]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
some more work to factorize out uninteresting parts of the proof...
authorEnrico Tassi <enrico.tassi@inria.fr>
Sat, 28 Jun 2008 11:28:34 +0000 (11:28 +0000)
committerEnrico Tassi <enrico.tassi@inria.fr>
Sat, 28 Jun 2008 11:28:34 +0000 (11:28 +0000)
still to close the key lemma...

helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma
helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma
helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_support.ma

index d0d043f47e053ae50df4e8aaba1ac9f510a83d72..efa45f7f3d3467ab88312f76bed0c9280a1c42ed 100644 (file)
@@ -137,11 +137,11 @@ intro; elim l; simplify; intros;
 qed.
 
 lemma sum_bases_O:
-  ∀l:q_f.∀x.sum_bases (bars l) x ≤ OQ → x = O.
+  ∀l.∀x.sum_bases l x ≤ OQ → x = O.
 intros; cases x in H; [intros; reflexivity] intro; cases (?:False);
 cases (q_le_cases ?? H); 
 [1: apply (q_lt_corefl OQ); rewrite < H1 in ⊢ (?? %); 
-|2: apply (q_lt_antisym ??? H1);] clear H H1; cases (bars l);
+|2: apply (q_lt_antisym ??? H1);] clear H H1; cases l;
 simplify; apply q_lt_plus_trans;
 try apply q_pos_lt_OQ; 
 try apply (sum_bases_ge_OQ []);
index d3d63233c37520c7d982a414ed767a51f6eaa64f..a58a82b1f763300201ee66c874b3e2bc67cc4b88 100644 (file)
@@ -36,7 +36,7 @@ whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
-        rewrite > (sum_bases_O (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) (\fst w1)); [apply le_n]   
+        rewrite > (sum_bases_O (〈w,OQ〉::bars l1) (\fst w1)); [apply le_n]   
         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));  
         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
@@ -52,7 +52,7 @@ whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
-          symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O l1 (\fst w2)); [apply le_n]
+          symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O (bars l1) (\fst w2)); [apply le_n]
           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x; 
           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
@@ -91,6 +91,95 @@ whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
 
 axiom nth_nil: ∀T,n.∀d:T. nth [] d n = d.
 
