]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
moved formal_topology into library"
authorEnrico Tassi <enrico.tassi@inria.fr>
Wed, 7 Jul 2010 16:08:18 +0000 (16:08 +0000)
committerEnrico Tassi <enrico.tassi@inria.fr>
Wed, 7 Jul 2010 16:08:18 +0000 (16:08 +0000)
58 files changed:
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/apply_functor.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_basic_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/categories.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/cprop_connectives.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/formal_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/notation.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-formal_topologies.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-saturations.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations_to_o-algebra.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations_to_o-saturations.ma [deleted file]
helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/subsets.ma [deleted file]
helm/software/matita/library/depends
helm/software/matita/library/formal_topology/apply_functor.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_basic_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/categories.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/cprop_connectives.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/notation.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-algebra.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-concrete_spaces.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-formal_topologies.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/o-saturations.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/r-o-basic_pairs.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/relations_to_o-algebra.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/saturations.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_reductions.ma.dontcompile [deleted file]
helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_to_o-saturations.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/formal_topology/subsets.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/nlibrary/re/re.ma

diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/apply_functor.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/apply_functor.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 81cf6d8..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,122 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "categories.ma".
-include "notation.ma".
-
-record Fo (C1,C2:CAT2) (F:arrows3 CAT2 C1 C2) : Type2 ≝ {
-  F2: C2;
-  F1: C1;
-  FP: map_objs2 ?? F F1 =_\ID F2
-}.
-
-notation "ℱ\sub 1 x" non associative with precedence 60 for @{'F1 $x}.
-notation > "ℱ_1" non associative with precedence 90 for @{F1 ???}.
-interpretation "F1" 'F1 x = (F1 ??? x). 
-
-notation "ℱ\sub 2 x" non associative with precedence 60 for @{'F2 $x}.
-notation > "ℱ_2" non associative with precedence 90 for @{F2 ???}.
-interpretation "F2" 'F2 x = (F2 ??? x). 
-
-lemma REW : ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀X,Y:Fo ?? F.
-  arrows2 C2 (F (ℱ_1 X)) (F (ℱ_1 Y)) → 
-  arrows2 C2 (ℱ_2 X) (ℱ_2 Y).           
-intros 5; cases X; cases Y; clear X Y; 
-cases H; cases H1; intros; assumption;
-qed.           
-
-record Fm_c (C1,C2:CAT2) (F:arrows3 CAT2 C1 C2) (X,Y:Fo ?? F) : Type2 ≝ {
-  Fm2: arrows2 C2 (F2 ??? X) (F2 ??? Y);
-  Fm1: arrows2 C1 (F1 ??? X) (F1 ??? Y);
-  FmP: REW ?? F X Y (map_arrows2 ?? F ?? Fm1) = Fm2
-}.
-
-notation "ℳ\sub 1 x" non associative with precedence 60 for @{'Fm1 $x}.
-notation > "ℳ_1" non associative with precedence 90 for @{Fm1 ?????}.
-interpretation "Fm1" 'Fm1 x = (Fm1 ????? x). 
-
-notation "ℳ\sub 2 x" non associative with precedence 60 for @{'Fm2 $x}.
-notation > "ℳ_2" non associative with precedence 90 for @{Fm2 ?????}.
-interpretation "Fm2" 'Fm2 x = (Fm2 ????? x). 
-
-definition Fm : 
- ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.
-   Fo ?? F → Fo ?? F → setoid2. 
-intros (C1 C2 F X Y); constructor 1; [apply (Fm_c C1 C2 F X Y)]
-constructor 1; [apply (λf,g.Fm2 ????? f =_2 Fm2 ????? g);]
-[ intro; apply refl2;
-| intros 3; apply sym2; assumption;
-| intros 5; apply (trans2 ?? ??? x1 x2);]
-qed.
-
-definition F_id : 
- ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o.Fm ?? F o o.
-intros; constructor 1; 
-   [ apply (id2 C2 (F2 ??? o));
-   | apply (id2 C1 (F1 ??? o));
-   | cases o; cases H; simplify; apply (respects_id2 ?? F);]
-qed.
-
-definition F_comp : 
-  ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o1,o2,o3.
-    (Fm ?? F o1 o2) × (Fm ?? F o2 o3) ⇒_2 (Fm ?? F o1 o3).
-intros; constructor 1;
-[ intros (f g); constructor 1;
-    [ apply (comp2 C2 ??? (ℳ_2 f) (ℳ_2 g));
-    | apply (comp2 C1 ??? (ℳ_1 f) (ℳ_1 g));
-    | apply hide; cases o1 in f; cases o2 in g; cases o3; clear o1 o2 o3;
-      cases H; cases H1; cases H2; intros 2; cases c; cases c1; clear c c1;
-      simplify; apply (.= (respects_comp2:?)); apply (e1‡e);]
-| intros 6; change with ((ℳ_2 b ∘ ℳ_2 a) = (ℳ_2 b' ∘ ℳ_2 a'));
-  change in e1 with (ℳ_2 b = ℳ_2 b');
-  change in e with (ℳ_2 a = ℳ_2 a');
-  apply (e‡e1);]
-qed.
-
-
-definition Apply : ∀C1,C2: CAT2.arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2.
-intros (C1 C2 F);
-constructor 1; 
-[ apply (Fo ?? F);
-| apply (Fm ?? F); 
-| apply F_id; 
-| apply F_comp;
-| intros; apply (comp_assoc2 C2 ???? (ℳ_2 a12) (ℳ_2 a23) (ℳ_2 a34));
-| intros; apply (id_neutral_right2 C2 ?? (ℳ_2 a));
-| intros; apply (id_neutral_left2 C2 ?? (ℳ_2 a));]
-qed.
-
-definition faithful ≝  
-   λC1,C2.λF:arrows3 CAT2 C1 C2.∀S,T.∀f,g:arrows2 C1 S T.
-     map_arrows2 ?? F ?? f = map_arrows2 ?? F ?? g → f=g.
-
-definition Ylppa : ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.
-  faithful ?? F →  let rC2 ≝ Apply ?? F in arrows3 CAT2 rC2 C1.
-intros; constructor 1;
-[ intro; apply (ℱ_1 o);
-| intros; constructor 1; 
-  [ intros; apply (ℳ_1 c);
-  | apply hide; intros; apply f;  change in e with (ℳ_2 a = ℳ_2 a');
-    lapply (FmP ????? a) as H1; lapply (FmP ????? a') as H2;
-    cut (REW ????? (map_arrows2 ?? F ?? (ℳ_1 a)) = 
-         REW ????? (map_arrows2 ?? F ?? (ℳ_1 a')));[2:
-      apply (.= H1); apply (.= e); apply (H2^-1);]
-    clear H1 H2 e; cases S in a a' Hcut; cases T;
-    cases H; cases H1; simplify; intros; assumption;]
-| intro; apply rule #;
-| intros; simplify; apply rule #;]
-qed.
-
-
-
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 8e5421c..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,223 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "relations.ma".
-include "notation.ma".
-
-record basic_pair: Type1 ≝ { 
-   concr: REL; form: REL; rel: concr ⇒_\r1 form
-}.
-
-interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y c = (fun21 ??? (rel c) x y).
-interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
-
-record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type1 ≝ { 
-   concr_rel: (concr BP1) ⇒_\r1 (concr BP2); form_rel: (form BP1) ⇒_\r1 (form BP2);
-   commute: ⊩ ∘ concr_rel =_1 form_rel ∘ ⊩
- }.
-
-interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel ?? r). 
-interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel ?? r).
-
-definition relation_pair_equality: ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
- intros; constructor 1; [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
-  | simplify; intros; apply refl1;
-  | simplify; intros 2; apply sym1;
-  | simplify; intros 3; apply trans1; ]      
-qed.
-
-definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (relation_pair b b1)
-  | apply relation_pair_equality
-  ]
-qed.
-
-definition relation_pair_of_relation_pair_setoid :
-  ∀P,Q. relation_pair_setoid P Q → relation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion relation_pair_of_relation_pair_setoid.
-
-lemma eq_to_eq': 
-  ∀o1,o2.∀r,r':relation_pair_setoid o1 o2. r =_1 r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
- intros 5 (o1 o2 r r' H);
- apply (.= (commute ?? r)^-1);
- change in H with (⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
- apply rule (.= H);
- apply (commute ?? r').
-qed.
-
-definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
- intro;
- constructor 1;
-  [1,2: apply id1;
-  | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
-    lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
-    apply (.= H);
-    apply (H1 \sup -1);]
-qed.
-
-lemma relation_pair_composition: 
-  ∀o1,o2,o3: basic_pair.
-  relation_pair_setoid o1 o2 → relation_pair_setoid o2 o3 → relation_pair_setoid o1 o3.
-intros 3 (o1 o2 o3);
-  intros (r r1);
-    constructor 1;
-     [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c) 
-     | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
-     | lapply (commute ?? r) as H;
-       lapply (commute ?? r1) as H1;
-       alias symbol "trans" = "trans1".
-       alias symbol "assoc" = "category1 assoc".
-       apply (.= ASSOC);
-       apply (.= #‡H1);
-       alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
-       apply (.= ASSOC ^ -1);
-       apply (.= H‡#);
-       apply ASSOC]
-qed.
-
-lemma relation_pair_composition_is_morphism:
-  ∀o1,o2,o3: basic_pair.
-  ∀a,a':relation_pair_setoid o1 o2.
-  ∀b,b':relation_pair_setoid o2 o3.
-   a=a' → b=b' →
-    relation_pair_composition o1 o2 o3 a b
-    = relation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
-intros 3 (o1 o2 o3);
-    intros;
-    change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));  
-    change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
-    change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
-    apply (.= ASSOC);
-    apply (.= #‡e1);
-    apply (.= #‡(commute ?? b'));
-    apply (.= ASSOC ^ -1);
-    apply (.= e‡#);
-    apply (.= ASSOC);
-    apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
-    apply (ASSOC ^ -1);
-qed.
-
-definition relation_pair_composition_morphism:
- ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply relation_pair_composition;
-  | apply relation_pair_composition_is_morphism;]
-qed.
-    
-lemma relation_pair_composition_morphism_assoc:
-Πo1:basic_pair
-.Πo2:basic_pair
- .Πo3:basic_pair
-  .Πo4:basic_pair
-   .Πa12:relation_pair_setoid o1 o2
-    .Πa23:relation_pair_setoid o2 o3
-     .Πa34:relation_pair_setoid o3 o4
-      .relation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
-       (relation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
-       =relation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
-        (relation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
-   intros;
-    change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
-                 ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
-    alias symbol "refl" = "refl1".
-    alias symbol "prop2" = "prop21".
-    apply (ASSOC‡#);
-qed.    
-    
-lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id:
-  ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
-  relation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (id_relation_pair o1) a=a.
-   intros;
-    change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);    
-qed.
-    
-lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
-  ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
-  relation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (id_relation_pair o2)=a.  
-  intros;
-    change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);
-qed.
-
-definition BP: category1.
- constructor 1;
-  [ apply basic_pair
-  | apply relation_pair_setoid
-  | apply id_relation_pair
-  | apply relation_pair_composition_morphism
-  | apply relation_pair_composition_morphism_assoc;
-  | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id;
-  | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
-qed.
-  
-definition basic_pair_of_BP : objs1 BP → basic_pair ≝ λx.x.
-coercion basic_pair_of_BP.
-
-definition relation_pair_setoid_of_arrows1_BP :
-  ∀P,Q. arrows1 BP P Q → relation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion relation_pair_setoid_of_arrows1_BP.
-
-(*
-definition BPext: ∀o: BP. (form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (ext ? ? (rel o));
-  | intros;
-    apply (.= #‡e);
-    apply refl1]
-qed.
-
-definition BPextS: ∀o: BP. Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (minus_image ?? (rel o));
-  | intros; apply (#‡e); ]
-qed.
-
-definition fintersects: ∀o: BP. (form o) × (form o) ⇒_1 Ω^(form o).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
-     | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersects ?) U V).
-
-definition fintersectsS:
- ∀o:BP. Ω^(form o) × Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(form o).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω^(form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
-     | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersectsS ?) U V).
-
-definition relS: ∀o: BP. (concr o) × Ω^(form o) ⇒_1 CPROP.
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λx:concr o.λS: Ω^(form o).∃y:form o.y ∈ S ∧ x ⊩⎽o y);
-  | intros; split; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (#‡e1^-1)‡(e^-1‡#)); assumption
-     | apply (. (#‡e1)‡(e‡#)); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y c = (fun21 (concr ?) ?? (relS c) x y).
-interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash c = (fun21 ??? (relS c)).
-*)
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_basic_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_basic_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index b557bed..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,62 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
-include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
-include "basic_pairs.ma".
-include "basic_topologies.ma".
-
-definition basic_topology_of_basic_pair: basic_pair → basic_topology.
- intro bp;
- letin obp ≝ (o_basic_pair_of_basic_pair bp);
- letin obt ≝ (o_basic_topology_of_o_basic_pair obp);
- constructor 1;
-  [ apply (form bp);
-  | apply (oA obt);
-  | apply (oJ obt);
-  | apply (oA_is_saturation obt);
-  | apply (oJ_is_reduction obt);
-  | apply (Ocompatibility obt); ]
-qed.
-
-definition continuous_relation_of_relation_pair:
- ∀BP1,BP2.relation_pair BP1 BP2 →
-  continuous_relation (basic_topology_of_basic_pair BP1) (basic_topology_of_basic_pair BP2).
- intros (BP1 BP2 rp);
- letin orp ≝ (o_relation_pair_of_relation_pair ?? rp);
- letin ocr ≝ (o_continuous_relation_of_o_relation_pair ?? orp);
- constructor 1;
-  [ apply (rp \sub \f);
-  | apply (Oreduced ?? ocr);
-  | apply (Osaturated ?? ocr); ]
-qed.
-
-alias symbol "compose" (instance 3) = "category1 composition".
-alias symbol "compose" (instance 3) = "category1 composition".
-record functor1 (C1: category1) (C2: category1) : Type2 ≝
- { map_objs1:1> C1 → C2;
-   map_arrows1: ∀S,T. unary_morphism1 (arrows1 ? S T) (arrows1 ? (map_objs1 S) (map_objs1 T));
-   respects_id1: ∀o:C1. map_arrows1 ?? (id1 ? o) = id1 ? (map_objs1 o);
-   respects_comp1:
-     ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows1 ? o1 o2.∀f2:arrows1 ? o2 o3.
-     map_arrows1 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows1 ?? f2 ∘ map_arrows1 ?? f1}.
-
-definition BTop_of_BP: functor1 BP BTop.
- lapply OR as F;
- constructor 1;
-  [ apply basic_topology_of_basic_pair
-  | intros; constructor 1 [ apply continuous_relation_of_relation_pair; ]
-  | simplify; intro;
-  ]
-qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma
deleted file mode 100644 (file)
index b72e4a5..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,147 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_pairs.ma".
-include "o-basic_pairs.ma".
-include "relations_to_o-algebra.ma".
-
-definition o_basic_pair_of_basic_pair: basic_pair → Obasic_pair.
- intro b;
- constructor 1;
-  [ apply (POW (concr b));
-  | apply (POW (form b));
-  | apply (POW⎽⇒ ?); apply (rel b); ]
-qed.
-
-definition o_relation_pair_of_relation_pair:
- ∀BP1,BP2. relation_pair BP1 BP2 →
-  Orelation_pair (o_basic_pair_of_basic_pair BP1) (o_basic_pair_of_basic_pair BP2).
- intros;
- constructor 1;
-  [ unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify; apply (POW⎽⇒ ?); apply (r\sub \c); 
-  | apply (map_arrows2 ?? POW (form BP1) (form BP2) (r \sub \f));
-  | apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (form BP2)  r\sub\c (⊩\sub BP2) )^-1);
-    cut ( ⊩ \sub BP2 ∘ r \sub \c =_12 r\sub\f ∘ ⊩ \sub BP1) as H;
-    [ apply (.= †H);
-      apply (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (form BP1) (form BP2) (⊩\sub BP1) r\sub\f);
-    | apply commute;]]
-qed.
-
-lemma o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism : 
-  ∀S,T:category2_of_category1 BP.    
-  ∀a,b:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.a=b → 
-   (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T))) 
-    (o_relation_pair_of_relation_pair S T a) (o_relation_pair_of_relation_pair S T b).
-intros 2 (S T);       
-      intros (a b Eab); split; unfold o_relation_pair_of_relation_pair; simplify;
-       unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify;
-       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
-       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
-       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
-       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
-       simplify;
-       apply (prop12);
-       apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (a\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
-       apply sym2;
-       apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (b\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
-       apply sym2;
-       apply prop12;
-       apply Eab;
-qed.
-
-lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism : 
-  ∀S,T:category2_of_category1 BP.
-  unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) S T)
-   (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T)).
-intros (S T);
-   constructor 1;
-     [ apply (o_relation_pair_of_relation_pair S T);
-     | apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)]
-qed.
-
-lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id:
- ∀o:category2_of_category1 BP.
-  o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o o (id2 (category2_of_category1 BP) o)
-  = id2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o).
-   simplify; intros; whd; split; 
-       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
-       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
-       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
-       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
-    simplify;
-    apply prop12;
-    apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
-    apply (respects_id2 ?? POW (concr o));
-qed. 
-
-lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp:
-  ∀o1,o2,o3:category2_of_category1 BP.
-  ∀f1:arrows2 (category2_of_category1 BP) o1 o2.
-  ∀f2:arrows2 (category2_of_category1 BP) o2 o3.
-  (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o1) (o_basic_pair_of_basic_pair o3)))
-    (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o3 (f2 ∘ f1))
-    (comp2 OBP ???
-      (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o2 f1)
-      (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o2 o3 f2)).
-   simplify; intros; whd; split;
-       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
-       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
-       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
-       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
-    simplify;
-    apply prop12;
-    apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
-    apply (respects_comp2 ?? POW (concr o1) (concr o2) (concr o3) f1\sub\c f2\sub\c);
-qed.
-
-definition BP_to_OBP: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BP) OBP).
- constructor 1;
-  [ apply o_basic_pair_of_basic_pair;
-  | intros; apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism;
-  | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id;
-  | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp;]
-qed.
-
-theorem BP_to_OBP_faithful:
- ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.
-   BP_to_OBP⎽⇒ f = BP_to_OBP⎽⇒ g → f=g.
- intros; change with ( (⊩) ∘ f \sub \c = (⊩) ∘ g \sub \c);
- apply (POW_faithful);
- apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
- apply sym2;
- apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
- apply sym2;
- apply e;
-qed.
-
-theorem BP_to_OBP_full: 
-   ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg:arrows2 ? S T. BP_to_OBP⎽⇒ g = f).
- intros; 
- cases (POW_full (concr S) (concr T) (Oconcr_rel ?? f)) (gc Hgc);
- cases (POW_full (form S) (form T) (Oform_rel ?? f)) (gf Hgf);
- exists[
-   constructor 1; [apply gc|apply gf]
-   apply (POW_faithful);
-   apply (let xxxx ≝POW in .= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) gc (rel T));
-   apply rule (.= Hgc‡#);
-   apply (.= Ocommute ?? f);
-   apply (.= #‡Hgf^-1);
-   apply (let xxxx ≝POW in (respects_comp2 ?? POW (concr S) (form S) (form T) (rel S) gf)^-1)]
- split;
-  [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
-  | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
-  | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
-  | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
- simplify; apply (†(Hgc‡#));
-qed.   
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 5cb8283..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,204 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "relations.ma".
-include "saturations.ma".
-
-record basic_topology: Type1 ≝
- { carrbt:> REL;
-   A: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
-   J: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
-   A_is_saturation: is_saturation ? A;
-   J_is_reduction: is_reduction ? J;
-   compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) =_1 (U ≬ J V)
- }.
-
-record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type1 ≝
- { cont_rel:> arrows1 ? S T;
-   reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
-   saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
- }. 
-
-definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (continuous_relation S T)
-  | constructor 1;
-     [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
-     | simplify; intros; apply refl1;
-     | simplify; intros (x y H); apply sym1; apply H
-     | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f |3: apply f1; |1: skip]]]
-qed.
-
-definition continuos_relation_of_continuous_relation_setoid :
- ∀P,Q. continuous_relation_setoid P Q → continuous_relation P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion continuos_relation_of_continuous_relation_setoid.
-
-axiom continuous_relation_eq':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
-(*
- intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-  [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]
-  | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]]
-qed.*)
-
-axiom continuous_relation_eq_inv':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
-(* intros 6;
- cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → 
-   ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
-  [2: clear b H a' a; intros;
-      lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
-       (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-            apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
-       clear Hletin;
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
-       (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
-      intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
-      unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
-      whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
-      apply (if ?? (A_is_saturation ???));
-      intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
-       [ apply refl | cases H; assumption; ]
-      change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
-      apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
-      assumption;]
- split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
-qed.
-*)
-
-definition continuous_relation_comp:
- ∀o1,o2,o3.
-  continuous_relation_setoid o1 o2 →
-   continuous_relation_setoid o2 o3 →
-    continuous_relation_setoid o1 o3.
- intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
-  [ apply (s ∘ r)
-  | intros;
-    apply sym1;
-    apply (.= †(image_comp ??????));
-    apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
-     [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
-     | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
-       apply refl1]
-     | intros;
-       apply sym1;
-       apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
-       apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
-        [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
-        | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
-          apply refl1]]
-qed.
-
-definition BTop: category1.
- constructor 1;
-  [ apply basic_topology
-  | apply continuous_relation_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id1
-     | intros;
-       apply (.= (image_id ??));
-       apply sym1;
-       apply (.= †(image_id ??));
-       apply sym1;
-       assumption
-     | intros;
-       apply (.= (minus_star_image_id ??));
-       apply sym1;
-       apply (.= †(minus_star_image_id ??));
-       apply sym1;
-       assumption]
-  | intros; constructor 1;
-     [ apply continuous_relation_comp;
-     | intros; simplify; intro x; simplify;
-       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e) as H';
-       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e1) as H1';
-       letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
-       cut (∀X:Ω \sup o1.
-              minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
-            = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
-        [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
-       clear K H' H1';
-alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
-cut (∀X:Ω^o1.
-              minus_star_image ?? (b ∘ a) (A o1 X) =_1 minus_star_image ?? (b'∘a') (A o1 X));
-        [2: intro;
-            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
-            apply (.= #‡(saturated ?????));
-             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
-            apply sym1; 
-            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
-            apply (.= #‡(saturated ?????));
-             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
-           apply ((Hcut X) \sup -1)]
-       clear Hcut; generalize in match x; clear x;
-       apply (continuous_relation_eq_inv');
-       apply Hcut1;]
-  | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
-    alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
-alias symbol "refl" (instance 5) = "refl1".
-alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
-alias symbol "prop1" (instance 2) = "prop11".
-alias symbol "assoc" (instance 4) = "category1 assoc".
-apply (.= †(ASSOC‡#));
-    apply refl1
-  | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
-    apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
-    apply refl1
-  | intros; simplify; intro; simplify;
-    apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
-    apply refl1]
-qed.
-
-(*
-(*CSC: unused! *)
-(* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
-theorem continuous_relation_eqS:
- ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
- intros;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
-  [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
-      try assumption; split; assumption]
- cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
-  [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
-      apply (. #‡(H1 ?));
-      apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
-      assumption;] clear Hcut;
- split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
-  [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
-  cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
-  [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
-      exists [1,3: apply w] split; assumption;]
- cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
-  [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
- apply Hcut2; assumption.
-qed.
-*)
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index bea3207..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,87 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_topologies.ma".
-include "o-basic_topologies.ma".
-include "relations_to_o-algebra.ma".
-
-definition o_basic_topology_of_basic_topology: basic_topology → Obasic_topology.
- intros (b); constructor 1;
-  [ apply (POW' b) | apply (A b) | apply (J b);
-  | apply (A_is_saturation b) | apply (J_is_reduction b) | apply (compatibility b) ]
-qed.
-
-definition o_continuous_relation_of_continuous_relation:
- ∀BT1,BT2.continuous_relation BT1 BT2 →
-  Ocontinuous_relation (o_basic_topology_of_basic_topology BT1) (o_basic_topology_of_basic_topology BT2).
- intros (BT1 BT2 c); constructor 1;
-  [ apply (orelation_of_relation ?? c) | apply (reduced ?? c) | apply (saturated ?? c) ]
-qed.
-
-axiom daemon: False.
-
-lemma o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism :
-  ∀S,T:category2_of_category1 BTop.
-  unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T)
-   (arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_basic_topology S) (o_basic_topology_of_basic_topology T)).
-intros (S T);
-   constructor 1;
-     [ apply (o_continuous_relation_of_continuous_relation S T);
-     | cases daemon (*apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)*)]
-qed.
-
-definition BTop_to_OBTop: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BTop) OBTop).
- constructor 1;
-  [ apply o_basic_topology_of_basic_topology;
-  | intros; apply o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism;
-  | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_id*);
-  | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_comp*);]
-qed.
-
-(*
-alias symbol "eq" (instance 2) = "setoid1 eq".
-alias symbol "eq" (instance 1) = "setoid2 eq".
-theorem BTop_to_OBTop_faithful:
- ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T.
-  map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? f = map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? g → f=g.
- intros; change with (∀b.A ? (ext ?? f b) = A ? (ext ?? g b));
- apply (POW_faithful);
- apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
- apply sym2;
- apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
- apply sym2;
- apply e;
-qed.
-*)
-
-include "notation.ma".
-
-theorem BTop_to_OBTop_full: 
-   ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop S T g = f).
- intros;
- cases (POW_full (carrbt S) (carrbt T) (Ocont_rel ?? f)) (g Hg);
- exists[
-   constructor 1;
-    [ apply g
-    | apply hide; intros; lapply (Oreduced ?? f ? e);
-      cases Hg; lapply (e3 U) as K; apply (.= K);
-      apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
-    | apply hide; intros; lapply (Osaturated ?? f ? e);
-      cases Hg; lapply (e1 U) as K; apply (.= K);
-      apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
-    ]
- | simplify; unfold BTop_to_OBTop; simplify;
-   unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism; simplify;
-   cases Hg; whd; simplify; intro; 
-qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/categories.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/categories.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 65320ae..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,498 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "cprop_connectives.ma".
-
-notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
-for @{ 'eqID $a $b }.
-
-notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
-for @{ cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? $a $b }.
-
-interpretation "ID eq" 'eqID x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y).
-
-record equivalence_relation (A:Type0) : Type1 ≝
- { eq_rel:2> A → A → CProp0;
-   refl: reflexive ? eq_rel;
-   sym: symmetric ? eq_rel;
-   trans: transitive ? eq_rel
- }.
-
-record setoid : Type1 ≝
- { carr:> Type0;
-   eq: equivalence_relation carr
- }.
-
-record equivalence_relation1 (A:Type1) : Type2 ≝
- { eq_rel1:2> A → A → CProp1;
-   refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
-   sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
-   trans1: transitive1 ? eq_rel1
- }.
-
-record setoid1: Type2 ≝
- { carr1:> Type1;
-   eq1: equivalence_relation1 carr1
- }.
-
-definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
- intro;
- constructor 1;
-  [ apply (carr s)
-  | constructor 1;
-    [ apply (eq_rel s);
-      apply (eq s)
-    | apply (refl s)
-    | apply (sym s)
-    | apply (trans s)]]
-qed.
-
-coercion setoid1_of_setoid.
-prefer coercion Type_OF_setoid.
-
-record equivalence_relation2 (A:Type2) : Type3 ≝
- { eq_rel2:2> A → A → CProp2;
-   refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
-   sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
-   trans2: transitive2 ? eq_rel2
- }.
-
-record setoid2: Type3 ≝
- { carr2:> Type2;
-   eq2: equivalence_relation2 carr2
- }.
-
-definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
- intro;
- constructor 1;
-  [ apply (carr1 s)
-  | constructor 1;
-    [ apply (eq_rel1 s);
-      apply (eq1 s)
-    | apply (refl1 s)
-    | apply (sym1 s)
-    | apply (trans1 s)]]
-qed.
-
-coercion setoid2_of_setoid1.
-prefer coercion Type_OF_setoid2. 
-prefer coercion Type_OF_setoid. 
-prefer coercion Type_OF_setoid1.
-(* we prefer 0 < 1 < 2 *)
-
-record equivalence_relation3 (A:Type3) : Type4 ≝
- { eq_rel3:2> A → A → CProp3;
-   refl3: reflexive3 ? eq_rel3;
-   sym3: symmetric3 ? eq_rel3;
-   trans3: transitive3 ? eq_rel3
- }.
-
-record setoid3: Type4 ≝
- { carr3:> Type3;
-   eq3: equivalence_relation3 carr3
- }.
-
-interpretation "setoid3 eq" 'eq t x y = (eq_rel3 ? (eq3 t) x y).
-interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
-interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
-interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
-
-notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
-for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
-notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
-for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
-notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
-for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
-notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
-for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
-notation > "hvbox(a break =_3 b)" non associative with precedence 45
-for @{ eq_rel3 ? (eq3 ?) $a $b }.
-
-interpretation "setoid3 symmetry" 'invert r = (sym3 ???? r).
-interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
-interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
-interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
-notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
-interpretation "trans3" 'trans r = (trans3 ????? r).
-interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
-interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
-interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
-
-record unary_morphism (A,B: setoid) : Type0 ≝
- { fun1:1> A → B;
-   prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
- }.
-
-record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type1 ≝
- { fun11:1> A → B;
-   prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
- }.
-
-record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type2 ≝
- { fun12:1> A → B;
-   prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
- }.
-
-record unary_morphism3 (A,B: setoid3) : Type3 ≝
- { fun13:1> A → B;
-   prop13: ∀a,a'. eq3 ? a a' → eq3 ? (fun13 a) (fun13 a')
- }.
-
-record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type0 ≝
- { fun2:2> A → B → C;
-   prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
- }.
-
-record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type1 ≝
- { fun21:2> A → B → C;
-   prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
- }.
-
-record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type2 ≝
- { fun22:2> A → B → C;
-   prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
- }.
-
-record binary_morphism3 (A,B,C:setoid3) : Type3 ≝
- { fun23:2> A → B → C;
-   prop23: ∀a,a',b,b'. eq3 ? a a' → eq3 ? b b' → eq3 ? (fun23 a b) (fun23 a' b')
- }.
-
-notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
-notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
-notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
-interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
-interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
-interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
-interpretation "prop13" 'prop1 c = (prop13 ????? c).
-interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
-interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
-interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
-interpretation "prop23" 'prop2 l r = (prop23 ???????? l r).
-interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
-interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
-interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).
-interpretation "refl3" 'refl = (refl3 ???).
-
-notation > "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
-notation > "A × term 74 B ⇒_1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
-notation > "A × term 74 B ⇒_2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
-notation > "A × term 74 B ⇒_3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
-notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
-notation > "B ⇒_1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
-notation > "B ⇒_2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
-notation > "B ⇒_2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
-
-notation "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
-notation "A × term 74 B ⇒\sub 1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
-notation "A × term 74 B ⇒\sub 2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
-notation "A × term 74 B ⇒\sub 3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
-notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
-notation "B ⇒\sub 2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
-notation "B ⇒\sub 1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
-notation "B ⇒\sub 2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
-
-interpretation "'binary_morphism0" 'binary_morphism0 A B C = (binary_morphism A B C).
-interpretation "'arrows2_SET1 low" 'arrows2_SET1 A B = (unary_morphism2 A B).
-interpretation "'arrows2_SET1low" 'arrows2_SET1low A B = (unary_morphism2 A B).
-interpretation "'binary_morphism1" 'binary_morphism1 A B C = (binary_morphism1 A B C).
-interpretation "'binary_morphism2" 'binary_morphism2 A B C = (binary_morphism2 A B C).
-interpretation "'binary_morphism3" 'binary_morphism3 A B C = (binary_morphism3 A B C).
-interpretation "'arrows1_SET low" 'arrows1_SET A B = (unary_morphism1 A B).
-interpretation "'arrows1_SETlow" 'arrows1_SETlow A B = (unary_morphism1 A B).
-
-
-definition unary_morphism2_of_unary_morphism1: 
-  ∀S,T:setoid1.unary_morphism1 S T → unary_morphism2 (setoid2_of_setoid1 S) T.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (fun11 ?? u);
-  | apply (prop11 ?? u); ]
-qed.
-
-definition CPROP: setoid1.
- constructor 1;
-  [ apply CProp0
-  | constructor 1;
-     [ apply Iff
-     | intros 1; split; intro; assumption
-     | intros 3; cases i; split; assumption
-     | intros 5; cases i; cases i1; split; intro;
-        [ apply (f2 (f x1)) | apply (f1 (f3 z1))]]]
-qed.
-
-definition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp0 ≝ λx.x.
-coercion CProp0_of_CPROP.
-
-alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
-definition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
- intros; apply (fi ?? e); assumption.
-qed.
-
-notation ". r" with precedence 50 for @{'fi $r}.
-interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
-
-definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
- constructor 1;
-  [ apply And
-  | intros; split; intro; cases a1; split;
-     [ apply (if ?? e a2)
-     | apply (if ?? e1 b1)
-     | apply (fi ?? e a2)
-     | apply (fi ?? e1 b1)]]
-qed.
-
-interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ??? and_morphism a b).
-
-definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
- constructor 1;
-  [ apply Or
-  | intros; split; intro; cases o; [1,3:left |2,4: right]
-     [ apply (if ?? e a1)
-     | apply (fi ?? e a1)
-     | apply (if ?? e1 b1)
-     | apply (fi ?? e1 b1)]]
-qed.
-
-interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ??? or_morphism a b).
-
-definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
- constructor 1;
-  [ apply (λA,B. A → B)
-  | intros; split; intros;
-     [ apply (if ?? e1); apply f; apply (fi ?? e); assumption
-     | apply (fi ?? e1); apply f; apply (if ?? e); assumption]]
-qed.
-
-notation > "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 55 for @{ comp ??? $a $b }.
-record category : Type1 ≝ { 
-   objs:> Type0;
-   arrows: objs → objs → setoid;
-   id: ∀o:objs. arrows o o;
-   comp: ∀o1,o2,o3. (arrows o1 o2) × (arrows o2 o3) ⇒ (arrows o1 o3);
-   comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4.∀a12:arrows o1 ?.∀a23:arrows o2 ?.∀a34:arrows o3 o4.
-     (a12 ∘ a23) ∘ a34 =_0 a12 ∘ (a23 ∘ a34);
-   id_neutral_left : ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. (id o1) ∘ a =_0 a;
-   id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. a ∘ (id o2) =_0 a
-}.
-notation "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 55 for @{ 'compose $a $b }.
-
-record category1 : Type2 ≝
- { objs1:> Type1;
-   arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
-   id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
-   comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
-   comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
-    comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_1 comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
-   id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a =_1 a;
-   id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) =_1 a
- }.
-
-record category2 : Type3 ≝
- { objs2:> Type2;
-   arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
-   id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
-   comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
-   comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
-    comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_2 comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
-   id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a =_2 a;
-   id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) =_2 a
- }.
-
-record category3 : Type4 ≝
- { objs3:> Type3;
-   arrows3: objs3 → objs3 → setoid3;
-   id3: ∀o:objs3. arrows3 o o;
-   comp3: ∀o1,o2,o3. binary_morphism3 (arrows3 o1 o2) (arrows3 o2 o3) (arrows3 o1 o3);
-   comp_assoc3: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
-    comp3 o1 o3 o4 (comp3 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_3 comp3 o1 o2 o4 a12 (comp3 o2 o3 o4 a23 a34);
-   id_neutral_right3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? (id3 o1) a =_3 a;
-   id_neutral_left3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? a (id3 o2) =_3 a
- }.
-
-notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
-
-interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ??? (comp2 ????) y x).
-interpretation "category2 assoc" 'assoc = (comp_assoc2 ????????).
-interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ??? (comp1 ????) y x).
-interpretation "category1 assoc" 'assoc = (comp_assoc1 ????????).
-interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ??? (comp ????) y x).
-interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
-
-definition category2_of_category1: category1 → category2.
- intro;
- constructor 1;
-  [ apply (objs1 c);
-  | intros; apply (setoid2_of_setoid1 (arrows1 c o o1));
-  | apply (id1 c);
-  | intros;
-    constructor 1;
-     [ intros; apply (comp1 c o1 o2 o3 c1 c2);
-     | intros; unfold setoid2_of_setoid1 in e e1 a a' b b'; simplify in e e1 a a' b b'; 
-       change with ((b∘a) =_1 (b'∘a')); apply (e‡e1); ]
-  | intros; simplify; whd in a12 a23 a34; whd; apply rule (ASSOC);
-  | intros; simplify; whd in a; whd; apply id_neutral_right1;
-  | intros; simplify; whd in a; whd; apply id_neutral_left1; ]
-qed.
-(*coercion category2_of_category1.*)
-
-record functor2 (C1: category2) (C2: category2) : Type3 ≝
- { map_objs2:1> C1 → C2;
-   map_arrows2: ∀S,T. unary_morphism2 (arrows2 ? S T) (arrows2 ? (map_objs2 S) (map_objs2 T));
-   respects_id2: ∀o:C1. map_arrows2 ?? (id2 ? o) = id2 ? (map_objs2 o);
-   respects_comp2:
-     ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows2 ? o1 o2.∀f2:arrows2 ? o2 o3.
-     map_arrows2 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows2 ?? f2 ∘ map_arrows2 ?? f1}.
-
-notation > "F⎽⇒ x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows2 $F $x}.
-notation "F\sub⇒ x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows2 $F $x}.
-interpretation "map_arrows2" 'map_arrows2 F x = (fun12 ?? (map_arrows2 ?? F ??) x).
-
-definition functor2_setoid: category2 → category2 → setoid3.
- intros (C1 C2);
- constructor 1;
-  [ apply (functor2 C1 C2);
-  | constructor 1;
-     [ intros (f g);
-       apply (∀c:C1. cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? (f c) (g c));
-     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1);
-     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con; apply H;
-     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con;
-        [2: apply H; | skip | apply H1;]]]
-qed.
-
-definition functor2_of_functor2_setoid: ∀S,T. functor2_setoid S T → functor2 S T ≝ λS,T,x.x.
-coercion functor2_of_functor2_setoid.
-
-definition CAT2: category3.
