X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=matita%2Fmatita%2Fcontribs%2Flambdadelta%2Fbasic_2%2Freduction%2Fcpx.ma;h=fdcca0bbffc8d6f9ea2e095814b10f47a0ef69e9;hb=d7ccf1bd91637d3c59a285df6f215ecfde2a2450;hp=7a08bc435e93b3328bf1bb959cccec74a92a0b71;hpb=bdfd9f6ada4c66f67c674abc3c7b5ed64d27add3;p=helm.git

diff --git a/matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/reduction/cpx.ma b/matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/reduction/cpx.ma
index 7a08bc435..fdcca0bbf 100644
--- a/matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/reduction/cpx.ma
+++ b/matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/reduction/cpx.ma
@@ -12,70 +12,97 @@
 (*                                                                        *)
 (**************************************************************************)
 
+include "basic_2/notation/relations/pred_6.ma".
 include "basic_2/static/ssta.ma".
 include "basic_2/reduction/cpr.ma".
 
 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED PARALLEL REDUCTION FOR TERMS ******************)
 
-inductive cpx (h) (g): lenv → relation term ≝
-| cpx_atom : ∀I,L. cpx h g L (⓪{I}) (⓪{I})
-| cpx_sort : ∀L,k,l. deg h g k (l+1) → cpx h g L (⋆k) (⋆(next h k))
-| cpx_delta: ∀I,L,K,V,V2,W2,i.
-             ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → cpx h g K V V2 →
-             ⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpx h g L (#i) W2
-| cpx_bind : ∀a,I,L,V1,V2,T1,T2.
-             cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L. ⓑ{I} V1) T1 T2 →
-             cpx h g L (ⓑ{a,I} V1. T1) (ⓑ{a,I} V2. T2)
-| cpx_flat : ∀I,L,V1,V2,T1,T2.
-             cpx h g L V1 V2 → cpx h g L T1 T2 →
-             cpx h g L (ⓕ{I} V1. T1) (ⓕ{I} V2. T2)
-| cpx_zeta : ∀L,V,T1,T,T2. cpx h g (L.ⓓV) T1 T →
-             ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g L (+ⓓV. T1) T2
-| cpx_tau  : ∀L,V,T1,T2. cpx h g L T1 T2 → cpx h g L (ⓝV. T1) T2
-| cpx_beta : ∀a,L,V1,V2,W,T1,T2.
-             cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L.ⓛW) T1 T2 →
-             cpx h g L (ⓐV1. ⓛ{a}W. T1) (ⓓ{a}V2. T2)
-| cpx_theta: ∀a,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
-             cpx h g L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g L W1 W2 → cpx h g (L.ⓓW1) T1 T2 →
-             cpx h g L (ⓐV1. ⓓ{a}W1. T1) (ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2)
+(* avtivate genv *)
+inductive cpx (h) (g): relation4 genv lenv term term ≝
+| cpx_atom : ∀I,G,L. cpx h g G L (⓪{I}) (⓪{I})
+| cpx_sort : ∀G,L,k,l. deg h g k (l+1) → cpx h g G L (⋆k) (⋆(next h k))
+| cpx_delta: ∀I,G,L,K,V,V2,W2,i.
+             ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → cpx h g G K V V2 →
+             ⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpx h g G L (#i) W2
+| cpx_bind : ∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2.
+             cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G (L.ⓑ{I}V1) T1 T2 →
+             cpx h g G L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
+| cpx_flat : ∀I,G,L,V1,V2,T1,T2.
+             cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L T1 T2 →
+             cpx h g G L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
+| cpx_zeta : ∀G,L,V,T1,T,T2. cpx h g G (L.ⓓV) T1 T →
+             ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g G L (+ⓓV.T1) T2
+| cpx_tau  : ∀G,L,V,T1,T2. cpx h g G L T1 T2 → cpx h g G L (ⓝV.T1) T2
+| cpx_ti   : ∀G,L,V1,V2,T. cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L (ⓝV1.T) V2
+| cpx_beta : ∀a,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
+             cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L W1 W2 → cpx h g G (L.ⓛW1) T1 T2 →
+             cpx h g G L (ⓐV1.ⓛ{a}W1.T1) (ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2)
+| cpx_theta: ∀a,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
+             cpx h g G L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g G L W1 W2 →
+             cpx h g G (L.ⓓW1) T1 T2 →
+             cpx h g G L (ⓐV1.ⓓ{a}W1.T1) (ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2)
 .
 
 interpretation
    "context-sensitive extended parallel reduction (term)"
-   'PRed h g L T1 T2 = (cpx h g L T1 T2).
+   'PRed h g G L T1 T2 = (cpx h g G L T1 T2).
 