+
+lemma case1 : 
+  ∀init,st,input,l. 
+  init<st → st<input → 
+     ⅆ[input,init] < sum_bases l O + (st-init) → False.
+intros 6; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:
+  apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
+do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
+intro X; lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y;
+simplify in Y; cases (?:False); 
+apply (q_lt_corefl st); apply (q_lt_trans ??? H1);
+apply (q_lt_le_trans ??? Y); rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
+apply q_eq_to_le; reflexivity;
+qed.    
+
+lemma case2:
+ ∀a,l1,init,st,input,n. 
+  init < st → st < input → 
+  sum_bases (a::l1) n + (st-init) ≤ ⅆ[input,init] →
+    ⅆ[input,st] < sum_bases l1 O + Qpos (\fst a) →
+  n = O.
+intros; cut (input - st < Qpos (\fst a)) as H6';[2:
+  rewrite < q_d_noabs;[2:apply q_lt_to_le; assumption]
+  rewrite > q_d_sym; apply (q_lt_le_trans ??? H3);
+  rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; 
+  apply q_eq_to_le; reflexivity] clear H3;
+generalize in match H2; rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs;
+  [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]  
+do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc; intro X;
+lapply (q_le_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
+lapply (q_le_inj_plus_r ?? (Qopp st) Y) as X; clear Y;
+cut (input + Qopp st < Qpos (\fst a)) as H6'';
+  [2: rewrite < q_elim_minus; assumption;] clear H6';
+generalize in match (q_le_lt_trans ??? X H6''); clear X H6''; 
+rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
+rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ; cases n; intro X; [reflexivity]
+cases (?:False);
+apply (q_lt_le_incompat (sum_bases l1 n1) OQ);[2: apply sum_bases_ge_OQ;] 
+apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos (\fst a)));
+rewrite >(q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ; apply X;
+qed.
+
+lemma case3:
+ ∀init,st,input,l1,a,n.
+ init<st → st<input →
+  ⅆ[input,init]<OQ+Qpos a+(st-init) →
+  sum_bases l1 n+Qpos a≤ⅆ[input,st] → False.
+intros;
+cut (sum_bases l1 n - ⅆ[input,st] < Qopp ⅆ[input,init] + (st - init)); [2:
+  cut (sum_bases l1 n≤ⅆ[input,st]-Qpos a) as H7';[2:
+    apply (q_le_canc_plus_r ?? (Qpos a));
+    apply (q_le_trans ??? H3); rewrite > q_elim_minus;
+    rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
+    rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
+    apply q_eq_to_le; reflexivity;] clear H3;
+  rewrite > q_elim_minus; apply (q_lt_canc_plus_r ?? ⅆ[input,st]);
+  rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
+  rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
+  apply (q_le_lt_trans ??? H7'); clear H7'; rewrite > q_elim_minus;
+  rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_inj_plus_r;
+  rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_opp;
+  rewrite > q_plus_sym; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos a)); 
+  rewrite < q_plus_assoc; rewrite > (q_plus_sym (Qopp ?));
+  rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
+  apply (q_lt_le_trans ??? H2); rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
+  rewrite > q_plus_sym; apply q_eq_to_le; reflexivity;] 
+generalize in match Hcut; clear H2 H3 Hcut;
+rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le; assumption]
+rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2: apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption] 
+rewrite < q_plus_sym; rewrite < q_elim_minus;
+rewrite > (q_elim_minus input init);
+rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
+rewrite > (q_elim_minus input st);
+rewrite >  q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
+repeat rewrite > q_elim_minus;
+rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??% → ?);
+rewrite > (q_plus_sym  (Qopp input) init);
+rewrite > q_plus_assoc;
+rewrite < q_plus_assoc in ⊢ (??(?%?) → ?);
+rewrite > (q_plus_sym  (Qopp init) init);
+rewrite < (q_elim_minus init); rewrite >q_plus_minus;
+rewrite > q_plus_OQ; rewrite > (q_plus_sym st);
+rewrite < q_plus_assoc; 
+rewrite < (q_plus_OQ (Qopp input + st)) in ⊢ (??% → ?);
+rewrite > (q_plus_sym ? OQ); intro X;
+lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y; clear X;
+apply (q_lt_le_incompat ?? Y); apply sum_bases_ge_OQ;
+qed.
+
 lemma key:
   ∀init,input,l1,w1,w2,w.
   Qpos w = start l1 - init →   
@@ -101,109 +190,28 @@ lemma key:
   sum_bases (bars l1) w2 ≤ ⅆ[input,start l1] →
     ⅆ[input,start l1] < sum_bases (bars l1) (S w2) →
     \snd (nth (bars l1) ▭ w2) = \snd (nth (〈w,OQ〉::bars l1) ▭ w1).
-intros 4 (init input l); cases l (st l);
+intros 3 (init input l); cases l (st l);
 change in match (start (mk_q_f st l)) with st;
 change in match (bars (mk_q_f st l)) with l;
-elim l;
+elim l; clear l;
 [1: rewrite > nth_nil; cases w1 in H4;
-    [1: rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:
-          apply (q_le_trans ? st); apply q_lt_to_le; assumption]
-        do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
-        intro X; lapply (q_lt_canc_plus_r ??? X) as Y;
-        simplify in Y; cases (?:False); 
-        apply (q_lt_corefl st); apply (q_lt_trans ??? H2);
-        apply (q_lt_le_trans ??? Y); rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
-        apply q_eq_to_le; reflexivity;
+    [1: intro X; cases (case1 ?????? X); assumption;
     |2: intros; simplify; rewrite > nth_nil; reflexivity;]       
-|2: FACTORIZE w1>0    
-    
-     (* interesting case: init < start < input *)
-        intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
-        simplify in H5 H6 ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
-        elim (\fst w2) in H9 H10;
-        [1: elim (\fst w1) in H5 H6;
-            [1: cases (?:False); clear H5 H8 H7; 
-                apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
-                rewrite > q_d_sym in H6; rewrite > q_d_noabs in H6; 
-                  [2: apply q_lt_to_le; assumption]
