+===============================
+
+Per digitare le regole di deduzione naturale
+è possibile utilizzare la palette che compare
+sulla sinistra dopo aver premuto `F2`.
+
+L'albero si descrive partendo dalla radice. Le regole
+con premesse multiple sono seguite da `[`, `|` e `]`.
+Ad esempio: 
+
+        apply rule (∧#i (A∨B) ⊥);
+          [ …continua qui il sottoalbero per (A∨B)
+          | …continua qui il sottoalbero per ⊥
+          ] 
+
+Le regole vengono applicate alle loro premesse, ovvero
+gli argomenti delle regole sono le formule che normalmente 
+scrivete sopra la linea che rappresenta l'applicazione della
+regola stessa. Ad esempio:
+
+        aply rule (∨#e (A∨B) [h1] C [h2] C);
+          [ …prova di (A∨B)
+          | …prova di C sotto l'ipotesi A (di nome h1)  
+          | …prova di C sotto l'ipotesi B (di nome h2)
+          ]
+
+Le regole che hanno una sola premessa non vengono seguite 
+da parentesi quadre.
+
+L'albero di deduzione
+=====================
+
+Per visualizzare l'albero man mano che viene costruito
+dai comandi impartiti al sistema, premere `F3` e poi
+premere sul bottome home (in genere contraddistinto da
+una icona rappresentate una casa).
+
+Si suggerisce di marcare tale finestra come `always on top`
+utilizzando il menu a tendina che nella maggior parte degli
+ambienti grafici si apre cliccando nel suo angolo in 
+alto a sinistra.
+
+Applicazioni di regole errate vengono contrassegnate con
+il colore rosso.
+
+Usare i lemmi dimostrati in precedenza
+======================================
+
+Una volta dimostrati alcuni utili lemmi come `A ∨ ¬A` è possibile
+riutilizzarli in altre dimostrazioni utilizzando la "regola" `lem`.
+
+La "regola" `lem` prende come argomenti:
+
+- Il numero delle ipotesi del lemma che si vuole utilizzare, nel
+  caso del terzo escluso `0`, nel caso di `¬¬A⇒A` le ipotesi sono `1`.
+
+- Dopo il numero di ipotesi, è necessario digitare il nome del lemma.
+
+- Infine, le formule che devono essere scritte come premesse per la 
+  "regola".
+
+Ad esempio, per usare il lemma EM (terzo escluso) basta digitare
+`lem 0 EM`, mentre per usare il lemma NNAA (`¬¬A⇒A`) bisogna digitare
+`lem 1 NNAA (¬¬A)`. Ai lemmi con più di una premessa è necessario 
+far seguire le parentesi quadre come spiegato in precedenza.
+
+Si noti che "regola" `lem` non è una vera regola, ma una forma compatta
+per rappresentare l'albero di prova del lemma che si sta riutilizzando.
+
+Per motivi che saranno più chiari una volta studiate logiche del 
+primo ordine o di ordine superiore, i lemmi che si intende 
+riutilizzare è bene che siano dimostrati astratti sugli atomi. 
+Ovvero per ogni atomo `A`...`Z` che compare nella formula, 
+è bene aggiungere una quantificazione all'inizio della formula stessa.
+Ad esempio scrivendo `∀A:CProp.` prima della formula `A ∨ ¬A`.
+La dimostrazione deve poi iniziare con il comando `assume`. 
+
+In tale modo il lemma EM può essere utilizzato sia per dimostrare 
+`A ∨ ¬A`, sia `B ∨ ¬B`, sia `(A∨C) ∨ ¬(A∨C)`, etc ...
+
+DOCEND*)
 
 include "didactic/support/natural_deduction.ma".
 
-theorem EM: ∀A. A ∨ ¬ A.
+theorem EM: ∀A:CProp. A ∨ ¬ A.
+(* Il comando assume è necessario perchè dimostriamo A∨¬A
+   per una A generica. *)
 assume A: CProp.