 (* Basic properties *********************************************************)
 
+lemma lsubr_cpx_trans: ∀h,g,G. lsub_trans … (cpx h g G) lsubr.
+#h #g #G #L1 #T1 #T2 #H elim H -G -L1 -T1 -T2
+[ //
+| /2 width=2/
+| #I #G #L1 #K1 #V1 #V2 #W2 #i #HLK1 #_ #HVW2 #IHV12 #L2 #HL12
+  elim (lsubr_fwd_ldrop2_bind … HL12 … HLK1) -HL12 -HLK1 *
+  [ /3 width=7/ | /4 width=7/ ]
+|4,9: /4 width=1/
+|5,7,8: /3 width=1/
+|6,10: /4 width=3/
+]
+qed-.
+
 (* Note: this is "∀h,g,L. reflexive … (cpx h g L)" *)
-lemma cpx_refl: ∀h,g,T,L. ⦃h, L⦄ ⊢ T ➡[g] T.
-#h #g #T elim T -T // * /2 width=1/
+lemma cpx_refl: ∀h,g,G,T,L. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h, g] T.
+#h #g #G #T elim T -T // * /2 width=1/
 qed.
 
-lemma cpr_cpx: ∀h,g,L,T1,T2. L ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2.
-#h #g #L #T1 #T2 #H elim H -L -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/ /2 width=7/
+lemma cpr_cpx: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
+#h #g #G #L #T1 #T2 #H elim H -L -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/ /2 width=7/
 qed.
 
-fact ssta_cpx_aux: ∀h,g,L,T1,T2,l0. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l0, T2⦄ →
-                   ∀l. l0 = l+1 → ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2.
-#h #g #L #T1 #T2 #l0 #H elim H -L -T1 -T2 -l0 /2 width=2/ /2 width=7/ /3 width=2/ /3 width=7/
+fact ssta_cpx_aux: ∀h,g,G,L,T1,T2,l0. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l0, T2⦄ →
+                   ∀l. l0 = l+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
+#h #g #G #L #T1 #T2 #l0 #H elim H -L -T1 -T2 -l0 /2 width=2/ /2 width=7/ /3 width=2/ /3 width=7/
 qed-.
 
-lemma ssta_cpx: ∀h,g,L,T1,T2,l. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g] ⦃l+1, T2⦄ → ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2.
+lemma ssta_cpx: ∀h,g,G,L,T1,T2,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l+1, T2⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
 /2 width=4 by ssta_cpx_aux/ qed.
 
-lemma cpx_pair_sn: ∀h,g,I,L,V1,V2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 →
-                   ∀T. ⦃h, L⦄ ⊢ ②{I}V1.T ➡[g] ②{I}V2.T.
+lemma cpx_pair_sn: ∀h,g,I,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 →
+                   ∀T. ⦃G, L⦄ ⊢ ②{I}V1.T ➡[h, g] ②{I}V2.T.
 #h #g * /2 width=1/ qed.
 
-lemma cpx_delift: ∀h,g,L,K,V,T1,d. ⇩[0, d] L ≡ (K. ⓓV) →
-                  ∃∃T2,T.  ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
-#h #g #L #K #V #T1 #d #HLK
-elim (cpr_delift … HLK) -HLK /3 width=4/
+lemma cpx_delift: ∀h,g,I,G,K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K.ⓑ{I}V) →
+                  ∃∃T2,T.  ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
+#h #g #I #G #K #V #T1 elim T1 -T1
+[ * #i #L #d #HLK /2 width=4/
+  elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid [1,3: /3 width=4/ ]
+  destruct
+  elim (lift_total V 0 (i+1)) #W #HVW
+  elim (lift_split … HVW i i) // /3 width=7/
+| * [ #a ] #I #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #d #HLK
+  elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
+  [ elim (IHU1 (L. ⓑ{I} W1) (d+1)) -IHU1 /2 width=1/ -HLK /3 width=9/
+  | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK /3 width=8/
+  ]
+]
 qed-.
 