- constructor 1;
-  [ apply category2;
-  | apply functor2_setoid;
-  | intros; constructor 1;
-     [ apply (λx.x);
-     | intros; constructor 1;
-        [ apply (λx.x);
-        | intros; assumption;]
-     | intros; apply rule #;
-     | intros; apply rule #; ]
-  | intros; constructor 1;
-     [ intros; constructor 1;
-        [ intros; apply (c1 (c o));
-        | intros; constructor 1;
-           [ intro; apply (map_arrows2 ?? c1 ?? (map_arrows2 ?? c ?? c2));
-           | intros; apply (††e); ]
-        | intros; simplify;
-          apply (.= †(respects_id2 : ?));
-          apply (respects_id2 : ?);
-        | intros; simplify;
-          apply (.= †(respects_comp2 : ?));
-          apply (respects_comp2 : ?); ]
-        | intros; intro; simplify;
-          apply (cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e ?));
-          apply (cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e1 ?));
-          constructor 1; ]
-        | intros; intro; simplify; constructor 1;
-        | intros; intro; simplify; constructor 1;
-        | intros; intro; simplify; constructor 1; ]
-qed.
-
-definition category2_of_objs3_CAT2: objs3 CAT2 → category2 ≝ λx.x.
-coercion category2_of_objs3_CAT2.
-
-definition functor2_setoid_of_arrows3_CAT2: ∀S,T. arrows3 CAT2 S T → functor2_setoid S T ≝ λS,T,x.x.
-coercion functor2_setoid_of_arrows3_CAT2.
-
-definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (unary_morphism s s1);
-  | constructor 1;
-     [ intros (f g); apply (∀a:s. eq ? (f a) (g a));
-     | intros 1; simplify; intros; apply refl;
-     | simplify; intros; apply sym; apply f;
-     | simplify; intros; apply trans; [2: apply f; | skip | apply f1]]]
-qed.
-
-definition SET: category1.
- constructor 1;
-  [ apply setoid;
-  | apply rule (λS,T:setoid.setoid1_of_setoid (unary_morphism_setoid S T));
-  | intros; constructor 1; [ apply (λx:carr o.x); | intros; assumption ]
-  | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. c1 (c x)); | intros;
-     apply († (†e));]
-  | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
-    apply trans; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
-     [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
-  | intros; whd; intros; simplify; apply refl;
-  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
-  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
-  ]
-qed.
-
-definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid ≝ λx.x.
-coercion setoid_of_SET.
-
-definition unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET: 
-  ∀P,Q.arrows1 SET P Q → unary_morphism_setoid P Q  ≝ λP,Q,x.x.
-coercion unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET.
-
-interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_SET A B = (arrows1 SET A B).
-
-definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (unary_morphism1 s s1);
-  | constructor 1;
-     [ intros (f g);
-       alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
-       apply (∀a: carr1 s. f a = g a);
-     | intros 1; simplify; intros; apply refl1;
-     | simplify; intros; apply sym1; apply f;
-     | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f; | skip | apply f1]]]
-qed.
-
-definition unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1 : 
-  ∀S,T. unary_morphism1_setoid1 S T → unary_morphism1 S T ≝ λP,Q,x.x.
-coercion unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1.
-
-definition SET1: objs3 CAT2.
- constructor 1;
-  [ apply setoid1;
-  | apply rule (λS,T.setoid2_of_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 S T));
-  | intros; constructor 1; [ apply (λx.x); | intros; assumption ]
-  | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. c1 (c x)); | intros;
-     apply († (†e));]
-  | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
-    apply trans1; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
-     [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
-  | intros; whd; intros; simplify; apply refl1;
-  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
-  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
-  ]
-qed.
-
-interpretation "'arrows2_SET1" 'arrows2_SET1 A B = (arrows2 SET1 A B).
-
-definition setoid1_of_SET1: objs2 SET1 → setoid1 ≝ λx.x.
-coercion setoid1_of_SET1.
-
-definition unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1: 
-  ∀P,Q.arrows2 SET1 P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1.
-variant objs2_of_category1: objs1 SET → objs2 SET1 ≝ setoid1_of_setoid.
-coercion objs2_of_category1.
-
-prefer coercion Type_OF_setoid. (* we prefer the lower carrier projection *)
-prefer coercion Type_OF_objs1.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 791af46..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,109 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_pairs.ma".
-
-(* carr1 e' necessario perche' ci sega via la coercion per gli oggetti di REL!
-   (confondendola con la coercion per gli oggetti di SET *)
-record concrete_space : Type1 ≝
- { bp:> BP;
-   converges: ∀a: carr1 (concr bp).∀U,V: carr1 (form bp). a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
-   all_covered: ∀x: carr1 (concr bp). x ⊩ form bp
- }.
-
-record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type1 ≝
- { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
-   respects_converges:
-    ∀b,c.
-     minus_image ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
-     BPextS CS1 ((minus_image ?? rp \sub\f b) ↓ (minus_image ?? rp \sub\f c));
-   respects_all_covered:
-    minus_image ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (full_subset (form CS2))) = BPextS CS1 (full_subset (form CS1))
- }.
-(*
-definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (convergent_relation_pair c c1)
-  | constructor 1;
-     [ intros;
-       apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
-     | intros 1; apply refl1;
-     | intros 2; apply sym1; 
-     | intros 3; apply trans1]]
-qed.
-
-definition convergent_relation_space_composition:
- ∀o1,o2,o3: concrete_space.
-  binary_morphism1
-   (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
-   (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
-   (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-     [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
-       constructor 1;
-        [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
-        | intros;
-          change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
-          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
-            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
-          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
-            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
-          apply (.= (extS_com ??????));
-          apply (.= (†(respects_converges ?????)));
-          apply (.= (respects_converges ?????));
-          apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
-          apply refl1;
-        | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
-          apply (.= (extS_com ??????));
-          apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
-          apply (.= respects_all_covered ???);
-          apply refl1]
-     | intros;
-       change with (b ∘ a = b' ∘ a');
-       change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
-       change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
-       apply (.= (H‡H1));
-       apply refl1]
-qed.
-
-definition CSPA: category1.
- constructor 1;
-  [ apply concrete_space
-  | apply convergent_relation_space_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id1
-     | intros;
-       unfold id; simplify;
-       apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
-       apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
-                    (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
-       apply refl1;
-     | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
-       apply refl1]
-  | apply convergent_relation_space_composition
-  | intros; simplify;
-    change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
-    apply (.= ASSOC1);
-    apply refl1
-  | intros; simplify;
-    change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
-    apply (.= id_neutral_right1 ????);
-    apply refl1
-  | intros; simplify;
-    change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
-    apply (.= id_neutral_left1 ????);
-    apply refl1]
-qed.
-*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 3f2417e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,52 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "concrete_spaces.ma".
-include "o-concrete_spaces.ma".
-include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
-
-(*
-(* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
-definition o_concrete_space_of_concrete_space: cic:/matita/formal_topology/concrete_spaces/concrete_space.ind#xpointer(1/1) → concrete_space.
- intro;
- constructor 1;
-  [ apply (o_basic_pair_of_basic_pair (bp c));
-  | lapply depth=0 (downarrow c);
-    constructor 1;
-     [ apply 
-     |
-    apply (o_operator_of_operator);fintersectsS);
-  |
-  |
-  |
-  |
-  |
-  ]
-qed.
-
-definition o_convergent_relation_pair_of_convergent_relation_pair:
- ∀BP1,BP2.cic:/matita/formal_topology/concrete_spaces/convergent_relation_pair.ind#xpointer(1/1) BP1 BP2 →
-  convergent_relation_pair (o_concrete_space_of_concrete_space BP1) (o_concrete_space_of_concrete_space BP2).
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \c));
-  | apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \f));
-  | lapply (commute ?? r);
-    lapply (orelation_of_relation_preserves_equality ???? Hletin);
-    apply (.= (orelation_of_relation_preserves_composition (concr BP1) ??? (rel BP2)) ^ -1);
-    apply (.= (orelation_of_relation_preserves_equality ???? (commute ?? r)));
-    apply (orelation_of_relation_preserves_composition ?? (form BP2)  (rel BP1) ?); ]
-qed.
-
-*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/cprop_connectives.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/cprop_connectives.ma
deleted file mode 100644 (file)
index a1faba3..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,192 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "logic/connectives.ma".
-
-definition Type4 : Type := Type.
-definition Type3 : Type4 := Type.
-definition Type2 : Type3 := Type.
-definition Type1 : Type2 := Type.
-definition Type0 : Type1 := Type.
-
-definition Type_of_Type0: Type0 → Type := λx.x.
-definition Type_of_Type1: Type1 → Type := λx.x.
-definition Type_of_Type2: Type2 → Type := λx.x.
-definition Type_of_Type3: Type3 → Type := λx.x.
-definition Type_of_Type4: Type4 → Type := λx.x.
-coercion Type_of_Type0.
-coercion Type_of_Type1.
-coercion Type_of_Type2.
-coercion Type_of_Type3.
-coercion Type_of_Type4.
-
-definition CProp0 : Type1 := Type0.
-definition CProp1 : Type2 := Type1.
-definition CProp2 : Type3 := Type2.
-definition CProp3 : Type4 := Type3.
-definition CProp_of_CProp0: CProp0 → CProp ≝ λx.x.
-definition CProp_of_CProp1: CProp1 → CProp ≝ λx.x.
-definition CProp_of_CProp2: CProp2 → CProp ≝ λx.x.
-definition CProp_of_CProp3: CProp3 → CProp ≝ λx.x.
-coercion CProp_of_CProp0.
-coercion CProp_of_CProp1.
-coercion CProp_of_CProp2.
-coercion CProp_of_CProp3.
-
-inductive Or (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
- | Left : A → Or A B
- | Right : B → Or A B.
-
-interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
-
-inductive Or3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
- | Left3 : A → Or3 A B C
- | Middle3 : B → Or3 A B C
- | Right3 : C → Or3 A B C.
-
-interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
-
-notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
-
-inductive Or4 (A,B,C,D:CProp0) : CProp0 ≝
- | Left3 : A → Or4 A B C D
- | Middle3 : B → Or4 A B C D
- | Right3 : C → Or4 A B C D
- | Extra3: D → Or4 A B C D.
-
-interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
-
-notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
-
-inductive And (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
- | Conj : A → B → And A B.
-interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
-
-inductive And3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
- | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
-
-notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
-interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
-
-inductive And42 (A,B,C,D:CProp2) : CProp2 ≝
- | Conj42 : A → B → C → D → And42 A B C D.
-
-notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
-interpretation "constructive quaternary and2" 'and4 x y z t = (And42 x y z t).
-
-record Iff (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
- { if: A → B;
-   fi: B → A
- }.
-record Iff1 (A,B:CProp1) : CProp1 ≝
- { if1: A → B;
-   fi1: B → A
- }.
-notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
-interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
-interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
-
-inductive exT22 (A:Type2) (P:A→CProp2) : CProp2 ≝
-  ex_introT22: ∀w:A. P w → exT22 A P.
-  
-interpretation "CProp2 exists" 'exists \eta.x = (exT22 ? x).
-
-definition pi1exT22 ≝ λA,P.λx:exT22 A P.match x with [ex_introT22 x _ ⇒ x].
-definition pi2exT22 ≝ 
-  λA,P.λx:exT22 A P.match x return λx.P (pi1exT22 ?? x) with [ex_introT22 _ p ⇒ p].
-  
-interpretation "exT22 \fst" 'pi1 = (pi1exT22 ? ?).
-interpretation "exT22 \snd" 'pi2 = (pi2exT22 ? ?).
-interpretation "exT22 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT22 ? ? x).
-interpretation "exT22 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT22 ? ? x).
-interpretation "exT22 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT22 ? ? x y).
-interpretation "exT22 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT22 ? ? x y).
-
-inductive exT (A:Type0) (P:A→CProp0) : CProp0 ≝
-  ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
-
-interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT ? x).
-
-notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg" 
-with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
-interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b = 
-  (ex_introT ? ? a b).
-
-
-definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
-definition pi2exT ≝ 
-  λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
-
-interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT ? ?).
-interpretation "exT \fst a" 'pi1a x = (pi1exT ? ? x).
-interpretation "exT \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT ? ? x y).
-interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT ? ?).
-interpretation "exT \snd a" 'pi2a x = (pi2exT ? ? x).
-interpretation "exT \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT ? ? x y).
-
-inductive exT23 (A:Type0) (P:A→CProp0) (Q:A→CProp0) (R:A→A→CProp0) : CProp0 ≝
-  ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
-
-definition pi1exT23 ≝
-  λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
-definition pi2exT23 ≝
-  λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
-
-interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 ? ? ? ?).
-interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 ? ? ? ?).   
-interpretation "exT2 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT23 ? ? ? ? x).
-interpretation "exT2 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT23 ? ? ? ? x).
-interpretation "exT2 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT23 ? ? ? ? x y).
-interpretation "exT2 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT23 ? ? ? ? x y).
-
-inductive exT2 (A:Type0) (P,Q:A→CProp0) : CProp0 ≝
-  ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
-
-
-definition Not : CProp0 → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
-
-interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
-  
-definition cotransitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
- λC:Type0.λlt:C→C→CProp0.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y. 
-
-definition coreflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
- λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x:C. ¬ (lt x x).
-
-definition symmetric: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
- λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
-
-definition antisymmetric: ∀A:Type0. ∀R:A→A→CProp0. ∀eq:A→A→Prop.CProp0 ≝
- λA:Type0.λR:A→A→CProp0.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
-
-definition reflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x:A.R x x.
-
-definition transitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
-
-definition reflexive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x:A.R x x.
-definition symmetric1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λC:Type1.λlt:C→C→CProp1. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
-definition transitive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
-
-definition reflexive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x:A.R x x.
-definition symmetric2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λC:Type2.λlt:C→C→CProp2. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
-definition transitive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
-
-definition reflexive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x:A.R x x.
-definition symmetric3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λC:Type3.λlt:C→C→CProp3. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
-definition transitive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/formal_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/formal_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 24dfb77..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,97 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_topologies.ma".
-
-(*
-definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
-    intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
-    split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
-  | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
-    try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
-qed.
-
-interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 ?? (downarrow ?) a).
-
-definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects ?) U V).
-
-record formal_topology: Type ≝
- { bt:> BTop;
-   converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
- }.
-
-
-definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects' ?) U V).
-
-record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
- { cr:> continuous_relation_setoid S T;
-   C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
-   C2: extS ?? cr T = S
- }.
-
-definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (formal_map S T);
-  | constructor 1;
-     [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
-     | simplify; intros 1; apply refl1
-     | simplify; intros 2; apply sym1
-     | simplify; intros 3; apply trans1]]
-qed.
-
-axiom C1':
- ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
-  extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
-
-definition formal_map_composition:
- ∀o1,o2,o3: formal_topology.
-  binary_morphism1
-   (formal_map_setoid o1 o2)
-   (formal_map_setoid o2 o3)
-   (formal_map_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-  [ intros; whd in c c1; constructor 1;
-     [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
-     | intros;
-       apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= †(C1 ?????));
-       apply (.= (C1' ?????));
-       apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
-       apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
-       apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
-       apply refl1;
-     | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= (†(C2 ???)));
-       apply (.= (C2 ???));
-       apply refl1;]
-  | intros; simplify;
-    change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
-    apply prop1; assumption]
-qed.
-
-*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/notation.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/notation.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 87ec0e2..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,20 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
-notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
-
-definition hide ≝ λA:Type.λx:A.x.
-
-interpretation "hide" 'hide x = (hide ? x). 
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-algebra.ma
deleted file mode 100644 (file)
index a86d286..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,451 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "categories.ma".
-
-inductive bool : Type0 := true : bool | false : bool.
-
-lemma BOOL : objs1 SET.
-constructor 1; [apply bool] constructor 1;
-[ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
-| whd; simplify; intros; cases x; apply I;
-| whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
-| whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros; 
-  try assumption; apply I]
-qed.
-
-lemma IF_THEN_ELSE_p :
-  ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y → 
-    (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
-    (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
-whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
-intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
-qed.
-
-interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P = 
-  (mk_unary_morphism T ? P ?).
-interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P = 
-  (mk_unary_morphism1 T ? P ?).
-
-notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
-for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
-notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
-for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
-
-interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p = 
-  (mk_unary_morphism s ? f p).
-interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p = 
-  (mk_unary_morphism1 s ? f p).
-
-(* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
-   lattices, Definizione 0.9 *)
-(* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
-
-definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-notation > "'If' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'If' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
-
-notation > "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{oa_leq $a $b}.
-notation > "a >< b" non associative with precedence 45 for @{oa_overlap $a $b}.
-notation > "⋁ p" non associative with precedence 45 for @{oa_join ? $p}.
-notation > "⋀ p" non associative with precedence 45 for @{oa_meet ? $p}.
-notation > "𝟙" non associative with precedence 90 for @{oa_one}. 
-notation > "𝟘" non associative with precedence 90 for @{oa_zero}. 
-record OAlgebra : Type2 := {
-  oa_P :> SET1;
-  oa_leq : oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
-  oa_overlap: oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
-  oa_meet: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
-  oa_join: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
-  oa_one: oa_P;
-  oa_zero: oa_P;
-  oa_leq_refl: ∀a:oa_P. a ≤ a; 
-  oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.a ≤ b → b ≤ a → a = b;
-  oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c;
-  oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.a >< b → b >< a;
-  oa_meet_inf: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.p ≤ (⋀ p_i) = (∀i:I.p ≤ (p_i i));
-  oa_join_sup: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.(⋁ p_i) ≤ p = (∀i:I.p_i i ≤ p);
-  oa_zero_bot: ∀p:oa_P.𝟘 ≤ p;
-  oa_one_top: ∀p:oa_P.p ≤ 𝟙;
-  oa_overlap_preserves_meet_: ∀p,q:oa_P.p >< q → 
-        p >< (⋀ { x ∈ BOOL | If x then p else q(*match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ]*) | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
-  oa_join_split: ∀I:SET.∀p.∀q:I ⇒_2 oa_P.p >< (⋁ q) = (∃i:I.p >< (q i));
-  (*oa_base : setoid;
-  1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
-  2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
-  oa_enum : ums oa_base oa_P;
-  oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
-  *)
-  oa_density: ∀p,q.(∀r.p >< r → q >< r) → p ≤ q
-}.
-
-notation "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{ 'leq $a $b }.
-
-interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ??? (oa_leq ?) a b).
-
-notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
-for @{ 'overlap $a $b}.
-interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ??? (oa_overlap ?) a b).
-
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
-
-notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
-for @{ 'oa_meet $f }.
-interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f = 
-  (fun12 ?? (oa_meet ??) f).
-interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f = 
-  (fun12 ?? (oa_meet ??) (mk_unary_morphism1 ?? f ?)).
-
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join $p }.
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
-
-notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 60
-for @{ 'oa_join $f }.
-interpretation "o-algebra join" 'oa_join f = 
-  (fun12 ?? (oa_join ??) f).
-interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f = 
-  (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
-
-definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
-intros; split;
-[ intros (p q); 
-  apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
-| intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
-   [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
-   |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
-   | apply Hletin;]
-  intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
-qed.
-
-interpretation "o-algebra binary meet" 'and a b = 
-  (fun21 ??? (binary_meet ?) a b).
-
-prefer coercion Type1_OF_OAlgebra.
-
-definition binary_join : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
-intros; split;
-[ intros (p q); 
-  apply (∨ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
-| intros; lapply (prop12 ? O (oa_join O BOOL));
-   [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
-   |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
-   | apply Hletin;]
-  intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
-qed.
-
-interpretation "o-algebra binary join" 'or a b = 
-  (fun21 ??? (binary_join ?) a b).
-
-lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
-intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f) as H; clear f;
-(** screenshot "screenoa". *)
-assumption;
-qed.
-
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
-non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
-non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
-notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
-for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
-
-notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
-for @{ 'oa_join $f }.
-notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
-for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
-
-interpretation "o-algebra join" 'oa_join f = 
-  (fun12 ?? (oa_join ??) f).
-interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f = 
-  (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
-
-record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type2 ≝ {
-  or_f_ : P ⇒_2 Q;
-  or_f_minus_star_ : P ⇒_2 Q;
-  or_f_star_ : Q ⇒_2 P;
-  or_f_minus_ : Q ⇒_2 P;
-  or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
-  or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
-  or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
-}.
-
-definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
-intros (P Q);
-constructor 1;
-[ apply (ORelation P Q);
-| constructor 1;
-   (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
-      le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
-   [ apply (λp,q. And42 
-             (or_f_minus_star_ ?? p = or_f_minus_star_ ?? q) 
-             (or_f_minus_ ?? p = or_f_minus_ ?? q) 
-             (or_f_ ?? p = or_f_ ?? q) 
-             (or_f_star_ ?? p = or_f_star_ ?? q)); 
-   | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
-   | whd; simplify; intros; cases a; clear a; split; 
-     intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
-   | whd; simplify; intros; cases a; cases a1; clear a a1; split; intro a;
-     [ apply (.= (e a)); apply e4;
-     | apply (.= (e1 a)); apply e5;
-     | apply (.= (e2 a)); apply e6;
-     | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
-qed.
-
-definition ORelation_of_ORelation_setoid : 
-  ∀P,Q.ORelation_setoid P Q → ORelation P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion ORelation_of_ORelation_setoid.
-
-definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
- intros; constructor 1;
-  [ apply or_f_minus_star_;
-  | intros; cases e; assumption]
-qed.
-
-definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
- intros; constructor 1;
-  [ apply or_f_;
-  | intros; cases e; assumption]
-qed.
-
-definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
- intros; constructor 1;
-  [ apply or_f_minus_;
-  | intros; cases e; assumption]
-qed.
-
-definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
- intros; constructor 1;
-  [ apply or_f_star_;
-  | intros; cases e; assumption]
-qed.
-
-lemma arrows1_of_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒_2 Q). 
-intros; apply (or_f ?? c);
-qed.
-coercion arrows1_of_ORelation_setoid.
-
-notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
-notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
-
-notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
-notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
-
-notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
-notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
-
-interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 ?? (or_f_minus_star ? ?) r).
-interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 ?? (or_f_minus ? ?) r).
-interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 ?? (or_f_star ? ?) r).
-
-definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
-   (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
-intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
-qed.
-
-definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
-   (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
-intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
-qed.
-
-definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
-   (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
-intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
-qed.
-
-definition ORelation_composition : ∀P,Q,R. 
-  (ORelation_setoid P Q) × (ORelation_setoid Q R) ⇒_2 (ORelation_setoid P R).
-intros;
-constructor 1;
-[ intros (F G);
-  constructor 1;
-  [ apply (G ∘ F);
-  | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
-  | apply (F* ∘ G* );
-  | apply (F⎻ ∘ G⎻);
-  | intros; 
-    change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
-    apply (.= (or_prop1 :?));
-    apply (or_prop1 :?);
-  | intros;
-    change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
-    apply (.= (or_prop2 :?));
-    apply or_prop2 ; 
-  | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
-    apply (.= (or_prop3 :?));
-    apply or_prop3;
-  ]
-| intros; split; simplify; 
-   [3: unfold arrows1_of_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
-   |1: apply ((†e)‡(†e1));
-   |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
-qed.
-
-definition OA : category2.
-split;
-[ apply (OAlgebra);
-| intros; apply (ORelation_setoid o o1);
-| intro O; split;
-  [1,2,3,4: apply id2;
-  |5,6,7:intros; apply refl1;] 
-| apply ORelation_composition;
-| intros (P Q R S F G H); split;
-   [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
-     apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
-   | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
-   | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
-   | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
-| intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
-| intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
-qed.
-
-definition OAlgebra_of_objs2_OA: objs2 OA → OAlgebra ≝ λx.x.
-coercion OAlgebra_of_objs2_OA.
-
-definition ORelation_setoid_of_arrows2_OA: 
-  ∀P,Q. arrows2 OA P Q → ORelation_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
-coercion ORelation_setoid_of_arrows2_OA.
-
-prefer coercion Type_OF_objs2.
-
-notation > "B ⇒_\o2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
-notation "B ⇒\sub (\o 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
-interpretation "'arrows2_OA" 'arrows2_OA A B = (arrows2 OA A B).
-
-(* qui la notazione non va *)
-lemma leq_to_eq_join: ∀S:OA.∀p,q:S. p ≤ q → q = (binary_join ? p q).
- intros;
- apply oa_leq_antisym;
-  [ apply oa_density; intros;
-    apply oa_overlap_sym;
-    unfold binary_join; simplify;
-    apply (. (oa_join_split : ?));
-    exists; [ apply false ]
-    apply oa_overlap_sym;
-    assumption
-  | unfold binary_join; simplify;
-    apply (. (oa_join_sup : ?)); intro;
-    cases i; whd in ⊢ (? ? ? ? ? % ?);
-     [ assumption | apply oa_leq_refl ]]
-qed.
-
-lemma overlap_monotone_left: ∀S:OA.∀p,q,r:S. p ≤ q → p >< r → q >< r.
- intros;
- apply (. (leq_to_eq_join : ?)‡#);
-  [ apply f;
-  | skip
-  | apply oa_overlap_sym;
-    unfold binary_join; simplify;
-    apply (. (oa_join_split : ?));
-    exists [ apply true ]
-    apply oa_overlap_sym;
-    assumption; ]
-qed.
-
-(* Part of proposition 9.9 *)
-lemma f_minus_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻ p ≤ R⎻ q.
- intros;
- apply (. (or_prop2 : ?));
- apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
-qed.
-(* Part of proposition 9.9 *)
-lemma f_minus_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻* p ≤ R⎻* q.
- intros;
- apply (. (or_prop2 : ?)^ -1);
- apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)); apply oa_leq_refl;]
-qed.
-
-(* Part of proposition 9.9 *)
-lemma f_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R p ≤ R q.
- intros;
- apply (. (or_prop1 : ?));
- apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
-qed.
-
-(* Part of proposition 9.9 *)
-lemma f_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R* p ≤ R* q.
- intros;
- apply (. (or_prop1 : ?)^ -1);
- apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)); apply oa_leq_refl;]
-qed.
-
-lemma lemma_10_2_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R⎻* (R⎻ p).
- intros;
- apply (. (or_prop2 : ?)^-1);
- apply oa_leq_refl.
-qed.
-
-lemma lemma_10_2_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* p) ≤ p.
- intros;
- apply (. (or_prop2 : ?));
- apply oa_leq_refl.
-qed.
-
-lemma lemma_10_2_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R* (R p).
- intros;
- apply (. (or_prop1 : ?)^-1);
- apply oa_leq_refl.
-qed.
-
-lemma lemma_10_2_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* p) ≤ p.
- intros;
- apply (. (or_prop1 : ?));
- apply oa_leq_refl.
-qed.
-
-lemma lemma_10_3_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* (R⎻ p)) = R⎻ p.
- intros; apply oa_leq_antisym;
-  [ apply lemma_10_2_b;
-  | apply f_minus_image_monotone;
-    apply lemma_10_2_a; ]
-qed.
-
-lemma lemma_10_3_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R* (R (R* p)) = R* p.
- intros; apply oa_leq_antisym;
-  [ apply f_star_image_monotone;
-    apply (lemma_10_2_d ?? R p);
-  | apply lemma_10_2_c; ]
-qed.
-
-lemma lemma_10_3_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R p)) = R p.
- intros; apply oa_leq_antisym;
-  [ apply lemma_10_2_d;
-  | apply f_image_monotone;
-    apply (lemma_10_2_c ?? R p); ]
-qed.
-
-lemma lemma_10_3_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* p)) = R⎻* p.
- intros; apply oa_leq_antisym;
-  [ apply f_minus_star_image_monotone;
-    apply (lemma_10_2_b ?? R p);
-  | apply lemma_10_2_a; ]
-qed.
-
-lemma lemma_10_4_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* (R⎻ p))) = R⎻* (R⎻ p).
- intros; apply (†(lemma_10_3_a ?? R p));
-qed.
-
-lemma lemma_10_4_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R (R* p))) = R (R* p).
-intros; unfold in ⊢ (? ? ? % %); apply (†(lemma_10_3_b ?? R p));
-qed.
-
-lemma oa_overlap_sym': ∀o:OA.∀U,V:o. (U >< V) = (V >< U).
- intros; split; intro; apply oa_overlap_sym; assumption.
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs.ma
deleted file mode 100644 (file)
index f0e0b71..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,247 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "o-algebra.ma".
-include "notation.ma".
-
-record Obasic_pair: Type2 ≝ { 
-   Oconcr: OA; Oform: OA; Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
-}.
-
-(* FIX *)
-interpretation "o-basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
-interpretation "o-basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
-
-record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type2 ≝ { 
-   Oconcr_rel: (Oconcr BP1) ⇒_\o2 (Oconcr BP2); Oform_rel: (Oform BP1) ⇒_\o2 (Oform BP2);
-   Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel =_2 Oform_rel ∘ ⊩
-}.
-(* FIX *)
-interpretation "o-concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel ?? r). 
-interpretation "o-formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel ?? r). 
-
-definition Orelation_pair_equality:
- ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
-  | simplify;
-    intros;
-    apply refl2;
-  | simplify;
-    intros 2;
-    apply sym2;
-  | simplify;
-    intros 3;
-    apply trans2;
-  ]      
-qed.
-
-(* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
-definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (Orelation_pair o o1)
-  | apply Orelation_pair_equality
-  ]
-qed.
-
-definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid: 
-  ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
-
-lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r =_2 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_2 r'\sub\f ∘ ⊩.
- intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
- apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
- apply (.= H);
- apply (.= (Ocommute ?? r'));
- apply refl2;
-qed.
-
-
-definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
- intro;
- constructor 1;
-  [1,2: apply id2;
-  | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
-    lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
-    apply (.= H);
-    apply (H1^-1);]
-qed.
-
-lemma Orelation_pair_composition:
- ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
- Orelation_pair_setoid o1 o2 → Orelation_pair_setoid o2 o3→Orelation_pair_setoid o1 o3.
-intros 3 (o1 o2 o3);
-   intros (r r1);
-    constructor 1;
-     [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c) 
-     | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
-     | lapply (Ocommute ?? r) as H;
-       lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
-       apply rule (.= ASSOC);
-       apply (.= #‡H1);
-       apply rule (.= ASSOC ^ -1);
-       apply (.= H‡#);
-       apply rule ASSOC]
-qed.
-
-
-lemma Orelation_pair_composition_is_morphism:
-  ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
-  Πa,a':Orelation_pair_setoid o1 o2.Πb,b':Orelation_pair_setoid o2 o3.
-   a=a' →b=b' →
-      Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a b
-      = Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
-intros;
-    change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));  
-    change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
-    change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
-    apply rule (.= ASSOC);
-    apply (.= #‡e1);
-    apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
-    apply rule (.= ASSOC^-1);
-    apply (.= e‡#);
-    apply rule (.= ASSOC);
-    apply (.= #‡(Ocommute ?? b')^-1);
-    apply rule (ASSOC^-1);
-qed.
-
-definition Orelation_pair_composition_morphism:
- ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
-intros; constructor 1;
-[ apply Orelation_pair_composition;
-| apply Orelation_pair_composition_is_morphism;]
-qed.
-
-lemma Orelation_pair_composition_morphism_assoc:
-∀o1,o2,o3,o4:Obasic_pair
-   .Πa12:Orelation_pair_setoid o1 o2
-    .Πa23:Orelation_pair_setoid o2 o3
-     .Πa34:Orelation_pair_setoid o3 o4
-      .Orelation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
-       (Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
-       =Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
-        (Orelation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).  
-   intros;
-    change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
-                 ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
-    apply rule (ASSOC‡#);
-qed.
-
-lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id:
-Πo1:Obasic_pair
-.Πo2:Obasic_pair
- .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
-  .Orelation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (Oid_relation_pair o1) a=a.
-   intros;
-    change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
-qed.
-
-lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
-Πo1:Obasic_pair
-.Πo2:Obasic_pair
- .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
-  .Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (Oid_relation_pair o2)=a.
-intros;
-    change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);
-qed.
-
-definition OBP: category2.
- constructor 1;
-  [ apply Obasic_pair
-  | apply Orelation_pair_setoid
-  | apply Oid_relation_pair
-  | apply Orelation_pair_composition_morphism
-  | apply Orelation_pair_composition_morphism_assoc;
-  | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id;
-  | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
-qed.
-
-definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
-coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
-
-definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP: 
-  ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
-coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
-
-(*
-definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (ext ? ? (rel o));
-  | intros;
-    apply (.= #‡H);
-    apply refl1]
-qed.
-
-definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
- λo.extS ?? (rel o).
-*)
-
-(*
-definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
-     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersects ?) U V).
-
-definition fintersectsS:
- ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
-     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersectsS ?) U V).
-*)
-
-(*
-definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
-  | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
-     | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr ?) ?? (relS ?) x y).
-interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ??? (relS ?)).
-*)
-
-notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
-notation > "□⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
-interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 ? ? (or_f_minus_star ? ?) (Orel x)).
-notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
-notation > "◊⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
-interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 ? ? (or_f ? ?) (Orel x)).
-
-notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
-notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
-interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 ? ? (or_f_star ? ?) (Orel x)).
-
-notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
-notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
-interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 ? ? (or_f_minus ? ?) (Orel x)).
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 80fec03..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,119 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "notation.ma".
-include "o-basic_pairs.ma".
-include "o-basic_topologies.ma".
-
-alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
-
-(* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
-definition o_basic_topology_of_o_basic_pair: OBP → OBTop.
- intro t;
- constructor 1;
-  [ apply (Oform t);
-  | apply (□⎽t ∘ Ext⎽t);
-  | apply (◊⎽t ∘ Rest⎽t);
-  | apply hide; intros 2; split; intro;
-     [ change with ((⊩) \sup ⎻* ((⊩) \sup ⎻ U) ≤ (⊩) \sup ⎻* ((⊩) \sup ⎻ V));
-       apply (. (#‡(lemma_10_4_a ?? (⊩) V)^-1));
-       apply f_minus_star_image_monotone;
-       apply f_minus_image_monotone;
-       assumption
-     | apply oa_leq_trans;
-        [3: apply f;
-        | skip
-        | change with (U ≤ (⊩)⎻* ((⊩)⎻ U));
-          apply (. (or_prop2 : ?) ^ -1);
-          apply oa_leq_refl; ]]
-  | apply hide; intros 2; split; intro;
-     [ change with (◊⎽t ((⊩) \sup * U) ≤ ◊⎽t ((⊩) \sup * V));
-       apply (. ((lemma_10_4_b ?? (⊩) U)^-1)‡#);
-       apply (f_image_monotone ?? (⊩) ? ((⊩)* V));
-       apply f_star_image_monotone;
-       assumption;
-     | apply oa_leq_trans;
-        [2: apply f;
-        | skip
-        | change with ((⊩) ((⊩)* V) ≤ V);
-          apply (. (or_prop1 : ?));
-          apply oa_leq_refl; ]]
-  | apply hide; intros;
-    apply (.= (oa_overlap_sym' : ?));
-    change with ((◊⎽t ((⊩)* V) >< (⊩)⎻* ((⊩)⎻ U)) = (U >< (◊⎽t ((⊩)* V))));
-    apply (.= (or_prop3 ?? (⊩) ((⊩)* V) ?));
-    apply (.= #‡(lemma_10_3_a : ?));
-    apply (.= (or_prop3 : ?)^-1);
-    apply (oa_overlap_sym' ? ((⊩) ((⊩)* V)) U); ]
-qed.
-
-definition o_continuous_relation_of_o_relation_pair:
- ∀BP1,BP2.arrows2 OBP BP1 BP2 →
-  arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_o_basic_pair BP1) (o_basic_topology_of_o_basic_pair BP2).
- intros (BP1 BP2 t);
- constructor 1;
-  [ apply (t \sub \f);
-  | apply hide; unfold o_basic_topology_of_o_basic_pair; simplify; intros (U e);
-    apply sym1;
-    apply (.= †(†e)); 
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with ((t \sub \f ∘ (⊩)) ((⊩\sub BP1)* U));
-    cut ((t \sub \f ∘ (⊩)) ((⊩\sub BP1)* U) = ((⊩) ∘ t \sub \c) ((⊩\sub BP1)* U)) as COM;[2:
-      cases (Ocommute ?? t); apply (e3 ^ -1 ((⊩\sub BP1)* U));]
-    apply (.= †COM);
-    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (((⊩) ∘ (⊩)* ) (((⊩) ∘ t \sub \c ∘ (⊩)* ) U));
-    apply (.= (lemma_10_3_c ?? (⊩) (t \sub \c ((⊩\sub BP1)* U))));
-    apply (.= COM ^ -1);
-    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t \sub \f (((⊩) ∘ (⊩\sub BP1)* ) U));
-    change in e with (U=((⊩)∘(⊩ \sub BP1) \sup * ) U);
-    apply (†e^-1);
-  | apply hide; unfold o_basic_topology_of_o_basic_pair; simplify; intros;
-    apply sym1;
-    apply (.= †(†e));
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with ((t \sub \f⎻* ∘ (⊩)⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U));
-    cut ((t \sub \f⎻* ∘ (⊩)⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U) = ((⊩)⎻* ∘ t \sub \c⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U)) as COM;[2:
-      cases (Ocommute ?? t); apply (e1 ^ -1 ((⊩\sub BP1)⎻ U));]
-    apply (.= †COM);
-    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (((⊩)⎻* ∘ (⊩)⎻ ) (((⊩)⎻* ∘ t \sub \c⎻* ∘ (⊩)⎻ ) U));
-    apply (.= (lemma_10_3_d ?? (⊩) (t \sub \c⎻* ((⊩\sub BP1)⎻ U))));
-    apply (.= COM ^ -1);
-    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t \sub \f⎻* (((⊩)⎻* ∘ (⊩\sub BP1)⎻ ) U));
-    change in e with (U=((⊩)⎻* ∘(⊩ \sub BP1)⎻ ) U);
-    apply (†e^-1);]
-qed.
-
-
-definition OR : carr3 (arrows3 CAT2 OBP OBTop).
-constructor 1;
-[ apply o_basic_topology_of_o_basic_pair;
-| intros; constructor 1;
-  [ apply o_continuous_relation_of_o_relation_pair;
-  | apply hide; 
-    intros; whd; unfold o_continuous_relation_of_o_relation_pair; simplify;;
-    change with ((a \sub \f ⎻* ∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)) =
-                 (a' \sub \f ⎻*∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)));
-    whd in e; cases e; clear e e2 e3 e4;
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? % ?) ?) with ((⊩\sub S)⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻);
-    apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a\sub\f⎻* ));
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a\sub\f ∘ ⊩\sub S)⎻*;
-    apply (.= #‡†(Ocommute:?)^-1);
-    apply (.= #‡e1);
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (⊩\sub T ∘ a'\sub\c)⎻*;
-    apply (.= #‡†(Ocommute:?));    
-    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a'\sub\f⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻* );    
-    apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a'\sub\f⎻* )^-1);
-    apply refl2;]
-| intros 2 (o a); apply refl1;
-| intros 6; apply refl1;]
-qed.
-
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 2fb7a6b..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,185 +0,0 @@
- (**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "o-algebra.ma".
-include "o-saturations.ma".