+(* Questo comando inizia a disegnare l'albero *)
 apply rule (prove (A ∨ ¬A));
+(* qui inizia l'albero, eseguite passo passo osservando come
+   si modifica l'albero. *)
 apply rule (RAA [H] (⊥)).
-apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
+apply rule (¬#e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
 	[ apply rule (discharge [H]).
-	| apply rule (⊥_e (⊥));
-	  apply rule (¬_e (¬¬A) (¬A));
-	   [ apply rule (¬_i [K] (⊥)).
-       apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
-	      [ apply rule (discharge [H]).
-	      | apply rule (∨_i_r (¬A)).
-          apply rule (discharge [K]).
+	| apply rule (⊥#e (⊥));
+	  apply rule (¬#e (¬¬A) (¬A));
+	   [ apply rule (¬#i [K] (⊥)).
+       apply rule (¬#e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
+	      [ (*BEGIN*)apply rule (discharge [H]).(*END*)
+	      | (*BEGIN*)apply rule (∨#i_r (¬A)).
+          apply rule (discharge [K]).(*END*)
 	      ]
-	   | apply rule (¬_i [K] (⊥)).
-       apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
+	   | (*BEGIN*)apply rule (¬#i [K] (⊥)).
+       apply rule (¬#e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
 	      [ apply rule (discharge [H]).
-	      | apply rule (∨_i_l (A)).
+	      | apply rule (∨#i_l (A)).
           apply rule (discharge [K]).
-	      ]
+	      ](*END*)
 	   ]
 	]
 qed.
 
-theorem demorgan : ¬(A ∧ B) ⇒ ¬A ∨ ¬B.
-apply rule (prove (¬(A ∧ B) ⇒ ¬A ∨ ¬B));
-apply rule (⇒_i [H] (¬A ∨ ¬B));
-apply rule (RAA [K] (⊥));
-apply rule (¬_e (¬(¬A ∨ ¬B)) (¬A ∨ ¬B));
-	[ apply rule (discharge [K]).
-	| apply rule (∨_i_l (¬A));
-	  apply rule (¬_i [L] (⊥)).
-	  apply rule (¬_e (¬B) (B));
-	   [ apply rule (¬_i [M] (⊥)).
-       apply rule (¬_e (¬(A ∧ B)) (A ∧ B));
-	      [ apply rule (discharge [H]).
-	      | apply rule (∧_i (A) (B));
-	         [ apply rule (discharge [L]).
-	         | apply rule (discharge [M]).
-	         ]
-	      ]
-	   | apply rule (∨_e (B ∨ ¬B) [h1] (B) [h2] (B));
-	       [ apply rule (lem EM);
-	       
-
-	       | apply rule (discharge [h1]);
-	       |
-	       ]
- 
-	   apply rule (show EM);
-	   ]
+theorem ex1 : (C∧G ⇒ E) ⇒ (¬L ⇒ E∨C) ⇒ G ∨ L ⇒ ¬L ⇒ E.
+apply rule (prove ((C∧G ⇒ E) ⇒ (¬L ⇒ E∨C) ⇒ G ∨ L ⇒ ¬L ⇒ E));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] ((¬L ⇒ E∨C) ⇒ G ∨ L ⇒ ¬L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h2] (G ∨ L ⇒ ¬L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h3] (¬L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h4] (E));
+apply rule (∨#e (G∨L) [h5] (E) [h6] (E));
+	[ apply rule (discharge [h3]);
+	| apply rule (∨#e (E∨C) [h6] (E) [h7] (E));
+	    [ apply rule (⇒#e (¬L ⇒ E∨C) (¬L));
+	        [ apply rule (discharge [h2]);
+	        | apply rule (discharge [h4]);
+	        ]
+	    | apply rule (discharge [h6]);
+	    | apply rule (⇒#e (C∧G ⇒ E) (C∧G));
+	        [ apply rule (discharge [h1]);
+	        | apply rule (∧#i (C) (G));
+	            [ apply rule (discharge [h7]);
+	            | apply rule (discharge [h5]);
+             	]
+	        ]
+	    ]
+	| apply rule (⊥#e (⊥));
+	  apply rule (¬#e (¬L) (L));
+	    [ apply rule (discharge [h4]);
+	    | apply rule (discharge [h6]);
+	    ]
+	]
+(*END*)
+qed.