-lemma cpx_append: ∀h,g. l_appendable_sn … (cpx h g).
-#h #g #K #T1 #T2 #H elim H -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
-#I #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
+lemma cpx_append: ∀h,g,G. l_appendable_sn … (cpx h g G).
+#h #g #G #K #T1 #T2 #H elim H -G -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
+#I #G #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
 lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HK0) #H
 @(cpx_delta … I … (L@@K0) V1 … HVW2) //
 @(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/ (**) (* /3/ does not work *)
@@ -83,201 +110,210 @@ qed.
 
 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 
-fact cpx_inv_atom1_aux: ∀h,g,L,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 → ∀J. T1 = ⓪{J} →
+fact cpx_inv_atom1_aux: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 → ∀J. T1 = ⓪{J} →
                         ∨∨ T2 = ⓪{J}
                          | ∃∃k,l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k) & J = Sort k
-                         | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[g] V2 &
+                         | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
                                          ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 & J = LRef i.
-#h #g #L #T1 #T2 * -L -T1 -T2
-[ #I #L #J #H destruct /2 width=1/
-| #L #k #l #Hkl #J #H destruct /3 width=5/
-| #I #L #K #V #V2 #T2 #i #HLK #HV2 #HVT2 #J #H destruct /3 width=9/
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #J #H destruct
+#G #h #g #L #T1 #T2 * -L -T1 -T2
+[ #I #G #L #J #H destruct /2 width=1/
+| #G #L #k #l #Hkl #J #H destruct /3 width=5/
+| #I #G #L #K #V #V2 #T2 #i #HLK #HV2 #HVT2 #J #H destruct /3 width=9/
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
+| #G #L #V1 #V2 #T #_ #J #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #J #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #J #H destruct
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_atom1: ∀h,g,J,L,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓪{J} ➡[g] T2 →
+lemma cpx_inv_atom1: ∀h,g,J,G,L,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓪{J} ➡[h, g] T2 →
                      ∨∨ T2 = ⓪{J}
                       | ∃∃k,l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k) & J = Sort k
-                      | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[g] V2 &
+                      | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
                                       ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 & J = LRef i.
 /2 width=3 by cpx_inv_atom1_aux/ qed-.
 
-lemma cpx_inv_sort1: ∀h,g,L,T2,k. ⦃h, L⦄ ⊢ ⋆k ➡[g] T2 → T2 = ⋆k ∨
+lemma cpx_inv_sort1: ∀h,g,G,L,T2,k. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ➡[h, g] T2 → T2 = ⋆k ∨
                      ∃∃l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k).
-#h #g #L #T2 #k #H
+#h #g #G #L #T2 #k #H
 elim (cpx_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/ *
 [ #k0 #l0 #Hkl0 #H1 #H2 destruct /3 width=4/
 | #I #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_lref1: ∀h,g,L,T2,i. ⦃h, L⦄ ⊢ #i ➡[g] T2 →
+lemma cpx_inv_lref1: ∀h,g,G,L,T2,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ➡[h, g] T2 →
                      T2 = #i ∨
-                     ∃∃I,K,V,V2. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[g] V2 &
+                     ∃∃I,K,V,V2. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
                                  ⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2.
-#h #g #L #T2 #i #H
+#h #g #G #L #T2 #i #H
 elim (cpx_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/ *
 [ #k #l #_ #_ #H destruct
 | #I #K #V #V2 #j #HLK #HV2 #HVT2 #H destruct /3 width=7/
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_gref1: ∀h,g,L,T2,p.  ⦃h, L⦄ ⊢ §p ➡[g] T2 → T2 = §p.
-#h #g #L #T2 #p #H
+lemma cpx_inv_gref1: ∀h,g,G,L,T2,p.  ⦃G, L⦄ ⊢ §p ➡[h, g] T2 → T2 = §p.
+#h #g #G #L #T2 #p #H
 elim (cpx_inv_atom1 … H) -H // *
 [ #k #l #_ #_ #H destruct
 | #I #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
 ]
 qed-.
 
