-La dimostrazione
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-Il caso (FAtom n)
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-Questo è il caso più difficile di tutta la dimostrazione.
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-La tesi è `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v)`
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-Per dimostrarla è necessario utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per
-ottenere l'ipotesi agiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` che chiameremo `H` e il lemma
-`sem_bool` per ottenre l'ipotesi aggiuntiva `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1`
-che chiameremo `H1`.
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-Si procede poi per casi sull'ipotesi `H`, e in ogni suo sotto caso si procede
-per casi su `H1`.
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-Nei casi in cui è presente l'ipotesi aggiuntiva `n ≠ x` è bene
-ottenre tramite il lemma `not_eq_to_eqb_false` l'ipotesi aggiuntiva
-`eqb n x = false`.
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-Abbiamo quindi quattro casi, in tutti si procede con un comando `conclude`:
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-1. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
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- Utilizzando l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0` e espandendo alcune definizioni
- si ottiene che la parte sinistra della conclusione è
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- ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
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- Usando l'ipotesi `n = x`, poi il lemma `eqb_n_n` e espandendo alcune
- definizioni si ottiene `0`. Tornando ad usare le due ipotesi
- `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0` si ottiene una formula uguale al
- lato destro della conclusione.
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-2. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
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- Analogo al caso precedente.
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-3. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
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- Si ottiene l'ipotesi aggiuntiva `eqb n x = false` usando il lemma
- `not_eq_to_eqb_false` insieme all'ipotesi `n ≠ x`. Usando il comando
- conlude e l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0`, la nuova ipotesi appena
- ottenuta e espandendo alcune definizioni si ottiene una formula
- uguale a quella di destra.
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-4. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
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- Analogo al caso precedente.
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