-
-record Obasic_topology: Type2 ≝ { 
-   Ocarrbt:> OA;
-   oA: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt; oJ: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt;
-   oA_is_saturation: is_o_saturation ? oA; oJ_is_reduction: is_o_reduction ? oJ;
-   Ocompatibility: ∀U,V. (oA U >< oJ V) =_1 (U >< oJ V)
- }.
-
-record Ocontinuous_relation (S,T: Obasic_topology) : Type2 ≝ { 
-   Ocont_rel:> arrows2 OA S T;
-   Oreduced: ∀U:S. U = oJ ? U → Ocont_rel U =_1 oJ ? (Ocont_rel U);
-   Osaturated: ∀U:S. U = oA ? U → Ocont_rel⎻* U =_1 oA ? (Ocont_rel⎻* U)
- }. 
-
-definition Ocontinuous_relation_setoid: Obasic_topology → Obasic_topology → setoid2.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (Ocontinuous_relation S T)
-  | constructor 1;
-     [ alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
-       alias symbol "compose" = "category2 composition".
-       apply (λr,s:Ocontinuous_relation S T. (r⎻* ) ∘ (oA S) = (s⎻* ∘ (oA ?)));
-     | simplify; intros; apply refl2;
-     | simplify; intros; apply sym2; apply e
-     | simplify; intros; apply trans2; [2: apply e |3: apply e1; |1: skip]]]
-qed.
-
-definition Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid: 
-  ∀P,Q. Ocontinuous_relation_setoid P Q → Ocontinuous_relation P Q ≝ λP,Q,c.c.
-coercion Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid.
-
-(*
-theorem continuous_relation_eq':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
- intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-  [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]
-  | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]]
-qed.
-
-theorem continuous_relation_eq_inv':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
- intros 6;
- cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → 
-   ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
-  [2: clear b H a' a; intros;
-      lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
-       (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-            apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
-       clear Hletin;
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
-       (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
-      intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
-      unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
-      whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
-      apply (if ?? (A_is_saturation ???));
-      intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
-       [ apply refl | cases H; assumption; ]
-      change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
-      apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
-      assumption;]
- split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
-qed.
-*)
-
-definition Ocontinuous_relation_comp:
- ∀o1,o2,o3.
-  Ocontinuous_relation_setoid o1 o2 →
-   Ocontinuous_relation_setoid o2 o3 →
-    Ocontinuous_relation_setoid o1 o3.
- intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
-  [ apply (s ∘ r);
-  | intros;
-    apply sym1; 
-    change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
-    apply (.= (Oreduced : ?)^-1);
-     [ apply (.= (Oreduced :?)); [ assumption | apply refl1 ]
-     | apply refl1]
-  | intros;
-    apply sym1;
-    change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
-    apply (.= (Osaturated : ?)^-1);
-     [ apply (.= (Osaturated : ?)); [ assumption | apply refl1 ]
-     | apply refl1]]
-qed.
-
-definition OBTop: category2.
- constructor 1;
-  [ apply Obasic_topology
-  | apply Ocontinuous_relation_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id2
-     | intros; apply e;
-     | intros; apply e;]
-  | intros; constructor 1;
-     [ apply Ocontinuous_relation_comp;
-     | intros; simplify;
-       change with ((b⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = ((b'⎻* ∘ a'⎻* ) ∘ oA o1)); 
-       change with (b⎻* ∘ (a⎻* ∘ oA o1) = b'⎻* ∘ (a'⎻* ∘ oA o1));
-       change in e with (a⎻* ∘ oA o1 = a'⎻* ∘ oA o1);
-       change in e1 with (b⎻* ∘ oA o2 = b'⎻* ∘ oA o2);
-       apply (.= e‡#);
-       intro x;          
-       change with (b⎻* (a'⎻* (oA o1 x)) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x))); 
-       apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x) ?)); [
-         apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
-       apply (.= (e1 (a'⎻* (oA o1 x))));
-       change with (b'⎻* (oA o2 (a'⎻* (oA o1 x))) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x)));   
-       apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x):?)^-1); [
-         apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
-       apply rule #;]
-  | intros; simplify;
-    change with (((a34⎻* ∘ a23⎻* ) ∘ a12⎻* ) ∘ oA o1 = ((a34⎻* ∘ (a23⎻* ∘ a12⎻* )) ∘ oA o1));
-    apply rule (#‡ASSOC ^ -1);
-  | intros; simplify;
-    change with ((a⎻* ∘ (id2 ? o1)⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
-    apply (#‡(id_neutral_right2 : ?));
-  | intros; simplify;
-    change with (((id2 ? o2)⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
-    apply (#‡(id_neutral_left2 : ?));]
-qed.
-
-definition Obasic_topology_of_OBTop: objs2 OBTop → Obasic_topology ≝ λx.x.
-coercion Obasic_topology_of_OBTop.
-
-definition Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop : 
-  ∀P,Q. arrows2 OBTop P Q → Ocontinuous_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop.
-
-(*
-(*CSC: unused! *)
-(* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
-theorem continuous_relation_eqS:
- ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
- intros;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
-  [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
-      try assumption; split; assumption]
- cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
-  [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
-      apply (. #‡(H1 ?));
-      apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
-      assumption;] clear Hcut;
- split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
-  [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
-  cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
-  [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
-      exists [1,3: apply w] split; assumption;]
- cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
-  [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
- apply Hcut2; assumption.
-qed.
-*)
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma
deleted file mode 100644 (file)
index e333d24..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,134 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "o-basic_pairs.ma".
-include "o-saturations.ma".
-
-definition A : ∀b:OBP. unary_morphism1 (Oform b) (Oform b).
-intros; constructor 1;
- [ apply (λx.□⎽b (Ext⎽b x));
- | intros; apply  (†(†e));]
-qed.
-
-lemma down_p : ∀S:SET1.∀I:SET.∀u:S ⇒_1 S.∀c:arrows2 SET1 I S.∀a:I.∀a':I.a =_1 a'→u (c a) =_1 u (c a').
-intros; apply (†(†e));
-qed.
-
-record Oconcrete_space : Type2 ≝
- { Obp:> OBP;
-   (*distr : is_distributive (form bp);*)
-   Odownarrow: unary_morphism1 (Oform Obp) (Oform Obp);
-   Odownarrow_is_sat: is_o_saturation ? Odownarrow;
-   Oconverges: ∀q1,q2.
-     (Ext⎽Obp q1 ∧ (Ext⎽Obp q2)) = (Ext⎽Obp ((Odownarrow q1) ∧ (Odownarrow q2)));
-   Oall_covered: Ext⎽Obp (oa_one (Oform Obp)) = oa_one (Oconcr Obp);
-   Oil2: ∀I:SET.∀p:arrows2 SET1 I (Oform Obp).
-     Odownarrow (∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? }) =
-     ∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? };
-   Oil1: ∀q.Odownarrow (A ? q) = A ? q
- }.
-
-interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x = 
-  (fun11 ?? (Odownarrow ?) x).
-
-definition Obinary_downarrow : 
-  ∀C:Oconcrete_space.binary_morphism1 (Oform C) (Oform C) (Oform C).
-intros; constructor 1;
-[ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
-| intros;
-  alias symbol "prop2" = "prop21".
-  alias symbol "prop1" = "prop11".
-  apply ((†e)‡(†e1));]
-qed.
-
-interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun21 ? ? ? (Obinary_downarrow ?) a b).
-
-record Oconvergent_relation_pair (CS1,CS2: Oconcrete_space) : Type2 ≝
- { Orp:> arrows2 ? CS1 CS2;
-   Orespects_converges:
-    ∀b,c. eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (Orp\sub\f⎻ b ↓ Orp\sub\f⎻ c));
-   Orespects_all_covered:
-     eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (Oform CS2))))
-           (Ext⎽CS1 (oa_one (Oform CS1)))
- }.
-
-definition Oconvergent_relation_space_setoid: Oconcrete_space → Oconcrete_space → setoid2.
- intros (c c1);
- constructor 1;
-  [ apply (Oconvergent_relation_pair c c1)
-  | constructor 1;
-     [ intros (c2 c3);
-       apply (Orelation_pair_equality c c1 c2 c3);
-     | intros 1; apply refl2;
-     | intros 2; apply sym2; 
-     | intros 3; apply trans2]]
-qed.
-
-definition Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid: 
-  ∀CS1,CS2.carr2 (Oconvergent_relation_space_setoid CS1 CS2) → 
-    Oconvergent_relation_pair CS1 CS2  ≝ λP,Q,c.c.
-coercion Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid.
-
-definition Oconvergent_relation_space_composition:
- ∀o1,o2,o3: Oconcrete_space.
-  binary_morphism2
-   (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o2)
-   (Oconvergent_relation_space_setoid o2 o3)
-   (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-     [ intros; whd in t t1 ⊢ %;
-       constructor 1;
-        [ apply (c1 ∘ c);
-        | intros;
-          change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
-          alias symbol "trans" = "trans1".
-          apply (.= († (Orespects_converges : ?)));
-          apply (Orespects_converges ?? c (c1\sub\f⎻ b) (c1\sub\f⎻ c2));
-        | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (Oform o3)))));
-          apply (.= (†(Orespects_all_covered :?)));
-          apply rule (Orespects_all_covered ?? c);]
-     | intros;
-       change with (b ∘ a = b' ∘ a'); 
-       change in e with (Orp ?? a = Orp ?? a');
-       change in e1 with (Orp ?? b = Orp ?? b');
-       apply (e‡e1);]
-qed.
-
-definition OCSPA: category2.
- constructor 1;
-  [ apply Oconcrete_space
-  | apply Oconvergent_relation_space_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id2
-     | intros; apply refl1;
-     | apply refl1]
-  | apply Oconvergent_relation_space_composition
-  | intros; simplify; whd in a12 a23 a34;
-    change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
-    apply rule ASSOC;
-  | intros; simplify;
-    change with (a ∘ id2 OBP o1 = a);
-    apply (id_neutral_right2 : ?);
-  | intros; simplify;
-    change with (id2 ? o2 ∘ a = a);
-    apply (id_neutral_left2 : ?);]
-qed.
-
-definition Oconcrete_space_of_OCSPA : objs2 OCSPA → Oconcrete_space ≝ λx.x.
-coercion Oconcrete_space_of_OCSPA.
-
-definition Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA :
- ∀P,Q. arrows2 OCSPA P Q → Oconvergent_relation_space_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA.
-
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-formal_topologies.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-formal_topologies.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 0e0b02e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,99 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "o-basic_topologies.ma".
-
-(*
-(*
-definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
-    intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
-    split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
-  | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
-    try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
-qed.
-
-interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 ?? (downarrow ?) a).
-
-definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects ?) U V).
-*)
-
-record formal_topology: Type ≝
- { bt:> OBTop;
-   converges: ∀U,V: bt. oA bt (U ↓ V) = (oA ? U ∧ oA ? V)
- }.
-
-(*
-
-definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects' ?) U V).
-*)
-record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
- { cr:> continuous_relation_setoid S T;
-   C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
-   C2: extS ?? cr T = S
- }.
-
-definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (formal_map S T);
-  | constructor 1;
-     [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
-     | simplify; intros 1; apply refl1
-     | simplify; intros 2; apply sym1
-     | simplify; intros 3; apply trans1]]
-qed.
-
-axiom C1':
- ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
-  extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
-
-definition formal_map_composition:
- ∀o1,o2,o3: formal_topology.
-  binary_morphism1
-   (formal_map_setoid o1 o2)
-   (formal_map_setoid o2 o3)
-   (formal_map_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-  [ intros; whd in c c1; constructor 1;
-     [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
-     | intros;
-       apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= †(C1 ?????));
-       apply (.= (C1' ?????));
-       apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
-       apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
-       apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
-       apply refl1;
-     | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= (†(C2 ???)));
-       apply (.= (C2 ???));
-       apply refl1;]
-  | intros; simplify;
-    change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
-    apply prop1; assumption]
-qed.
-*)
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-saturations.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-saturations.ma
deleted file mode 100644 (file)
index bb19350..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,37 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "o-algebra.ma".
-
-definition is_o_saturation: ∀C:OA. C ⇒_1 C → CProp1 ≝
- λC:OA.λA:C ⇒_1 C.∀U,V. (U ≤ A V) =_1 (A U ≤ A V).
-
-definition is_o_reduction: ∀C:OA. C ⇒_1 C → CProp1 ≝
- λC:OA.λJ:C ⇒_1 C.∀U,V. (J U ≤ V) =_1 (J U ≤ J V).
-
-theorem o_saturation_expansive: ∀C,A. is_o_saturation C A → ∀U. U ≤ A U.
- intros; apply (fi ?? (i ??)); apply (oa_leq_refl C).
-qed.
-
-theorem o_saturation_monotone: ∀C:OA.∀A:C ⇒_1 C. is_o_saturation C A → ∀U,V. U ≤ V → A U ≤ A V.
- intros; apply (if ?? (i ??)); apply (oa_leq_trans C);
-  [apply V|3: apply o_saturation_expansive ]
- assumption.
-qed.
-
-theorem o_saturation_idempotent: ∀C:OA.∀A:C ⇒_1 C. is_o_saturation C A → ∀U. A (A U) =_1 A U.
- intros; apply (oa_leq_antisym C);
-  [ apply (if ?? (i (A U) U)); apply (oa_leq_refl C).
-  | apply o_saturation_expansive; assumption]
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma
deleted file mode 100644 (file)
index b3e69b0..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,253 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
-include "apply_functor.ma".
-
-definition rOBP ≝ Apply (category2_of_category1 BP) OBP BP_to_OBP.
-
-include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
-
-lemma category2_of_category1_respects_comp_r:
- ∀C:category1.∀o1,o2,o3:C.
-  ∀f:arrows1 ? o1 o2.∀g:arrows1 ? o2 o3.
-   (comp1 ???? f g) =_\ID (comp2 (category2_of_category1 C) o1 o2 o3 f g).
- intros; constructor 1; 
-qed.
-
-lemma category2_of_category1_respects_comp:
- ∀C:category1.∀o1,o2,o3:C.
-  ∀f:arrows1 ? o1 o2.∀g:arrows1 ? o2 o3.
-   (comp2 (category2_of_category1 C) o1 o2 o3 f g) =_\ID (comp1 ???? f g).
- intros; constructor 1; 
-qed.
-
-lemma POW_full': 
-  ∀S,T:REL.∀f:arrows2 SET1 (POW S) (POW T).
-   arrows1 REL S T.
- intros;
- constructor 1; constructor 1;
-  [ intros (x y); apply (y ∈ c {(x)});
-  | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
-    apply (e1‡††e); ]
-qed.
-
-(*
-lemma POW_full_image: 
-  ∀S,T:REL.∀f:arrows2 SET1 (POW S) (POW T).
-   exT22 ? (λg:arrows1 REL S T.or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) = f).
- intros; letin g ≝ (? : carr1 (arrows1 REL S T)); [
- constructor 1; constructor 1;
-  [ intros (x y); apply (y ∈ f {(x)});
-  | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
-    apply (e1‡††e); ]]
-exists [apply g]
-intro; split; intro; simplify; intro; 
-[ whd in f1; change in f1:(? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?)) with (a1 ∈ f {(x)});
-  cases f1; cases x; clear f1 x; change with (a1 ∈ f a);
-  lapply (f_image_monotone ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) (singleton ? w) a ? a1);
-  [2: whd in Hletin;
-      change in Hletin:(? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?))
-      with (a1 ∈ f {(x)}); cases Hletin; cases x;
-           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? w a2); change with (a2 ∈ a);
-             apply (. f3^-1‡#); assumption;
-           | assumption; ]
-           
-           
-           
-  lapply (. (or_prop3 ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) (singleton ? a1) a)^-1);
-   [ whd in Hletin:(? ? ? ? ? ? %);
-     change in Hletin:(? ? ? ? ? ? (? ? (? ? ? (λ_:?.? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?)) ?)))
-     with (y ∈ f {(x)});
-     cases Hletin; cases x1; cases x2; 
-  
-   [ cases Hletin; change in x with (eq1 ? a1 w1); apply (. x‡#); assumption;
-   | exists; [apply w] assumption ]
-
-
-  clear g;
- cases f1; cases x; simplify in f2; change with (a1 ∈ (f a));
-  lapply depth=0 (let x ≝ POW in or_prop3 (POW S) (POW T) (map_arrows2 ?? POW S T g));
-  lapply (Hletin {(w)} {(a1)}).
-  lapply (if ?? Hletin1); [2: clear Hletin Hletin1;
-    exists; [apply a1] [whd; exists[apply w] split; [assumption;|change with (w = w); apply rule #]]
-    change with (a1=a1); apply rule #;]
-  clear Hletin Hletin1; cases Hletin2; whd in x2; 
-qed.
-*)
-lemma curry: ∀A,B,C.(A × B ⇒_1 C) → A → (B ⇒_1 C).
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (b c);
-  | intros; apply (#‡e); ]
-qed.
-
-notation < "F x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows $F $x}.
-interpretation "map arrows 2" 'map_arrows F x = (fun12 ? ? (map_arrows2 ? ? F ? ?) x).
-
-definition preserve_sup : ∀S,T.∀ f:Ω^S ⇒_1 Ω^T. CProp1.
-intros (S T f); apply (∀X:Ω \sup S. (f X) =_1 ?);
-constructor 1; constructor 1;
-[ intro y; alias symbol "singl" = "singleton". alias symbol "and" = "and_morphism".
-  apply (∃x:S. x ∈ X ∧ y ∈ f {(x)});
-| intros (a b H); split; intro E; cases E; clear E; exists; [1,3:apply w]
-  [ apply (. #‡(H^-1‡#)); | apply (. #‡(H‡#));] assumption]
-qed.
-
-alias symbol "singl" = "singleton".
-lemma eq_cones_to_eq_rel: 
-  ∀S,T. ∀f,g: arrows1 REL S T.
-   (∀x. curry ??? (image ??) f {(x)} = curry ??? (image ??) g {(x)}) → f = g.
-intros; intros 2 (a b); split; intro;
-[ cases (f1 a); lapply depth=0 (s b); clear s s1;
-  lapply (Hletin); clear Hletin;
-   [ cases Hletin1; cases x; change in f4 with (a = w);
-     change with (a ♮g b); apply (. f4‡#); assumption;
-   | exists; [apply a] split; [ assumption | change with (a=a); apply rule #;]]
-| cases (f1 a); lapply depth=0 (s1 b); clear s s1;
-  lapply (Hletin); clear Hletin;
-   [ cases Hletin1; cases x; change in f4 with (a = w);
-     change with (a ♮f b); apply (. f4‡#); assumption;
-   | exists; [apply a] split; [ assumption | change with (a=a); apply rule #;]]]
-qed.
-
-variant eq_cones_to_eq_rel': 
-  ∀S,T. ∀f,g: arrows1 REL S T.
-   (∀x:S. or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T f) {(x)} = or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) {(x)}) →
-    f = g
-≝ eq_cones_to_eq_rel.
-
-lemma rOR_full : 
-  ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
-    exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
-       map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f). 
-intros 2 (s t); cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s;
-change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with s_2;
-cases s_eq; clear s_eq s_2;
-letin s1 ≝ (BP_to_OBP s_1); change in match (BP_to_OBP s_1) with s1;
-cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t;
-change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with t_2;
-cases t_eq; clear t_eq t_2;
-letin t1 ≝ (BP_to_OBP t_1); change in match (BP_to_OBP t_1) with t1;
-whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
-intro; whd in s_1 t_1; 
-letin R ≝ (? : (carr2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) s_1 t_1))); 
-[2:
-  exists;
-    [ constructor 1;
-       [2: simplify; apply R;
-       | simplify; apply (fun12 ?? (map_arrows2 ?? BP_to_OBP s_1 t_1)); apply R;
-       | simplify; apply rule #; ]]
-   simplify;
-|1: constructor 1;   
-    [2: apply (pi1exT22 ?? (POW_full (form s_1) (form t_1) f));
-    |1: letin u ≝ (or_f_star ?? (map_arrows2 ?? POW (concr t_1) (form t_1) (⊩ \sub t_1)));
-        letin r ≝ (u ∘ (or_f ?? f));
-        letin xxx ≝ (or_f ?? (map_arrows2 ?? POW (concr s_1) (form s_1) (⊩ \sub s_1)));
-        letin r' ≝ (r ∘ xxx); clearbody r';
-        apply (POW_full' (concr s_1) (concr t_1) r');    
-    | simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? % ?) ?);
-      apply eq_cones_to_eq_rel'; intro;
-      apply
-       (cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r''.con ?????
-         (category2_of_category1_respects_comp_r : ?));
-      apply rule (.= (#‡#));
-      apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr s_1) (concr t_1) (form t_1) ? (⊩\sub t_1))‡#); 
-      apply sym2;
-      apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr s_1) (form s_1) (form t_1) (⊩\sub s_1) (pi1exT22 ?? (POW_full (form s_1) (form t_1) (Ocont_rel ?? f)))));
-      apply (let H ≝(\snd (POW_full (form s_1) (form t_1) (Ocont_rel ?? f))) in .= #‡H);
-      apply sym2;      
- ]
-
-STOP;
-
-(* Todo: rename BTop → OBTop *)
-
-(* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
-
-1. definire il funtore OR
-2. dimostrare che ORel e' faithful
-
-3. Definire la funzione
-    Apply:
-    ∀C1,C2: CAT2.  F: arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2
-    ≝ 
-     constructor 1;
-      [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
-      | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
-      | ....
-      ]
-   
-   E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
-  
-   Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
-   scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
-   una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
-   al punto 5)
-
-4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
-  [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA ≝ Rel_to_OA REL ]
-
-5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
-   quando applicato a rOBP.
-   Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
-   Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
-   e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
-   una "proiezione" da rOBP a OBP.
-
-6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
-
-7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
-   basta prendere (OR ∘ BP_to_OBP).
-
-8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
-   esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
-   faithful e full (banale: tutta conversione).
-
-9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
-
-10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
-    (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
-
-    BP_to_OBP
-    OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
-    OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
-
-    Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
-    isomorphism-dense.
-
-====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
-
-== altre cose mancanti
-
-11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
-    sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
-    due funtori ottengo l'identita'
-
-12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
-    qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
-    e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
-    atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
-
-== categorish/future works
-
-13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
-    ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
-
-14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
-    con Giovanni
-
-*)
-
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations.ma
deleted file mode 100644 (file)
index b1589a8..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,299 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "subsets.ma".
-
-record binary_relation (A,B: SET) : Type1 ≝
- { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
-
-notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
-notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
-interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun21 ??? (satisfy ?? r) x y).
-
-definition binary_relation_setoid: SET → SET → setoid1.
- intros (A B);
- constructor 1;
-  [ apply (binary_relation A B)
-  | constructor 1;
-     [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
-     | simplify; intros 3; split; intro; assumption
-     | simplify; intros 5; split; intro;
-       [ apply (fi ?? (f ??)) | apply (if ?? (f ??))] assumption
-     | simplify;  intros 7; split; intro;
-        [ apply (if ?? (f1 ??)) | apply (fi ?? (f ??)) ]
-        [ apply (if ?? (f ??)) | apply (fi ?? (f1 ??)) ]
-       assumption]]
-qed.
-
-definition binary_relation_of_binary_relation_setoid : 
-  ∀A,B.binary_relation_setoid A B → binary_relation A B ≝ λA,B,c.c.
-coercion binary_relation_of_binary_relation_setoid.
-
-definition composition:
- ∀A,B,C.
-  (binary_relation_setoid A B) × (binary_relation_setoid B C) ⇒_1 (binary_relation_setoid A C).
- intros;
- constructor 1;
-  [ intros (R12 R23);
-    constructor 1;
-    constructor 1;
-     [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
-     | intros;
-       split; intro; cases e2 (w H3); clear e2; exists; [1,3: apply w ]
-        [ apply (. (e^-1‡#)‡(#‡e1^-1)); assumption
-        | apply (. (e‡#)‡(#‡e1)); assumption]]
-  | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
-    cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
-    [ lapply (if ?? (e x w) H2) | lapply (fi ?? (e x w) H2) ]
-    [ lapply (if ?? (e1 w y) H4)| lapply (fi ?? (e1 w y) H4) ]
-    exists; try assumption;
-    split; assumption]
-qed.
-
-definition REL: category1.
- constructor 1;
-  [ apply setoid
-  | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
-  | intros; constructor 1;
-    constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
-     [ (* changes required to avoid universe inconsistency *)
-       change with (carr o → carr o → CProp); intros; apply (eq ? c c1)
-     | intros; split; intro; change in a a' b b' with (carr o);
-       change in e with (eq ? a a'); change in e1 with (eq ? b b');
-        [ apply (.= (e ^ -1));
-          apply (.= e2);
-          apply e1
-        | apply (.= e);
-          apply (.= e2);
-          apply (e1 ^ -1)]]
-  | apply composition
-  | intros 9;
-    split; intro;
-    cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
-    [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
-    cases H; clear H;
-    exists; try assumption;
-    split; try assumption;
-    exists; try assumption;
-    split; assumption
-  |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
-        unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
-        [1,3: cases e (w H1); clear e; cases H1; clear H1; unfold;
-          [ apply (. (e : eq1 ? x w)‡#); assumption
-          | apply (. #‡(e : eq1 ? w y)^-1); assumption]
-        |2,4: exists; try assumption; split;
-          (* change required to avoid universe inconsistency *)
-          change in x with (carr o1); change in y with (carr o2);
-          first [apply refl | assumption]]]
-qed.
-
-definition setoid_of_REL : objs1 REL → setoid ≝ λx.x.
-coercion setoid_of_REL.
-
-definition binary_relation_setoid_of_arrow1_REL : 
-  ∀P,Q. arrows1 REL P Q → binary_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
-coercion binary_relation_setoid_of_arrow1_REL.
-
-
-notation > "B ⇒_\r1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
-notation "B ⇒\sub (\r 1) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
-interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_REL A B = (arrows1 REL A B).
-
-
-definition full_subset: ∀s:REL. Ω^s.
- apply (λs.{x | True});
- intros; simplify; split; intro; assumption.
-qed.
-
-coercion full_subset.
-
-definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒_1. CPROP) → Ω^b.
- apply (λb:REL. λP: b ⇒_1 CPROP. {x | P x});
- intros; simplify;
- apply (.= †e); apply refl1.
-qed.
-
-interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
- (comprehension s (mk_unary_morphism1 ?? p ?)).
-
-definition ext: ∀X,S:REL. (X ⇒_\r1 S) × S ⇒_1 (Ω^X).
- intros (X S); constructor 1; 
-  [ apply (λr:X ⇒_\r1 S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}); intros; simplify; apply (.= (e‡#)); apply refl1
-  | intros; simplify; split; intros; simplify;
-     [ change with (∀x. x ♮a b → x ♮a' b'); intros;
-       apply (. (#‡e1^-1)); whd in e; apply (if ?? (e ??)); assumption
-     | change with (∀x. x ♮a' b' → x ♮a b); intros;
-       apply (. (#‡e1)); whd in e; apply (fi ?? (e ??));assumption]]
-qed.
-
-(*
-definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
- (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
- intros (X S r); constructor 1;
-  [ intro F; constructor 1; constructor 1;
-    [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
-    | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
-       [ apply (. (H‡#)); assumption
-       |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
-       |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
-         [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
-         | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
-  | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
-     [1,3: assumption
-     |2,4: exists; [1,3: apply w]
-      [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
-      | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
-qed.
-
-lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
- intros;
- unfold extS; simplify;
- split; simplify;
-  [ intros 2; change with (a ∈ X);
-    cases f; clear f;
-    cases H; clear H;
-    cases x; clear x;
-    change in f2 with (eq1 ? a w);
-    apply (. (f2\sup -1‡#));
-    assumption
-  | intros 2; change in f with (a ∈ X);
-    split;
-     [ whd; exact I 
-     | exists; [ apply a ]
-       split;
-        [ assumption
-        | change with (a = a); apply refl]]]
-qed.
-
-lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
- intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
-  [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
-    cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
-    exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
-    exists; [apply w] split; assumption
-  | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
-    cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
-    cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
-    assumption]
-qed.
-*)
-
-(* the same as ⋄ for a basic pair *)
-definition image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^U ⇒_1 Ω^V.
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S });
-    intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (#‡e^-1)‡#); assumption
-     | apply (. (#‡e)‡#); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. #‡(#‡e1^-1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (e ??)); assumption
-     | apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
-qed.
-
-(* the same as □ for a basic pair *)
-definition minus_star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^U ⇒_1 Ω^V.
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:U. x ♮r y → x ∈ S});
-    intros; simplify; split; intros; apply f;
-     [ apply (. #‡e); assumption
-     | apply (. #‡e ^ -1); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1^ -1); | apply (. #‡e1 )]
-    apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
-qed.
-
-(* the same as Rest for a basic pair *)
-definition star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^V ⇒_1 Ω^U.
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup V. {x | ∀y:V. x ♮r y → y ∈ S});
-    intros; simplify; split; intros; apply f;
-     [ apply (. e ‡#); assumption
-     | apply (. e^ -1‡#); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1 ^ -1); | apply (. #‡e1)]
-    apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
-qed.
-
-(* the same as Ext for a basic pair *)
-definition minus_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^V ⇒_1 Ω^U.
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup V. {x | (*∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S*)
-      exT ? (λy:V.x ♮r y ∧ y ∈ S) });
-    intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (e ^ -1‡#)‡#); assumption
-     | apply (. (e‡#)‡#); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. #‡(#‡e1 ^ -1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (e ??)); assumption
-     | apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
-qed.
-
-(* minus_image is the same as ext *)
-
-theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
- intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
-  [ change with (a ∈ U);
-    cases e; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f^-1‡#); assumption
-  | change in f with (a ∈ U);
-    exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl1 | assumption]]
-qed.
-
-theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
- intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
-  [ change with (a ∈ U); apply f; change with (a=a); apply refl1
-  | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1‡#); apply f]
-qed.
-
-alias symbol "compose" (instance 2) = "category1 composition".
-theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
- intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases e; clear e; cases x;
- clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
- exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
- exists; try assumption; split; assumption.
-qed.
-
-theorem minus_star_image_comp:
- ∀A,B,C,r,s,X.
-  minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
- intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
-  [ apply f; exists; try assumption; split; assumption
-  | change with (x ∈ X); cases f1; cases x1; apply f; assumption]
-qed.
-
-(*
-(*CSC: unused! *)
-theorem ext_comp:
- ∀o1,o2,o3: REL.
-  ∀a: arrows1 ? o1 o2.
-   ∀b: arrows1 ? o2 o3.
-    ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
- intros;
- unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
- cases f; clear f; split; try assumption;
-  [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
-     [1: split] assumption;
-  | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
-     [2: cases f] assumption]
-qed.
-
-theorem extS_singleton:
- ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
- intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
- split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
-  [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
-    assumption
-  | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
-qed.
-*)
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations_to_o-algebra.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations_to_o-algebra.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 8bf57da..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,248 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "relations.ma".
-include "o-algebra.ma".
-
-definition POW': objs1 SET → OAlgebra.
- intro A; constructor 1;
-  [ apply (Ω^A);
-  | apply subseteq;
-  | apply overlaps;
-  | apply big_intersects;
-  | apply big_union;
-  | apply ({x | True});
-    simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
-  | apply ({x | False});
-    simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
-  | intros; whd; intros; assumption
-  | intros; whd; split; assumption
-  | intros; apply transitive_subseteq_operator; [2: apply f; | skip | assumption]
-  | intros; cases f; exists [apply w] assumption
-  | intros; split; [ intros 4; apply (f ? f1 i); | intros 3; intro; apply (f i ? f1); ]
-  | intros; split;
-     [ intros 4; apply f; exists; [apply i] assumption;
-     | intros 3; intros; cases f1; apply (f w a x); ]
-  | intros 3; cases f;
-  | intros 3; constructor 1;
-  | intros; cases f; exists; [apply w]
-     [ assumption
-     | whd; intros; cases i; simplify; assumption]
-  | intros; split; intro;
-     [ (** screenshot "screen-pow". *) cases f; cases x1; exists [apply w1] exists [apply w] assumption;
-     | cases e; cases x; exists; [apply w1] [ assumption | exists; [apply w] assumption]]
-  | intros; intros 2; cases (f {(a)} ?); 
-     [ exists; [apply a] [assumption | change with (a = a); apply refl1;]
-     | change in x1 with (a = w); change with (mem A a q); apply (. (x1‡#));
-       assumption]]
-qed.
-
-definition powerset_of_POW': ∀A.oa_P (POW' A) → Ω^A ≝ λA,x.x.
-coercion powerset_of_POW'.
-
-definition orelation_of_relation: ∀o1,o2:REL. o1 ⇒_\r1 o2 → (POW' o1) ⇒_\o2 (POW' o2).
- intros;
- constructor 1;
-  [ constructor 1; 
-     [ apply (λU.image ?? c U);
-     | intros; apply (#‡e); ]
-  | constructor 1;
-     [ apply (λU.minus_star_image ?? c U);
-     | intros; apply (#‡e); ]
-  | constructor 1;
-     [ apply (λU.star_image ?? c U);
-     | intros; apply (#‡e); ]
-  | constructor 1;
-     [ apply (λU.minus_image ?? c U);
-     | intros; apply (#‡e); ]
-  | intros; split; intro;
-     [ change in f with (∀a. a ∈ image ?? c p → a ∈ q);
-       change with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? c q);
-       intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
-     | change in f with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? c q);
-       change with (∀a. a ∈ image ?? c p → a ∈ q);
-       intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
-  | intros; split; intro;
-     [ change in f with (∀a. a ∈ minus_image ?? c p → a ∈ q);
-       change with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? c q);
-       intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
-     | change in f with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? c q);
-       change with (∀a. a ∈ minus_image ?? c p → a ∈ q);
-       intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
-  | intros; split; intro; cases f; clear f;
-     [ cases x; cases x2; clear x x2; exists; [apply w1]
-        [ assumption;
-        | exists; [apply w] split; assumption]
-     | cases x1; cases x2; clear x1 x2; exists; [apply w1]
-        [ exists; [apply w] split; assumption;
-        | assumption; ]]]
-qed.
-
-lemma orelation_of_relation_preserves_equality:
- ∀o1,o2:REL.∀t,t': o1 ⇒_\r1 o2. 
-   t = t' → orelation_of_relation ?? t =_2 orelation_of_relation ?? t'.
- intros; split; unfold orelation_of_relation; simplify; intro; split; intro;
- simplify; whd in o1 o2;
-  [ change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t a → a1 ∈ minus_star_image ?? t' a);
-    apply (. #‡(e^-1‡#));
-  | change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t' a → a1 ∈ minus_star_image ?? t a);
-    apply (. #‡(e‡#));
-  | change with (a1 ∈ minus_image ?? t a → a1 ∈ minus_image ?? t' a);
-    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
-  | change with (a1 ∈ minus_image ?? t' a → a1 ∈ minus_image ?? t a);
-    apply (. #‡(e‡#));
-  | change with (a1 ∈ image ?? t a → a1 ∈ image ?? t' a);
-    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
-  | change with (a1 ∈ image ?? t' a → a1 ∈ image ?? t a);
-    apply (. #‡(e‡#));
-  | change with (a1 ∈ star_image ?? t a → a1 ∈ star_image ?? t' a);
-    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
-  | change with (a1 ∈ star_image ?? t' a → a1 ∈ star_image ?? t a);
-    apply (. #‡(e‡#)); ]
-qed.
-
-lemma orelation_of_relation_preserves_identity:
- ∀o1:REL. orelation_of_relation ?? (id1 ? o1) =_2 id2 OA (POW' o1).
- intros; split; intro; split; whd; intro; 
-  [ change with ((∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a) → a1 ∈ a); intros;
-    apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
-  | change with (a1 ∈ a → ∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a); intros;
-    change in f1 with (x = a1); apply (. f1‡#); apply f;
-  | alias symbol "and" = "and_morphism".
-    change with ((∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a) → a1 ∈ a);
-    intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (a1=w);
-    apply (. f‡#); apply f1;
-  | change with (a1 ∈ a → ∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a);
-    intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
-  | change with ((∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a) → a1 ∈ a);
-    intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (w=a1);
-    apply (. f^-1‡#); apply f1;
-  | change with (a1 ∈ a → ∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a);
-    intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
-  | change with ((∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a) → a1 ∈ a); intros;
-    apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
-  | change with (a1 ∈ a → ∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a); intros;
-    change in f1 with (a1 = y); apply (. f1^-1‡#); apply f;]
-qed.
-
-(* CSC: ???? forse un uncertain mancato *)
-alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
-alias symbol "compose" = "category1 composition".
-lemma orelation_of_relation_preserves_composition:
- ∀o1,o2,o3:REL.∀F: o1 ⇒_\r1 o2.∀G: o2 ⇒_\r1 o3.
-  orelation_of_relation ?? (G ∘ F) = 
-  comp2 OA ??? (orelation_of_relation ?? F) (orelation_of_relation ?? G).
- intros; split; intro; split; whd; intro; whd in ⊢ (% → %); intros;
-  [ whd; intros; apply f; exists; [ apply x] split; assumption; 
-  | cases f1; clear f1; cases x1; clear x1; apply (f w); assumption;
-  | cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
-    split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
-  | cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
-    split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
-  | unfold arrows1_of_ORelation_setoid; 
-    cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
-    split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
-  | unfold arrows1_of_ORelation_setoid in e; 
-    cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
-    split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
-  | whd; intros; apply f; exists; [ apply y] split; assumption;
-  | cases f1; clear f1; cases x; clear x; apply (f w); assumption;]
-qed.
-
-definition POW: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 REL) OA).
- constructor 1;
-  [ apply POW';
-  | intros; constructor 1;
-     [ apply (orelation_of_relation S T);
-     | intros; apply (orelation_of_relation_preserves_equality S T a a' e); ]
-  | apply orelation_of_relation_preserves_identity;
-  | apply orelation_of_relation_preserves_composition; ]
-qed.
-
-theorem POW_faithful:
- ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 REL) S T.
-   POW⎽⇒ f =_2 POW⎽⇒ g → f =_2 g.
- intros; unfold POW in e; simplify in e; cases e;
- unfold orelation_of_relation in e3; simplify in e3; clear e e1 e2 e4;
- intros 2; cases (e3 {(x)}); 
- split; intro; [ lapply (s y); | lapply (s1 y); ]
-  [2,4: exists; [1,3:apply x] split; [1,3: assumption |*: change with (x=x); apply rule #]
-  |*: cases Hletin; cases x1; change in f3 with (x =_1 w); apply (. f3‡#); assumption;]
-qed.
-
-
-lemma currify: ∀A,B,C. (A × B ⇒_1 C) → A → (B ⇒_1 C).
-intros; constructor 1; [ apply (b c); | intros; apply (#‡e);]
-qed.
-
-theorem POW_full: ∀S,T.∀f: (POW S) ⇒_\o2 (POW T) . exT22 ? (λg. POW⎽⇒ g = f).