+
+theorem ex2 : (A∧¬B ⇒ C) ⇒ (B∧D ⇒ C) ⇒ (D ⇒ A) ⇒ D ⇒ C.
+apply rule (prove ((A∧¬B ⇒ C) ⇒ (B∧D ⇒ C) ⇒ (D ⇒ A) ⇒ D ⇒ C));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] ((B∧D ⇒ C) ⇒ (D ⇒ A) ⇒ D ⇒ C));
+apply rule (⇒#i [h2] ((D ⇒ A) ⇒ D ⇒ C));
+apply rule (⇒#i [h3] (D ⇒ C));
+apply rule (⇒#i [h4] (C));
+apply rule (∨#e (B∨¬B) [h5] (C) [h6] (C));
+	[ apply rule (lem 0 EM);
+	| apply rule (⇒#e (B∧D⇒C) (B∧D));
+	    [ apply rule (discharge [h2]);
+    	| apply rule (∧#i (B) (D));
+	        [ apply rule (discharge [h5]);
+	        | apply rule (discharge [h4]);
+	        ]
+	    ] 
+	| apply rule (⇒#e (A∧¬B⇒C) (A∧¬B));
+	    [ apply rule (discharge [h1]);
+	    | apply rule (∧#i (A) (¬B));
+	        [ apply rule (⇒#e (D⇒A) (D));
+	            [ apply rule (discharge [h3]);
+	            | apply rule (discharge [h4]);
+	            ]
+	        | apply rule (discharge [h6]);
+	        ]
+	    ]
+	]
+(*END*)
+qed.
+
+(* Per dimostrare questo teorema torna comodo il lemma EM
+   dimostrato in precedenza. *)
+theorem ex3: (F ⇒ G∨E) ⇒ (G ⇒ ¬L∨E) ⇒ (L⇒F) ⇒ L ⇒ E.
+apply rule (prove ((F ⇒ G∨E) ⇒ (G ⇒ ¬L∨E) ⇒ (L⇒F) ⇒ L ⇒ E));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] ((G ⇒ ¬L∨E) ⇒ (L⇒F) ⇒ L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h2] ((L⇒F) ⇒ L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h3] (L ⇒ E));
+apply rule (⇒#i [h4] (E));
+apply rule (∨#e (G∨E) [h5] (E) [h6] (E));
+	[ apply rule (⇒#e (F ⇒ G∨E) (F));
+	    [ apply rule (discharge [h1]);
+	    | apply rule (⇒#e (L⇒F) (L));
+	        [ apply rule (discharge [h3]);
+	        | apply rule (discharge [h4]);
+	        ]
+	    ]
+	|apply rule (∨#e (¬L∨E) [h7] (E) [h8] (E));
+	    [ apply rule (⇒#e (G⇒¬L∨E) (G));
+	        [ apply rule (discharge [h2]);
+	        | apply rule (discharge [h5]);
+	        ]
+	    | apply rule (⊥#e (⊥));
+        apply rule (¬#e (¬L) (L));
+	        [ apply rule (discharge [h7]);
+	        | apply rule (discharge [h4]);
+	        ]
+	    | apply rule (discharge [h8]);
+	    ]
+	| apply rule (discharge [h6]);
+	]
+(*END*)
+qed.
+
+theorem ex4: ¬(A∧B) ⇒ ¬A∨¬B.