-                rewrite > q_plus_sym in H6; rewrite > q_plus_OQ in H6; 
-                rewrite > H2 in H6; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qopp init)); 
-                do 2 rewrite < q_elim_minus; assumption;
-            |2: 
-                
-        cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
-        cases (\fst w1) in H5 H6; intros; [1: 
-          cases (?:False); clear H5 H9 H10; 
-          apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
-          rewrite > q_d_sym in H6; rewrite > q_d_noabs in H6; 
-            [2: apply q_lt_to_le; assumption]
-          rewrite > q_plus_sym in H6; rewrite > q_plus_OQ in H6; 
-          rewrite > H2 in H6; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qopp init)); 
-          do 2 rewrite < q_elim_minus; assumption;]
-       apply eq_f;
-            cut (sum_bases (bars l1) (\fst w2) < sum_bases (bars l1) (S n));[2:
-              apply (q_le_lt_trans ??? H9);
-              apply (q_lt_trans ??? ? H6);
-              rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
-              rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
-              do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > (q_plus_sym ? (Qopp init));
-              apply q_lt_plus; rewrite > q_plus_sym;
-              rewrite > q_elim_minus; rewrite < q_plus_assoc;
-              rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus;
-              rewrite > q_plus_OQ; apply q_lt_opp_opp; assumption]
-            clear H9 H6;
-            cut (ⅆ[input,init] - Qpos w = ⅆ[input,start l1]);[2:
-              rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
-              rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
-              rewrite > H2; rewrite > (q_elim_minus (start ?));
-              rewrite > q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
-              do 2 rewrite > q_elim_minus;
-              do 2 rewrite < q_plus_assoc;
-              rewrite > (q_plus_sym ? init);
-              rewrite > (q_plus_assoc ? init);
-              rewrite > (q_plus_sym ? init);
-              rewrite < (q_elim_minus init); rewrite > q_plus_minus;
-              rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
-              rewrite < q_elim_minus; reflexivity;]
-            cut (sum_bases (bars l1) n < sum_bases (bars l1) (S (\fst w2)));[2:
-              apply (q_le_lt_trans ???? H10); rewrite < Hcut1;
-              rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r; rewrite > q_elim_opp;
-              assumption;] clear Hcut1 H5 H10;
-            generalize in match Hcut;generalize in match Hcut2;clear Hcut Hcut2; 
-            apply (nat_elim2 ???? n (\fst w2)); 
-            [3: intros (x y); apply eq_f; apply H5; clear H5;
-                [1: clear H7; apply sum_bases_lt_canc; assumption;
-                |2: clear H6; ]
-            |2: intros; cases (?:False); clear H6;
-                cases n1 in H5; intro;
-                [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
-                |2: cases (bars l1) in H5; intro;
-                    [1: simplify in H5; 
-                        apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
-                        apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
-                        apply q_le_OQ_Qpos;
-                    |2: simplify in H5:(??%);
-                        lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
-                        apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
-            |1: intro; cases n1 [intros; reflexivity] intros; cases (?:False);
-                elim n2 in H5 H6;
-            
-            
-             elim (bars l1) 0; 
-                [1: intro; elim n1; [reflexivity] cases (?:False);
-                 
-            
-                intros; clear H5;
-                elim n1 in H6; [reflexivity] cases (?:False);
-                [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
-                |2: cases (bars l1) in H5; intro;
-                    [1: simplify in H5; 
-                        apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
-                        apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
-                        apply q_le_OQ_Qpos;
-                    |2: simplify in H5:(??%);
-                        lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
-                        apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
+|2: cases w1 in H4 H5; clear w1;
+    [1: intros (Y X); cases (case1 ?????? X); assumption;
+    |2: intros; simplify in H4 H5 H7 ⊢ %;
+        generalize in match H6; generalize in match H7;
+        generalize in match H4; generalize in match H5; clear H4 H5 H6 H7;
+        apply (nat_elim2 ???? w2 n); clear w2 n; intros;
+        [1: rewrite > (case2 a l1 init st input n); [reflexivity]
+            try rewrite < H1; assumption;
+        |2: simplify in H4 H7; cases (case3 ???????? H4 H7); assumption;
+        |3: (* dipende se vanno oltre la lunghezza di l1,
+               forse dovevo gestire il caso prima dell'induzione *)         
+            simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
+            rewrite > (H (S m) ? w); [reflexivity] try assumption;
+STOP               
+
 qed.
 
             
index 2073c8a77afad47f5b6d6c64b56464a1db1ff0a0..9d73f7ab9b209fdfa887c3aed98764d3cd737265 100644 (file)
@@ -109,3 +109,17 @@ rewrite > q_plus_minus;
 do 2 rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 qed.
 
+lemma q_le_inj_plus_r:
+  ∀x,y,z:Q.x ≤ y → x + z ≤ y + z.
+intros;cases (q_le_cases ?? H);
+[1: rewrite > H1; apply q_eq_to_le; reflexivity;
+|2: apply q_lt_to_le; apply q_lt_inj_plus_r; assumption;]
+qed.
+
+lemma q_le_canc_plus_r:
+  ∀x,y,z:Q.x + z ≤ y + z → x ≤ y.
+intros; lapply (q_le_inj_plus_r ?? (Qopp z) H) as H1;
+do 2 rewrite < q_plus_assoc in H1;
+rewrite < q_elim_minus in H1; rewrite > q_plus_minus in H1;
+do 2 rewrite > q_plus_OQ in H1; assumption;
+qed.