- intros; exists;
-  [ constructor 1; constructor 1;
-     [ apply (λx:carr S.λy:carr T. y ∈ f {(x)});
-     | intros; unfold FunClass_1_OF_carr2; lapply (.= e1‡#);
-        [4: apply mem; |6: apply Hletin;|1,2,3,5: skip]
-       lapply (#‡prop11 ?? f ?? (†e)); [6: apply Hletin; |*:skip ]]  
-     | whd; split; whd; intro; simplify; unfold map_arrows2; simplify; 
-        [ split;
-           [ change with (∀a1.(∀x. a1 ∈ (f {(x):S}) → x ∈ a) → a1 ∈ f⎻* a);
-           | change with (∀a1.a1 ∈ f⎻* a → (∀x.a1 ∈ f {(x):S} → x ∈ a)); ]
-        | split;
-           [ change with (∀a1.(∃y:carr T. y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a) → a1 ∈ f⎻ a);
-           | change with (∀a1.a1 ∈ f⎻ a → (∃y:carr T.y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a)); ]
-        | split;
-           [ change with (∀a1.(∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a) → a1 ∈ f a);
-           | change with (∀a1.a1 ∈. f a → (∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a)); ]
-        | split;
-           [ change with (∀a1.(∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a) → a1 ∈ f* a);
-           | change with (∀a1.a1 ∈ f* a → (∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a)); ]]
-        [ intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
-           [ intros 2; apply (f1 a2); change in f2 with (a2 ∈ f⎻ (singleton ? a1));
-             lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a2) (singleton ? a1)));
-              [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? a1 w);
-                apply (. x1‡#); assumption;
-              | exists; [apply a2] [change with (a2=a2); apply rule #; | assumption]]
-           | change with (a1 = a1); apply rule #; ]
-        | intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)) ? x);
-           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f⎻* a); apply (. f3^-1‡#);
-             assumption;
-           | lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? x) (singleton ? a1))^-1);
-              [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? x w);
-                change with (x ∈ f⎻ (singleton ? a1)); apply (. x1‡#); assumption;
-              | exists; [apply a1] [assumption | change with (a1=a1); apply rule #; ]]]
-        | intros; cases e; cases x; clear e x;
-          lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a)^-1);
-           [ cases Hletin; change in x with (eq1 ? a1 w1); apply (. x‡#); assumption;
-           | exists; [apply w] assumption ]
-        | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a));
-           [ cases Hletin; exists; [apply w] split; assumption;
-           | exists; [apply a1] [change with (a1=a1); apply rule #; | assumption ]] 
-        | intros; cases e; cases x; clear e x;
-          apply (f_image_monotone ?? f (singleton ? w) a ? a1);
-           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? w a2); change with (a2 ∈ a);
-             apply (. f3^-1‡#); assumption;
-           | assumption; ]
-        | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f a (singleton ? a1))^-1);
-           [ cases Hletin; exists; [apply w] split;
-              [ lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? w) (singleton ? a1)));
-                 [ cases Hletin1; change in x3 with (eq1 ? a1 w1); apply (. x3‡#); assumption;
-                 | exists; [apply w] [change with (w=w); apply rule #; | assumption ]]
-              | assumption ]
-           | exists; [apply a1] [ assumption; | change with (a1=a1); apply rule #;]]
-        | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
-           [ apply f1; | change with (a1=a1); apply rule #; ]
-        | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)) ? y);
-           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f* a);
-             apply (. f3^-1‡#); assumption;
-           | assumption ]]]
-qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations.ma
deleted file mode 100644 (file)
index cc0db52..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,38 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "relations.ma".
-
-definition is_saturation: ∀C:REL. Ω^C ⇒_1 Ω^C → CProp1 ≝
- λC:REL.λA:Ω^C ⇒_1 Ω^C. ∀U,V. (U ⊆ A V) =_1 (A U ⊆ A V).
-
-definition is_reduction: ∀C:REL. Ω^C ⇒_1 Ω^C → CProp1 ≝
- λC:REL.λJ: Ω^C ⇒_1 Ω^C. ∀U,V. (J U ⊆ V) =_1 (J U ⊆ J V).
-
-theorem saturation_expansive: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. U ⊆ A U.
- intros; apply (fi ?? (i ??)); apply subseteq_refl.
-qed.
-
-theorem saturation_monotone:
- ∀C,A. is_saturation C A →
-  ∀U,V. U ⊆ V → A U ⊆ A V.
- intros; apply (if ?? (i ??)); apply subseteq_trans; [apply V|3: apply saturation_expansive ]
- assumption.
-qed.
-
-theorem saturation_idempotent: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. A (A U) = A U.
- intros; split;
-  [ apply (if ?? (i ??)); apply subseteq_refl
-  | apply saturation_expansive; assumption]
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations_to_o-saturations.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/saturations_to_o-saturations.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 4cbca05..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,29 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "saturations.ma".
-include "o-saturations.ma".
-include "relations_to_o-algebra.ma".
-
-(* These are only conversions :-) *)
-
-definition o_operator_of_operator: ∀C:REL. (Ω^C ⇒_1 Ω^C) → ((POW C) ⇒_1 (POW C)) ≝ λC,t.t.
-
-definition is_o_saturation_of_is_saturation: 
-  ∀C:REL.∀R: Ω^C ⇒_1 Ω^C. is_saturation ? R → is_o_saturation ? (o_operator_of_operator ? R).
-intros (C R i); apply i; qed.
-
-definition is_o_reduction_of_is_reduction: 
-  ∀C:REL.∀R: Ω^C ⇒_1 Ω^C.is_reduction ? R → is_o_reduction ? (o_operator_of_operator ? R).
-intros (C R i); apply i; qed.
diff --git a/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/subsets.ma b/helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/subsets.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 95d0284..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,181 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "categories.ma".
-
-record powerset_carrier (A: objs1 SET) : Type1 ≝ { mem_operator: A ⇒_1 CPROP }.
-interpretation "powerset low" 'powerset A = (powerset_carrier A).
-notation "hvbox(a break ∈. b)" non associative with precedence 45 for @{ 'mem_low $a $b }.
-interpretation "memlow" 'mem_low a S = (fun11 ?? (mem_operator ? S) a).
-
-definition subseteq_operator: ∀A: objs1 SET. Ω^A → Ω^A → CProp0 ≝
- λA:objs1 SET.λU,V.∀a:A. a ∈. U → a ∈. V.
-
-theorem transitive_subseteq_operator: ∀A. transitive2 ? (subseteq_operator A).
- intros 6; intros 2;
- apply s1; apply s;
- assumption.
-qed.
-
-definition powerset_setoid1: SET → SET1.
- intros (T);
- constructor 1;
-  [ apply (powerset_carrier T)
-  | constructor 1;
-     [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V ∧ subseteq_operator ? V U)
-     | simplify; intros; split; intros 2; assumption
-     | simplify; intros (x y H); cases H; split; assumption
-     | simplify; intros (x y z H H1); cases H; cases H1; split;
-       apply transitive_subseteq_operator; [1,4: apply y ]
-       assumption ]]
-qed.
-
-interpretation "powerset" 'powerset A = (powerset_setoid1 A).
-
-interpretation "subset construction" 'subset \eta.x =
- (mk_powerset_carrier ? (mk_unary_morphism1 ? CPROP x ?)).
-
-definition mem: ∀A. A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λx,S. mem_operator ? S x)
-  | intros 5;
-    cases b; clear b; cases b'; clear b'; simplify; intros;
-    apply (trans1 ????? (prop11 ?? u ?? e));
-    cases e1; whd in s s1;
-    split; intro;
-     [ apply s; assumption
-     | apply s1; assumption]]
-qed.
-
-interpretation "mem" 'mem a S = (fun21 ??? (mem ?) a S).
-
-definition subseteq: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V)
-  | intros;
-    cases e; cases e1;
-    split; intros 1;
-    [ apply (transitive_subseteq_operator ????? s2);
-      apply (transitive_subseteq_operator ???? s1 s4)
-    | apply (transitive_subseteq_operator ????? s3);
-      apply (transitive_subseteq_operator ???? s s4) ]]
-qed.
-
-interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (fun21 ??? (subseteq ?) U V).
-
-theorem subseteq_refl: ∀A.∀S:Ω^A.S ⊆ S.
- intros 4; assumption.
-qed.
-
-theorem subseteq_trans: ∀A.∀S1,S2,S3: Ω^A. S1 ⊆ S2 → S2 ⊆ S3 → S1 ⊆ S3.
- intros; apply transitive_subseteq_operator; [apply S2] assumption.
-qed.
-
-definition overlaps: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λA:objs1 SET.λU,V:Ω^A.(exT2 ? (λx:A.x ∈ U) (λx:A.x ∈ V) : CProp0))
-  | intros;
-    constructor 1; intro; cases e2; exists; [1,4: apply w]
-     [ apply (. #‡e^-1); assumption
-     | apply (. #‡e1^-1); assumption
-     | apply (. #‡e); assumption;
-     | apply (. #‡e1); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (fun21 ??? (overlaps ?) U V).
-
-definition intersects: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply rule (λU,V. {x | x ∈ U ∧ x ∈ V });
-    intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1;
-  | intros;
-    split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
-    [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
-    | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "intersects" 'intersects U V = (fun21 ??? (intersects ?) U V).
-
-definition union: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λU,V. {x | x ∈ U ∨ x ∈ V });
-    intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1
-  | intros;
-    split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
-    [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
-    | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "union" 'union U V = (fun21 ??? (union ?) U V).
-
-(* qua non riesco a mettere set *)
-definition singleton: ∀A:setoid. A ⇒_1 Ω^A.
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λa:A.{b | a =_0 b}); unfold setoid1_of_setoid; simplify;
-    intros; simplify;
-    split; intro;
-    apply (.= e1);
-     [ apply e | apply (e \sup -1) ]
-  | unfold setoid1_of_setoid; simplify;
-    intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; apply trans;
-     [ apply a |4: apply a'] try assumption; apply sym; assumption]
-qed.
-
-interpretation "singleton" 'singl a = (fun11 ?? (singleton ?) a).
-notation > "{ term 19 a : S }" with precedence 90 for @{fun11 ?? (singleton $S) $a}.
-
-definition big_intersects: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
- intros; constructor 1;
-  [ intro; whd; whd in I;
-    apply ({x | ∀i:I. x ∈ c i});
-    simplify; intros; split; intros; [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. e‡#); ]
-    apply f;
-  | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; intro;
-     [ apply (. (#‡(e i)^-1)); apply f;
-     | apply (. (#‡e i)); apply f]]
-qed.
-
-definition big_union: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
- intros; constructor 1;
-  [ intro; whd; whd in A; whd in I;
-    apply ({x | ∃i:I. x ∈ c i });
-    simplify; intros; split; intros; cases e1; clear e1; exists; [1,3:apply w]
-    [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. (e‡#)); ]
-    apply x;
-  | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; cases f; clear f; exists; [1,3:apply w]
-     [ apply (. (#‡(e w)^-1)); apply x;
-     | apply (. (#‡e w)); apply x]]
-qed.
-
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (\emsp) term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'bigcup $p }.
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'bigcup_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
-notation > "hovbox(⋃ f)" non associative with precedence 60 for @{ 'bigcup $f }.
-
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (\emsp) term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'bigcap $p }.
-notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
-non associative with precedence 50 for @{ 'bigcap_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
-notation > "hovbox(⋂ f)" non associative with precedence 60 for @{ 'bigcap $f }.
-
-interpretation "bigcup" 'bigcup f = (fun12 ?? (big_union ??) f).
-interpretation "bigcap" 'bigcap f = (fun12 ?? (big_intersects ??) f).
-interpretation "bigcup mk" 'bigcup_mk f = (fun12 ?? (big_union ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
-interpretation "bigcap mk" 'bigcap_mk f = (fun12 ?? (big_intersects ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
index 4e5374dc7eb1a1d9e31f8c2485c7ad7ccff490f7..0c04be48613346c169b970e436b43b9c12d5d432 100644 (file)
@@ -1,73 +1,85 @@
-dama/sandwich.ma dama/ordered_uniform.ma
+formal_topology/formal_topologies.ma formal_topology/basic_topologies.ma
 demo/formal_topology.ma logic/cprop_connectives.ma logic/equality.ma
+dama/sandwich.ma dama/ordered_uniform.ma
 Q/ratio/rtimes.ma Q/fraction/ftimes.ma Q/ratio/rinv.ma
 demo/power_derivative.ma nat/compare.ma nat/orders.ma nat/plus.ma
 nat/compare.ma datatypes/bool.ma datatypes/compare.ma nat/orders.ma
 dama/ordered_uniform.ma dama/uniform.ma
 nat/lt_arith.ma nat/div_and_mod.ma
+formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma formal_topology/notation.ma formal_topology/o-basic_pairs.ma formal_topology/o-basic_topologies.ma
 demo/propositional_sequent_calculus.ma datatypes/constructors.ma list/sort.ma nat/compare.ma nat/plus.ma
 Z/inversion.ma Z/dirichlet_product.ma Z/moebius.ma
+formal_topology/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma formal_topology/basic_topologies.ma formal_topology/notation.ma formal_topology/o-basic_topologies.ma formal_topology/relations_to_o-algebra.ma
 dama/models/nat_order_continuous.ma dama/models/increasing_supremum_stabilizes.ma dama/models/nat_ordered_uniform.ma
 nat/factorial2.ma nat/exp.ma nat/factorial.ma
 nat/orders.ma higher_order_defs/ordering.ma nat/nat.ma
-nat/sieve.ma list/sort.ma nat/primes.ma
 technicalities/setoids.ma datatypes/constructors.ma logic/coimplication.ma logic/connectives2.ma
+nat/sieve.ma list/sort.ma nat/primes.ma
+formal_topology/subsets.ma formal_topology/categories.ma
 nat/div_and_mod_diseq.ma nat/lt_arith.ma
 logic/cprop_connectives.ma logic/connectives.ma
 algebra/groups.ma algebra/monoids.ma datatypes/bool.ma nat/compare.ma nat/le_arith.ma
 nat/chinese_reminder.ma nat/congruence.ma nat/exp.ma nat/gcd.ma nat/permutation.ma
 Q/q/qinv.ma Q/q/q.ma Q/ratio/rinv.ma
 nat/exp.ma nat/div_and_mod.ma nat/lt_arith.ma
-dama/models/nat_uniform.ma dama/models/discrete_uniformity.ma dama/nat_ordered_set.ma
 list/in.ma datatypes/bool.ma datatypes/constructors.ma list/list.ma
 datatypes/compare.ma 
+dama/models/nat_uniform.ma dama/models/discrete_uniformity.ma dama/nat_ordered_set.ma
 didactic/exercises/natural_deduction_fst_order.ma didactic/support/natural_deduction.ma
 didactic/exercises/substitution.ma nat/minus.ma
 nat/factorization2.ma list/list.ma nat/factorization.ma nat/sieve.ma
+formal_topology/basic_topologies.ma formal_topology/relations.ma formal_topology/saturations.ma
 dama/models/increasing_supremum_stabilizes.ma dama/models/nat_uniform.ma dama/russell_support.ma dama/supremum.ma nat/le_arith.ma
 logic/connectives.ma 
 Q/nat_fact/times.ma nat/factorization.ma
 decidable_kit/fintype.ma decidable_kit/eqtype.ma decidable_kit/list_aux.ma
 didactic/exercises/duality.ma nat/minus.ma
 nat/ord.ma datatypes/constructors.ma nat/exp.ma nat/gcd.ma nat/nth_prime.ma nat/relevant_equations.ma
+formal_topology/cprop_connectives.ma logic/connectives.ma
 dama/supremum.ma dama/nat_ordered_set.ma dama/sequence.ma datatypes/constructors.ma nat/plus.ma
 nat/totient1.ma nat/gcd_properties1.ma nat/iteration2.ma nat/totient.ma
-R/Rexp.ma R/root.ma Z/times.ma nat/orders.ma
 didactic/exercises/natural_deduction1.ma didactic/support/natural_deduction.ma
+R/Rexp.ma R/root.ma Z/times.ma nat/orders.ma
 nat/times.ma nat/plus.ma
 nat/chebyshev_thm.ma nat/neper.ma
 Z/z.ma datatypes/bool.ma nat/nat.ma
 demo/cantor.ma datatypes/constructors.ma demo/formal_topology.ma
-dama/models/nat_ordered_uniform.ma dama/bishop_set_rewrite.ma dama/models/nat_uniform.ma dama/ordered_uniform.ma
+decidable_kit/fgraph.ma decidable_kit/fintype.ma
 nat/nth_prime.ma nat/lt_arith.ma nat/primes.ma
 nat/le_arith.ma nat/orders.ma nat/times.ma
-decidable_kit/fgraph.ma decidable_kit/fintype.ma
+dama/models/nat_ordered_uniform.ma dama/bishop_set_rewrite.ma dama/models/nat_uniform.ma dama/ordered_uniform.ma
 dama/bishop_set.ma dama/ordered_set.ma
 nat/euler_theorem.ma nat/map_iter_p.ma nat/totient.ma
 Q/fraction/ftimes.ma Q/fraction/finv.ma Q/nat_fact/times.ma Q/ratio/ratio.ma Z/times.ma
 nat/factorial.ma nat/le_arith.ma
 Z/plus.ma Z/z.ma nat/minus.ma
 Q/ratio/rinv.ma Q/fraction/finv.ma Q/ratio/ratio.ma
-dama/ordered_set.ma datatypes/constructors.ma logic/cprop_connectives.ma
 decidable_kit/streicher.ma logic/connectives.ma logic/equality.ma
+dama/ordered_set.ma datatypes/constructors.ma logic/cprop_connectives.ma
 nat/fermat_little_theorem.ma nat/congruence.ma nat/exp.ma nat/gcd.ma nat/permutation.ma
-Q/q/qplus.ma nat/factorization.ma
 decidable_kit/list_aux.ma decidable_kit/eqtype.ma list/list.ma nat/plus.ma
+Q/q/qplus.ma nat/factorization.ma
 R/r.ma Z/z.ma datatypes/constructors.ma logic/coimplication.ma logic/cprop_connectives.ma logic/equality.ma nat/orders.ma
+Z/orders.ma Z/z.ma nat/orders.ma
 nat/map_iter_p.ma nat/count.ma nat/permutation.ma
 Q/q.ma Q/fraction/fraction.ma Z/compare.ma Z/plus.ma nat/factorization.ma
-Z/orders.ma Z/z.ma nat/orders.ma
 nat/permutation.ma nat/compare.ma nat/sigma_and_pi.ma
+formal_topology/saturations.ma formal_topology/relations.ma
 demo/realisability.ma datatypes/constructors.ma logic/connectives.ma
-list/list.ma datatypes/bool.ma higher_order_defs/functions.ma logic/equality.ma nat/nat.ma nat/orders.ma nat/plus.ma
+formal_topology/saturations_to_o-saturations.ma formal_topology/o-saturations.ma formal_topology/relations_to_o-algebra.ma formal_topology/saturations.ma
+list/list.ma datatypes/bool.ma higher_order_defs/functions.ma logic/equality.ma nat/orders.ma nat/plus.ma
 nat/totient.ma nat/chinese_reminder.ma nat/iteration2.ma
 didactic/support/natural_deduction.ma 
 nat/sigma_and_pi.ma nat/exp.ma nat/factorial.ma nat/lt_arith.ma
 nat/count.ma nat/permutation.ma nat/relevant_equations.ma nat/sigma_and_pi.ma
+formal_topology/o-algebra.ma formal_topology/categories.ma
+formal_topology/basic_pairs.ma formal_topology/notation.ma formal_topology/relations.ma
 Q/frac.ma Q/q/qinv.ma
 didactic/exercises/shannon.ma nat/minus.ma
 Q/q/qtimes.ma Q/q/qinv.ma Q/ratio/rtimes.ma
+formal_topology/concrete_spaces.ma formal_topology/basic_pairs.ma
 nat/minus.ma nat/compare.ma nat/le_arith.ma
+formal_topology/o-saturations.ma formal_topology/o-algebra.ma
 Q/ratio/ratio.ma Q/fraction/fraction.ma
 nat/chebyshev_teta.ma nat/binomial.ma nat/pi_p.ma
 algebra/finite_groups.ma algebra/groups.ma nat/relevant_equations.ma
@@ -76,60 +88,73 @@ nat/pi_p.ma nat/generic_iter_p.ma nat/iteration2.ma nat/primes.ma
 algebra/semigroups.ma higher_order_defs/functions.ma
 dama/lebesgue.ma dama/ordered_set.ma dama/property_exhaustivity.ma dama/sandwich.ma
 dama/models/discrete_uniformity.ma dama/bishop_set_rewrite.ma dama/uniform.ma
+formal_topology/relations.ma formal_topology/subsets.ma
 higher_order_defs/relations.ma logic/connectives.ma
 nat/factorization.ma nat/ord.ma
 nat/neper.ma nat/binomial.ma nat/chebyshev.ma nat/div_and_mod_diseq.ma nat/iteration2.ma nat/log.ma
 Z/moebius.ma Z/sigma_p.ma nat/factorization.ma
+formal_topology/r-o-basic_pairs.ma formal_topology/apply_functor.ma formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma logic/equality.ma
 demo/toolbox.ma logic/cprop_connectives.ma
 nat/iteration2.ma nat/count.ma nat/generic_iter_p.ma nat/ord.ma nat/primes.ma
 logic/coimplication.ma logic/connectives.ma
 nat/minimization.ma nat/minus.ma
+formal_topology/apply_functor.ma formal_topology/categories.ma formal_topology/notation.ma
 logic/connectives2.ma higher_order_defs/relations.ma
 datatypes/subsets.ma datatypes/categories.ma logic/cprop_connectives.ma
-nat/chebyshev.ma nat/factorial2.ma nat/factorization.ma nat/log.ma nat/o.ma nat/pi_p.ma
 decidable_kit/eqtype.ma datatypes/constructors.ma decidable_kit/decidable.ma
+nat/chebyshev.ma nat/factorial2.ma nat/factorization.ma nat/log.ma nat/o.ma nat/pi_p.ma
 Q/q/q.ma Q/fraction/numerator_denominator.ma Q/ratio/ratio.ma
 dama/models/nat_lebesgue.ma dama/lebesgue.ma dama/models/nat_order_continuous.ma
 nat/bertrand.ma list/in.ma list/sort.ma nat/chebyshev.ma nat/chebyshev_teta.ma nat/o.ma nat/sieve.ma nat/sqrt.ma
 nat/nat.ma higher_order_defs/functions.ma
+formal_topology/basic_pairs_to_basic_topologies.ma formal_topology/basic_pairs.ma formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma formal_topology/basic_topologies.ma formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma
 Q/Qaxioms.ma Z/compare.ma Z/times.ma nat/iteration2.ma
 dama/uniform.ma dama/supremum.ma
 demo/natural_deduction.ma didactic/support/natural_deduction.ma
 higher_order_defs/ordering.ma logic/equality.ma
 nat/congruence.ma nat/primes.ma nat/relevant_equations.ma
 logic/equality.ma higher_order_defs/relations.ma
+formal_topology/o-concrete_spaces.ma formal_topology/o-basic_pairs.ma formal_topology/o-saturations.ma
+formal_topology/o-basic_topologies.ma formal_topology/o-algebra.ma formal_topology/o-saturations.ma
+formal_topology/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma formal_topology/concrete_spaces.ma formal_topology/o-concrete_spaces.ma
 dama/property_exhaustivity.ma dama/ordered_uniform.ma dama/property_sigma.ma
+Z/compare.ma Z/orders.ma nat/compare.ma
 nat/gcd.ma nat/lt_arith.ma nat/primes.ma
 datatypes/bool.ma higher_order_defs/functions.ma logic/equality.ma
-Z/compare.ma Z/orders.ma nat/compare.ma
+Z/dirichlet_product.ma Z/sigma_p.ma Z/times.ma nat/primes.ma
 algebra/monoids.ma algebra/semigroups.ma
 nat/div_and_mod.ma datatypes/constructors.ma nat/minus.ma
-Z/dirichlet_product.ma Z/sigma_p.ma Z/times.ma nat/primes.ma
 nat/sqrt.ma nat/compare.ma nat/log.ma nat/times.ma
 datatypes/categories.ma logic/cprop_connectives.ma
+formal_topology/o-basic_pairs.ma formal_topology/notation.ma formal_topology/o-algebra.ma
+formal_topology/categories.ma formal_topology/cprop_connectives.ma logic/equality.ma
 nat/relevant_equations.ma nat/gcd.ma nat/minus.ma nat/times.ma
+formal_topology/notation.ma 
 dama/nat_ordered_set.ma nat/orders.ma dama/bishop_set.ma nat/compare.ma
-dama/russell_support.ma logic/cprop_connectives.ma nat/nat.ma
 Q/fraction/finv.ma Q/fraction/fraction.ma Z/plus.ma
+dama/russell_support.ma logic/cprop_connectives.ma nat/nat.ma
+formal_topology/relations_to_o-algebra.ma formal_topology/o-algebra.ma formal_topology/relations.ma
 nat/binomial.ma nat/factorial2.ma nat/iteration2.ma
-R/root.ma logic/connectives.ma Q/q/q.ma R/r.ma
 nat/log.ma datatypes/constructors.ma nat/div_and_mod_diseq.ma nat/iteration2.ma nat/minimization.ma nat/primes.ma nat/relevant_equations.ma
+R/root.ma logic/connectives.ma Q/q/q.ma R/r.ma
 higher_order_defs/functions.ma logic/equality.ma
 Q/fraction/numerator_denominator.ma Q/fraction/finv.ma
 nat/generic_iter_p.ma nat/div_and_mod_diseq.ma nat/ord.ma nat/primes.ma
 datatypes/constructors.ma logic/equality.ma
 didactic/exercises/natural_deduction_theories.ma didactic/support/natural_deduction.ma nat/plus.ma
-nat/plus.ma nat/nat.ma
 Q/fraction/fraction.ma Z/compare.ma nat/factorization.ma
+nat/plus.ma nat/nat.ma
+formal_topology/o-formal_topologies.ma formal_topology/o-basic_topologies.ma
 dama/sequence.ma nat/nat.ma
 nat/primes.ma nat/div_and_mod.ma nat/factorial.ma nat/minimization.ma nat/sigma_and_pi.ma
 nat/gcd_properties1.ma nat/gcd.ma
 list/sort.ma datatypes/bool.ma datatypes/constructors.ma list/in.ma
 didactic/exercises/natural_deduction.ma didactic/support/natural_deduction.ma
+formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma formal_topology/basic_pairs.ma formal_topology/o-basic_pairs.ma formal_topology/relations_to_o-algebra.ma
 dama/bishop_set_rewrite.ma dama/bishop_set.ma
 Z/times.ma Z/plus.ma nat/lt_arith.ma
-R/Rlog.ma R/Rexp.ma
 Z/sigma_p.ma Z/times.ma nat/generic_iter_p.ma nat/ord.ma nat/primes.ma
+R/Rlog.ma R/Rexp.ma
 nat/o.ma nat/binomial.ma nat/sqrt.ma
 dama/property_sigma.ma dama/ordered_uniform.ma dama/russell_support.ma
 Q/inv.ma Q/fraction/finv.ma Q/q.ma Q/q/q.ma
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/apply_functor.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/apply_functor.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..89f3400
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,122 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/categories.ma".
+include "formal_topology/notation.ma".
+
+record Fo (C1,C2:CAT2) (F:arrows3 CAT2 C1 C2) : Type2 ≝ {
+  F2: C2;
+  F1: C1;
+  FP: map_objs2 ?? F F1 =_\ID F2
+}.
+
+notation "ℱ\sub 1 x" non associative with precedence 60 for @{'F1 $x}.
+notation > "ℱ_1" non associative with precedence 90 for @{F1 ???}.
+interpretation "F1" 'F1 x = (F1 ??? x). 
+
+notation "ℱ\sub 2 x" non associative with precedence 60 for @{'F2 $x}.
+notation > "ℱ_2" non associative with precedence 90 for @{F2 ???}.
+interpretation "F2" 'F2 x = (F2 ??? x). 
+
+lemma REW : ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀X,Y:Fo ?? F.
+  arrows2 C2 (F (ℱ_1 X)) (F (ℱ_1 Y)) → 
+  arrows2 C2 (ℱ_2 X) (ℱ_2 Y).           
+intros 5; cases X; cases Y; clear X Y; 
+cases H; cases H1; intros; assumption;
+qed.           
+
+record Fm_c (C1,C2:CAT2) (F:arrows3 CAT2 C1 C2) (X,Y:Fo ?? F) : Type2 ≝ {
+  Fm2: arrows2 C2 (F2 ??? X) (F2 ??? Y);
+  Fm1: arrows2 C1 (F1 ??? X) (F1 ??? Y);
+  FmP: REW ?? F X Y (map_arrows2 ?? F ?? Fm1) = Fm2
+}.
+
+notation "ℳ\sub 1 x" non associative with precedence 60 for @{'Fm1 $x}.
+notation > "ℳ_1" non associative with precedence 90 for @{Fm1 ?????}.
+interpretation "Fm1" 'Fm1 x = (Fm1 ????? x). 
+
+notation "ℳ\sub 2 x" non associative with precedence 60 for @{'Fm2 $x}.
+notation > "ℳ_2" non associative with precedence 90 for @{Fm2 ?????}.
+interpretation "Fm2" 'Fm2 x = (Fm2 ????? x). 
+
+definition Fm : 
+ ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.
+   Fo ?? F → Fo ?? F → setoid2. 
+intros (C1 C2 F X Y); constructor 1; [apply (Fm_c C1 C2 F X Y)]
+constructor 1; [apply (λf,g.Fm2 ????? f =_2 Fm2 ????? g);]
+[ intro; apply refl2;
+| intros 3; apply sym2; assumption;
+| intros 5; apply (trans2 ?? ??? x1 x2);]
+qed.
+
+definition F_id : 
+ ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o.Fm ?? F o o.
+intros; constructor 1; 
+   [ apply (id2 C2 (F2 ??? o));
+   | apply (id2 C1 (F1 ??? o));
+   | cases o; cases H; simplify; apply (respects_id2 ?? F);]
+qed.
+
+definition F_comp : 
+  ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o1,o2,o3.
+    (Fm ?? F o1 o2) × (Fm ?? F o2 o3) ⇒_2 (Fm ?? F o1 o3).
+intros; constructor 1;
+[ intros (f g); constructor 1;
+    [ apply (comp2 C2 ??? (ℳ_2 f) (ℳ_2 g));
+    | apply (comp2 C1 ??? (ℳ_1 f) (ℳ_1 g));
+    | apply hide; cases o1 in f; cases o2 in g; cases o3; clear o1 o2 o3;
+      cases H; cases H1; cases H2; intros 2; cases c; cases c1; clear c c1;
+      simplify; apply (.= (respects_comp2:?)); apply (e1‡e);]
+| intros 6; change with ((ℳ_2 b ∘ ℳ_2 a) = (ℳ_2 b' ∘ ℳ_2 a'));
+  change in e1 with (ℳ_2 b = ℳ_2 b');
+  change in e with (ℳ_2 a = ℳ_2 a');
+  apply (e‡e1);]
+qed.
+
+
+definition Apply : ∀C1,C2: CAT2.arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2.
+intros (C1 C2 F);
+constructor 1; 
+[ apply (Fo ?? F);
+| apply (Fm ?? F); 
+| apply F_id; 
+| apply F_comp;
+| intros; apply (comp_assoc2 C2 ???? (ℳ_2 a12) (ℳ_2 a23) (ℳ_2 a34));
+| intros; apply (id_neutral_right2 C2 ?? (ℳ_2 a));
+| intros; apply (id_neutral_left2 C2 ?? (ℳ_2 a));]
+qed.
+
+definition faithful ≝  
+   λC1,C2.λF:arrows3 CAT2 C1 C2.∀S,T.∀f,g:arrows2 C1 S T.
+     map_arrows2 ?? F ?? f = map_arrows2 ?? F ?? g → f=g.
+
+definition Ylppa : ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.
+  faithful ?? F →  let rC2 ≝ Apply ?? F in arrows3 CAT2 rC2 C1.
+intros; constructor 1;
+[ intro; apply (ℱ_1 o);
+| intros; constructor 1; 
+  [ intros; apply (ℳ_1 c);
+  | apply hide; intros; apply f;  change in e with (ℳ_2 a = ℳ_2 a');
+    lapply (FmP ????? a) as H1; lapply (FmP ????? a') as H2;
+    cut (REW ????? (map_arrows2 ?? F ?? (ℳ_1 a)) = 
+         REW ????? (map_arrows2 ?? F ?? (ℳ_1 a')));[2:
+      apply (.= H1); apply (.= e); apply (H2^-1);]
+    clear H1 H2 e; cases S in a a' Hcut; cases T;
+    cases H; cases H1; simplify; intros; assumption;]
+| intro; apply rule #;
+| intros; simplify; apply rule #;]
+qed.
+
+
+
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..8235b25
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,223 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/relations.ma".
+include "formal_topology/notation.ma".
+
+record basic_pair: Type1 ≝ { 
+   concr: REL; form: REL; rel: concr ⇒_\r1 form
+}.
+
+interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y c = (fun21 ??? (rel c) x y).
+interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
+
+record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type1 ≝ { 
+   concr_rel: (concr BP1) ⇒_\r1 (concr BP2); form_rel: (form BP1) ⇒_\r1 (form BP2);
+   commute: ⊩ ∘ concr_rel =_1 form_rel ∘ ⊩
+ }.
+
+interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel ?? r). 
+interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel ?? r).
+
+definition relation_pair_equality: ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
+ intros; constructor 1; [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
+  | simplify; intros; apply refl1;
+  | simplify; intros 2; apply sym1;
+  | simplify; intros 3; apply trans1; ]      
+qed.
+
+definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (relation_pair b b1)
+  | apply relation_pair_equality
+  ]
+qed.
+
+definition relation_pair_of_relation_pair_setoid :
+  ∀P,Q. relation_pair_setoid P Q → relation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion relation_pair_of_relation_pair_setoid.
+
+lemma eq_to_eq': 
+  ∀o1,o2.∀r,r':relation_pair_setoid o1 o2. r =_1 r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
+ intros 5 (o1 o2 r r' H);
+ apply (.= (commute ?? r)^-1);
+ change in H with (⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
+ apply rule (.= H);
+ apply (commute ?? r').
+qed.
+
+definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [1,2: apply id1;
+  | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
+    lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
+    apply (.= H);
+    apply (H1 \sup -1);]
+qed.
+
+lemma relation_pair_composition: 
+  ∀o1,o2,o3: basic_pair.
+  relation_pair_setoid o1 o2 → relation_pair_setoid o2 o3 → relation_pair_setoid o1 o3.
+intros 3 (o1 o2 o3);
+  intros (r r1);
+    constructor 1;
+     [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c) 
+     | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
+     | lapply (commute ?? r) as H;
+       lapply (commute ?? r1) as H1;
+       alias symbol "trans" = "trans1".
+       alias symbol "assoc" = "category1 assoc".
+       apply (.= ASSOC);
+       apply (.= #‡H1);
+       alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
+       apply (.= ASSOC ^ -1);
+       apply (.= H‡#);
+       apply ASSOC]
+qed.
+
+lemma relation_pair_composition_is_morphism:
+  ∀o1,o2,o3: basic_pair.
+  ∀a,a':relation_pair_setoid o1 o2.
+  ∀b,b':relation_pair_setoid o2 o3.
+   a=a' → b=b' →
+    relation_pair_composition o1 o2 o3 a b
+    = relation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
+intros 3 (o1 o2 o3);
+    intros;
+    change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));  
+    change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
+    change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
+    apply (.= ASSOC);
+    apply (.= #‡e1);
+    apply (.= #‡(commute ?? b'));
+    apply (.= ASSOC ^ -1);
+    apply (.= e‡#);
+    apply (.= ASSOC);
+    apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
+    apply (ASSOC ^ -1);
+qed.
+
+definition relation_pair_composition_morphism:
+ ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply relation_pair_composition;
+  | apply relation_pair_composition_is_morphism;]
+qed.
+    
+lemma relation_pair_composition_morphism_assoc:
+Πo1:basic_pair
+.Πo2:basic_pair
+ .Πo3:basic_pair
+  .Πo4:basic_pair
+   .Πa12:relation_pair_setoid o1 o2
+    .Πa23:relation_pair_setoid o2 o3
+     .Πa34:relation_pair_setoid o3 o4
+      .relation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
+       (relation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
+       =relation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
+        (relation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
+   intros;
+    change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
+                 ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
+    alias symbol "refl" = "refl1".
+    alias symbol "prop2" = "prop21".
+    apply (ASSOC‡#);
+qed.    
+    
+lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id:
+  ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
+  relation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (id_relation_pair o1) a=a.
+   intros;
+    change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
+    apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);    
+qed.
+    
+lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
+  ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
+  relation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (id_relation_pair o2)=a.  
+  intros;
+    change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
+    apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);
+qed.
+
+definition BP: category1.
+ constructor 1;
+  [ apply basic_pair
+  | apply relation_pair_setoid
+  | apply id_relation_pair
+  | apply relation_pair_composition_morphism
+  | apply relation_pair_composition_morphism_assoc;
+  | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id;
+  | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
+qed.
+  
+definition basic_pair_of_BP : objs1 BP → basic_pair ≝ λx.x.
+coercion basic_pair_of_BP.
+
+definition relation_pair_setoid_of_arrows1_BP :
+  ∀P,Q. arrows1 BP P Q → relation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion relation_pair_setoid_of_arrows1_BP.
+
+(*
+definition BPext: ∀o: BP. (form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (ext ? ? (rel o));
+  | intros;
+    apply (.= #‡e);
+    apply refl1]
+qed.
+
+definition BPextS: ∀o: BP. Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (minus_image ?? (rel o));
+  | intros; apply (#‡e); ]
+qed.
+
+definition fintersects: ∀o: BP. (form o) × (form o) ⇒_1 Ω^(form o).
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
+    intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
+  | intros; split; simplify; intros;
+     [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
+     | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersects ?) U V).
+
+definition fintersectsS:
+ ∀o:BP. Ω^(form o) × Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(form o).
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω^(form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
+    intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
+  | intros; split; simplify; intros;
+     [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
+     | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersectsS ?) U V).
+
+definition relS: ∀o: BP. (concr o) × Ω^(form o) ⇒_1 CPROP.
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λx:concr o.λS: Ω^(form o).∃y:form o.y ∈ S ∧ x ⊩⎽o y);
+  | intros; split; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. (#‡e1^-1)‡(e^-1‡#)); assumption
+     | apply (. (#‡e1)‡(e‡#)); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y c = (fun21 (concr ?) ?? (relS c) x y).
+interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash c = (fun21 ??? (relS c)).
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index 0d51724..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,179 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "formal_topology/relations.ma".
-include "datatypes/categories.ma".
-
-record basic_pair: Type ≝
- { concr: REL;
-   form: REL;
-   rel: arrows1 ? concr form
- }.
-
-notation "x ⊩ y" with precedence 45 for @{'Vdash2 $x $y}.