-fact cpx_inv_bind1_aux: ∀h,g,L,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 →
-                        ∀a,J,V1,T1. U1 = ⓑ{a,J} V1. T1 → (
-                        ∃∃V2,T2.  ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                  U2 = ⓑ{a,J} V2. T2
+fact cpx_inv_bind1_aux: ∀h,g,G,L,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 →
+                        ∀a,J,V1,T1. U1 = ⓑ{a,J}V1.T1 → (
+                        ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                 U2 = ⓑ{a,J}V2.T2
                         ) ∨
-                        ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
+                        ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
                              a = true & J = Abbr.
-#h #g #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
-[ #I #L #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=3/
-| #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
+#h #g #G #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
+[ #I #G #L #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #k #l #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=3/
+| #G #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V1 #V2 #T #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_bind1: ∀h,g,a,I,L,V1,T1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡[g] U2 → (
-                     ∃∃V2,T2.  ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                               U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
+lemma cpx_inv_bind1: ∀h,g,a,I,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
+                     ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                              U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
                      ) ∨
-                     ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
+                     ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
                           a = true & I = Abbr.
 /2 width=3 by cpx_inv_bind1_aux/ qed-.
 
-lemma cpx_inv_abbr1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡[g] U2 → (
-                     ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓓ V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+lemma cpx_inv_abbr1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
+                     ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
                               U2 = ⓓ{a} V2. T2
                      ) ∨
-                     ∃∃T.  ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
-#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
+                     ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
+#h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H
 elim (cpx_inv_bind1 … H) -H * /3 width=3/ /3 width=5/
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_abst1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2.  ⦃h, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡[g] U2 →
-                     ∃∃V2,T2.  ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 &  ⦃h, L.ⓛ V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                               U2 = ⓛ{a} V2. T2.
-#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
+lemma cpx_inv_abst1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2.  ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 →
+                     ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 &  ⦃G, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                              U2 = ⓛ{a} V2. T2.
+#h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H
 elim (cpx_inv_bind1 … H) -H *
 [ /3 width=5/
 | #T #_ #_ #_ #H destruct
 ]
 qed-.
 
-fact cpx_inv_flat1_aux: ∀h,g,L,U,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ U ➡[g] U2 →
-                        ∀J,V1,U1. U = ⓕ{J} V1. U1 →
-                        ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
-                                    U2 = ⓕ{J} V2. T2
-                         | (⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 ∧ J = Cast)
-                         | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                           U1 = ⓛ{a}W. T1 &
-                                           U2 = ⓓ{a}V2. T2 & J = Appl
-                         | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
-                                                 ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                                 U1 = ⓓ{a}W1. T1 &
-                                                 U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2 & J = Appl.
-#h #g #L #U #U2 * -L -U -U2
-[ #I #L #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=1/
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=9/
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=13/
+fact cpx_inv_flat1_aux: ∀h,g,G,L,U,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U ➡[h, g] U2 →
+                        ∀J,V1,U1. U = ⓕ{J}V1.U1 →
+                        ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
+                                    U2 = ⓕ{J}V2.T2
+                         | (⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 ∧ J = Cast)
+                         | (⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2 ∧ J = Cast)
+                         | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
+                                               ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                               U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
+                                               U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & J = Appl
+                         | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
+                                                 ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                                 U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
+                                                 U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & J = Appl.
+#h #g #G #L #U #U2 * -L -U -U2
+[ #I #G #L #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #k #l #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #G #L #V1 #V2 #T #HV12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=11/
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=13/
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_flat1: ∀h,g,I,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.U1 ➡[g] U2 →
-                     ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
+lemma cpx_inv_flat1: ∀h,g,I,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.U1 ➡[h, g] U2 →
+                     ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
                                  U2 = ⓕ{I} V2. T2
-                      | (⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 ∧ I = Cast)
-                      | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                        U1 = ⓛ{a}W. T1 &
-                                        U2 = ⓓ{a}V2. T2 & I = Appl
-                      | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
-                                              ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                              U1 = ⓓ{a}W1. T1 &
-                                              U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2 & I = Appl.
+                      | (⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 ∧ I = Cast)
+                      | (⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2 ∧ I = Cast)
+                      | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
+                                            ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                            U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
+                                            U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & I = Appl
+                      | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
+                                              ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                              U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
+                                              U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & I = Appl.
 /2 width=3 by cpx_inv_flat1_aux/ qed-.
 