+apply rule (prove (¬(A∧B) ⇒ ¬A∨¬B));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] (¬A∨¬B));
+apply rule (∨#e (A ∨ ¬A) [h2] ((¬A∨¬B)) [h3] ((¬A∨¬B)));
+	[ apply rule (lem 0 EM);
+	| apply rule (∨#e (B ∨ ¬B) [h4] ((¬A∨¬B)) [h5] ((¬A∨¬B)));
+	    [ apply rule (lem 0 EM);
+	    | apply rule (⊥#e (⊥));
+	      apply rule (¬#e (¬(A∧B)) (A∧B));
+	        [ apply rule (discharge [h1]);
+	        | apply rule (∧#i (A) (B));
+	            [ apply rule (discharge [h2]);
+	            | apply rule (discharge [h4]);
+	            ]
+	        ]
+	    | apply rule (∨#i_r (¬B));
+        apply rule (discharge [h5]);
+	    ]
+	| apply rule (∨#i_l (¬A));
+    apply rule (discharge [h3]);
 	]
+(*END*)
+qed.
+
+theorem ex5: ¬(A∨B) ⇒ (¬A ∧ ¬B).
+apply rule (prove (¬(A∨B) ⇒ (¬A ∧ ¬B)));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] (¬A ∧ ¬B));
+apply rule (∨#e (A∨¬A) [h2] (¬A ∧ ¬B) [h3] (¬A ∧ ¬B));
+	[ apply rule (lem 0 EM);
+	| apply rule (⊥#e (⊥));
+    apply rule (¬#e (¬(A∨B)) (A∨B));
+	    [ apply rule (discharge [h1]);
+	    | apply rule (∨#i_l (A));
+        apply rule (discharge [h2]);
+	    ]
+	| apply rule (∨#e (B∨¬B) [h10] (¬A ∧ ¬B) [h11] (¬A ∧ ¬B));
+	    [ apply rule (lem 0 EM);
+	    | apply rule (⊥#e (⊥));
+        apply rule (¬#e (¬(A∨B)) (A∨B));
+	        [ apply rule (discharge [h1]);
+	        | apply rule (∨#i_r (B));
+            apply rule (discharge [h10]);
+	        ] 
+	    | apply rule (∧#i (¬A) (¬B));
+	        [ apply rule (discharge [h3]);
+	        |apply rule (discharge [h11]);
+	        ]
+	    ]
+	]
+(*END*)
+qed.
+
+theorem ex6: ¬A ∧ ¬B ⇒ ¬(A∨B).
+apply rule (prove (¬A ∧ ¬B ⇒ ¬(A∨B)));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] (¬(A∨B)));
+apply rule (¬#i [h2] (⊥));
+apply rule (∨#e (A∨B) [h3] (⊥) [h3] (⊥));
+	[ apply rule (discharge [h2]);
+	| apply rule (¬#e (¬A) (A));
+	    [ apply rule (∧#e_l (¬A∧¬B));
+        apply rule (discharge [h1]);
+	    | apply rule (discharge [h3]);
+	    ]
+	| apply rule (¬#e (¬B) (B));
+	    [ apply rule (∧#e_r (¬A∧¬B));
+        apply rule (discharge [h1]);
+	    | apply rule (discharge [h3]);
+	    ]
+	]
+(*END*)
+qed.
+
+theorem ex7: ((A ⇒ ⊥) ⇒ ⊥) ⇒ A.
+apply rule (prove (((A ⇒ ⊥) ⇒ ⊥) ⇒ A));
+(*BEGIN*)
+apply rule (⇒#i [h1] (A));
+apply rule (RAA [h2] (⊥));
+apply rule (⇒#e ((A⇒⊥)⇒⊥) (A⇒⊥));
+	[ apply rule (discharge [h1]);
+	| apply rule (⇒#i [h3] (⊥));
+	  apply rule (¬#e (¬A) (A));
+	    [ apply rule (discharge [h2]);
+	    | apply rule (discharge [h3]);
+	    ]
+	]
+(*END*)
+qed.
+