-notation "⊩" with precedence 60 for @{'Vdash}.
-
-interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y = (rel _ x y).
-interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash = (rel _).
-
-record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type ≝
- { concr_rel: arrows1 ? (concr BP1) (concr BP2);
-   form_rel: arrows1 ? (form BP1) (form BP2);
-   commute: ⊩ ∘ concr_rel = form_rel ∘ ⊩
- }.
-
-notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
-notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
-
-interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel __ r). 
-interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel __ r). 
-
-definition relation_pair_equality:
- ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
-  | simplify;
-    intros;
-    apply refl1;
-  | simplify;
-    intros 2;
-    apply sym1;
-  | simplify;
-    intros 3;
-    apply trans1;
-  ]      
-qed.
-
-definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (relation_pair b b1)
-  | apply relation_pair_equality
-  ]
-qed.
-
-lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': relation_pair_setoid o1 o2. r=r' → r \sub\f ∘ ⊩ = r'\sub\f ∘ ⊩.
- intros 7 (o1 o2 r r' H c1 f2);
- split; intro H1;
-  [ lapply (fi ?? (commute ?? r c1 f2) H1) as H2;
-    lapply (if ?? (H c1 f2) H2) as H3;
-    apply (if ?? (commute ?? r' c1 f2) H3);
-  | lapply (fi ?? (commute ?? r' c1 f2) H1) as H2;
-    lapply (fi ?? (H c1 f2) H2) as H3;
-    apply (if ?? (commute ?? r c1 f2) H3);
-  ]
-qed.
-
-definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
- intro;
- constructor 1;
-  [1,2: apply id1;
-  | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
-    lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
-    apply (.= H);
-    apply (H1 \sup -1);]
-qed.
-
-definition relation_pair_composition:
- ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
- intros;
- constructor 1;
-  [ intros (r r1);
-    constructor 1;
-     [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c) 
-     | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
-     | lapply (commute ?? r) as H;
-       lapply (commute ?? r1) as H1;
-       apply (.= ASSOC1);
-       apply (.= #‡H1);
-       apply (.= ASSOC1\sup -1);
-       apply (.= H‡#);
-       apply ASSOC1]
-  | intros;
-    change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));  
-    change in H with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
-    change in H1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
-    apply (.= ASSOC1);
-    apply (.= #‡H1);
-    apply (.= #‡(commute ?? b'));
-    apply (.= ASSOC1 \sup -1);
-    apply (.= H‡#);
-    apply (.= ASSOC1);
-    apply (.= #‡(commute ?? b')\sup -1);
-    apply (ASSOC1 \sup -1)]
-qed.
-    
-definition BP: category1.
- constructor 1;
-  [ apply basic_pair
-  | apply relation_pair_setoid
-  | apply id_relation_pair
-  | apply relation_pair_composition
-  | intros;
-    change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
-                 ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
-    apply (ASSOC1‡#);
-  | intros;
-    change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
-  | intros;
-    change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
-    apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);]
-qed.
-
-definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (ext ? ? (rel o));
-  | intros;
-    apply (.= #‡H);
-    apply refl1]
-qed.
-
-definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
- λo.extS ?? (rel o).
-
-definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
-     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersects _) U V).
-
-definition fintersectsS:
- ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
-    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
-  | intros; split; simplify; intros;
-     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
-     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ___ (fintersectsS _) U V).
-
-definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
- intros (o); constructor 1;
-  [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
-  | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
-     | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
-qed.
-
-interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr _) __ (relS _) x y).
-interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ___ (relS _)).
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_basic_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_basic_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..ac13774
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,64 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
+include "formal_topology/basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/basic_topologies.ma".
+
+definition basic_topology_of_basic_pair: basic_pair → basic_topology.
+ intro bp;
+ letin obp ≝ (o_basic_pair_of_basic_pair bp);
+ letin obt ≝ (o_basic_topology_of_o_basic_pair obp);
+ constructor 1;
+  [ apply (form bp);
+  | apply (oA obt);
+  | apply (oJ obt);
+  | apply (oA_is_saturation obt);
+  | apply (oJ_is_reduction obt);
+  | apply (Ocompatibility obt); ]
+qed.
+
+definition continuous_relation_of_relation_pair:
+ ∀BP1,BP2.relation_pair BP1 BP2 →
+  continuous_relation (basic_topology_of_basic_pair BP1) (basic_topology_of_basic_pair BP2).
+ intros (BP1 BP2 rp);
+ letin orp ≝ (o_relation_pair_of_relation_pair ?? rp);
+ letin ocr ≝ (o_continuous_relation_of_o_relation_pair ?? orp);
+ constructor 1;
+  [ apply (rp \sub \f);
+  | apply (Oreduced ?? ocr);
+  | apply (Osaturated ?? ocr); ]
+qed.
+
+alias symbol "compose" (instance 3) = "category1 composition".
+alias symbol "compose" (instance 3) = "category1 composition".
+record functor1 (C1: category1) (C2: category1) : Type2 ≝
+ { map_objs1:1> C1 → C2;
+   map_arrows1: ∀S,T. unary_morphism1 (arrows1 ? S T) (arrows1 ? (map_objs1 S) (map_objs1 T));
+   respects_id1: ∀o:C1. map_arrows1 ?? (id1 ? o) =_1 id1 ? (map_objs1 o);
+   respects_comp1:
+     ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows1 ? o1 o2.∀f2:arrows1 ? o2 o3.
+     map_arrows1 ?? (f2 ∘ f1) =_1 map_arrows1 ?? f2 ∘ map_arrows1 ?? f1}.
+
+(*
+definition BTop_of_BP: functor1 BP BTop.
+ lapply OR as F;
+ constructor 1;
+  [ apply basic_topology_of_basic_pair
+  | intros; constructor 1 [ apply continuous_relation_of_relation_pair; ]
+  | simplify; intro;
+  ]
+qed.
+*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..aee0346
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,147 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/o-basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/relations_to_o-algebra.ma".
+
+definition o_basic_pair_of_basic_pair: basic_pair → Obasic_pair.
+ intro b;
+ constructor 1;
+  [ apply (POW (concr b));
+  | apply (POW (form b));
+  | apply (POW⎽⇒ ?); apply (rel b); ]
+qed.
+
+definition o_relation_pair_of_relation_pair:
+ ∀BP1,BP2. relation_pair BP1 BP2 →
+  Orelation_pair (o_basic_pair_of_basic_pair BP1) (o_basic_pair_of_basic_pair BP2).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify; apply (POW⎽⇒ ?); apply (r\sub \c); 
+  | apply (map_arrows2 ?? POW (form BP1) (form BP2) (r \sub \f));
+  | apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (concr BP2) (form BP2)  r\sub\c (⊩\sub BP2) )^-1);
+    cut ( ⊩ \sub BP2 ∘ r \sub \c =_12 r\sub\f ∘ ⊩ \sub BP1) as H;
+    [ apply (.= †H);
+      apply (respects_comp2 ?? POW (concr BP1) (form BP1) (form BP2) (⊩\sub BP1) r\sub\f);
+    | apply commute;]]
+qed.
+
+lemma o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism : 
+  ∀S,T:category2_of_category1 BP.    
+  ∀a,b:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.a=b → 
+   (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T))) 
+    (o_relation_pair_of_relation_pair S T a) (o_relation_pair_of_relation_pair S T b).
+intros 2 (S T);       
+      intros (a b Eab); split; unfold o_relation_pair_of_relation_pair; simplify;
+       unfold o_basic_pair_of_basic_pair; simplify;
+       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
+       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
+       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
+       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
+       simplify;
+       apply (prop12);
+       apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (a\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
+       apply sym2;
+       apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) (b\sub\c) (⊩\sub T))^-1);
+       apply sym2;
+       apply prop12;
+       apply Eab;
+qed.
+
+lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism : 
+  ∀S,T:category2_of_category1 BP.
+  unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) S T)
+   (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair S) (o_basic_pair_of_basic_pair T)).
+intros (S T);
+   constructor 1;
+     [ apply (o_relation_pair_of_relation_pair S T);
+     | apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)]
+qed.
+
+lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id:
+ ∀o:category2_of_category1 BP.
+  o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o o (id2 (category2_of_category1 BP) o)
+  = id2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o).
+   simplify; intros; whd; split; 
+       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
+       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
+       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
+       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
+    simplify;
+    apply prop12;
+    apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
+    apply (respects_id2 ?? POW (concr o));
+qed. 
+
+lemma o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp:
+  ∀o1,o2,o3:category2_of_category1 BP.
+  ∀f1:arrows2 (category2_of_category1 BP) o1 o2.
+  ∀f2:arrows2 (category2_of_category1 BP) o2 o3.
+  (eq2 (arrows2 OBP (o_basic_pair_of_basic_pair o1) (o_basic_pair_of_basic_pair o3)))
+    (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o3 (f2 ∘ f1))
+    (comp2 OBP ???
+      (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o1 o2 f1)
+      (o_relation_pair_of_relation_pair_morphism o2 o3 f2)).
+   simplify; intros; whd; split;
+       [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
+       | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
+       | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
+       | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
+    simplify;
+    apply prop12;
+    apply prop22;[2,4,6,8: apply rule #;]
+    apply (respects_comp2 ?? POW (concr o1) (concr o2) (concr o3) f1\sub\c f2\sub\c);
+qed.
+
+definition BP_to_OBP: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BP) OBP).
+ constructor 1;
+  [ apply o_basic_pair_of_basic_pair;
+  | intros; apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism;
+  | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_id;
+  | apply o_relation_pair_of_relation_pair_morphism_respects_comp;]
+qed.
+
+theorem BP_to_OBP_faithful:
+ ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BP) S T.
+   BP_to_OBP⎽⇒ f = BP_to_OBP⎽⇒ g → f=g.
+ intros; change with ( (⊩) ∘ f \sub \c = (⊩) ∘ g \sub \c);
+ apply (POW_faithful);
+ apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
+ apply sym2;
+ apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
+ apply sym2;
+ apply e;
+qed.
+
+theorem BP_to_OBP_full: 
+   ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg:arrows2 ? S T. BP_to_OBP⎽⇒ g = f).
+ intros; 
+ cases (POW_full (concr S) (concr T) (Oconcr_rel ?? f)) (gc Hgc);
+ cases (POW_full (form S) (form T) (Oform_rel ?? f)) (gf Hgf);
+ exists[
+   constructor 1; [apply gc|apply gf]
+   apply (POW_faithful);
+   apply (let xxxx ≝POW in .= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) gc (rel T));
+   apply rule (.= Hgc‡#);
+   apply (.= Ocommute ?? f);
+   apply (.= #‡Hgf^-1);
+   apply (let xxxx ≝POW in (respects_comp2 ?? POW (concr S) (form S) (form T) (rel S) gf)^-1)]
+ split;
+  [ change in match or_f_minus_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus_star q w) x); 
+  | change in match or_f_minus_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_minus q w) x);
+  | change in match or_f_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f q w) x);
+  | change in match or_f_star_ with (λq,w,x.fun12 ?? (or_f_star q w) x);]
+ simplify; apply (†(Hgc‡#));
+qed.   
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..0c153b9
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,204 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/relations.ma".
+include "formal_topology/saturations.ma".
+
+record basic_topology: Type1 ≝
+ { carrbt:> REL;
+   A: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
+   J: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
+   A_is_saturation: is_saturation ? A;
+   J_is_reduction: is_reduction ? J;
+   compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) =_1 (U ≬ J V)
+ }.
+
+record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type1 ≝
+ { cont_rel:> arrows1 ? S T;
+   reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
+   saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
+ }. 
+
+definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
+ intros (S T); constructor 1;
+  [ apply (continuous_relation S T)
+  | constructor 1;
+     [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
+     | simplify; intros; apply refl1;
+     | simplify; intros (x y H); apply sym1; apply H
+     | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f |3: apply f1; |1: skip]]]
+qed.
+
+definition continuos_relation_of_continuous_relation_setoid :
+ ∀P,Q. continuous_relation_setoid P Q → continuous_relation P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion continuos_relation_of_continuous_relation_setoid.
+
+axiom continuous_relation_eq':
+ ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
+(*
+ intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
+  [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
+    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
+    cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
+    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
+    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
+     [ apply I | assumption ]
+  | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
+    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
+    cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
+    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
+    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
+     [ apply I | assumption ]]
+qed.*)
+
+axiom continuous_relation_eq_inv':
+ ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
+(* intros 6;
+ cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → 
+   ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
+  [2: clear b H a' a; intros;
+      lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
+       (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
+       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
+        [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
+            apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
+       clear Hletin;
+       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
+        [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
+       (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
+      intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
+      unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
+      whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
+      apply (if ?? (A_is_saturation ???));
+      intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
+       [ apply refl | cases H; assumption; ]
+      change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
+      apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
+      assumption;]
+ split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
+qed.
+*)
+
+definition continuous_relation_comp:
+ ∀o1,o2,o3.
+  continuous_relation_setoid o1 o2 →
+   continuous_relation_setoid o2 o3 →
+    continuous_relation_setoid o1 o3.
+ intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
+  [ apply (s ∘ r)
+  | intros;
+    apply sym1;
+    apply (.= †(image_comp ??????));
+    apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
+     [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
+     | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
+       apply refl1]
+     | intros;
+       apply sym1;
+       apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
+       apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
+        [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
+        | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
+          apply refl1]]
+qed.
+
+definition BTop: category1.
+ constructor 1;
+  [ apply basic_topology
+  | apply continuous_relation_setoid
+  | intro; constructor 1;
+     [ apply id1
+     | intros;
+       apply (.= (image_id ??));
+       apply sym1;
+       apply (.= †(image_id ??));
+       apply sym1;
+       assumption
+     | intros;
+       apply (.= (minus_star_image_id ??));
+       apply sym1;
+       apply (.= †(minus_star_image_id ??));
+       apply sym1;
+       assumption]
+  | intros; constructor 1;
+     [ apply continuous_relation_comp;
+     | intros; simplify; intro x; simplify;
+       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e) as H';
+       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e1) as H1';
+       letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
+       cut (∀X:Ω \sup o1.
+              minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
+            = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
+        [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
+       clear K H' H1';
+alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
+cut (∀X:Ω^o1.
+              minus_star_image ?? (b ∘ a) (A o1 X) =_1 minus_star_image ?? (b'∘a') (A o1 X));
+        [2: intro;
+            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
+            apply (.= #‡(saturated ?????));
+             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
+            apply sym1; 
+            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
+            apply (.= #‡(saturated ?????));
+             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
+           apply ((Hcut X) \sup -1)]
+       clear Hcut; generalize in match x; clear x;
+       apply (continuous_relation_eq_inv');
+       apply Hcut1;]
+  | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
+    alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
+alias symbol "refl" (instance 5) = "refl1".
+alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
+alias symbol "prop1" (instance 2) = "prop11".
+alias symbol "assoc" (instance 4) = "category1 assoc".
+apply (.= †(ASSOC‡#));
+    apply refl1
+  | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
+    apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
+    apply refl1
+  | intros; simplify; intro; simplify;
+    apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
+    apply refl1]
+qed.
+
+(*
+(*CSC: unused! *)
+(* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
+theorem continuous_relation_eqS:
+ ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
+ intros;
+ cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
+  [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
+      try assumption; split; assumption]
+ cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
+  [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
+      apply (. #‡(H1 ?));
+      apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
+      assumption;] clear Hcut;
+ split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
+  [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
+  cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
+ cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
+  [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
+      exists [1,3: apply w] split; assumption;]
+ cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
+  [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
+ apply Hcut2; assumption.
+qed.
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index 36a0d24..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,199 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "formal_topology/relations.ma".
-include "datatypes/categories.ma".
-include "formal_topology/saturations_reductions.ma".
-
-record basic_topology: Type ≝
- { carrbt:> REL;
-   A: unary_morphism (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
-   J: unary_morphism (Ω \sup carrbt) (Ω \sup carrbt);
-   A_is_saturation: is_saturation ? A;
-   J_is_reduction: is_reduction ? J;
-   compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) = (U ≬ J V)
- }.
-
-record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type ≝
- { cont_rel:> arrows1 ? S T;
-   reduced: ∀U. U = J ? U → image ?? cont_rel U = J ? (image ?? cont_rel U);
-   saturated: ∀U. U = A ? U → minus_star_image ?? cont_rel U = A ? (minus_star_image ?? cont_rel U)
- }. 
-
-definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (continuous_relation S T)
-  | constructor 1;
-     [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
-     | simplify; intros; apply refl1;
-     | simplify; intros; apply sym1; apply H
-     | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
-qed.
-
-definition cont_rel': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → arrows1 ? S T ≝ cont_rel.
-
-coercion cont_rel'.
-
-definition cont_rel'': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → binary_relation S T ≝ cont_rel.
-
-coercion cont_rel''.
-
-theorem continuous_relation_eq':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X).
- intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-  [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]
-  | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
-    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
-    cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
-    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
-    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
-     [ apply I | assumption ]]
-qed.
-
-theorem continuous_relation_eq_inv':
- ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → a=a'.
- intros 6;
- cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  (∀X.minus_star_image ?? a (A o1 X) = minus_star_image ?? a' (A o1 X)) → 
-   ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
-  [2: clear b H a' a; intros;
-      lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
-       (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
-            apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
-       clear Hletin;
-       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
-        [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
-       (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
-      intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
-      unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
-      whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
-      apply (if ?? (A_is_saturation ???));
-      intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
-       [ apply refl | cases H; assumption; ]
-      change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
-      apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
-      assumption;]
- split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
-qed.
-
-definition continuous_relation_comp:
- ∀o1,o2,o3.
-  continuous_relation_setoid o1 o2 →
-   continuous_relation_setoid o2 o3 →
-    continuous_relation_setoid o1 o3.
- intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
-  [ apply (s ∘ r)
-  | intros;
-    apply sym1;
-    apply (.= †(image_comp ??????));
-    apply (.= (reduced ?????)\sup -1);
-     [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
-     | apply (.= (image_comp ??????)\sup -1);
-       apply refl1]
-     | intros;
-       apply sym1;
-       apply (.= †(minus_star_image_comp ??????));
-       apply (.= (saturated ?????)\sup -1);
-        [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
-        | apply (.= (minus_star_image_comp ??????)\sup -1);
-          apply refl1]]
-qed.
-
-definition BTop: category1.
- constructor 1;
-  [ apply basic_topology
-  | apply continuous_relation_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id1
-     | intros;
-       apply (.= (image_id ??));
-       apply sym1;
-       apply (.= †(image_id ??));
-       apply sym1;
-       assumption
-     | intros;
-       apply (.= (minus_star_image_id ??));
-       apply sym1;
-       apply (.= †(minus_star_image_id ??));
-       apply sym1;
-       assumption]
-  | intros; constructor 1;
-     [ apply continuous_relation_comp;
-     | intros; simplify; intro x; simplify;
-       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H) as H';
-       lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? H1) as H1';
-       letin K ≝ (λX.H1' (minus_star_image ?? a (A ? X))); clearbody K;
-       cut (∀X:Ω \sup o1.
-              minus_star_image o2 o3 b (A o2 (minus_star_image o1 o2 a (A o1 X)))
-            = minus_star_image o2 o3 b' (A o2 (minus_star_image o1 o2 a' (A o1 X))));
-        [2: intro; apply sym1; apply (.= #‡(†((H' ?)\sup -1))); apply sym1; apply (K X);]
-       clear K H' H1';
-       cut (∀X:Ω \sup o1.
-              minus_star_image o1 o3 (b ∘ a) (A o1 X) = minus_star_image o1 o3 (b'∘a') (A o1 X));
-        [2: intro;
-            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
-            apply (.= #‡(saturated ?????));
-             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
-            apply sym1; 
-            apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
-            apply (.= #‡(saturated ?????));
-             [ apply ((saturation_idempotent ????) \sup -1); apply A_is_saturation ]
-           apply ((Hcut X) \sup -1)]
-       clear Hcut; generalize in match x; clear x;
-       apply (continuous_relation_eq_inv');
-       apply Hcut1;]
-  | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
-    apply (.= †(ASSOC1‡#));
-    apply refl1
-  | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
-    apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
-    apply refl1
-  | intros; simplify; intro; simplify;
-    apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
-    apply refl1]
-qed.
-
-(*CSC: unused! *)
-(* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
-theorem continuous_relation_eqS:
- ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
-  a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
- intros;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
-  [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
-      try assumption; split; assumption]
- cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
-  [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
-      apply (. #‡(H1 ?));
-      apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
-      assumption;] clear Hcut;
- split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
-  [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
-  cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
- cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
-  [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
-      exists [1,3: apply w] split; assumption;]
- cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
-  [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
- apply Hcut2; assumption.
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/basic_topologies_to_o-basic_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..88f9e23
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,87 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_topologies.ma".
+include "formal_topology/o-basic_topologies.ma".
+include "formal_topology/relations_to_o-algebra.ma".
+
+definition o_basic_topology_of_basic_topology: basic_topology → Obasic_topology.
+ intros (b); constructor 1;
+  [ apply (POW' b) | apply (A b) | apply (J b);
+  | apply (A_is_saturation b) | apply (J_is_reduction b) | apply (compatibility b) ]
+qed.
+
+definition o_continuous_relation_of_continuous_relation:
+ ∀BT1,BT2.continuous_relation BT1 BT2 →
+  Ocontinuous_relation (o_basic_topology_of_basic_topology BT1) (o_basic_topology_of_basic_topology BT2).
+ intros (BT1 BT2 c); constructor 1;
+  [ apply (orelation_of_relation ?? c) | apply (reduced ?? c) | apply (saturated ?? c) ]
+qed.
+
+axiom daemon: False.
+
+lemma o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism :
+  ∀S,T:category2_of_category1 BTop.
+  unary_morphism2 (arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T)
+   (arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_basic_topology S) (o_basic_topology_of_basic_topology T)).
+intros (S T);
+   constructor 1;
+     [ apply (o_continuous_relation_of_continuous_relation S T);
+     | cases daemon (*apply (o_relation_pair_of_relation_pair_is_morphism S T)*)]
+qed.
+
+definition BTop_to_OBTop: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 BTop) OBTop).
+ constructor 1;
+  [ apply o_basic_topology_of_basic_topology;
+  | intros; apply o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism;
+  | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_id*);
+  | cases daemon (*apply o_relation_topology_of_relation_topology_morphism_respects_comp*);]
+qed.
+
+(*
+alias symbol "eq" (instance 2) = "setoid1 eq".
+alias symbol "eq" (instance 1) = "setoid2 eq".
+theorem BTop_to_OBTop_faithful:
+ ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 BTop) S T.
+  map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? f = map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop ?? g → f=g.
+ intros; change with (∀b.A ? (ext ?? f b) = A ? (ext ?? g b));
+ apply (POW_faithful);
+ apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) f \sub \c (⊩ \sub T));
+ apply sym2;
+ apply (.= respects_comp2 ?? POW (concr S) (concr T) (form T) g \sub \c (⊩ \sub T));
+ apply sym2;
+ apply e;
+qed.
+
+include "formal_topology/notation.ma".
+
+theorem BTop_to_OBTop_full: 
+   ∀S,T.∀f. exT22 ? (λg. map_arrows2 ?? BTop_to_OBTop S T g = f).
+ intros;
+ cases (POW_full (carrbt S) (carrbt T) (Ocont_rel ?? f)) (g Hg);
+ exists[
+   constructor 1;
+    [ apply g
+    | apply hide; intros; lapply (Oreduced ?? f ? e);
+      cases Hg; lapply (e3 U) as K; apply (.= K);
+      apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
+    | apply hide; intros; lapply (Osaturated ?? f ? e);
+      cases Hg; lapply (e1 U) as K; apply (.= K);
+      apply (.= Hletin); apply rule (†(K^-1));
+    ]
+ | simplify; unfold BTop_to_OBTop; simplify;
+   unfold o_continuous_relation_of_continuous_relation_morphism; simplify;
+   cases Hg; whd; simplify; intro; 
+qed.
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/categories.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/categories.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..a9c2c9d
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,498 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/cprop_connectives.ma".
+
+notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
+for @{ 'eqID $a $b }.
+
+notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
+for @{ cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? $a $b }.
+
+interpretation "ID eq" 'eqID x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y).
+
+record equivalence_relation (A:Type0) : Type1 ≝
+ { eq_rel:2> A → A → CProp0;
+   refl: reflexive ? eq_rel;
+   sym: symmetric ? eq_rel;
+   trans: transitive ? eq_rel
+ }.
+
+record setoid : Type1 ≝
+ { carr:> Type0;
+   eq: equivalence_relation carr
+ }.
+
+record equivalence_relation1 (A:Type1) : Type2 ≝
+ { eq_rel1:2> A → A → CProp1;
+   refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
+   sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
+   trans1: transitive1 ? eq_rel1
+ }.
+
+record setoid1: Type2 ≝
+ { carr1:> Type1;
+   eq1: equivalence_relation1 carr1
+ }.
+
+definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [ apply (carr s)
+  | constructor 1;
+    [ apply (eq_rel s);
+      apply (eq s)
+    | apply (refl s)
+    | apply (sym s)
+    | apply (trans s)]]
+qed.
+
+coercion setoid1_of_setoid.
+prefer coercion Type_OF_setoid.
+
+record equivalence_relation2 (A:Type2) : Type3 ≝
+ { eq_rel2:2> A → A → CProp2;
+   refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
+   sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
+   trans2: transitive2 ? eq_rel2
+ }.
+
+record setoid2: Type3 ≝
+ { carr2:> Type2;
+   eq2: equivalence_relation2 carr2
+ }.
+
+definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [ apply (carr1 s)
+  | constructor 1;
+    [ apply (eq_rel1 s);
+      apply (eq1 s)
+    | apply (refl1 s)
+    | apply (sym1 s)
+    | apply (trans1 s)]]
+qed.
+
+coercion setoid2_of_setoid1.
+prefer coercion Type_OF_setoid2. 
+prefer coercion Type_OF_setoid. 
+prefer coercion Type_OF_setoid1.
+(* we prefer 0 < 1 < 2 *)
+
+record equivalence_relation3 (A:Type3) : Type4 ≝
+ { eq_rel3:2> A → A → CProp3;
+   refl3: reflexive3 ? eq_rel3;
+   sym3: symmetric3 ? eq_rel3;
+   trans3: transitive3 ? eq_rel3
+ }.
+
+record setoid3: Type4 ≝
+ { carr3:> Type3;
+   eq3: equivalence_relation3 carr3
+ }.
+
+interpretation "setoid3 eq" 'eq t x y = (eq_rel3 ? (eq3 t) x y).
+interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
+interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
+interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
+
+notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
+for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
+notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
+for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
+notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
+for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
+notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
+for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
+notation > "hvbox(a break =_3 b)" non associative with precedence 45
+for @{ eq_rel3 ? (eq3 ?) $a $b }.
+
+interpretation "setoid3 symmetry" 'invert r = (sym3 ???? r).
+interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
+interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
+interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
+notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
+interpretation "trans3" 'trans r = (trans3 ????? r).
+interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
+interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
+interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
+
+record unary_morphism (A,B: setoid) : Type0 ≝
+ { fun1:1> A → B;
+   prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
+ }.
+
+record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type1 ≝
+ { fun11:1> A → B;
+   prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
+ }.
+
+record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type2 ≝
+ { fun12:1> A → B;
+   prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
+ }.
+
+record unary_morphism3 (A,B: setoid3) : Type3 ≝
+ { fun13:1> A → B;
+   prop13: ∀a,a'. eq3 ? a a' → eq3 ? (fun13 a) (fun13 a')
+ }.
+
+record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type0 ≝
+ { fun2:2> A → B → C;
+   prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
+ }.
+
+record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type1 ≝
+ { fun21:2> A → B → C;
+   prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
+ }.
+
+record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type2 ≝
+ { fun22:2> A → B → C;
+   prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
+ }.
+
+record binary_morphism3 (A,B,C:setoid3) : Type3 ≝
+ { fun23:2> A → B → C;
+   prop23: ∀a,a',b,b'. eq3 ? a a' → eq3 ? b b' → eq3 ? (fun23 a b) (fun23 a' b')
+ }.
+
+notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
+notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
+notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
+interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
+interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
+interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
+interpretation "prop13" 'prop1 c = (prop13 ????? c).
+interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
+interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
+interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
+interpretation "prop23" 'prop2 l r = (prop23 ???????? l r).
+interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
+interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
+interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).
+interpretation "refl3" 'refl = (refl3 ???).
+
+notation > "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
+notation > "A × term 74 B ⇒_1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
+notation > "A × term 74 B ⇒_2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
+notation > "A × term 74 B ⇒_3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
+notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
+notation > "B ⇒_1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
+notation > "B ⇒_2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
+notation > "B ⇒_2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
+
+notation "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
+notation "A × term 74 B ⇒\sub 1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
+notation "A × term 74 B ⇒\sub 2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
+notation "A × term 74 B ⇒\sub 3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
+notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
+notation "B ⇒\sub 2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
+notation "B ⇒\sub 1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
+notation "B ⇒\sub 2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
+
+interpretation "'binary_morphism0" 'binary_morphism0 A B C = (binary_morphism A B C).
+interpretation "'arrows2_SET1 low" 'arrows2_SET1 A B = (unary_morphism2 A B).
+interpretation "'arrows2_SET1low" 'arrows2_SET1low A B = (unary_morphism2 A B).
+interpretation "'binary_morphism1" 'binary_morphism1 A B C = (binary_morphism1 A B C).
+interpretation "'binary_morphism2" 'binary_morphism2 A B C = (binary_morphism2 A B C).
+interpretation "'binary_morphism3" 'binary_morphism3 A B C = (binary_morphism3 A B C).
+interpretation "'arrows1_SET low" 'arrows1_SET A B = (unary_morphism1 A B).
+interpretation "'arrows1_SETlow" 'arrows1_SETlow A B = (unary_morphism1 A B).
+
+
+definition unary_morphism2_of_unary_morphism1: 
+  ∀S,T:setoid1.unary_morphism1 S T → unary_morphism2 (setoid2_of_setoid1 S) T.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (fun11 ?? u);
+  | apply (prop11 ?? u); ]
+qed.
+
+definition CPROP: setoid1.
+ constructor 1;
+  [ apply CProp0
+  | constructor 1;
+     [ apply Iff
+     | intros 1; split; intro; assumption
+     | intros 3; cases i; split; assumption
+     | intros 5; cases i; cases i1; split; intro;
+        [ apply (f2 (f x1)) | apply (f1 (f3 z1))]]]
+qed.
+
+definition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp0 ≝ λx.x.
+coercion CProp0_of_CPROP.
+
+alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
+definition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
+ intros; apply (fi ?? e); assumption.
+qed.
+
+notation ". r" with precedence 50 for @{'fi $r}.
+interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
+
+definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
+ constructor 1;
+  [ apply And
+  | intros; split; intro; cases a1; split;
+     [ apply (if ?? e a2)
+     | apply (if ?? e1 b1)
+     | apply (fi ?? e a2)
+     | apply (fi ?? e1 b1)]]
+qed.
+
+interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ??? and_morphism a b).
+
+definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
+ constructor 1;
+  [ apply Or
+  | intros; split; intro; cases o; [1,3:left |2,4: right]
+     [ apply (if ?? e a1)
+     | apply (fi ?? e a1)
+     | apply (if ?? e1 b1)
+     | apply (fi ?? e1 b1)]]
+qed.
+
+interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ??? or_morphism a b).
+
+definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
+ constructor 1;
+  [ apply (λA,B. A → B)
+  | intros; split; intros;
+     [ apply (if ?? e1); apply f; apply (fi ?? e); assumption
+     | apply (fi ?? e1); apply f; apply (if ?? e); assumption]]
+qed.
+
+notation > "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 55 for @{ comp ??? $a $b }.
+record category : Type1 ≝ { 
+   objs:> Type0;
+   arrows: objs → objs → setoid;
+   id: ∀o:objs. arrows o o;
+   comp: ∀o1,o2,o3. (arrows o1 o2) × (arrows o2 o3) ⇒ (arrows o1 o3);
+   comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4.∀a12:arrows o1 ?.∀a23:arrows o2 ?.∀a34:arrows o3 o4.
+     (a12 ∘ a23) ∘ a34 =_0 a12 ∘ (a23 ∘ a34);
+   id_neutral_left : ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. (id o1) ∘ a =_0 a;
+   id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. a ∘ (id o2) =_0 a
+}.
+notation "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 55 for @{ 'compose $a $b }.
+
+record category1 : Type2 ≝
+ { objs1:> Type1;
+   arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
+   id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
+   comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
+   comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
+    comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_1 comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
+   id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a =_1 a;
+   id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) =_1 a
+ }.
+
+record category2 : Type3 ≝
+ { objs2:> Type2;
+   arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
+   id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
+   comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
+   comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
+    comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_2 comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
+   id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a =_2 a;
+   id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) =_2 a
+ }.
+
+record category3 : Type4 ≝
+ { objs3:> Type3;
+   arrows3: objs3 → objs3 → setoid3;
+   id3: ∀o:objs3. arrows3 o o;
+   comp3: ∀o1,o2,o3. binary_morphism3 (arrows3 o1 o2) (arrows3 o2 o3) (arrows3 o1 o3);
+   comp_assoc3: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
+    comp3 o1 o3 o4 (comp3 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_3 comp3 o1 o2 o4 a12 (comp3 o2 o3 o4 a23 a34);
+   id_neutral_right3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? (id3 o1) a =_3 a;
+   id_neutral_left3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? a (id3 o2) =_3 a
+ }.
+
+notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
+
+interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ??? (comp2 ????) y x).
+interpretation "category2 assoc" 'assoc = (comp_assoc2 ????????).
+interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ??? (comp1 ????) y x).
+interpretation "category1 assoc" 'assoc = (comp_assoc1 ????????).
+interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ??? (comp ????) y x).
+interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
+
+definition category2_of_category1: category1 → category2.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [ apply (objs1 c);
+  | intros; apply (setoid2_of_setoid1 (arrows1 c o o1));
+  | apply (id1 c);
+  | intros;
+    constructor 1;
+     [ intros; apply (comp1 c o1 o2 o3 c1 c2);
+     | intros; unfold setoid2_of_setoid1 in e e1 a a' b b'; simplify in e e1 a a' b b'; 
+       change with ((b∘a) =_1 (b'∘a')); apply (e‡e1); ]
+  | intros; simplify; whd in a12 a23 a34; whd; apply rule (ASSOC);
+  | intros; simplify; whd in a; whd; apply id_neutral_right1;
+  | intros; simplify; whd in a; whd; apply id_neutral_left1; ]
+qed.
+(*coercion category2_of_category1.*)
+
+record functor2 (C1: category2) (C2: category2) : Type3 ≝
+ { map_objs2:1> C1 → C2;
+   map_arrows2: ∀S,T. unary_morphism2 (arrows2 ? S T) (arrows2 ? (map_objs2 S) (map_objs2 T));
+   respects_id2: ∀o:C1. map_arrows2 ?? (id2 ? o) = id2 ? (map_objs2 o);
+   respects_comp2:
+     ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows2 ? o1 o2.∀f2:arrows2 ? o2 o3.
+     map_arrows2 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows2 ?? f2 ∘ map_arrows2 ?? f1}.
+
+notation > "F⎽⇒ x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows2 $F $x}.
+notation "F\sub⇒ x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows2 $F $x}.
+interpretation "map_arrows2" 'map_arrows2 F x = (fun12 ?? (map_arrows2 ?? F ??) x).
+
+definition functor2_setoid: category2 → category2 → setoid3.
+ intros (C1 C2);
+ constructor 1;
+  [ apply (functor2 C1 C2);
+  | constructor 1;
+     [ intros (f g);
+       apply (∀c:C1. cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? (f c) (g c));
+     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1);
+     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con; apply H;
+     | simplify; intros; apply cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con;
+        [2: apply H; | skip | apply H1;]]]
+qed.
+
+definition functor2_of_functor2_setoid: ∀S,T. functor2_setoid S T → functor2 S T ≝ λS,T,x.x.
+coercion functor2_of_functor2_setoid.
+
+definition CAT2: category3.
+ constructor 1;
+  [ apply category2;
+  | apply functor2_setoid;
+  | intros; constructor 1;
+     [ apply (λx.x);
+     | intros; constructor 1;
+        [ apply (λx.x);
+        | intros; assumption;]
+     | intros; apply rule #;
+     | intros; apply rule #; ]
+  | intros; constructor 1;
+     [ intros; constructor 1;
+        [ intros; apply (c1 (c o));
+        | intros; constructor 1;
+           [ intro; apply (map_arrows2 ?? c1 ?? (map_arrows2 ?? c ?? c2));
+           | intros; apply (††e); ]
+        | intros; simplify;
+          apply (.= †(respects_id2 : ?));
+          apply (respects_id2 : ?);
+        | intros; simplify;
+          apply (.= †(respects_comp2 : ?));
+          apply (respects_comp2 : ?); ]
+        | intros; intro; simplify;
+          apply (cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e ?));
+          apply (cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e1 ?));
+          constructor 1; ]
+        | intros; intro; simplify; constructor 1;
+        | intros; intro; simplify; constructor 1;
+        | intros; intro; simplify; constructor 1; ]
+qed.
+
+definition category2_of_objs3_CAT2: objs3 CAT2 → category2 ≝ λx.x.
+coercion category2_of_objs3_CAT2.
+
+definition functor2_setoid_of_arrows3_CAT2: ∀S,T. arrows3 CAT2 S T → functor2_setoid S T ≝ λS,T,x.x.
+coercion functor2_setoid_of_arrows3_CAT2.
+
+definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (unary_morphism s s1);
+  | constructor 1;
+     [ intros (f g); apply (∀a:s. eq ? (f a) (g a));
+     | intros 1; simplify; intros; apply refl;
+     | simplify; intros; apply sym; apply f;
+     | simplify; intros; apply trans; [2: apply f; | skip | apply f1]]]
+qed.
+
+definition SET: category1.
+ constructor 1;
+  [ apply setoid;
+  | apply rule (λS,T:setoid.setoid1_of_setoid (unary_morphism_setoid S T));
+  | intros; constructor 1; [ apply (λx:carr o.x); | intros; assumption ]
+  | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. c1 (c x)); | intros;
+     apply († (†e));]
+  | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
+    apply trans; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
+     [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
+  | intros; whd; intros; simplify; apply refl;
+  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
+  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
+  ]
+qed.
+
+definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid ≝ λx.x.
+coercion setoid_of_SET.
+
+definition unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET: 
+  ∀P,Q.arrows1 SET P Q → unary_morphism_setoid P Q  ≝ λP,Q,x.x.
+coercion unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET.
+
+interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_SET A B = (arrows1 SET A B).