-lemma cpx_inv_appl1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[g] U2 →
-                     ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
+lemma cpx_inv_appl1: ∀h,g,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[h, g] U2 →
+                     ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
                                  U2 = ⓐ V2. T2
-                      | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                        U1 = ⓛ{a}W. T1 & U2 = ⓓ{a}V2. T2
-                      | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
-                                              ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                              U1 = ⓓ{a}W1. T1 & U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2.
-#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
+                      | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
+                                            ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                            U1 = ⓛ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2
+                      | ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
+                                              ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                              U1 = ⓓ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2.
+#h #g #G #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
 [ /3 width=5/
-| #_ #H destruct
-| /3 width=9/
+|2,3: #_ #H destruct
+| /3 width=11/
 | /3 width=13/
 ]
 qed-.
 
 (* Note: the main property of simple terms *)
-lemma cpx_inv_appl1_simple: ∀h,g,L,V1,T1,U. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[g] U → 𝐒⦃T1⦄ →
-                            ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
-                                     U = ⓐV2. T2.
-#h #g #L #V1 #T1 #U #H #HT1
+lemma cpx_inv_appl1_simple: ∀h,g,G,L,V1,T1,U. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h, g] U → 𝐒⦃T1⦄ →
+                            ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+                                     U = ⓐV2.T2.
+#h #g #G #L #V1 #T1 #U #H #HT1
 elim (cpx_inv_appl1 … H) -H *
 [ /2 width=5/
-| #a #V2 #W #U1 #U2 #_ #_ #H #_ destruct
+| #a #V2 #W1 #W2 #U1 #U2 #_ #_ #_ #H #_ destruct
   elim (simple_inv_bind … HT1)
 | #a #V #V2 #W1 #W2 #U1 #U2 #_ #_ #_ #_ #H #_ destruct
   elim (simple_inv_bind … HT1)
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓝ V1.U1 ➡[g] U2 → (
-                     ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
-                              U2 = ⓝ V2. T2
-                     ) ∨ ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2.
-#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
+lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[h, g] U2 →
+                     ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
+                                 U2 = ⓝ V2. T2
+                      | ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2
+                      | ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2.
+#h #g #G #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
 [ /3 width=5/
-| /2 width=1/
-| #a #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
+|2,3: /2 width=1/
+| #a #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
 | #a #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
 ]
 qed-.
 
 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 
-lemma cpx_fwd_bind1_minus: ∀h,g,I,L,V1,T1,T. ⦃h, L⦄ ⊢ -ⓑ{I}V1.T1 ➡[g] T → ∀b.
-                           ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓑ{b,I}V1.T1 ➡[g] ⓑ{b,I}V2.T2 &
+lemma cpx_fwd_bind1_minus: ∀h,g,I,G,L,V1,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ -ⓑ{I}V1.T1 ➡[h, g] T → ∀b.
+                           ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{b,I}V1.T1 ➡[h, g] ⓑ{b,I}V2.T2 &
                                     T = -ⓑ{I}V2.T2.
-#h #g #I #L #V1 #T1 #T #H #b
+#h #g #I #G #L #V1 #T1 #T #H #b
 elim (cpx_inv_bind1 … H) -H *
 [ #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct /3 width=4/
 | #T2 #_ #_ #H destruct 
 ]
 qed-.
 
-lemma cpx_fwd_shift1: ∀h,g,L1,L,T1,T. ⦃h, L⦄ ⊢ L1 @@ T1 ➡[g] T →
+lemma cpx_fwd_shift1: ∀h,g,G,L1,L,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ L1 @@ T1 ➡[h, g] T →
                       ∃∃L2,T2. |L1| = |L2| & T = L2 @@ T2.
-#h #g #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
+#h #g #G #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
 [ #L #T1 #T #HT1
   @(ex2_2_intro … (⋆)) // (**) (* explicit constructor *)
 | #I #L1 #V1 #IH #L #T1 #X