+
+definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (unary_morphism1 s s1);
+  | constructor 1;
+     [ intros (f g);
+       alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
+       apply (∀a: carr1 s. f a = g a);
+     | intros 1; simplify; intros; apply refl1;
+     | simplify; intros; apply sym1; apply f;
+     | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f; | skip | apply f1]]]
+qed.
+
+definition unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1 : 
+  ∀S,T. unary_morphism1_setoid1 S T → unary_morphism1 S T ≝ λP,Q,x.x.
+coercion unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1.
+
+definition SET1: objs3 CAT2.
+ constructor 1;
+  [ apply setoid1;
+  | apply rule (λS,T.setoid2_of_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 S T));
+  | intros; constructor 1; [ apply (λx.x); | intros; assumption ]
+  | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. c1 (c x)); | intros;
+     apply († (†e));]
+  | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
+    apply trans1; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
+     [ apply Hletin | apply (e a1); ]  | apply e1; ]]
+  | intros; whd; intros; simplify; apply refl1;
+  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
+  | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl1;
+  ]
+qed.
+
+interpretation "'arrows2_SET1" 'arrows2_SET1 A B = (arrows2 SET1 A B).
+
+definition setoid1_of_SET1: objs2 SET1 → setoid1 ≝ λx.x.
+coercion setoid1_of_SET1.
+
+definition unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1: 
+  ∀P,Q.arrows2 SET1 P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1.
+variant objs2_of_category1: objs1 SET → objs2 SET1 ≝ setoid1_of_setoid.
+coercion objs2_of_category1.
+
+prefer coercion Type_OF_setoid. (* we prefer the lower carrier projection *)
+prefer coercion Type_OF_objs1.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..69ff6f1
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,109 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_pairs.ma".
+
+(* carr1 e' necessario perche' ci sega via la coercion per gli oggetti di REL!
+   (confondendola con la coercion per gli oggetti di SET
+record concrete_space : Type1 ≝
+ { bp:> BP;
+   converges: ∀a: carr1 (concr bp).∀U,V: carr1 (form bp). a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
+   all_covered: ∀x: carr1 (concr bp). x ⊩ form bp
+ }.
+
+record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type1 ≝
+ { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
+   respects_converges:
+    ∀b,c.
+     minus_image ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
+     BPextS CS1 ((minus_image ?? rp \sub\f b) ↓ (minus_image ?? rp \sub\f c));
+   respects_all_covered:
+    minus_image ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (full_subset (form CS2))) = BPextS CS1 (full_subset (form CS1))
+ }.
+
+definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (convergent_relation_pair c c1)
+  | constructor 1;
+     [ intros;
+       apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
+     | intros 1; apply refl1;
+     | intros 2; apply sym1; 
+     | intros 3; apply trans1]]
+qed.
+
+definition convergent_relation_space_composition:
+ ∀o1,o2,o3: concrete_space.
+  binary_morphism1
+   (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
+   (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
+   (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
+ intros; constructor 1;
+     [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
+       constructor 1;
+        [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
+        | intros;
+          change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
+          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
+            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
+          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
+            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
+          apply (.= (extS_com ??????));
+          apply (.= (†(respects_converges ?????)));
+          apply (.= (respects_converges ?????));
+          apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
+          apply refl1;
+        | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
+          apply (.= (extS_com ??????));
+          apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
+          apply (.= respects_all_covered ???);
+          apply refl1]
+     | intros;
+       change with (b ∘ a = b' ∘ a');
+       change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
+       change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
+       apply (.= (H‡H1));
+       apply refl1]
+qed.
+
+definition CSPA: category1.
+ constructor 1;
+  [ apply concrete_space
+  | apply convergent_relation_space_setoid
+  | intro; constructor 1;
+     [ apply id1
+     | intros;
+       unfold id; simplify;
+       apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
+       apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
+                    (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
+       apply refl1;
+     | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
+       apply refl1]
+  | apply convergent_relation_space_composition
+  | intros; simplify;
+    change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
+    apply (.= ASSOC1);
+    apply refl1
+  | intros; simplify;
+    change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
+    apply (.= id_neutral_right1 ????);
+    apply refl1
+  | intros; simplify;
+    change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
+    apply (.= id_neutral_left1 ????);
+    apply refl1]
+qed.
+*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index 3c03b4e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,120 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "formal_topology/basic_pairs.ma".
-
-record concrete_space : Type ≝
- { bp:> BP;
-   converges: ∀a: concr bp.∀U,V: form bp. a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
-   all_covered: ∀x: concr bp. x ⊩ form bp
- }.
-
-definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
-
-coercion bp'.
-
-record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
- { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
-   respects_converges:
-    ∀b,c.
-     extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
-     BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
-   respects_all_covered:
-    extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)
- }.
-
-definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
- λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
-coercion rp'.
-
-definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
- intros;
- constructor 1;
-  [ apply (convergent_relation_pair c c1)
-  | constructor 1;
-     [ intros;
-       apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
-     | intros 1; apply refl1;
-     | intros 2; apply sym1; 
-     | intros 3; apply trans1]]
-qed.
-
-definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
- λCS1,CS2,c.rp ?? c.
-
-coercion rp''.
-
-definition convergent_relation_space_composition:
- ∀o1,o2,o3: concrete_space.
-  binary_morphism1
-   (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
-   (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
-   (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-     [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
-       constructor 1;
-        [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
-        | intros;
-          change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
-          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
-            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
-          change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
-            with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
-          apply (.= (extS_com ??????));
-          apply (.= (†(respects_converges ?????)));
-          apply (.= (respects_converges ?????));
-          apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
-          apply refl1;
-        | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
-          apply (.= (extS_com ??????));
-          apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
-          apply (.= respects_all_covered ???);
-          apply refl1]
-     | intros;
-       change with (b ∘ a = b' ∘ a');
-       change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
-       change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
-       apply (.= (H‡H1));
-       apply refl1]
-qed.
-
-definition CSPA: category1.
- constructor 1;
-  [ apply concrete_space
-  | apply convergent_relation_space_setoid
-  | intro; constructor 1;
-     [ apply id1
-     | intros;
-       unfold id; simplify;
-       apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
-       apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
-                    (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
-       apply refl1;
-     | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
-       apply refl1]
-  | apply convergent_relation_space_composition
-  | intros; simplify;
-    change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
-    apply (.= ASSOC1);
-    apply refl1
-  | intros; simplify;
-    change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
-    apply (.= id_neutral_right1 ????);
-    apply refl1
-  | intros; simplify;
-    change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
-    apply (.= id_neutral_left1 ????);
-    apply refl1]
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/concrete_spaces_to_o-concrete_spaces.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..29ff075
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,52 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/concrete_spaces.ma".
+include "formal_topology/o-concrete_spaces.ma".
+include "formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
+
+(*
+(* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
+definition o_concrete_space_of_concrete_space: cic:/matita/formal_topology/concrete_spaces/concrete_space.ind#xpointer(1/1) → concrete_space.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [ apply (o_basic_pair_of_basic_pair (bp c));
+  | lapply depth=0 (downarrow c);
+    constructor 1;
+     [ apply 
+     |
+    apply (o_operator_of_operator);fintersectsS);
+  |
+  |
+  |
+  |
+  |
+  ]
+qed.
+
+definition o_convergent_relation_pair_of_convergent_relation_pair:
+ ∀BP1,BP2.cic:/matita/formal_topology/concrete_spaces/convergent_relation_pair.ind#xpointer(1/1) BP1 BP2 →
+  convergent_relation_pair (o_concrete_space_of_concrete_space BP1) (o_concrete_space_of_concrete_space BP2).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \c));
+  | apply (orelation_of_relation ?? (r \sub \f));
+  | lapply (commute ?? r);
+    lapply (orelation_of_relation_preserves_equality ???? Hletin);
+    apply (.= (orelation_of_relation_preserves_composition (concr BP1) ??? (rel BP2)) ^ -1);
+    apply (.= (orelation_of_relation_preserves_equality ???? (commute ?? r)));
+    apply (orelation_of_relation_preserves_composition ?? (form BP2)  (rel BP1) ?); ]
+qed.
+
+*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/cprop_connectives.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/cprop_connectives.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..a1faba3
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,192 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "logic/connectives.ma".
+
+definition Type4 : Type := Type.
+definition Type3 : Type4 := Type.
+definition Type2 : Type3 := Type.
+definition Type1 : Type2 := Type.
+definition Type0 : Type1 := Type.
+
+definition Type_of_Type0: Type0 → Type := λx.x.
+definition Type_of_Type1: Type1 → Type := λx.x.
+definition Type_of_Type2: Type2 → Type := λx.x.
+definition Type_of_Type3: Type3 → Type := λx.x.
+definition Type_of_Type4: Type4 → Type := λx.x.
+coercion Type_of_Type0.
+coercion Type_of_Type1.
+coercion Type_of_Type2.
+coercion Type_of_Type3.
+coercion Type_of_Type4.
+
+definition CProp0 : Type1 := Type0.
+definition CProp1 : Type2 := Type1.
+definition CProp2 : Type3 := Type2.
+definition CProp3 : Type4 := Type3.
+definition CProp_of_CProp0: CProp0 → CProp ≝ λx.x.
+definition CProp_of_CProp1: CProp1 → CProp ≝ λx.x.
+definition CProp_of_CProp2: CProp2 → CProp ≝ λx.x.
+definition CProp_of_CProp3: CProp3 → CProp ≝ λx.x.
+coercion CProp_of_CProp0.
+coercion CProp_of_CProp1.
+coercion CProp_of_CProp2.
+coercion CProp_of_CProp3.
+
+inductive Or (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
+ | Left : A → Or A B
+ | Right : B → Or A B.
+
+interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
+
+inductive Or3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
+ | Left3 : A → Or3 A B C
+ | Middle3 : B → Or3 A B C
+ | Right3 : C → Or3 A B C.
+
+interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
+
+notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
+
+inductive Or4 (A,B,C,D:CProp0) : CProp0 ≝
+ | Left3 : A → Or4 A B C D
+ | Middle3 : B → Or4 A B C D
+ | Right3 : C → Or4 A B C D
+ | Extra3: D → Or4 A B C D.
+
+interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
+
+notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
+
+inductive And (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
+ | Conj : A → B → And A B.
+interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
+
+inductive And3 (A,B,C:CProp0) : CProp0 ≝
+ | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
+
+notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
+interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
+
+inductive And42 (A,B,C,D:CProp2) : CProp2 ≝
+ | Conj42 : A → B → C → D → And42 A B C D.
+
+notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
+interpretation "constructive quaternary and2" 'and4 x y z t = (And42 x y z t).
+
+record Iff (A,B:CProp0) : CProp0 ≝
+ { if: A → B;
+   fi: B → A
+ }.
+record Iff1 (A,B:CProp1) : CProp1 ≝
+ { if1: A → B;
+   fi1: B → A
+ }.
+notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
+interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
+interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
+
+inductive exT22 (A:Type2) (P:A→CProp2) : CProp2 ≝
+  ex_introT22: ∀w:A. P w → exT22 A P.
+  
+interpretation "CProp2 exists" 'exists \eta.x = (exT22 ? x).
+
+definition pi1exT22 ≝ λA,P.λx:exT22 A P.match x with [ex_introT22 x _ ⇒ x].
+definition pi2exT22 ≝ 
+  λA,P.λx:exT22 A P.match x return λx.P (pi1exT22 ?? x) with [ex_introT22 _ p ⇒ p].
+  
+interpretation "exT22 \fst" 'pi1 = (pi1exT22 ? ?).
+interpretation "exT22 \snd" 'pi2 = (pi2exT22 ? ?).
+interpretation "exT22 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT22 ? ? x).
+interpretation "exT22 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT22 ? ? x).
+interpretation "exT22 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT22 ? ? x y).
+interpretation "exT22 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT22 ? ? x y).
+
+inductive exT (A:Type0) (P:A→CProp0) : CProp0 ≝
+  ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
+
+interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT ? x).
+
+notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg" 
+with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
+interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b = 
+  (ex_introT ? ? a b).
+
+
+definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
+definition pi2exT ≝ 
+  λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
+
+interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT ? ?).
+interpretation "exT \fst a" 'pi1a x = (pi1exT ? ? x).
+interpretation "exT \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT ? ? x y).
+interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT ? ?).
+interpretation "exT \snd a" 'pi2a x = (pi2exT ? ? x).
+interpretation "exT \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT ? ? x y).
+
+inductive exT23 (A:Type0) (P:A→CProp0) (Q:A→CProp0) (R:A→A→CProp0) : CProp0 ≝
+  ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
+
+definition pi1exT23 ≝
+  λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
+definition pi2exT23 ≝
+  λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
+
+interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 ? ? ? ?).
+interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 ? ? ? ?).   
+interpretation "exT2 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT23 ? ? ? ? x).
+interpretation "exT2 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT23 ? ? ? ? x).
+interpretation "exT2 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT23 ? ? ? ? x y).
+interpretation "exT2 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT23 ? ? ? ? x y).
+
+inductive exT2 (A:Type0) (P,Q:A→CProp0) : CProp0 ≝
+  ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
+
+
+definition Not : CProp0 → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
+
+interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
+  
+definition cotransitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
+ λC:Type0.λlt:C→C→CProp0.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y. 
+
+definition coreflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
+ λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x:C. ¬ (lt x x).
+
+definition symmetric: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝
+ λC:Type0.λlt:C→C→CProp0. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
+
+definition antisymmetric: ∀A:Type0. ∀R:A→A→CProp0. ∀eq:A→A→Prop.CProp0 ≝
+ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
+
+definition reflexive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x:A.R x x.
+
+definition transitive: ∀C:Type0. ∀lt:C→C→CProp0.CProp0 ≝ λA:Type0.λR:A→A→CProp0.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
+
+definition reflexive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x:A.R x x.
+definition symmetric1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λC:Type1.λlt:C→C→CProp1. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
+definition transitive1: ∀A:Type1.∀R:A→A→CProp1.CProp1 ≝ λA:Type1.λR:A→A→CProp1.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
+
+definition reflexive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x:A.R x x.
+definition symmetric2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λC:Type2.λlt:C→C→CProp2. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
+definition transitive2: ∀A:Type2.∀R:A→A→CProp2.CProp2 ≝ λA:Type2.λR:A→A→CProp2.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
+
+definition reflexive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x:A.R x x.
+definition symmetric3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λC:Type3.λlt:C→C→CProp3. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
+definition transitive3: ∀A:Type3.∀R:A→A→CProp3.CProp3 ≝ λA:Type3.λR:A→A→CProp3.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..177eb45
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,97 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_topologies.ma".
+
+(*
+definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
+    intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
+    split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
+  | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
+    try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
+qed.
+
+interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 ?? (downarrow ?) a).
+
+definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
+  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
+qed.
+
+interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects ?) U V).
+
+record formal_topology: Type ≝
+ { bt:> BTop;
+   converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
+ }.
+
+
+definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
+  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
+qed.
+
+interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects' ?) U V).
+
+record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
+ { cr:> continuous_relation_setoid S T;
+   C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
+   C2: extS ?? cr T = S
+ }.
+
+definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
+ intros (S T); constructor 1;
+  [ apply (formal_map S T);
+  | constructor 1;
+     [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
+     | simplify; intros 1; apply refl1
+     | simplify; intros 2; apply sym1
+     | simplify; intros 3; apply trans1]]
+qed.
+
+axiom C1':
+ ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
+  extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
+
+definition formal_map_composition:
+ ∀o1,o2,o3: formal_topology.
+  binary_morphism1
+   (formal_map_setoid o1 o2)
+   (formal_map_setoid o2 o3)
+   (formal_map_setoid o1 o3).
+ intros; constructor 1;
+  [ intros; whd in c c1; constructor 1;
+     [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
+     | intros;
+       apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
+       apply (.= †(C1 ?????));
+       apply (.= (C1' ?????));
+       apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
+       apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
+       apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
+       apply refl1;
+     | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
+       apply (.= (†(C2 ???)));
+       apply (.= (C2 ???));
+       apply refl1;]
+  | intros; simplify;
+    change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
+    apply prop1; assumption]
+qed.
+
+*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/formal_topologies.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index f47323e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,121 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "formal_topology/basic_topologies.ma".
-
-definition btop_carr: BTop → Type ≝ λo:BTop. carr (carrbt o).
-
-coercion btop_carr.
-
-definition btop_carr': BTop → setoid ≝ λo:BTop. carrbt o.
-
-coercion btop_carr'.
-
-definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
-    intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
-    split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
-  | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
-    try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
-qed.
-
-interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 __ (downarrow _) a).
-
-definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects _) U V).
-
-record formal_topology: Type ≝
- { bt:> BTop;
-   converges: ∀U,V: Ω \sup bt. A ? (U ↓ V) = A ? U ∩ A ? V
- }.
-
-definition bt': formal_topology → basic_topology ≝ λo:formal_topology.bt o.
-
-coercion bt'.
-
-definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
-  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
-qed.
-
-interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ___ (ffintersects' _) U V).
-
-record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
- { cr:> continuous_relation_setoid S T;
-   C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
-   C2: extS ?? cr T = S
- }.
-
-definition cr': ∀FT1,FT2.formal_map FT1 FT2 → continuous_relation FT1 FT2 ≝
- λFT1,FT2,c. cr FT1 FT2 c.
-
-coercion cr'.
-
-definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
- intros (S T); constructor 1;
-  [ apply (formal_map S T);
-  | constructor 1;
-     [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
-     | simplify; intros 1; apply refl1
-     | simplify; intros 2; apply sym1
-     | simplify; intros 3; apply trans1]]
-qed.
-
-definition cr'': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 BTop FT1 FT2 ≝
- λFT1,FT2,c.cr ?? c.
-
-coercion cr''.
-
-definition cr''': ∀FT1,FT2.formal_map_setoid FT1 FT2 → arrows1 REL FT1 FT2 ≝
- λFT1,FT2:formal_topology.λc:formal_map_setoid FT1 FT2.cont_rel FT1 FT2 (cr' ?? c).
-
-coercion cr'''.
-
-axiom C1':
- ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
-  extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
-
-definition formal_map_composition:
- ∀o1,o2,o3: formal_topology.
-  binary_morphism1
-   (formal_map_setoid o1 o2)
-   (formal_map_setoid o2 o3)
-   (formal_map_setoid o1 o3).
- intros; constructor 1;
-  [ intros; whd in c c1; constructor 1;
-     [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
-     | intros;
-       apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= †(C1 ?????));
-       apply (.= (C1' ?????));
-       apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
-       apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
-       apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
-       apply refl1;
-     | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
-       apply (.= (†(C2 ???)));
-       apply (.= (C2 ???));
-       apply refl1;]
-  | intros; simplify;
-    change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
-    apply prop1; assumption]
-qed.
-
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/notation.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/notation.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..87ec0e2
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,20 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+notation "hvbox (r \sub \c)"  with precedence 90 for @{'concr_rel $r}.
+notation "hvbox (r \sub \f)"  with precedence 90 for @{'form_rel $r}.
+
+definition hide ≝ λA:Type.λx:A.x.
+
+interpretation "hide" 'hide x = (hide ? x). 
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-algebra.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-algebra.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..ed363cd
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,451 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/categories.ma".
+
+inductive bool : Type0 := true : bool | false : bool.
+
+lemma BOOL : objs1 SET.
+constructor 1; [apply bool] constructor 1;
+[ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
+| whd; simplify; intros; cases x; apply I;
+| whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
+| whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros; 
+  try assumption; apply I]
+qed.
+
+lemma IF_THEN_ELSE_p :
+  ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y → 
+    (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
+    (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
+whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
+intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
+qed.
+
+interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P = 
+  (mk_unary_morphism T ? P ?).
+interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P = 
+  (mk_unary_morphism1 T ? P ?).
+
+notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
+for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
+notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
+for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
+
+interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p = 
+  (mk_unary_morphism s ? f p).
+interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p = 
+  (mk_unary_morphism1 s ? f p).
+
+(* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
+   lattices, Definizione 0.9 *)
+(* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
+
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'If' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'If' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
+
+notation > "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{oa_leq $a $b}.
+notation > "a >< b" non associative with precedence 45 for @{oa_overlap $a $b}.
+notation > "⋁ p" non associative with precedence 45 for @{oa_join ? $p}.
+notation > "⋀ p" non associative with precedence 45 for @{oa_meet ? $p}.
+notation > "𝟙" non associative with precedence 90 for @{oa_one}. 
+notation > "𝟘" non associative with precedence 90 for @{oa_zero}. 
+record OAlgebra : Type2 := {
+  oa_P :> SET1;
+  oa_leq : oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
+  oa_overlap: oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
+  oa_meet: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
+  oa_join: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
+  oa_one: oa_P;
+  oa_zero: oa_P;
+  oa_leq_refl: ∀a:oa_P. a ≤ a; 
+  oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.a ≤ b → b ≤ a → a = b;
+  oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c;
+  oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.a >< b → b >< a;
+  oa_meet_inf: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.p ≤ (⋀ p_i) = (∀i:I.p ≤ (p_i i));
+  oa_join_sup: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.(⋁ p_i) ≤ p = (∀i:I.p_i i ≤ p);
+  oa_zero_bot: ∀p:oa_P.𝟘 ≤ p;
+  oa_one_top: ∀p:oa_P.p ≤ 𝟙;
+  oa_overlap_preserves_meet_: ∀p,q:oa_P.p >< q → 
+        p >< (⋀ { x ∈ BOOL | If x then p else q(*match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ]*) | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
+  oa_join_split: ∀I:SET.∀p.∀q:I ⇒_2 oa_P.p >< (⋁ q) = (∃i:I.p >< (q i));
+  (*oa_base : setoid;
+  1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
+  2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
+  oa_enum : ums oa_base oa_P;
+  oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
+  *)
+  oa_density: ∀p,q.(∀r.p >< r → q >< r) → p ≤ q
+}.
+
+notation "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{ 'leq $a $b }.
+
+interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ??? (oa_leq ?) a b).
+
+notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
+for @{ 'overlap $a $b}.
+interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ??? (oa_overlap ?) a b).
+
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet $p }.
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
+
+notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 60
+for @{ 'oa_meet $f }.
+interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f = 
+  (fun12 ?? (oa_meet ??) f).
+interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f = 
+  (fun12 ?? (oa_meet ??) (mk_unary_morphism1 ?? f ?)).
+
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join $p }.
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
+
+notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 60
+for @{ 'oa_join $f }.
+interpretation "o-algebra join" 'oa_join f = 
+  (fun12 ?? (oa_join ??) f).
+interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f = 
+  (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
+
+definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
+intros; split;
+[ intros (p q); 
+  apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
+| intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
+   [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
+   |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
+   | apply Hletin;]
+  intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
+qed.
+
+interpretation "o-algebra binary meet" 'and a b = 
+  (fun21 ??? (binary_meet ?) a b).
+
+prefer coercion Type1_OF_OAlgebra.
+
+definition binary_join : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
+intros; split;
+[ intros (p q); 
+  apply (∨ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
+| intros; lapply (prop12 ? O (oa_join O BOOL));
+   [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
+   |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
+   | apply Hletin;]
+  intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
+qed.
+
+interpretation "o-algebra binary join" 'or a b = 
+  (fun21 ??? (binary_join ?) a b).
+
+lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
+intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f) as H; clear f;
+(** screenshot "screenoa". *)
+assumption;
+qed.
+
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)" 
+non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
+non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
+notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
+for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
+
+notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 59
+for @{ 'oa_join $f }.
+notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
+for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
+
+interpretation "o-algebra join" 'oa_join f = 
+  (fun12 ?? (oa_join ??) f).
+interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f = 
+  (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
+
+record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type2 ≝ {
+  or_f_ : P ⇒_2 Q;
+  or_f_minus_star_ : P ⇒_2 Q;
+  or_f_star_ : Q ⇒_2 P;
+  or_f_minus_ : Q ⇒_2 P;
+  or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
+  or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
+  or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
+}.
+
+definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
+intros (P Q);
+constructor 1;
+[ apply (ORelation P Q);
+| constructor 1;
+   (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
+      le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
+   [ apply (λp,q. And42 
+             (or_f_minus_star_ ?? p = or_f_minus_star_ ?? q) 
+             (or_f_minus_ ?? p = or_f_minus_ ?? q) 
+             (or_f_ ?? p = or_f_ ?? q) 
+             (or_f_star_ ?? p = or_f_star_ ?? q)); 
+   | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
+   | whd; simplify; intros; cases a; clear a; split; 
+     intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
+   | whd; simplify; intros; cases a; cases a1; clear a a1; split; intro a;
+     [ apply (.= (e a)); apply e4;
+     | apply (.= (e1 a)); apply e5;
+     | apply (.= (e2 a)); apply e6;
+     | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
+qed.
+
+definition ORelation_of_ORelation_setoid : 
+  ∀P,Q.ORelation_setoid P Q → ORelation P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion ORelation_of_ORelation_setoid.
+
+definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply or_f_minus_star_;
+  | intros; cases e; assumption]
+qed.
+
+definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply or_f_;
+  | intros; cases e; assumption]
+qed.
+
+definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply or_f_minus_;
+  | intros; cases e; assumption]
+qed.
+
+definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply or_f_star_;
+  | intros; cases e; assumption]
+qed.
+
+lemma arrows1_of_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒_2 Q). 
+intros; apply (or_f ?? c);
+qed.
+coercion arrows1_of_ORelation_setoid.
+
+notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
+notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
+
+notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
+notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
+
+notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
+notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
+
+interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 ?? (or_f_minus_star ? ?) r).
+interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 ?? (or_f_minus ? ?) r).
+interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 ?? (or_f_star ? ?) r).
+
+definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
+   (F p ≤ q) = (p ≤ F* q).
+intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
+qed.
+
+definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
+   (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
+intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
+qed.
+
+definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
+   (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
+intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
+qed.
+
+definition ORelation_composition : ∀P,Q,R. 
+  (ORelation_setoid P Q) × (ORelation_setoid Q R) ⇒_2 (ORelation_setoid P R).
+intros;
+constructor 1;
+[ intros (F G);
+  constructor 1;
+  [ apply (G ∘ F);
+  | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
+  | apply (F* ∘ G* );
+  | apply (F⎻ ∘ G⎻);
+  | intros; 
+    change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
+    apply (.= (or_prop1 :?));
+    apply (or_prop1 :?);
+  | intros;
+    change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
+    apply (.= (or_prop2 :?));
+    apply or_prop2 ; 
+  | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
+    apply (.= (or_prop3 :?));
+    apply or_prop3;
+  ]
+| intros; split; simplify; 
+   [3: unfold arrows1_of_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
+   |1: apply ((†e)‡(†e1));
+   |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
+qed.
+
+definition OA : category2.
+split;
+[ apply (OAlgebra);
+| intros; apply (ORelation_setoid o o1);
+| intro O; split;
+  [1,2,3,4: apply id2;
+  |5,6,7:intros; apply refl1;] 
+| apply ORelation_composition;
+| intros (P Q R S F G H); split;
+   [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
+     apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
+   | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
+   | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
+   | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
+| intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
+| intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
+qed.
+
+definition OAlgebra_of_objs2_OA: objs2 OA → OAlgebra ≝ λx.x.
+coercion OAlgebra_of_objs2_OA.
+
+definition ORelation_setoid_of_arrows2_OA: 
+  ∀P,Q. arrows2 OA P Q → ORelation_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
+coercion ORelation_setoid_of_arrows2_OA.
+
+prefer coercion Type_OF_objs2.
+
+notation > "B ⇒_\o2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
+notation "B ⇒\sub (\o 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
+interpretation "'arrows2_OA" 'arrows2_OA A B = (arrows2 OA A B).
+
+(* qui la notazione non va *)
+lemma leq_to_eq_join: ∀S:OA.∀p,q:S. p ≤ q → q = (binary_join ? p q).
+ intros;
+ apply oa_leq_antisym;
+  [ apply oa_density; intros;
+    apply oa_overlap_sym;
+    unfold binary_join; simplify;
+    apply (. (oa_join_split : ?));
+    exists; [ apply false ]
+    apply oa_overlap_sym;
+    assumption
+  | unfold binary_join; simplify;
+    apply (. (oa_join_sup : ?)); intro;
+    cases i; whd in ⊢ (? ? ? ? ? % ?);
+     [ assumption | apply oa_leq_refl ]]
+qed.
+
+lemma overlap_monotone_left: ∀S:OA.∀p,q,r:S. p ≤ q → p >< r → q >< r.
+ intros;
+ apply (. (leq_to_eq_join : ?)‡#);
+  [ apply f;
+  | skip
+  | apply oa_overlap_sym;
+    unfold binary_join; simplify;
+    apply (. (oa_join_split : ?));
+    exists [ apply true ]
+    apply oa_overlap_sym;
+    assumption; ]
+qed.
+
+(* Part of proposition 9.9 *)
+lemma f_minus_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻ p ≤ R⎻ q.
+ intros;
+ apply (. (or_prop2 : ?));
+ apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
+qed.
+(* Part of proposition 9.9 *)
+lemma f_minus_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻* p ≤ R⎻* q.
+ intros;
+ apply (. (or_prop2 : ?)^ -1);
+ apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)); apply oa_leq_refl;]
+qed.
+
+(* Part of proposition 9.9 *)
+lemma f_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R p ≤ R q.
+ intros;
+ apply (. (or_prop1 : ?));
+ apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
+qed.
+
+(* Part of proposition 9.9 *)
+lemma f_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R* p ≤ R* q.
+ intros;
+ apply (. (or_prop1 : ?)^ -1);
+ apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)); apply oa_leq_refl;]
+qed.
+
+lemma lemma_10_2_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R⎻* (R⎻ p).
+ intros;
+ apply (. (or_prop2 : ?)^-1);
+ apply oa_leq_refl.
+qed.
+
+lemma lemma_10_2_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* p) ≤ p.
+ intros;
+ apply (. (or_prop2 : ?));
+ apply oa_leq_refl.
+qed.
+
+lemma lemma_10_2_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R* (R p).
+ intros;
+ apply (. (or_prop1 : ?)^-1);
+ apply oa_leq_refl.
+qed.
+
+lemma lemma_10_2_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* p) ≤ p.
+ intros;
+ apply (. (or_prop1 : ?));
+ apply oa_leq_refl.
+qed.
+
+lemma lemma_10_3_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* (R⎻ p)) = R⎻ p.
+ intros; apply oa_leq_antisym;
+  [ apply lemma_10_2_b;
+  | apply f_minus_image_monotone;
+    apply lemma_10_2_a; ]
+qed.
+
+lemma lemma_10_3_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R* (R (R* p)) = R* p.
+ intros; apply oa_leq_antisym;
+  [ apply f_star_image_monotone;
+    apply (lemma_10_2_d ?? R p);
+  | apply lemma_10_2_c; ]
+qed.
+
+lemma lemma_10_3_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R p)) = R p.
+ intros; apply oa_leq_antisym;
+  [ apply lemma_10_2_d;
+  | apply f_image_monotone;
+    apply (lemma_10_2_c ?? R p); ]
+qed.
+
+lemma lemma_10_3_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* p)) = R⎻* p.
+ intros; apply oa_leq_antisym;
+  [ apply f_minus_star_image_monotone;
+    apply (lemma_10_2_b ?? R p);
+  | apply lemma_10_2_a; ]
+qed.
+
+lemma lemma_10_4_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* (R⎻ p))) = R⎻* (R⎻ p).
+ intros; apply (†(lemma_10_3_a ?? R p));
+qed.
+
+lemma lemma_10_4_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R (R* p))) = R (R* p).
+intros; unfold in ⊢ (? ? ? % %); apply (†(lemma_10_3_b ?? R p));
+qed.
+
+lemma oa_overlap_sym': ∀o:OA.∀U,V:o. (U >< V) = (V >< U).
+ intros; split; intro; apply oa_overlap_sym; assumption.
+qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..3cd9699
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,247 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/o-algebra.ma".
+include "formal_topology/notation.ma".
+
+record Obasic_pair: Type2 ≝ { 
+   Oconcr: OA; Oform: OA; Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
+}.
+
+(* FIX *)
+interpretation "o-basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
+interpretation "o-basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
+
+record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type2 ≝ { 
+   Oconcr_rel: (Oconcr BP1) ⇒_\o2 (Oconcr BP2); Oform_rel: (Oform BP1) ⇒_\o2 (Oform BP2);
+   Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel =_2 Oform_rel ∘ ⊩
+}.
+(* FIX *)
+interpretation "o-concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel ?? r). 
+interpretation "o-formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel ?? r). 
+
+definition Orelation_pair_equality:
+ ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
+  | simplify;
+    intros;
+    apply refl2;
+  | simplify;
+    intros 2;
+    apply sym2;
+  | simplify;
+    intros 3;
+    apply trans2;
+  ]      
+qed.
+
+(* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
+definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (Orelation_pair o o1)
+  | apply Orelation_pair_equality
+  ]
+qed.
+
+definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid: 
+  ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
+
+lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r =_2 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_2 r'\sub\f ∘ ⊩.
+ intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
+ apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
+ apply (.= H);
+ apply (.= (Ocommute ?? r'));
+ apply refl2;
+qed.
+
+
+definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
+ intro;
+ constructor 1;
+  [1,2: apply id2;
+  | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
+    lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
+    apply (.= H);
+    apply (H1^-1);]
+qed.
+
+lemma Orelation_pair_composition:
+ ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
+ Orelation_pair_setoid o1 o2 → Orelation_pair_setoid o2 o3→Orelation_pair_setoid o1 o3.
+intros 3 (o1 o2 o3);
+   intros (r r1);
+    constructor 1;
+     [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c) 
+     | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
+     | lapply (Ocommute ?? r) as H;
+       lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
+       apply rule (.= ASSOC);
+       apply (.= #‡H1);
+       apply rule (.= ASSOC ^ -1);
+       apply (.= H‡#);
+       apply rule ASSOC]
+qed.
+
+
+lemma Orelation_pair_composition_is_morphism:
+  ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
+  Πa,a':Orelation_pair_setoid o1 o2.Πb,b':Orelation_pair_setoid o2 o3.
+   a=a' →b=b' →
+      Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a b
+      = Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
+intros;
+    change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));  
+    change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
+    change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
+    apply rule (.= ASSOC);
+    apply (.= #‡e1);
+    apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
+    apply rule (.= ASSOC^-1);
+    apply (.= e‡#);
+    apply rule (.= ASSOC);
+    apply (.= #‡(Ocommute ?? b')^-1);
+    apply rule (ASSOC^-1);
+qed.
+
+definition Orelation_pair_composition_morphism:
+ ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
+intros; constructor 1;
+[ apply Orelation_pair_composition;
+| apply Orelation_pair_composition_is_morphism;]
+qed.
+
+lemma Orelation_pair_composition_morphism_assoc:
+∀o1,o2,o3,o4:Obasic_pair
+   .Πa12:Orelation_pair_setoid o1 o2
+    .Πa23:Orelation_pair_setoid o2 o3
+     .Πa34:Orelation_pair_setoid o3 o4
+      .Orelation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
+       (Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
+       =Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
+        (Orelation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).  
+   intros;
+    change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
+                 ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
+    apply rule (ASSOC‡#);
+qed.
+
+lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id:
+Πo1:Obasic_pair
+.Πo2:Obasic_pair
+ .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
+  .Orelation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (Oid_relation_pair o1) a=a.
+   intros;
+    change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
+    apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
+qed.
+
+lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
+Πo1:Obasic_pair
+.Πo2:Obasic_pair
+ .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
+  .Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (Oid_relation_pair o2)=a.
+intros;
+    change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
+    apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);
+qed.
+
+definition OBP: category2.
+ constructor 1;
+  [ apply Obasic_pair
+  | apply Orelation_pair_setoid
+  | apply Oid_relation_pair
+  | apply Orelation_pair_composition_morphism
+  | apply Orelation_pair_composition_morphism_assoc;
+  | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id;
+  | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
+qed.
+
+definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
+coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
+
+definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP: 
+  ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
+coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
+
+(*
+definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (ext ? ? (rel o));
+  | intros;
+    apply (.= #‡H);
+    apply refl1]
+qed.
+
+definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
+ λo.extS ?? (rel o).
+*)
+
+(*
+definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
+    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
+  | intros; split; simplify; intros;
+     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
+     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersects ?) U V).
+
+definition fintersectsS:
+ ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
+    intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
+  | intros; split; simplify; intros;
+     [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
+     | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersectsS ?) U V).
+*)
+
+(*
+definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
+ intros (o); constructor 1;
+  [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
+  | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
+     | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr ?) ?? (relS ?) x y).
+interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ??? (relS ?)).
+*)
+
+notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
+notation > "□⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
+interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 ? ? (or_f_minus_star ? ?) (Orel x)).
+notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
+notation > "◊⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
+interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 ? ? (or_f ? ?) (Orel x)).
+
+notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
+notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
+interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 ? ? (or_f_star ? ?) (Orel x)).
+
+notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
+notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
+interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 ? ? (or_f_minus ? ?) (Orel x)).
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..1806408
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,119 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/notation.ma".
+include "formal_topology/o-basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/o-basic_topologies.ma".
+
+alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
+
+(* Qui, per fare le cose per bene, ci serve la nozione di funtore categorico *)
+definition o_basic_topology_of_o_basic_pair: OBP → OBTop.
+ intro t;
+ constructor 1;
+  [ apply (Oform t);
+  | apply (□⎽t ∘ Ext⎽t);
+  | apply (◊⎽t ∘ Rest⎽t);
+  | apply hide; intros 2; split; intro;
+     [ change with ((⊩) \sup ⎻* ((⊩) \sup ⎻ U) ≤ (⊩) \sup ⎻* ((⊩) \sup ⎻ V));
+       apply (. (#‡(lemma_10_4_a ?? (⊩) V)^-1));
+       apply f_minus_star_image_monotone;
+       apply f_minus_image_monotone;
+       assumption
+     | apply oa_leq_trans;
+        [3: apply f;
+        | skip
+        | change with (U ≤ (⊩)⎻* ((⊩)⎻ U));
+          apply (. (or_prop2 : ?) ^ -1);
+          apply oa_leq_refl; ]]
+  | apply hide; intros 2; split; intro;
+     [ change with (◊⎽t ((⊩) \sup * U) ≤ ◊⎽t ((⊩) \sup * V));
+       apply (. ((lemma_10_4_b ?? (⊩) U)^-1)‡#);
+       apply (f_image_monotone ?? (⊩) ? ((⊩)* V));
+       apply f_star_image_monotone;
+       assumption;
+     | apply oa_leq_trans;
+        [2: apply f;
+        | skip
+        | change with ((⊩) ((⊩)* V) ≤ V);
+          apply (. (or_prop1 : ?));
+          apply oa_leq_refl; ]]
+  | apply hide; intros;
+    apply (.= (oa_overlap_sym' : ?));
+    change with ((◊⎽t ((⊩)* V) >< (⊩)⎻* ((⊩)⎻ U)) = (U >< (◊⎽t ((⊩)* V))));
+    apply (.= (or_prop3 ?? (⊩) ((⊩)* V) ?));
+    apply (.= #‡(lemma_10_3_a : ?));
+    apply (.= (or_prop3 : ?)^-1);
+    apply (oa_overlap_sym' ? ((⊩) ((⊩)* V)) U); ]
+qed.
+
+definition o_continuous_relation_of_o_relation_pair:
+ ∀BP1,BP2.arrows2 OBP BP1 BP2 →
+  arrows2 OBTop (o_basic_topology_of_o_basic_pair BP1) (o_basic_topology_of_o_basic_pair BP2).
+ intros (BP1 BP2 t);
+ constructor 1;
+  [ apply (t \sub \f);
+  | apply hide; unfold o_basic_topology_of_o_basic_pair; simplify; intros (U e);
+    apply sym1;
+    apply (.= †(†e)); 
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with ((t \sub \f ∘ (⊩)) ((⊩\sub BP1)* U));
+    cut ((t \sub \f ∘ (⊩)) ((⊩\sub BP1)* U) = ((⊩) ∘ t \sub \c) ((⊩\sub BP1)* U)) as COM;[2:
+      cases (Ocommute ?? t); apply (e3 ^ -1 ((⊩\sub BP1)* U));]
+    apply (.= †COM);
+    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (((⊩) ∘ (⊩)* ) (((⊩) ∘ t \sub \c ∘ (⊩)* ) U));
+    apply (.= (lemma_10_3_c ?? (⊩) (t \sub \c ((⊩\sub BP1)* U))));
+    apply (.= COM ^ -1);
+    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t \sub \f (((⊩) ∘ (⊩\sub BP1)* ) U));
+    change in e with (U=((⊩)∘(⊩ \sub BP1) \sup * ) U);
+    apply (†e^-1);
+  | apply hide; unfold o_basic_topology_of_o_basic_pair; simplify; intros;
+    apply sym1;
+    apply (.= †(†e));
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with ((t \sub \f⎻* ∘ (⊩)⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U));
+    cut ((t \sub \f⎻* ∘ (⊩)⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U) = ((⊩)⎻* ∘ t \sub \c⎻* ) ((⊩\sub BP1)⎻ U)) as COM;[2:
+      cases (Ocommute ?? t); apply (e1 ^ -1 ((⊩\sub BP1)⎻ U));]
+    apply (.= †COM);
+    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (((⊩)⎻* ∘ (⊩)⎻ ) (((⊩)⎻* ∘ t \sub \c⎻* ∘ (⊩)⎻ ) U));
+    apply (.= (lemma_10_3_d ?? (⊩) (t \sub \c⎻* ((⊩\sub BP1)⎻ U))));
+    apply (.= COM ^ -1);
+    change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t \sub \f⎻* (((⊩)⎻* ∘ (⊩\sub BP1)⎻ ) U));
+    change in e with (U=((⊩)⎻* ∘(⊩ \sub BP1)⎻ ) U);
+    apply (†e^-1);]
+qed.
+
+
+definition OR : carr3 (arrows3 CAT2 OBP OBTop).
+constructor 1;
+[ apply o_basic_topology_of_o_basic_pair;
+| intros; constructor 1;
+  [ apply o_continuous_relation_of_o_relation_pair;
+  | apply hide; 
+    intros; whd; unfold o_continuous_relation_of_o_relation_pair; simplify;;
+    change with ((a \sub \f ⎻* ∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)) =
+                 (a' \sub \f ⎻*∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)));
+    whd in e; cases e; clear e e2 e3 e4;
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? % ?) ?) with ((⊩\sub S)⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻);
+    apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a\sub\f⎻* ));
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a\sub\f ∘ ⊩\sub S)⎻*;
+    apply (.= #‡†(Ocommute:?)^-1);
+    apply (.= #‡e1);
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (⊩\sub T ∘ a'\sub\c)⎻*;
+    apply (.= #‡†(Ocommute:?));    
+    change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a'\sub\f⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻* );    
+    apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a'\sub\f⎻* )^-1);
+    apply refl2;]
+| intros 2 (o a); apply refl1;
+| intros 6; apply refl1;]
+qed.
+
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..03da27c
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,185 @@
+ (**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/o-algebra.ma".
+include "formal_topology/o-saturations.ma".
+
+record Obasic_topology: Type2 ≝ { 
+   Ocarrbt:> OA;
+   oA: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt; oJ: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt;
+   oA_is_saturation: is_o_saturation ? oA; oJ_is_reduction: is_o_reduction ? oJ;
+   Ocompatibility: ∀U,V. (oA U >< oJ V) =_1 (U >< oJ V)
+ }.
+
+record Ocontinuous_relation (S,T: Obasic_topology) : Type2 ≝ { 
+   Ocont_rel:> arrows2 OA S T;
+   Oreduced: ∀U:S. U = oJ ? U → Ocont_rel U =_1 oJ ? (Ocont_rel U);
+   Osaturated: ∀U:S. U = oA ? U → Ocont_rel⎻* U =_1 oA ? (Ocont_rel⎻* U)
+ }. 
+
+definition Ocontinuous_relation_setoid: Obasic_topology → Obasic_topology → setoid2.
+ intros (S T); constructor 1;
+  [ apply (Ocontinuous_relation S T)
+  | constructor 1;
+     [ alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
+       alias symbol "compose" = "category2 composition".
+       apply (λr,s:Ocontinuous_relation S T. (r⎻* ) ∘ (oA S) = (s⎻* ∘ (oA ?)));
+     | simplify; intros; apply refl2;
+     | simplify; intros; apply sym2; apply e
+     | simplify; intros; apply trans2; [2: apply e |3: apply e1; |1: skip]]]
+qed.
+
+definition Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid: 
+  ∀P,Q. Ocontinuous_relation_setoid P Q → Ocontinuous_relation P Q ≝ λP,Q,c.c.
+coercion Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid.
+
+(*
+theorem continuous_relation_eq':
+ ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
+ intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
+  [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
+    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
+    cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
+    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
+    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
+     [ apply I | assumption ]
+  | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
+    lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
+    cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
+    lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
+    apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
+     [ apply I | assumption ]]
+qed.
+
+theorem continuous_relation_eq_inv':
+ ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
+ intros 6;
+ cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → 
+   ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
+  [2: clear b H a' a; intros;
+      lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
+       (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
+       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
+        [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
+            apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
+       clear Hletin;
+       cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
+        [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
+       (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
+      intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
+      unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
+      whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
+      apply (if ?? (A_is_saturation ???));
+      intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
+       [ apply refl | cases H; assumption; ]
+      change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
+      apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
+      assumption;]
+ split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
+qed.
+*)
+
+definition Ocontinuous_relation_comp:
+ ∀o1,o2,o3.
+  Ocontinuous_relation_setoid o1 o2 →
+   Ocontinuous_relation_setoid o2 o3 →
+    Ocontinuous_relation_setoid o1 o3.
+ intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
+  [ apply (s ∘ r);
+  | intros;
+    apply sym1; 
+    change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
+    apply (.= (Oreduced : ?)^-1);
+     [ apply (.= (Oreduced :?)); [ assumption | apply refl1 ]
+     | apply refl1]
+  | intros;
+    apply sym1;
+    change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
+    apply (.= (Osaturated : ?)^-1);
+     [ apply (.= (Osaturated : ?)); [ assumption | apply refl1 ]
+     | apply refl1]]
+qed.
+
+definition OBTop: category2.
+ constructor 1;
+  [ apply Obasic_topology
+  | apply Ocontinuous_relation_setoid
+  | intro; constructor 1;
+     [ apply id2
+     | intros; apply e;
+     | intros; apply e;]
+  | intros; constructor 1;
+     [ apply Ocontinuous_relation_comp;
+     | intros; simplify;
+       change with ((b⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = ((b'⎻* ∘ a'⎻* ) ∘ oA o1)); 
+       change with (b⎻* ∘ (a⎻* ∘ oA o1) = b'⎻* ∘ (a'⎻* ∘ oA o1));
+       change in e with (a⎻* ∘ oA o1 = a'⎻* ∘ oA o1);
+       change in e1 with (b⎻* ∘ oA o2 = b'⎻* ∘ oA o2);
+       apply (.= e‡#);
+       intro x;          
+       change with (b⎻* (a'⎻* (oA o1 x)) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x))); 
+       apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x) ?)); [
+         apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
+       apply (.= (e1 (a'⎻* (oA o1 x))));
+       change with (b'⎻* (oA o2 (a'⎻* (oA o1 x))) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x)));   
+       apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x):?)^-1); [
+         apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
+       apply rule #;]
+  | intros; simplify;
+    change with (((a34⎻* ∘ a23⎻* ) ∘ a12⎻* ) ∘ oA o1 = ((a34⎻* ∘ (a23⎻* ∘ a12⎻* )) ∘ oA o1));
+    apply rule (#‡ASSOC ^ -1);
+  | intros; simplify;
+    change with ((a⎻* ∘ (id2 ? o1)⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
+    apply (#‡(id_neutral_right2 : ?));
+  | intros; simplify;
+    change with (((id2 ? o2)⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
+    apply (#‡(id_neutral_left2 : ?));]
+qed.
+
+definition Obasic_topology_of_OBTop: objs2 OBTop → Obasic_topology ≝ λx.x.
+coercion Obasic_topology_of_OBTop.
+
+definition Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop : 
+  ∀P,Q. arrows2 OBTop P Q → Ocontinuous_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop.
+
+(*
+(*CSC: unused! *)
+(* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
+theorem continuous_relation_eqS:
+ ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
+  a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
+ intros;
+ cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
+  [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
+      try assumption; split; assumption]
+ cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
+  [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
+      apply (. #‡(H1 ?));
+      apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
+      assumption;] clear Hcut;
+ split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
+  [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
+  cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
+ cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
+  [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
+      exists [1,3: apply w] split; assumption;]
+ cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
+  [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
+ apply Hcut2; assumption.
+qed.
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-concrete_spaces.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-concrete_spaces.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..2ff03c8
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,134 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/o-basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/o-saturations.ma".
+
+definition A : ∀b:OBP. unary_morphism1 (Oform b) (Oform b).
+intros; constructor 1;
+ [ apply (λx.□⎽b (Ext⎽b x));
+ | intros; apply  (†(†e));]
+qed.
+
+lemma down_p : ∀S:SET1.∀I:SET.∀u:S ⇒_1 S.∀c:arrows2 SET1 I S.∀a:I.∀a':I.a =_1 a'→u (c a) =_1 u (c a').
+intros; apply (†(†e));
+qed.
+
+record Oconcrete_space : Type2 ≝
+ { Obp:> OBP;
+   (*distr : is_distributive (form bp);*)
+   Odownarrow: unary_morphism1 (Oform Obp) (Oform Obp);
+   Odownarrow_is_sat: is_o_saturation ? Odownarrow;
+   Oconverges: ∀q1,q2.
+     (Ext⎽Obp q1 ∧ (Ext⎽Obp q2)) = (Ext⎽Obp ((Odownarrow q1) ∧ (Odownarrow q2)));
+   Oall_covered: Ext⎽Obp (oa_one (Oform Obp)) = oa_one (Oconcr Obp);
+   Oil2: ∀I:SET.∀p:arrows2 SET1 I (Oform Obp).
+     Odownarrow (∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? }) =
+     ∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? };
+   Oil1: ∀q.Odownarrow (A ? q) = A ? q
+ }.
+
+interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x = 
+  (fun11 ?? (Odownarrow ?) x).
+
+definition Obinary_downarrow : 
+  ∀C:Oconcrete_space.binary_morphism1 (Oform C) (Oform C) (Oform C).
+intros; constructor 1;
+[ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
+| intros;
+  alias symbol "prop2" = "prop21".
+  alias symbol "prop1" = "prop11".
+  apply ((†e)‡(†e1));]
+qed.
+
+interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun21 ? ? ? (Obinary_downarrow ?) a b).
+
+record Oconvergent_relation_pair (CS1,CS2: Oconcrete_space) : Type2 ≝
+ { Orp:> arrows2 ? CS1 CS2;
+   Orespects_converges:
+    ∀b,c. eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (Orp\sub\f⎻ b ↓ Orp\sub\f⎻ c));
+   Orespects_all_covered:
+     eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (Oform CS2))))
+           (Ext⎽CS1 (oa_one (Oform CS1)))
+ }.
+
+definition Oconvergent_relation_space_setoid: Oconcrete_space → Oconcrete_space → setoid2.
+ intros (c c1);
+ constructor 1;
+  [ apply (Oconvergent_relation_pair c c1)
+  | constructor 1;
+     [ intros (c2 c3);
+       apply (Orelation_pair_equality c c1 c2 c3);
+     | intros 1; apply refl2;
+     | intros 2; apply sym2; 
+     | intros 3; apply trans2]]
+qed.
+
+definition Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid: 
+  ∀CS1,CS2.carr2 (Oconvergent_relation_space_setoid CS1 CS2) → 
+    Oconvergent_relation_pair CS1 CS2  ≝ λP,Q,c.c.
+coercion Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid.
+
+definition Oconvergent_relation_space_composition:
+ ∀o1,o2,o3: Oconcrete_space.
+  binary_morphism2
+   (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o2)
+   (Oconvergent_relation_space_setoid o2 o3)
+   (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o3).
+ intros; constructor 1;
+     [ intros; whd in t t1 ⊢ %;
+       constructor 1;
+        [ apply (c1 ∘ c);
+        | intros;
+          change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
+          alias symbol "trans" = "trans1".
+          apply (.= († (Orespects_converges : ?)));
+          apply (Orespects_converges ?? c (c1\sub\f⎻ b) (c1\sub\f⎻ c2));
+        | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (Oform o3)))));
+          apply (.= (†(Orespects_all_covered :?)));
+          apply rule (Orespects_all_covered ?? c);]
+     | intros;
+       change with (b ∘ a = b' ∘ a'); 
+       change in e with (Orp ?? a = Orp ?? a');
+       change in e1 with (Orp ?? b = Orp ?? b');
+       apply (e‡e1);]
+qed.
+
+definition OCSPA: category2.
+ constructor 1;
+  [ apply Oconcrete_space
+  | apply Oconvergent_relation_space_setoid
+  | intro; constructor 1;
+     [ apply id2
+     | intros; apply refl1;
+     | apply refl1]
+  | apply Oconvergent_relation_space_composition
+  | intros; simplify; whd in a12 a23 a34;
+    change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
+    apply rule ASSOC;
+  | intros; simplify;
+    change with (a ∘ id2 OBP o1 = a);
+    apply (id_neutral_right2 : ?);
+  | intros; simplify;
+    change with (id2 ? o2 ∘ a = a);
+    apply (id_neutral_left2 : ?);]
+qed.
+
+definition Oconcrete_space_of_OCSPA : objs2 OCSPA → Oconcrete_space ≝ λx.x.
+coercion Oconcrete_space_of_OCSPA.
+
+definition Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA :
+ ∀P,Q. arrows2 OCSPA P Q → Oconvergent_relation_space_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA.
+
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-formal_topologies.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-formal_topologies.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..af9da70
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,99 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/o-basic_topologies.ma".
+
+(*
+(*
+definition downarrow: ∀S:BTop. unary_morphism (Ω \sup S) (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λU:Ω \sup S.{a | ∃b:carrbt S. b ∈ U ∧ a ∈ A ? (singleton ? b)});
+    intros; simplify; split; intro; cases H1; cases x; exists [1,3: apply w]
+    split; try assumption; [ apply (. H‡#) | apply (. H \sup -1‡#) ] assumption
+  | intros; split; intros 2; cases f; exists; [1,3: apply w] cases x; split;
+    try assumption; [ apply (. #‡H) | apply (. #‡H \sup -1)] assumption]
+qed.
+
+interpretation "downarrow" 'downarrow a = (fun_1 ?? (downarrow ?) a).
+
+definition ffintersects: ∀S:BTop. binary_morphism1 (Ω \sup S) (Ω \sup S) (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λU,V. ↓U ∩ ↓V);
+  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
+qed.
+
+interpretation "ffintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects ?) U V).
+*)
+
+record formal_topology: Type ≝
+ { bt:> OBTop;
+   converges: ∀U,V: bt. oA bt (U ↓ V) = (oA ? U ∧ oA ? V)
+ }.
+
+(*
+
+definition ffintersects': ∀S:BTop. binary_morphism1 S S (Ω \sup S).
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λb,c:S. (singleton S b) ↓ (singleton S c));
+  | intros; apply (.= (†H)‡(†H1)); apply refl1]
+qed.
+
+interpretation "ffintersects'" 'fintersects U V = (fun1 ??? (ffintersects' ?) U V).
+*)
+record formal_map (S,T: formal_topology) : Type ≝
+ { cr:> continuous_relation_setoid S T;
+   C1: ∀b,c. extS ?? cr (b ↓ c) = ext ?? cr b ↓ ext ?? cr c;
+   C2: extS ?? cr T = S
+ }.
+
+definition formal_map_setoid: formal_topology → formal_topology → setoid1.
+ intros (S T); constructor 1;
+  [ apply (formal_map S T);
+  | constructor 1;
+     [ apply (λf,f1: formal_map S T.f=f1);
+     | simplify; intros 1; apply refl1
+     | simplify; intros 2; apply sym1
+     | simplify; intros 3; apply trans1]]
+qed.
+
+axiom C1':
+ ∀S,T: formal_topology.∀f:formal_map_setoid S T.∀U,V: Ω \sup T.
+  extS ?? f (U ↓ V) = extS ?? f U ↓ extS ?? f V.
+
+definition formal_map_composition:
+ ∀o1,o2,o3: formal_topology.
+  binary_morphism1
+   (formal_map_setoid o1 o2)
+   (formal_map_setoid o2 o3)
+   (formal_map_setoid o1 o3).
+ intros; constructor 1;
+  [ intros; whd in c c1; constructor 1;
+     [ apply (comp1 BTop ??? c c1);
+     | intros;
+       apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
+       apply (.= †(C1 ?????));
+       apply (.= (C1' ?????));
+       apply (.= ((†((extS_singleton ????) \sup -1))‡(†((extS_singleton ????) \sup -1))));
+       apply (.= (extS_com ??????)\sup -1 ‡ (extS_com ??????) \sup -1);
+       apply (.= (extS_singleton ????)‡(extS_singleton ????));
+       apply refl1;
+     | apply (.= (extS_com ??? c c1 ?));
+       apply (.= (†(C2 ???)));
+       apply (.= (C2 ???));
+       apply refl1;]
+  | intros; simplify;
+    change with (comp1 BTop ??? a b = comp1 BTop ??? a' b');
+    apply prop1; assumption]
+qed.
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/o-saturations.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/o-saturations.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..b8d5e9c
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,37 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/o-algebra.ma".
+
+definition is_o_saturation: ∀C:OA. C ⇒_1 C → CProp1 ≝
+ λC:OA.λA:C ⇒_1 C.∀U,V. (U ≤ A V) =_1 (A U ≤ A V).
+
+definition is_o_reduction: ∀C:OA. C ⇒_1 C → CProp1 ≝
+ λC:OA.λJ:C ⇒_1 C.∀U,V. (J U ≤ V) =_1 (J U ≤ J V).
+
+theorem o_saturation_expansive: ∀C,A. is_o_saturation C A → ∀U. U ≤ A U.
+ intros; apply (fi ?? (i ??)); apply (oa_leq_refl C).
+qed.
+
+theorem o_saturation_monotone: ∀C:OA.∀A:C ⇒_1 C. is_o_saturation C A → ∀U,V. U ≤ V → A U ≤ A V.
+ intros; apply (if ?? (i ??)); apply (oa_leq_trans C);
+  [apply V|3: apply o_saturation_expansive ]
+ assumption.
+qed.
+
+theorem o_saturation_idempotent: ∀C:OA.∀A:C ⇒_1 C. is_o_saturation C A → ∀U. A (A U) =_1 A U.
+ intros; apply (oa_leq_antisym C);
+  [ apply (if ?? (i (A U) U)); apply (oa_leq_refl C).
+  | apply o_saturation_expansive; assumption]
+qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/r-o-basic_pairs.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/r-o-basic_pairs.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..4559360
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,255 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
+include "formal_topology/apply_functor.ma".
+
+definition rOBP ≝ Apply (category2_of_category1 BP) OBP BP_to_OBP.
+
+include "formal_topology/o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
+
+lemma category2_of_category1_respects_comp_r:
+ ∀C:category1.∀o1,o2,o3:C.
+  ∀f:arrows1 ? o1 o2.∀g:arrows1 ? o2 o3.
+   (comp1 ???? f g) =_\ID (comp2 (category2_of_category1 C) o1 o2 o3 f g).
+ intros; constructor 1; 
+qed.
+
+lemma category2_of_category1_respects_comp:
+ ∀C:category1.∀o1,o2,o3:C.
+  ∀f:arrows1 ? o1 o2.∀g:arrows1 ? o2 o3.
+   (comp2 (category2_of_category1 C) o1 o2 o3 f g) =_\ID (comp1 ???? f g).
+ intros; constructor 1; 
+qed.
+
+lemma POW_full': 
+  ∀S,T:REL.∀f:arrows2 SET1 (POW S) (POW T).
+   arrows1 REL S T.
+ intros;
+ constructor 1; constructor 1;
+  [ intros (x y); apply (y ∈ c {(x)});
+  | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
+    apply (e1‡††e); ]
+qed.
+
+(*
+lemma POW_full_image: 
+  ∀S,T:REL.∀f:arrows2 SET1 (POW S) (POW T).
+   exT22 ? (λg:arrows1 REL S T.or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) = f).
+ intros; letin g ≝ (? : carr1 (arrows1 REL S T)); [
+ constructor 1; constructor 1;
+  [ intros (x y); apply (y ∈ f {(x)});
+  | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
+    apply (e1‡††e); ]]
+exists [apply g]
+intro; split; intro; simplify; intro; 
+[ whd in f1; change in f1:(? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?)) with (a1 ∈ f {(x)});
+  cases f1; cases x; clear f1 x; change with (a1 ∈ f a);
+  lapply (f_image_monotone ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) (singleton ? w) a ? a1);
+  [2: whd in Hletin;
+      change in Hletin:(? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?))
+      with (a1 ∈ f {(x)}); cases Hletin; cases x;
+           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? w a2); change with (a2 ∈ a);
+             apply (. f3^-1‡#); assumption;
+           | assumption; ]
+           
+           
+           
+  lapply (. (or_prop3 ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) (singleton ? a1) a)^-1);
+   [ whd in Hletin:(? ? ? ? ? ? %);
+     change in Hletin:(? ? ? ? ? ? (? ? (? ? ? (λ_:?.? ? (λ_:?.? ? ? ? ? % ?)) ?)))
+     with (y ∈ f {(x)});
+     cases Hletin; cases x1; cases x2; 
+  
+   [ cases Hletin; change in x with (eq1 ? a1 w1); apply (. x‡#); assumption;
+   | exists; [apply w] assumption ]
+
+
+  clear g;
+ cases f1; cases x; simplify in f2; change with (a1 ∈ (f a));
+  lapply depth=0 (let x ≝ POW in or_prop3 (POW S) (POW T) (map_arrows2 ?? POW S T g));
+  lapply (Hletin {(w)} {(a1)}).
+  lapply (if ?? Hletin1); [2: clear Hletin Hletin1;
+    exists; [apply a1] [whd; exists[apply w] split; [assumption;|change with (w = w); apply rule #]]
+    change with (a1=a1); apply rule #;]
+  clear Hletin Hletin1; cases Hletin2; whd in x2; 
+qed.
+*)
+lemma curry: ∀A,B,C.(A × B ⇒_1 C) → A → (B ⇒_1 C).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (b c);
+  | intros; apply (#‡e); ]
+qed.
+
+notation < "F x" left associative with precedence 60 for @{'map_arrows $F $x}.
+interpretation "map arrows 2" 'map_arrows F x = (fun12 ? ? (map_arrows2 ? ? F ? ?) x).
+
+definition preserve_sup : ∀S,T.∀ f:Ω^S ⇒_1 Ω^T. CProp1.
+intros (S T f); apply (∀X:Ω \sup S. (f X) =_1 ?);
+constructor 1; constructor 1;
+[ intro y; alias symbol "singl" = "singleton". alias symbol "and" = "and_morphism".
+  apply (∃x:S. x ∈ X ∧ y ∈ f {(x)});
+| intros (a b H); split; intro E; cases E; clear E; exists; [1,3:apply w]
+  [ apply (. #‡(H^-1‡#)); | apply (. #‡(H‡#));] assumption]
+qed.
+
+alias symbol "singl" = "singleton".
+lemma eq_cones_to_eq_rel: 
+  ∀S,T. ∀f,g: arrows1 REL S T.
+   (∀x. curry ??? (image ??) f {(x)} = curry ??? (image ??) g {(x)}) → f = g.
+intros; intros 2 (a b); split; intro;
+[ cases (f1 a); lapply depth=0 (s b); clear s s1;
+  lapply (Hletin); clear Hletin;
+   [ cases Hletin1; cases x; change in f4 with (a = w);
+     change with (a ♮g b); apply (. f4‡#); assumption;
+   | exists; [apply a] split; [ assumption | change with (a=a); apply rule #;]]
+| cases (f1 a); lapply depth=0 (s1 b); clear s s1;
+  lapply (Hletin); clear Hletin;
+   [ cases Hletin1; cases x; change in f4 with (a = w);
+     change with (a ♮f b); apply (. f4‡#); assumption;
+   | exists; [apply a] split; [ assumption | change with (a=a); apply rule #;]]]
+qed.
+
+variant eq_cones_to_eq_rel': 
+  ∀S,T. ∀f,g: arrows1 REL S T.
+   (∀x:S. or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T f) {(x)} = or_f ?? (map_arrows2 ?? POW S T g) {(x)}) →
+    f = g
+≝ eq_cones_to_eq_rel.
+
+(*
+lemma rOR_full : 
+  ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
+    exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
+       map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f). 
+intros 2 (s t); cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s;
+change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with s_2;
+cases s_eq; clear s_eq s_2;
+letin s1 ≝ (BP_to_OBP s_1); change in match (BP_to_OBP s_1) with s1;
+cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t;
+change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with t_2;
+cases t_eq; clear t_eq t_2;
+letin t1 ≝ (BP_to_OBP t_1); change in match (BP_to_OBP t_1) with t1;
+whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
+intro; whd in s_1 t_1; 
+letin R ≝ (? : (carr2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) s_1 t_1))); 
+[2:
+  exists;
+    [ constructor 1;
+       [2: simplify; apply R;
+       | simplify; apply (fun12 ?? (map_arrows2 ?? BP_to_OBP s_1 t_1)); apply R;
+       | simplify; apply rule #; ]]
+   simplify;
+|1: constructor 1;   
+    [2: apply (pi1exT22 ?? (POW_full (form s_1) (form t_1) f));
+    |1: letin u ≝ (or_f_star ?? (map_arrows2 ?? POW (concr t_1) (form t_1) (⊩ \sub t_1)));
+        letin r ≝ (u ∘ (or_f ?? f));
+        letin xxx ≝ (or_f ?? (map_arrows2 ?? POW (concr s_1) (form s_1) (⊩ \sub s_1)));
+        letin r' ≝ (r ∘ xxx); clearbody r';
+        apply (POW_full' (concr s_1) (concr t_1) r');    
+    | simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? % ?) ?);
+      apply eq_cones_to_eq_rel'; intro;
+      apply
+       (cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r''.con ?????
+         (category2_of_category1_respects_comp_r : ?));
+      apply rule (.= (#‡#));
+      apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr s_1) (concr t_1) (form t_1) ? (⊩\sub t_1))‡#); 
+      apply sym2;
+      apply (.= (respects_comp2 ?? POW (concr s_1) (form s_1) (form t_1) (⊩\sub s_1) (pi1exT22 ?? (POW_full (form s_1) (form t_1) (Ocont_rel ?? f)))));
+      apply (let H ≝(\snd (POW_full (form s_1) (form t_1) (Ocont_rel ?? f))) in .= #‡H);
+      apply sym2;      
+ ]
+
+STOP;
+
+(* Todo: rename BTop → OBTop *)
+
+(* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
+
+1. definire il funtore OR
+2. dimostrare che ORel e' faithful
+
+3. Definire la funzione
+    Apply:
+    ∀C1,C2: CAT2.  F: arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2
+    ≝ 
+     constructor 1;
+      [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
+      | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
+      | ....
+      ]
+   
+   E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
+  
+   Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
+   scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
+   una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
+   al punto 5)
+
+4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
+  [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA ≝ Rel_to_OA REL ]
+
+5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
+   quando applicato a rOBP.
+   Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
+   Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
+   e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
+   una "proiezione" da rOBP a OBP.
+
+6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
+
+7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
+   basta prendere (OR ∘ BP_to_OBP).
+
+8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
+   esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
+   faithful e full (banale: tutta conversione).
+
+9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
+
+10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
+    (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
+
+    BP_to_OBP
+    OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
+    OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
+
+    Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
+    isomorphism-dense.
+
+====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
+
+== altre cose mancanti
+
+11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
+    sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
+    due funtori ottengo l'identita'
+
+12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
+    qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
+    e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
+    atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
+
+== categorish/future works
+
+13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
+    ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
+
+14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
+    con Giovanni
+
+*)
+
+*)
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..301e948
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,299 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/subsets.ma".
+
+record binary_relation (A,B: SET) : Type1 ≝
+ { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
+
+notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
+notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
+interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun21 ??? (satisfy ?? r) x y).
+
+definition binary_relation_setoid: SET → SET → setoid1.
+ intros (A B);
+ constructor 1;
+  [ apply (binary_relation A B)
+  | constructor 1;
+     [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
+     | simplify; intros 3; split; intro; assumption
+     | simplify; intros 5; split; intro;
+       [ apply (fi ?? (f ??)) | apply (if ?? (f ??))] assumption
+     | simplify;  intros 7; split; intro;
+        [ apply (if ?? (f1 ??)) | apply (fi ?? (f ??)) ]
+        [ apply (if ?? (f ??)) | apply (fi ?? (f1 ??)) ]
+       assumption]]
+qed.
+
+definition binary_relation_of_binary_relation_setoid : 
+  ∀A,B.binary_relation_setoid A B → binary_relation A B ≝ λA,B,c.c.
+coercion binary_relation_of_binary_relation_setoid.
+
+definition composition:
+ ∀A,B,C.
+  (binary_relation_setoid A B) × (binary_relation_setoid B C) ⇒_1 (binary_relation_setoid A C).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ intros (R12 R23);
+    constructor 1;
+    constructor 1;
+     [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
+     | intros;
+       split; intro; cases e2 (w H3); clear e2; exists; [1,3: apply w ]
+        [ apply (. (e^-1‡#)‡(#‡e1^-1)); assumption
+        | apply (. (e‡#)‡(#‡e1)); assumption]]
+  | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
+    cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
+    [ lapply (if ?? (e x w) H2) | lapply (fi ?? (e x w) H2) ]
+    [ lapply (if ?? (e1 w y) H4)| lapply (fi ?? (e1 w y) H4) ]
+    exists; try assumption;
+    split; assumption]
+qed.
+
+definition REL: category1.
+ constructor 1;
+  [ apply setoid
+  | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
+  | intros; constructor 1;
+    constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
+     [ (* changes required to avoid universe inconsistency *)
+       change with (carr o → carr o → CProp); intros; apply (eq ? c c1)
+     | intros; split; intro; change in a a' b b' with (carr o);
+       change in e with (eq ? a a'); change in e1 with (eq ? b b');
+        [ apply (.= (e ^ -1));
+          apply (.= e2);
+          apply e1
+        | apply (.= e);
+          apply (.= e2);
+          apply (e1 ^ -1)]]
+  | apply composition
+  | intros 9;
+    split; intro;
+    cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
+    [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
+    cases H; clear H;
+    exists; try assumption;
+    split; try assumption;
+    exists; try assumption;
+    split; assumption
+  |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
+        unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
+        [1,3: cases e (w H1); clear e; cases H1; clear H1; unfold;
+          [ apply (. (e : eq1 ? x w)‡#); assumption
+          | apply (. #‡(e : eq1 ? w y)^-1); assumption]
+        |2,4: exists; try assumption; split;
+          (* change required to avoid universe inconsistency *)
+          change in x with (carr o1); change in y with (carr o2);
+          first [apply refl | assumption]]]
+qed.
+
+definition setoid_of_REL : objs1 REL → setoid ≝ λx.x.
+coercion setoid_of_REL.
+
+definition binary_relation_setoid_of_arrow1_REL : 
+  ∀P,Q. arrows1 REL P Q → binary_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
+coercion binary_relation_setoid_of_arrow1_REL.
+
+
+notation > "B ⇒_\r1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
+notation "B ⇒\sub (\r 1) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
+interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_REL A B = (arrows1 REL A B).
+
+
+definition full_subset: ∀s:REL. Ω^s.
+ apply (λs.{x | True});
+ intros; simplify; split; intro; assumption.
+qed.
+
+coercion full_subset.
+
+definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒_1. CPROP) → Ω^b.
+ apply (λb:REL. λP: b ⇒_1 CPROP. {x | P x});
+ intros; simplify;
+ apply (.= †e); apply refl1.
+qed.
+
+interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
+ (comprehension s (mk_unary_morphism1 ?? p ?)).
+
+definition ext: ∀X,S:REL. (X ⇒_\r1 S) × S ⇒_1 (Ω^X).
+ intros (X S); constructor 1; 
+  [ apply (λr:X ⇒_\r1 S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}); intros; simplify; apply (.= (e‡#)); apply refl1
+  | intros; simplify; split; intros; simplify;
+     [ change with (∀x. x ♮a b → x ♮a' b'); intros;
+       apply (. (#‡e1^-1)); whd in e; apply (if ?? (e ??)); assumption
+     | change with (∀x. x ♮a' b' → x ♮a b); intros;
+       apply (. (#‡e1)); whd in e; apply (fi ?? (e ??));assumption]]
+qed.
+
+(*
+definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
+ (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
+ intros (X S r); constructor 1;
+  [ intro F; constructor 1; constructor 1;
+    [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
+    | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
+       [ apply (. (H‡#)); assumption
+       |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
+       |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
+         [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
+         | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
+  | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
+     [1,3: assumption
+     |2,4: exists; [1,3: apply w]
+      [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
+      | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
+qed.
+
+lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
+ intros;
+ unfold extS; simplify;
+ split; simplify;
+  [ intros 2; change with (a ∈ X);
+    cases f; clear f;
+    cases H; clear H;
+    cases x; clear x;
+    change in f2 with (eq1 ? a w);
+    apply (. (f2\sup -1‡#));
+    assumption
+  | intros 2; change in f with (a ∈ X);
+    split;
+     [ whd; exact I 
+     | exists; [ apply a ]
+       split;
+        [ assumption
+        | change with (a = a); apply refl]]]
+qed.
+
+lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
+ intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
+  [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
+    cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
+    exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
+    exists; [apply w] split; assumption
+  | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
+    cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
+    cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
+    assumption]
+qed.
+*)
+
+(* the same as ⋄ for a basic pair *)
+definition image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^U ⇒_1 Ω^V.
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S });
+    intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. (#‡e^-1)‡#); assumption
+     | apply (. (#‡e)‡#); assumption]
+  | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. #‡(#‡e1^-1)); cases x; split; try assumption;
+       apply (if ?? (e ??)); assumption
+     | apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
+       apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
+qed.
+
+(* the same as □ for a basic pair *)
+definition minus_star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^U ⇒_1 Ω^V.
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:U. x ♮r y → x ∈ S});
+    intros; simplify; split; intros; apply f;
+     [ apply (. #‡e); assumption
+     | apply (. #‡e ^ -1); assumption]
+  | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1^ -1); | apply (. #‡e1 )]
+    apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
+qed.
+
+(* the same as Rest for a basic pair *)
+definition star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^V ⇒_1 Ω^U.
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup V. {x | ∀y:V. x ♮r y → y ∈ S});
+    intros; simplify; split; intros; apply f;
+     [ apply (. e ‡#); assumption
+     | apply (. e^ -1‡#); assumption]
+  | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1 ^ -1); | apply (. #‡e1)]
+    apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
+qed.
+
+(* the same as Ext for a basic pair *)
+definition minus_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) × Ω^V ⇒_1 Ω^U.
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λr:U ⇒_\r1 V.λS: Ω \sup V. {x | (*∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S*)
+      exT ? (λy:V.x ♮r y ∧ y ∈ S) });
+    intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. (e ^ -1‡#)‡#); assumption
+     | apply (. (e‡#)‡#); assumption]
+  | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
+     [ apply (. #‡(#‡e1 ^ -1)); cases x; split; try assumption;
+       apply (if ?? (e ??)); assumption
+     | apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
+       apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
+qed.
+
+(* minus_image is the same as ext *)
+
+theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
+ intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
+  [ change with (a ∈ U);
+    cases e; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f^-1‡#); assumption
+  | change in f with (a ∈ U);
+    exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl1 | assumption]]
+qed.
+
+theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
+ intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
+  [ change with (a ∈ U); apply f; change with (a=a); apply refl1
+  | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1‡#); apply f]
+qed.
+
+alias symbol "compose" (instance 2) = "category1 composition".
+theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
+ intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases e; clear e; cases x;
+ clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
+ exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
+ exists; try assumption; split; assumption.
+qed.
+
+theorem minus_star_image_comp:
+ ∀A,B,C,r,s,X.
+  minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
+ intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
+  [ apply f; exists; try assumption; split; assumption
+  | change with (x ∈ X); cases f1; cases x1; apply f; assumption]
+qed.
+
+(*
+(*CSC: unused! *)
+theorem ext_comp:
+ ∀o1,o2,o3: REL.
+  ∀a: arrows1 ? o1 o2.
+   ∀b: arrows1 ? o2 o3.
+    ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
+ intros;
+ unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
+ cases f; clear f; split; try assumption;
+  [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
+     [1: split] assumption;
+  | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
+     [2: cases f] assumption]
+qed.
+
+theorem extS_singleton:
+ ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
+ intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
+ split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
+  [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
+    assumption
+  | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
+qed.
+*)
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/relations.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index f81e19e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,247 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "datatypes/subsets.ma".
-
-record binary_relation (A,B: setoid) : Type ≝
- { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
-
-notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
-notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
-interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun1 ___ (satisfy __ r) x y).
-
-definition binary_relation_setoid: setoid → setoid → setoid1.
- intros (A B);
- constructor 1;
-  [ apply (binary_relation A B)
-  | constructor 1;
-     [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
-     | simplify; intros 3; split; intro; assumption
-     | simplify; intros 5; split; intro;
-       [ apply (fi ?? (H ??)) | apply (if ?? (H ??))] assumption
-     | simplify;  intros 7; split; intro;
-        [ apply (if ?? (H1 ??)) | apply (fi ?? (H ??)) ]
-        [ apply (if ?? (H ??)) | apply (fi ?? (H1 ??)) ]
-       assumption]]
-qed.
-
-definition composition:
- ∀A,B,C.
-  binary_morphism1 (binary_relation_setoid A B) (binary_relation_setoid B C) (binary_relation_setoid A C).
- intros;
- constructor 1;
-  [ intros (R12 R23);
-    constructor 1;
-    constructor 1;
-     [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
-     | intros;
-       split; intro; cases H2 (w H3); clear H2; exists; [1,3: apply w ]
-        [ apply (. (H‡#)‡(#‡H1)); assumption
-        | apply (. ((H \sup -1)‡#)‡(#‡(H1 \sup -1))); assumption]]
-  | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
-    cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
-    [ lapply (if ?? (H x w) H2) | lapply (fi ?? (H x w) H2) ]
-    [ lapply (if ?? (H1 w y) H4)| lapply (fi ?? (H1 w y) H4) ]
-    exists; try assumption;
-    split; assumption]
-qed.
-
-definition REL: category1.
- constructor 1;
-  [ apply setoid
-  | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
-  | intros; constructor 1;
-    constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
-     [ intros; apply (c = c1)
-     | intros; split; intro;
-        [ apply (trans ????? (H \sup -1));
-          apply (trans ????? H2);
-          apply H1
-        | apply (trans ????? H);
-          apply (trans ????? H2);
-          apply (H1 \sup -1)]]
-  | apply composition
-  | intros 9;
-    split; intro;
-    cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
-    [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
-    cases H; clear H;
-    exists; try assumption;
-    split; try assumption;
-    exists; try assumption;
-    split; assumption
-  |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
-        unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
-        [1,3: cases H (w H1); clear H; cases H1; clear H1; unfold;
-          [ apply (. (H \sup -1 : eq1 ? w x)‡#); assumption
-          | apply (. #‡(H : eq1 ? w y)); assumption]
-        |2,4: exists; try assumption; split; first [apply refl | assumption]]]
-qed.
-
-definition full_subset: ∀s:REL. Ω \sup s.
- apply (λs.{x | True});
- intros; simplify; split; intro; assumption.
-qed.
-
-coercion full_subset.
-
-definition setoid1_of_REL: REL → setoid ≝ λS. S.
-
-coercion setoid1_of_REL.
-
-definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒ CPROP) → Ω \sup b.
- apply (λb:REL. λP: b ⇒ CPROP. {x | x ∈ b ∧ P x});
- intros; simplify; apply (.= (H‡#)‡(†H)); apply refl1.
-qed.
-
-interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
- (comprehension s (mk_unary_morphism __ p _)).
-
-definition ext: ∀X,S:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? X S) S (Ω \sup X).
- apply (λX,S.mk_binary_morphism1 ??? (λr:arrows1 ? X S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}) ?);
-  [ intros; simplify; apply (.= (H‡#)); apply refl1
-  | intros; simplify; split; intros; simplify; intros; cases f; split; try assumption;
-     [ apply (. (#‡H1)); whd in H; apply (if ?? (H ??)); assumption
-     | apply (. (#‡H1\sup -1)); whd in H; apply (fi ?? (H ??));assumption]]
-qed.
-
-definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
- (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
- intros (X S r); constructor 1;
-  [ intro F; constructor 1; constructor 1;
-    [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
-    | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
-       [ apply (. (H‡#)); assumption
-       |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
-       |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
-         [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
-         | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
-  | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
-     [1,3: assumption
-     |2,4: exists; [1,3: apply w]
-      [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
-      | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
-qed.
-
-lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
- intros;
- unfold extS; simplify;
- split; simplify;
-  [ intros 2; change with (a ∈ X);
-    cases f; clear f;
-    cases H; clear H;
-    cases x; clear x;
-    change in f2 with (eq1 ? a w);
-    apply (. (f2\sup -1‡#));
-    assumption
-  | intros 2; change in f with (a ∈ X);
-    split;
-     [ whd; exact I 
-     | exists; [ apply a ]
-       split;
-        [ assumption
-        | change with (a = a); apply refl]]]
-qed.
-
-lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
- intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
-  [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
-    cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
-    exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
-    exists; [apply w] split; assumption
-  | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
-    cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
-    cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
-    assumption]
-qed.
-
-(* the same as ⋄ for a basic pair *)
-definition image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S});
-    intros; simplify; split; intro; cases H1; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
-     | apply (. (#‡H \sup -1)‡#); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
-     [ apply (. #‡(#‡H1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (H ??)); assumption
-     | apply (. #‡(#‡H1 \sup -1)); cases x; split; try assumption;
-       apply (if ?? (H \sup -1 ??)); assumption]]
-qed.
-
-(* the same as □ for a basic pair *)
-definition minus_star_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
- intros; constructor 1;
-  [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:U. x ♮r y → x ∈ S});
-    intros; simplify; split; intros; apply H1;
-     [ apply (. #‡H \sup -1); assumption
-     | apply (. #‡H); assumption]
-  | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡H1); | apply (. #‡H1 \sup -1)]
-    apply H2; [ apply (if ?? (H \sup -1 ??)); | apply (if ?? (H ??)) ] assumption]
-qed.
-
-(* minus_image is the same as ext *)
-
-theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
- intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
-  [ change with (a ∈ U);
-    cases H; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f‡#); assumption
-  | change in f with (a ∈ U);
-    exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl | assumption]]
-qed.
-
-theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
- intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
-  [ change with (a ∈ U); apply H; change with (a=a); apply refl
-  | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1 \sup -1‡#); apply f]
-qed.
-
-theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
- intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases H; clear H; cases x;
- clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
- exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
- exists; try assumption; split; assumption.
-qed.
-
-theorem minus_star_image_comp:
- ∀A,B,C,r,s,X.
-  minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
- intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
-  [ apply H; exists; try assumption; split; assumption
-  | change with (x ∈ X); cases f; cases x1; apply H; assumption]
-qed.
-
-(*CSC: unused! *)
-theorem ext_comp:
- ∀o1,o2,o3: REL.
-  ∀a: arrows1 ? o1 o2.
-   ∀b: arrows1 ? o2 o3.
-    ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
- intros;
- unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
- cases f; clear f; split; try assumption;
-  [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
-     [1: split] assumption;
-  | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
-     [2: cases f] assumption]
-qed.
-
-theorem extS_singleton:
- ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
- intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
- split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
-  [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
-    assumption
-  | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
-qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/relations_to_o-algebra.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/relations_to_o-algebra.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..3a90865
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,248 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/relations.ma".
+include "formal_topology/o-algebra.ma".
+
+definition POW': objs1 SET → OAlgebra.
+ intro A; constructor 1;
+  [ apply (Ω^A);
+  | apply subseteq;
+  | apply overlaps;
+  | apply big_intersects;
+  | apply big_union;
+  | apply ({x | True});
+    simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
+  | apply ({x | False});
+    simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
+  | intros; whd; intros; assumption
+  | intros; whd; split; assumption
+  | intros; apply transitive_subseteq_operator; [2: apply f; | skip | assumption]
+  | intros; cases f; exists [apply w] assumption
+  | intros; split; [ intros 4; apply (f ? f1 i); | intros 3; intro; apply (f i ? f1); ]
+  | intros; split;
+     [ intros 4; apply f; exists; [apply i] assumption;
+     | intros 3; intros; cases f1; apply (f w a x); ]
+  | intros 3; cases f;
+  | intros 3; constructor 1;
+  | intros; cases f; exists; [apply w]
+     [ assumption
+     | whd; intros; cases i; simplify; assumption]
+  | intros; split; intro;
+     [ (** screenshot "screen-pow". *) cases f; cases x1; exists [apply w1] exists [apply w] assumption;
+     | cases e; cases x; exists; [apply w1] [ assumption | exists; [apply w] assumption]]
+  | intros; intros 2; cases (f {(a)} ?); 
+     [ exists; [apply a] [assumption | change with (a = a); apply refl1;]
+     | change in x1 with (a = w); change with (mem A a q); apply (. (x1‡#));
+       assumption]]
+qed.
+
+definition powerset_of_POW': ∀A.oa_P (POW' A) → Ω^A ≝ λA,x.x.
+coercion powerset_of_POW'.
+
+definition orelation_of_relation: ∀o1,o2:REL. o1 ⇒_\r1 o2 → (POW' o1) ⇒_\o2 (POW' o2).
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ constructor 1; 
+     [ apply (λU.image ?? c U);
+     | intros; apply (#‡e); ]
+  | constructor 1;
+     [ apply (λU.minus_star_image ?? c U);
+     | intros; apply (#‡e); ]
+  | constructor 1;
+     [ apply (λU.star_image ?? c U);
+     | intros; apply (#‡e); ]
+  | constructor 1;
+     [ apply (λU.minus_image ?? c U);
+     | intros; apply (#‡e); ]
+  | intros; split; intro;
+     [ change in f with (∀a. a ∈ image ?? c p → a ∈ q);
+       change with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? c q);
+       intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
+     | change in f with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? c q);
+       change with (∀a. a ∈ image ?? c p → a ∈ q);
+       intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
+  | intros; split; intro;
+     [ change in f with (∀a. a ∈ minus_image ?? c p → a ∈ q);
+       change with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? c q);
+       intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
+     | change in f with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? c q);
+       change with (∀a. a ∈ minus_image ?? c p → a ∈ q);
+       intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
+  | intros; split; intro; cases f; clear f;
+     [ cases x; cases x2; clear x x2; exists; [apply w1]
+        [ assumption;
+        | exists; [apply w] split; assumption]
+     | cases x1; cases x2; clear x1 x2; exists; [apply w1]
+        [ exists; [apply w] split; assumption;
+        | assumption; ]]]
+qed.
+
+lemma orelation_of_relation_preserves_equality:
+ ∀o1,o2:REL.∀t,t': o1 ⇒_\r1 o2. 
+   t = t' → orelation_of_relation ?? t =_2 orelation_of_relation ?? t'.
+ intros; split; unfold orelation_of_relation; simplify; intro; split; intro;
+ simplify; whd in o1 o2;
+  [ change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t a → a1 ∈ minus_star_image ?? t' a);
+    apply (. #‡(e^-1‡#));
+  | change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t' a → a1 ∈ minus_star_image ?? t a);
+    apply (. #‡(e‡#));
+  | change with (a1 ∈ minus_image ?? t a → a1 ∈ minus_image ?? t' a);
+    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
+  | change with (a1 ∈ minus_image ?? t' a → a1 ∈ minus_image ?? t a);
+    apply (. #‡(e‡#));
+  | change with (a1 ∈ image ?? t a → a1 ∈ image ?? t' a);
+    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
+  | change with (a1 ∈ image ?? t' a → a1 ∈ image ?? t a);
+    apply (. #‡(e‡#));
+  | change with (a1 ∈ star_image ?? t a → a1 ∈ star_image ?? t' a);
+    apply (. #‡(e ^ -1‡#));
+  | change with (a1 ∈ star_image ?? t' a → a1 ∈ star_image ?? t a);
+    apply (. #‡(e‡#)); ]
+qed.
+
+lemma orelation_of_relation_preserves_identity:
+ ∀o1:REL. orelation_of_relation ?? (id1 ? o1) =_2 id2 OA (POW' o1).
+ intros; split; intro; split; whd; intro; 
+  [ change with ((∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a) → a1 ∈ a); intros;
+    apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
+  | change with (a1 ∈ a → ∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a); intros;
+    change in f1 with (x = a1); apply (. f1‡#); apply f;
+  | alias symbol "and" = "and_morphism".
+    change with ((∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a) → a1 ∈ a);
+    intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (a1=w);
+    apply (. f‡#); apply f1;
+  | change with (a1 ∈ a → ∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a);
+    intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
+  | change with ((∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a) → a1 ∈ a);
+    intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (w=a1);
+    apply (. f^-1‡#); apply f1;
+  | change with (a1 ∈ a → ∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a);
+    intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
+  | change with ((∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a) → a1 ∈ a); intros;
+    apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
+  | change with (a1 ∈ a → ∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a); intros;
+    change in f1 with (a1 = y); apply (. f1^-1‡#); apply f;]
+qed.
+
+(* CSC: ???? forse un uncertain mancato *)
+alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
+alias symbol "compose" = "category1 composition".
+lemma orelation_of_relation_preserves_composition:
+ ∀o1,o2,o3:REL.∀F: o1 ⇒_\r1 o2.∀G: o2 ⇒_\r1 o3.
+  orelation_of_relation ?? (G ∘ F) = 
+  comp2 OA ??? (orelation_of_relation ?? F) (orelation_of_relation ?? G).
+ intros; split; intro; split; whd; intro; whd in ⊢ (% → %); intros;
+  [ whd; intros; apply f; exists; [ apply x] split; assumption; 
+  | cases f1; clear f1; cases x1; clear x1; apply (f w); assumption;
+  | cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
+    split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
+  | cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
+    split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
+  | unfold arrows1_of_ORelation_setoid; 
+    cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
+    split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
+  | unfold arrows1_of_ORelation_setoid in e; 
+    cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
+    split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
+  | whd; intros; apply f; exists; [ apply y] split; assumption;
+  | cases f1; clear f1; cases x; clear x; apply (f w); assumption;]
+qed.
+
+definition POW: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 REL) OA).
+ constructor 1;
+  [ apply POW';
+  | intros; constructor 1;
+     [ apply (orelation_of_relation S T);
+     | intros; apply (orelation_of_relation_preserves_equality S T a a' e); ]
+  | apply orelation_of_relation_preserves_identity;
+  | apply orelation_of_relation_preserves_composition; ]
+qed.
+
+theorem POW_faithful:
+ ∀S,T.∀f,g:arrows2 (category2_of_category1 REL) S T.
+   POW⎽⇒ f =_2 POW⎽⇒ g → f =_2 g.
+ intros; unfold POW in e; simplify in e; cases e;
+ unfold orelation_of_relation in e3; simplify in e3; clear e e1 e2 e4;
+ intros 2; cases (e3 {(x)}); 
+ split; intro; [ lapply (s y); | lapply (s1 y); ]
+  [2,4: exists; [1,3:apply x] split; [1,3: assumption |*: change with (x=x); apply rule #]
+  |*: cases Hletin; cases x1; change in f3 with (x =_1 w); apply (. f3‡#); assumption;]
+qed.
+
+
+lemma currify: ∀A,B,C. (A × B ⇒_1 C) → A → (B ⇒_1 C).
+intros; constructor 1; [ apply (b c); | intros; apply (#‡e);]
+qed.
+
+theorem POW_full: ∀S,T.∀f: (POW S) ⇒_\o2 (POW T) . exT22 ? (λg. POW⎽⇒ g = f).
+ intros; exists;
+  [ constructor 1; constructor 1;
+     [ apply (λx:carr S.λy:carr T. y ∈ f {(x)});
+     | intros; unfold FunClass_1_OF_carr2; lapply (.= e1‡#);
+        [4: apply mem; |6: apply Hletin;|1,2,3,5: skip]
+       lapply (#‡prop11 ?? f ?? (†e)); [6: apply Hletin; |*:skip ]]  
+     | whd; split; whd; intro; simplify; unfold map_arrows2; simplify; 
+        [ split;
+           [ change with (∀a1.(∀x. a1 ∈ (f {(x):S}) → x ∈ a) → a1 ∈ f⎻* a);
+           | change with (∀a1.a1 ∈ f⎻* a → (∀x.a1 ∈ f {(x):S} → x ∈ a)); ]
+        | split;
+           [ change with (∀a1.(∃y:carr T. y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a) → a1 ∈ f⎻ a);
+           | change with (∀a1.a1 ∈ f⎻ a → (∃y:carr T.y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a)); ]
+        | split;
+           [ change with (∀a1.(∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a) → a1 ∈ f a);
+           | change with (∀a1.a1 ∈. f a → (∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a)); ]
+        | split;
+           [ change with (∀a1.(∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a) → a1 ∈ f* a);
+           | change with (∀a1.a1 ∈ f* a → (∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a)); ]]
+        [ intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
+           [ intros 2; apply (f1 a2); change in f2 with (a2 ∈ f⎻ (singleton ? a1));
+             lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a2) (singleton ? a1)));
+              [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? a1 w);
+                apply (. x1‡#); assumption;
+              | exists; [apply a2] [change with (a2=a2); apply rule #; | assumption]]
+           | change with (a1 = a1); apply rule #; ]
+        | intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)) ? x);
+           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f⎻* a); apply (. f3^-1‡#);
+             assumption;
+           | lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? x) (singleton ? a1))^-1);
+              [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? x w);
+                change with (x ∈ f⎻ (singleton ? a1)); apply (. x1‡#); assumption;
+              | exists; [apply a1] [assumption | change with (a1=a1); apply rule #; ]]]
+        | intros; cases e; cases x; clear e x;
+          lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a)^-1);
+           [ cases Hletin; change in x with (eq1 ? a1 w1); apply (. x‡#); assumption;
+           | exists; [apply w] assumption ]
+        | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a));
+           [ cases Hletin; exists; [apply w] split; assumption;
+           | exists; [apply a1] [change with (a1=a1); apply rule #; | assumption ]] 
+        | intros; cases e; cases x; clear e x;
+          apply (f_image_monotone ?? f (singleton ? w) a ? a1);
+           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? w a2); change with (a2 ∈ a);
+             apply (. f3^-1‡#); assumption;
+           | assumption; ]
+        | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f a (singleton ? a1))^-1);
+           [ cases Hletin; exists; [apply w] split;
+              [ lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? w) (singleton ? a1)));
+                 [ cases Hletin1; change in x3 with (eq1 ? a1 w1); apply (. x3‡#); assumption;
+                 | exists; [apply w] [change with (w=w); apply rule #; | assumption ]]
+              | assumption ]
+           | exists; [apply a1] [ assumption; | change with (a1=a1); apply rule #;]]
+        | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
+           [ apply f1; | change with (a1=a1); apply rule #; ]
+        | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)) ? y);
+           [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f* a);
+             apply (. f3^-1‡#); assumption;
+           | assumption ]]]
+qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..b02a9c0
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,38 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/relations.ma".
+
+definition is_saturation: ∀C:REL. Ω^C ⇒_1 Ω^C → CProp1 ≝
+ λC:REL.λA:Ω^C ⇒_1 Ω^C. ∀U,V. (U ⊆ A V) =_1 (A U ⊆ A V).
+
+definition is_reduction: ∀C:REL. Ω^C ⇒_1 Ω^C → CProp1 ≝
+ λC:REL.λJ: Ω^C ⇒_1 Ω^C. ∀U,V. (J U ⊆ V) =_1 (J U ⊆ J V).
+
+theorem saturation_expansive: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. U ⊆ A U.
+ intros; apply (fi ?? (i ??)); apply subseteq_refl.
+qed.
+
+theorem saturation_monotone:
+ ∀C,A. is_saturation C A →
+  ∀U,V. U ⊆ V → A U ⊆ A V.
+ intros; apply (if ?? (i ??)); apply subseteq_trans; [apply V|3: apply saturation_expansive ]
+ assumption.
+qed.
+
+theorem saturation_idempotent: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. A (A U) = A U.
+ intros; split;
+  [ apply (if ?? (i ??)); apply subseteq_refl
+  | apply saturation_expansive; assumption]
+qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_reductions.ma.dontcompile b/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_reductions.ma.dontcompile
deleted file mode 100644 (file)
index 0582bf0..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,41 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-include "datatypes/subsets.ma".
-include "formal_topology/relations.ma".
-
-definition is_saturation ≝
- λC:REL.λA:unary_morphism (Ω \sup C) (Ω \sup C).
-  ∀U,V. (U ⊆ A V) = (A U ⊆ A V).
-
-definition is_reduction ≝
- λC:REL.λJ:unary_morphism (Ω \sup C) (Ω \sup C).
-  ∀U,V. (J U ⊆ V) = (J U ⊆ J V).
-
-theorem saturation_expansive: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. U ⊆ A U.
- intros; apply (fi ?? (H ??)); apply subseteq_refl.
-qed.
-
-theorem saturation_monotone:
- ∀C,A. is_saturation C A →
-  ∀U,V. U ⊆ V → A U ⊆ A V.
- intros; apply (if ?? (H ??)); apply subseteq_trans; [apply V|3: apply saturation_expansive ]
- assumption.
-qed.
-
-theorem saturation_idempotent: ∀C,A. is_saturation C A → ∀U. A (A U) = A U.
- intros; split;
-  [ apply (if ?? (H ??)); apply subseteq_refl
-  | apply saturation_expansive; assumption]
-qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_to_o-saturations.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/saturations_to_o-saturations.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..39b4176
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,29 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/saturations.ma".
+include "formal_topology/o-saturations.ma".
+include "formal_topology/relations_to_o-algebra.ma".
+
+(* These are only conversions :-) *)
+
+definition o_operator_of_operator: ∀C:REL. (Ω^C ⇒_1 Ω^C) → ((POW C) ⇒_1 (POW C)) ≝ λC,t.t.
+
+definition is_o_saturation_of_is_saturation: 
+  ∀C:REL.∀R: Ω^C ⇒_1 Ω^C. is_saturation ? R → is_o_saturation ? (o_operator_of_operator ? R).
+intros (C R i); apply i; qed.
+
+definition is_o_reduction_of_is_reduction: 
+  ∀C:REL.∀R: Ω^C ⇒_1 Ω^C.is_reduction ? R → is_o_reduction ? (o_operator_of_operator ? R).
+intros (C R i); apply i; qed.
diff --git a/helm/software/matita/library/formal_topology/subsets.ma b/helm/software/matita/library/formal_topology/subsets.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..108e3c7
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,181 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                              *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
+(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+include "formal_topology/categories.ma".
+
+record powerset_carrier (A: objs1 SET) : Type1 ≝ { mem_operator: A ⇒_1 CPROP }.
+interpretation "powerset low" 'powerset A = (powerset_carrier A).
+notation "hvbox(a break ∈. b)" non associative with precedence 45 for @{ 'mem_low $a $b }.
+interpretation "memlow" 'mem_low a S = (fun11 ?? (mem_operator ? S) a).
+
+definition subseteq_operator: ∀A: objs1 SET. Ω^A → Ω^A → CProp0 ≝
+ λA:objs1 SET.λU,V.∀a:A. a ∈. U → a ∈. V.
+
+theorem transitive_subseteq_operator: ∀A. transitive2 ? (subseteq_operator A).
+ intros 6; intros 2;
+ apply s1; apply s;
+ assumption.
+qed.
+
+definition powerset_setoid1: SET → SET1.
+ intros (T);
+ constructor 1;
+  [ apply (powerset_carrier T)
+  | constructor 1;
+     [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V ∧ subseteq_operator ? V U)
+     | simplify; intros; split; intros 2; assumption
+     | simplify; intros (x y H); cases H; split; assumption
+     | simplify; intros (x y z H H1); cases H; cases H1; split;
+       apply transitive_subseteq_operator; [1,4: apply y ]
+       assumption ]]
+qed.
+
+interpretation "powerset" 'powerset A = (powerset_setoid1 A).
+
+interpretation "subset construction" 'subset \eta.x =
+ (mk_powerset_carrier ? (mk_unary_morphism1 ? CPROP x ?)).
+
+definition mem: ∀A. A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (λx,S. mem_operator ? S x)
+  | intros 5;
+    cases b; clear b; cases b'; clear b'; simplify; intros;
+    apply (trans1 ????? (prop11 ?? u ?? e));
+    cases e1; whd in s s1;
+    split; intro;
+     [ apply s; assumption
+     | apply s1; assumption]]
+qed.
+
+interpretation "mem" 'mem a S = (fun21 ??? (mem ?) a S).
+
+definition subseteq: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V)
+  | intros;
+    cases e; cases e1;
+    split; intros 1;
+    [ apply (transitive_subseteq_operator ????? s2);
+      apply (transitive_subseteq_operator ???? s1 s4)
+    | apply (transitive_subseteq_operator ????? s3);
+      apply (transitive_subseteq_operator ???? s s4) ]]
+qed.
+
+interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (fun21 ??? (subseteq ?) U V).
+
+theorem subseteq_refl: ∀A.∀S:Ω^A.S ⊆ S.
+ intros 4; assumption.
+qed.
+
+theorem subseteq_trans: ∀A.∀S1,S2,S3: Ω^A. S1 ⊆ S2 → S2 ⊆ S3 → S1 ⊆ S3.
+ intros; apply transitive_subseteq_operator; [apply S2] assumption.
+qed.
+
+definition overlaps: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (λA:objs1 SET.λU,V:Ω^A.(exT2 ? (λx:A.x ∈ U) (λx:A.x ∈ V) : CProp0))
+  | intros;
+    constructor 1; intro; cases e2; exists; [1,4: apply w]
+     [ apply (. #‡e^-1); assumption
+     | apply (. #‡e1^-1); assumption
+     | apply (. #‡e); assumption;
+     | apply (. #‡e1); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (fun21 ??? (overlaps ?) U V).
+
+definition intersects: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply rule (λU,V. {x | x ∈ U ∧ x ∈ V });
+    intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1;
+  | intros;
+    split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
+    [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
+    | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "intersects" 'intersects U V = (fun21 ??? (intersects ?) U V).
+
+definition union: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
+ intros;
+ constructor 1;
+  [ apply (λU,V. {x | x ∈ U ∨ x ∈ V });
+    intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1
+  | intros;
+    split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
+    [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
+    | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
+qed.
+
+interpretation "union" 'union U V = (fun21 ??? (union ?) U V).
+
+(* qua non riesco a mettere set *)
+definition singleton: ∀A:setoid. A ⇒_1 Ω^A.
+ intros; constructor 1;
+  [ apply (λa:A.{b | a =_0 b}); unfold setoid1_of_setoid; simplify;
+    intros; simplify;
+    split; intro;
+    apply (.= e1);
+     [ apply e | apply (e \sup -1) ]
+  | unfold setoid1_of_setoid; simplify;
+    intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; apply trans;
+     [ apply a |4: apply a'] try assumption; apply sym; assumption]
+qed.
+
+interpretation "singleton" 'singl a = (fun11 ?? (singleton ?) a).
+notation > "{ term 19 a : S }" with precedence 90 for @{fun11 ?? (singleton $S) $a}.
+
+definition big_intersects: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
+ intros; constructor 1;
+  [ intro; whd; whd in I;
+    apply ({x | ∀i:I. x ∈ c i});
+    simplify; intros; split; intros; [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. e‡#); ]
+    apply f;
+  | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; intro;
+     [ apply (. (#‡(e i)^-1)); apply f;
+     | apply (. (#‡e i)); apply f]]
+qed.
+
+definition big_union: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
+ intros; constructor 1;
+  [ intro; whd; whd in A; whd in I;
+    apply ({x | ∃i:I. x ∈ c i });
+    simplify; intros; split; intros; cases e1; clear e1; exists; [1,3:apply w]
+    [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. (e‡#)); ]
+    apply x;
+  | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; cases f; clear f; exists; [1,3:apply w]
+     [ apply (. (#‡(e w)^-1)); apply x;
+     | apply (. (#‡e w)); apply x]]
+qed.
+
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (\emsp) term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'bigcup $p }.
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'bigcup_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
+notation > "hovbox(⋃ f)" non associative with precedence 60 for @{ 'bigcup $f }.
+
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (\emsp) term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'bigcap $p }.
+notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)" 
+non associative with precedence 50 for @{ 'bigcap_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
+notation > "hovbox(⋂ f)" non associative with precedence 60 for @{ 'bigcap $f }.
+
+interpretation "bigcup" 'bigcup f = (fun12 ?? (big_union ??) f).
+interpretation "bigcap" 'bigcap f = (fun12 ?? (big_intersects ??) f).
+interpretation "bigcup mk" 'bigcup_mk f = (fun12 ?? (big_union ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
+interpretation "bigcap mk" 'bigcap_mk f = (fun12 ?? (big_intersects ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
index e939cc04f52cc08e2894bbe78bddfe59222586bc..6b6a985245fc1bad66dfe2f15720f52442cb5aff 100644 (file)
@@ -20,11 +20,12 @@ include "arithmetics/nat.ma".
 
 (*include "Plogic/equality.ma".*)
 
+interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).  
+
 nrecord Alpha : Type[1] ≝
  { carr :> Type[0];
    eqb: carr → carr → bool;
-   eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x=y);
-   eqb_false: ∀x,y. (eqb x y = false) = (x≠y)
+   eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) ↔ (x = y)
  }.
  
 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
@@ -72,13 +73,15 @@ ninductive in_l (S : Alpha) : word S → re S → Prop ≝
  | in_ki: ∀w1,w2,e. w1 ∈ e → w2 ∈ e^* → w1@w2 ∈ e^*.
 interpretation "in_l" 'mem w l = (in_l ? w l).
 
-(*
 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 
 notation "a && b" left associative with precedence 40 for @{'andb $a $b}.
 interpretation "andb" 'andb a b = (andb a b).
 
+notation "~~ a" non associative with precedence 40 for @{'notb $a}.
+interpretation "notb" 'notb a = (notb a).
+
 nlet rec weq (S : Alpha) (l1, l2 : word S) on l1 : bool ≝ 
 match l1 with 
 [ nil ⇒ match l2 with [ nil ⇒ true | cons _ _ ⇒ false ]
@@ -87,9 +90,143 @@ match l1 with
 ndefinition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
+interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
+
+interpretation "qew" 'eqb a b = (weq ? a b).
+
+ndefinition is_epsilon ≝ λA.λw:word A. w == [ ].
+ndefinition is_empty ≝ λA.λw:word A.false.
+ndefinition is_char ≝ λA,x.λw:word A. w == [ x ].
+
+nlemma andP : ∀a,b.(a && b) = true ↔ (a = true ∧ b = true).
+#a b; ncases a; ncases b; nnormalize; @; ##[##2,4,6,8: *] /2/;
+nqed.
+
+nlemma orP : ∀a,b.(a || b) = true ↔ (a = true ∨ b = true).
+#a b; ncases a; ncases b; nnormalize; @; ##[##2,4,6,8: *] /2/;
+nqed.
+
+nlemma iff_l2r : ∀a,p.a = true ↔ p → a = true → p.
+#a p; *; /2/;
+nqed.
+
+nlemma iff_r2l : ∀a,p.a = true ↔ p → p → a = true.
+#a p; *; /2/;
+nqed.
+
+ncoercion xx : ∀a,p.∀H:a = true ↔ p. a = true → p ≝ iff_l2r
+on _H : (? = true) ↔ ? to ∀_:?. ?.
+
+ncoercion yy : ∀a,p.∀H:a = true ↔ p. p → a = true ≝ iff_r2l
+on _H : (? = true) ↔ ? to ∀_:?. ?.
+
+ndefinition wAlpha : Alpha → Alpha. #A; @ (word A) (weq A).
+#x; nelim x; ##[ #y; ncases y; /2/; #x xs; @; nnormalize; #; ndestruct; ##]
+#x xs; #IH y; nelim y; ##[ @; nnormalize; #; ndestruct; ##]
+#y ys; *; #H1 H2; @; #H3;
+##[ ##2: ncases (IH ys); #_; #H; ndestruct; nrewrite > (iff_r2l ?? (eqb_true ???) ?); //; napply H; //]
+nrewrite > (iff_l2r ?? (eqb_true ? x y) ?); nnormalize in H3; ncases (x == y) in H3; nnormalize; /2/;
+##[ #H; ncases (IH ys); #E; #_; nrewrite > (E H); //] #; ndestruct;
+nqed.
+
+alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
+unification hint 0 ≔ T; Y ≟ T, X ≟  (wAlpha T) ⊢ carr X ≡ word Y.
+unification hint 0 ≔ T; Y ≟ T, X ≟  (wAlpha T) ⊢ carr X ≡ list Y.
+unification hint 0 ≔ T,x,y; Y ≟ T, X ≟ (wAlpha T) ⊢ eqb X x y ≡ weq Y x y.
+
+nlet rec ex_split (A : Alpha) (p1,p2 : word A → bool) (w : word A) on w : bool ≝
+  match w with
+  [ nil ⇒ p1 [ ] && p2 [ ]
+  | cons x xs ⇒ p1 [ ] && p2 (x::xs) || ex_split … (λw.p1 (x :: w)) p2 xs].
+
+nlemma ex_splitP : 
+  ∀A,w,p1,p2. ex_split A p1 p2 w = true ↔ 
+              ∃w1,w2. w = w1 @ w2 ∧ p1 w1 = true ∧ p2 w2 = true.
+#A w; nelim w;
+##[ #p1 p2; @;
+   ##[ #H; @[ ]; @[ ]; ncases (iff_l2r ?? (andP ??) H); (* bug coercions *) 
+       #E1 E2; nrewrite > E1; nrewrite > E2; /3/;
+   ##| *; #w1; *;#w2; *; *; ncases w1; ncases w2; nnormalize; #abs H1 H2; #;
+       ndestruct; nrewrite > H1 ; nrewrite > H2; //]
+##| #x xs IH p1 p2; @;
+   ##[ #H; ncases (iff_l2r ?? (orP ??) H);
+      ##[ #H1; ncases (iff_l2r ?? (andP ??) H1); #p1T p2T;
+          @[ ]; @(x::xs); nnormalize; /3/;
+      ##| #E; ncases (iff_l2r ?? (IH ??) E); #l1; *; #l2; *; *; #defxs p1T p2T;
+          @(x :: l1); @l2; ndestruct; /3/; ##]
+    ##| *; #w1; *; #w2; *; *; ncases w1;
+       ##[ nnormalize in ⊢ (% → ?); ncases w2; ##[ #; ndestruct] #y ys defw2 p1T p2T;
+           nchange with ((p1 [ ] && p2 (x::xs) || ex_split ? (λw0.p1 (x::w0)) p2 xs) = true);
+           napply (iff_r2l ?? (orP ??)); @1; napply (iff_r2l ?? (andP ??));
+           ndestruct; /2/;
+       ##| #y ys; nnormalize in ⊢ (% → ?); #E p1T p2T;
+           nchange with ((p1 [ ] && p2 (x::xs) || ex_split ? (λw0.p1 (x::w0)) p2 xs) = true);
+           napply (iff_r2l ?? (orP ??)); @2; napply (iff_r2l ?? (IH ??));
+           @ys; @w2; ndestruct; /3/; ##]##]##]
+nqed.
+
+nlet rec allb (A : Alpha) (p,fresh_p : word A → bool) (w : word A) on w : bool ≝
+  match w with
+  [ nil ⇒ p [ ]
+  | cons x xs ⇒ p [x] && (xs == [ ] || allb … fresh_p fresh_p xs) 
+                || allb … (λw.p (x :: w)) fresh_p xs].
+
+nlemma allbP :
+  ∀A,w,p.allb A p p w = true ↔ 
+    ∃w1,w2.w = w1 @ w2 ∧ p w1 = true ∧ (w2 = [ ] ∨ allb ? p p w2 = true).
+#A w; nelim w;
+##[ #p; @; 
+   ##[ #H; @[ ]; @[ ]; nnormalize in H; /4/ by conj, or_introl;
+   ##| *; #w1; *; #w2; ncases w1;
+       ##[ *; *; nnormalize in ⊢ (% → ?); #defw2 pnil; *; ##[ #; ndestruct] //;
+       ##| #y ys; *; *; nnormalize in ⊢ (% → ?); #; ndestruct; ##]##]
+##| #y ys IH p; @;
+   ##[ #E; ncases (iff_l2r ?? (orP ??) E);
+       ##[ #H; ncases (iff_l2r ?? (andP ??) H); #px allys;
+           nlapply (iff_l2r ?? (orP ??) allys); *; 
+           ##[ #defys; @[y]; @[ ]; nrewrite > (iff_l2r ?? (eqb_true ? ys ?) defys);
+               /4/ by conj, or_introl;
+           ##| #IHa; ncases (iff_l2r ?? (IH ?) IHa); #z; *; #zs; *; *;
+               #defys pz; *; 
+               ##[ #; ndestruct; @[y]; @z;
+                   nrewrite > (append_nil ? z) in IHa; /4/ by or_intror, conj;
+               ##| #allzs; @[y]; @(z@zs); nrewrite > defys; /3/ by or_intror, conj;##]##]
+       ##| #allbp;
+               ; 
+                   
+           
+
+nlet rec in_lb (A : Alpha) (e : re A) on e : word A → bool ≝ 
+  match e with
+  [ e ⇒ is_epsilon …
+  | z ⇒ is_empty …
+  | s x ⇒ is_char … x
+  | o e1 e2 ⇒ λw.in_lb … e1 w || in_lb … e2 w
+  | c e1 e2 ⇒ ex_split … (in_lb A e1) (in_lb A e2)
+  | k e ⇒ allb … (in_lb A e) (in_lb A e)].
+  
+  
+nlemma equiv_l_lb : ∀A,e,w. w ∈ e ↔ in_lb A e w = true.
+#A e; nelim e; nnormalize;
+##[ #w; @; ##[##2: #; ndestruct] #H; ninversion H; #; ndestruct;
+##| #w; @; ##[##2: #H; nrewrite > (l2r ??? H); //; ##]
+    #H; ninversion H; #; ndestruct; //;
+##| #x w; @; ##[ #H; ninversion H; #; ndestruct; nrewrite > (r2l ????); //; ##]
+    #H; nrewrite > (l2r ??? H); @2;
+##| #e1 e2 IH1 IH2 w; @; #E; 
+    ##[ ninversion E; ##[##1,2,4,5,6,7: #; ndestruct]
+        #w1 w2 e1 e2 w1r1 w2r2 H1 H2 defw defr1r2; ndestruct;
+        nlapply (IH1 w1); *; #IH1; #_; nlapply (IH1 w1r1);
+        nlapply (IH2 w2); *; #IH2; #_; nlapply (IH2 w2r2);
+        nelim w1;nnormalize; ncases w2; //; nnormalize;
+
+    ##[ nelim w; ##[ nnormalize; //] #x xs IH E; nnormalize;
+    nlapply (IH1 [x]); nlapply (IH2 xs);
+    ncases (in_lb A e1 [x]); ncases (in_lb A e2 xs); nnormalize; *; #E1 E2; *; #E3 E4; /2/;
+    ##[ ncases xs in IH E3 E4; nnormalize; //; #xx xs H; #_;
+    
+     *; nnormalize;
 
-*)
 
 nlemma in_l_inv_e:
  ∀S.∀w:word S. w ∈ ∅ → w = [].
@@ -166,7 +303,7 @@ notation > "w .∈ E" non associative with precedence 40 for @{'in_pl $w $E}.
 notation < "w\shy .∈\shy E" non associative with precedence 40 for @{'in_pl $w $E}.   
 interpretation "in_prl" 'in_pl w l = (in_prl ? w l).
 
-interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
+
 
 nlemma append_eq_nil : 
   ∀S.∀w1,w2:word S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
@@ -278,9 +415,6 @@ nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 nqed.
 
-nlemma eqb_t : ∀S:Alpha.∀a,b:S.∀p:a == b = true. a = b.
-#S a b H; nrewrite < (eqb_true ? a b); //.
-nqed.
 
 naxiom in_move_cat:
  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →