]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
removed generic_sigma_p since generic_iter_p is the same
authorAndrea Asperti <andrea.asperti@unibo.it>
Tue, 31 Jul 2007 11:18:35 +0000 (11:18 +0000)
committerAndrea Asperti <andrea.asperti@unibo.it>
Tue, 31 Jul 2007 11:18:35 +0000 (11:18 +0000)
helm/software/matita/library/nat/generic_sigma_p.ma [deleted file]

diff --git a/helm/software/matita/library/nat/generic_sigma_p.ma b/helm/software/matita/library/nat/generic_sigma_p.ma
deleted file mode 100644 (file)
index 8ab37e9..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,1012 +0,0 @@
-(**************************************************************************)
-(*       ___                                                              *)
-(*      ||M||                                                             *)
-(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
-(*      ||T||                                                             *)
-(*      ||I||       Developers:                                           *)
-(*      ||T||         The HELM team.                                      *)
-(*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
-(*      \   /                                                             *)
-(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
-(*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
-(*                                                                        *)
-(**************************************************************************)
-
-set "baseuri" "cic:/matita/nat/generic_sigma_p.ma".
-
-include "nat/primes.ma".
-include "nat/ord.ma".
-
-
-
-(*a generic definition of summatory indexed over natural numbers:
- * n:N is the advanced end in the range of the sommatory 
- * p: N -> bool is a predicate. if (p i) = true, then (g i) is summed, else it isn't 
- * A is the type of the elements of the sum.
- * g:nat -> A, is the function which associates the nth element of the sum to the nth natural numbers 
- * baseA (of type A) is the neutral element of A for plusA operation
- * plusA: A -> A -> A is the sum over elements in A. 
- *)
-let rec sigma_p_gen (n:nat) (p: nat \to bool) (A:Type) (g: nat \to A) 
-   (baseA: A) (plusA: A \to A \to A)  \def
-  match n with
-   [ O \Rightarrow baseA
-   | (S k) \Rightarrow 
-      match p k with
-      [true \Rightarrow (plusA (g k) (sigma_p_gen k p A g baseA plusA))
-      |false \Rightarrow sigma_p_gen k p A g baseA plusA]
-   ].
-   
-theorem true_to_sigma_p_Sn_gen: 
-\forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall A:Type. \forall g:nat \to A.
-\forall baseA:A. \forall plusA: A \to A \to A.
-p n = true \to sigma_p_gen (S n) p A g baseA plusA = 
-(plusA (g n) (sigma_p_gen n p A g baseA plusA)).
-intros.
-simplify.
-rewrite > H.
-reflexivity.
-qed.
-
-
-
-theorem false_to_sigma_p_Sn_gen: 
-\forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall A:Type. \forall g:nat \to A.
-\forall baseA:A. \forall plusA: A \to A \to A.
-p n = false \to sigma_p_gen (S n) p A g baseA plusA = sigma_p_gen n p A g baseA plusA.
-intros.
-simplify.
-rewrite > H.
-reflexivity.
-qed.
-
-
-theorem eq_sigma_p_gen: \forall p1,p2:nat \to bool. \forall A:Type.
-\forall g1,g2: nat \to A. \forall baseA: A. 
-\forall plusA: A \to A \to A. \forall n:nat.
-(\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
-(\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
-sigma_p_gen n p1 A g1 baseA plusA = sigma_p_gen n p2 A g2 baseA plusA.
-intros 8.
-elim n
-[ reflexivity
-| apply (bool_elim ? (p1 n1))
-  [ intro.
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H3).
-    rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen     
-    [ apply eq_f2
-      [ apply H2.apply le_n.
-      | apply H
-        [ intros.apply H1.apply le_S.assumption
-        | intros.apply H2.apply le_S.assumption
-        ]
-      ]
-    | rewrite < H3.apply sym_eq.apply H1.apply le_n
-    ]
-  | intro.
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H3).
-    rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ apply H
-      [ intros.apply H1.apply le_S.assumption
-      | intros.apply H2.apply le_S.assumption
-      ]
-    | rewrite < H3.apply sym_eq.apply H1.apply le_n
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-theorem eq_sigma_p1_gen: \forall p1,p2:nat \to bool. \forall A:Type.
-\forall g1,g2: nat \to A. \forall baseA: A. 
-\forall plusA: A \to A \to A.\forall n:nat.
-(\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
-(\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
-sigma_p_gen n p1 A g1 baseA plusA = sigma_p_gen n p2 A g2 baseA plusA.
-intros 8.
-elim n
-[ reflexivity
-| apply (bool_elim ? (p1 n1))
-  [ intro.
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H3).
-    rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ apply eq_f2
-      [ apply H2
-        [ apply le_n
-        | assumption
-        ]
-      | apply H
-        [ intros.apply H1.apply le_S.assumption
-        | intros.apply H2
-          [ apply le_S.assumption
-          | assumption
-          ]
-        ]
-      ]
-    | rewrite < H3.
-      apply sym_eq.apply H1.apply le_n
-    ]
-  | intro.
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H3).
-    rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ apply H
-      [ intros.apply H1.apply le_S.assumption
-      | intros.apply H2
-        [ apply le_S.assumption
-        | assumption
-        ]
-      ]
-    | rewrite < H3.apply sym_eq.
-      apply H1.apply le_n
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-theorem sigma_p_false_gen: \forall A:Type. \forall g: nat \to A. \forall baseA:A.
-\forall plusA: A \to A \to A. \forall n.
-sigma_p_gen n (\lambda x.false) A g baseA plusA = baseA.
-intros.
-elim n
-[ reflexivity
-| simplify.
-  assumption
-]
-qed.
-
-theorem sigma_p_plusA_gen: \forall A:Type. \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
-\forall g: nat \to A. \forall baseA:A. \forall plusA: A \to A \to A.
-(symmetric A plusA) \to (\forall a:A. (plusA a baseA) = a) \to (associative A plusA)
-\to
-sigma_p_gen (k + n) p A g baseA plusA 
-= (plusA (sigma_p_gen k (\lambda x.p (x+n)) A (\lambda x.g (x+n)) baseA plusA)
-         (sigma_p_gen n p A g baseA plusA)).
-intros.
-
-elim k
-[ rewrite < (plus_n_O n).
-  simplify.
-  rewrite > H in \vdash (? ? ? %).
-  rewrite > (H1 ?).
-  reflexivity
-| apply (bool_elim ? (p (n1+n)))
-  [ intro.     
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen n1 (\lambda x.p (x+n)) ? ? ? ? H4).
-    rewrite > (H2 (g (n1 + n)) ? ?).
-    rewrite < H3.
-    reflexivity
-  | intro.
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen n1 (\lambda x.p (x+n)) ? ? ? ? H4).
-    assumption
-  ]
-]
-qed.
-
-theorem false_to_eq_sigma_p_gen: \forall A:Type. \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
-\forall g: nat \to A. \forall baseA:A. \forall plusA: A \to A \to A. 
-n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false)
-\to sigma_p_gen m p A g baseA plusA = sigma_p_gen n p A g baseA plusA.
-intros 8.
-elim H
-[ reflexivity
-| simplify.
-  rewrite > H3
-  [ simplify.
-    apply H2.
-    intros.
-    apply H3
-    [ apply H4
-    | apply le_S.
-      assumption
-    ]
-  | assumption
-  |apply le_n
-  ]
-]
-qed.
-
-theorem sigma_p2_gen : 
-\forall n,m:nat.
-\forall p1,p2:nat \to bool.
-\forall A:Type.
-\forall g: nat \to nat \to A.
-\forall baseA: A.
-\forall plusA: A \to A \to A.
-(symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)
-\to
-sigma_p_gen (n*m) 
-  (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m)))
-  A 
-  (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) 
-  baseA
-  plusA  =
-sigma_p_gen n p1 A
-  (\lambda x.sigma_p_gen m p2 A (g x) baseA plusA)
-  baseA plusA.
-intros.
-elim n
-[ simplify.
-  reflexivity
-| apply (bool_elim ? (p1 n1))
-  [ intro.
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    simplify in \vdash (? ? (? % ? ? ? ? ?) ?).
-    rewrite > sigma_p_plusA_gen
-    [ rewrite < H3.
-      apply eq_f2
-      [ apply eq_sigma_p_gen
-        [ intros.
-          rewrite > sym_plus.
-          rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > H4.
-          simplify.
-          reflexivity
-        | intros.
-          rewrite > sym_plus.
-          rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > H4.
-          simplify.reflexivity.   
-        ]
-      | reflexivity
-      ]
-    | assumption
-    | assumption
-    | assumption
-    ]
-  | intro.
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    simplify in \vdash (? ? (? % ? ? ? ? ?) ?).
-    rewrite > sigma_p_plusA_gen
-    [ rewrite > H3.
-      apply (trans_eq ? ? (plusA baseA
-           (sigma_p_gen n1 p1 A (\lambda x:nat.sigma_p_gen m p2 A (g x) baseA plusA) baseA plusA )))
-      [ apply eq_f2
-        [ rewrite > (eq_sigma_p_gen ? (\lambda x.false) A ? (\lambda x:nat.g ((x+n1*m)/m) ((x+n1*m)\mod m)))
-          [ apply sigma_p_false_gen
-          | intros.
-            rewrite > sym_plus.
-            rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-            rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-            rewrite > H4.
-            simplify.reflexivity
-          | intros.reflexivity.
-          ]
-        | reflexivity
-        ]
-      | rewrite < H.
-        rewrite > H2.
-        reflexivity.  
-      ]
-    | assumption
-    | assumption
-    | assumption
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-
-theorem sigma_p2_gen': 
-\forall n,m:nat.
-\forall p1: nat \to bool.
-\forall p2: nat \to nat \to bool.
-\forall A:Type.
-\forall g: nat \to nat \to A.
-\forall baseA: A.
-\forall plusA: A \to A \to A.
-(symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)
-\to
-sigma_p_gen (n*m) 
-  (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m)(mod x m)))
-  A 
-  (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) 
-  baseA
-  plusA  =
-sigma_p_gen n p1 A
-  (\lambda x.sigma_p_gen m (p2 x) A (g x) baseA plusA)
-  baseA plusA.
-intros.
-elim n
-[ simplify.
-  reflexivity
-| apply (bool_elim ? (p1 n1))
-  [ intro.
-    rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    simplify in \vdash (? ? (? % ? ? ? ? ?) ?).
-    rewrite > sigma_p_plusA_gen
-    [ rewrite < H3.
-      apply eq_f2
-      [ apply eq_sigma_p_gen
-        [ intros.
-          rewrite > sym_plus.
-          rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > H4.
-          simplify.
-          reflexivity
-        | intros.
-          rewrite > sym_plus.
-          rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-          rewrite > H4.
-          simplify.reflexivity.   
-        ]
-      | reflexivity
-      ]
-    | assumption
-    | assumption
-    | assumption
-    ]
-  | intro.
-    rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H4).
-    simplify in \vdash (? ? (? % ? ? ? ? ?) ?).
-    rewrite > sigma_p_plusA_gen
-    [ rewrite > H3.
-      apply (trans_eq ? ? (plusA baseA
-           (sigma_p_gen n1 p1 A (\lambda x:nat.sigma_p_gen m (p2 x) A (g x) baseA plusA) baseA plusA )))
-      [ apply eq_f2
-        [ rewrite > (eq_sigma_p_gen ? (\lambda x.false) A ? (\lambda x:nat.g ((x+n1*m)/m) ((x+n1*m)\mod m)))
-          [ apply sigma_p_false_gen
-          | intros.
-            rewrite > sym_plus.
-            rewrite > (div_plus_times ? ? ? H5).
-            rewrite > (mod_plus_times ? ? ? H5).
-            rewrite > H4.
-            simplify.reflexivity
-          | intros.reflexivity.
-          ]
-        | reflexivity
-        ]
-      | rewrite < H.
-        rewrite > H2.
-        reflexivity.  
-      ]
-    | assumption
-    | assumption
-    | assumption
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-lemma sigma_p_gi_gen: 
-\forall A:Type.
-\forall g: nat \to A.
-\forall baseA:A.
-\forall plusA: A \to A \to A.
-\forall n,i:nat.
-\forall p:nat \to bool.
-(symmetric A plusA) \to  (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a) 
-  \to 
-  
-i < n \to p i = true \to
-(sigma_p_gen n p A g baseA plusA) = 
-(plusA (g i) (sigma_p_gen n (\lambda x:nat. andb (p x) (notb (eqb x i))) A g baseA plusA)).
-intros 5.
-elim n
-[ apply False_ind.
-  apply (not_le_Sn_O i).
-  assumption
-| apply (bool_elim ? (p n1));intro
-  [ elim (le_to_or_lt_eq i n1)
-    [ rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen
-      [ rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen
-        [ rewrite < (H2 (g i) ? ?).
-          rewrite > (H1 (g i) (g n1)).
-          rewrite > (H2 (g n1) ? ?).
-          apply eq_f2
-          [ reflexivity
-          | apply H
-            [ assumption
-            | assumption
-            | assumption 
-            | assumption
-            | assumption
-            ]
-          ]
-        | rewrite > H6.simplify.
-          change with (notb (eqb n1 i) = notb false).
-          apply eq_f.
-          apply not_eq_to_eqb_false.
-          unfold Not.intro.
-          apply (lt_to_not_eq ? ? H7).
-          apply sym_eq.assumption
-        ]
-      | assumption
-      ]
-    | rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen
-      [ rewrite > H7.
-        apply eq_f2
-        [ reflexivity
-        | rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-          [ apply eq_sigma_p_gen
-            [ intros.
-              elim (p x)
-              [ simplify.
-                change with (notb false = notb (eqb x n1)).
-                apply eq_f.
-                apply sym_eq. 
-                apply not_eq_to_eqb_false.
-                apply (lt_to_not_eq ? ? H8)
-              | reflexivity
-              ]
-            | intros.
-              reflexivity
-            ]
-          | rewrite > H6.
-            rewrite > (eq_to_eqb_true ? ? (refl_eq ? n1)).
-            reflexivity
-          ]
-        ]
-      | assumption
-      ]
-    | apply le_S_S_to_le.
-      assumption
-    ]
-  | rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ elim (le_to_or_lt_eq i n1)
-      [ rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-        [ apply H
-          [ assumption
-          | assumption
-          | assumption
-          | assumption
-          | assumption
-          ]
-        | rewrite > H6.reflexivity
-        ]
-      | apply False_ind. 
-        apply not_eq_true_false.
-        rewrite < H5.
-        rewrite > H7.
-        assumption
-      | apply le_S_S_to_le.
-        assumption
-      ]
-    | assumption
-    ]
-  ] 
-] 
-qed.
-
-
-theorem eq_sigma_p_gh_gen: 
-\forall A:Type.
-\forall baseA: A.
-\forall plusA: A \to A \to A.
-(symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a) \to
-\forall g: nat \to A.
-\forall h,h1: nat \to nat.
-\forall n,n1:nat.
-\forall p1,p2:nat \to bool.
-(\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
-(\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to 
-(\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to 
-(\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
-(\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to 
-(\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to 
-
-sigma_p_gen n p1 A (\lambda x.g(h x)) baseA plusA = 
-sigma_p_gen n1 (\lambda x.p2 x) A g baseA plusA.
-intros 10.
-elim n
-[ generalize in match H8.
-  elim n1
-  [ reflexivity
-  | apply (bool_elim ? (p2 n2));intro
-    [ apply False_ind.
-      apply (not_le_Sn_O (h1 n2)).
-      apply H10
-      [ apply le_n
-      | assumption
-      ]
-    | rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-      [ apply H9.
-        intros.  
-        apply H10
-        [ apply le_S.
-          apply H12
-        | assumption
-        ]
-      | assumption
-      ]
-    ]
-  ]
-| apply (bool_elim ? (p1 n1));intro
-  [ rewrite > true_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ rewrite > (sigma_p_gi_gen A g baseA plusA n2 (h n1))
-      [ apply eq_f2
-        [ reflexivity
-        | apply H3
-          [ intros.
-            rewrite > H4
-            [ simplify.
-              change with ((\not eqb (h i) (h n1))= \not false).
-              apply eq_f.
-              apply not_eq_to_eqb_false.
-              unfold Not.
-              intro.
-              apply (lt_to_not_eq ? ? H11).
-              rewrite < H5
-              [ rewrite < (H5 n1)
-                [ apply eq_f.
-                  assumption
-                | apply le_n
-                | assumption
-                ]
-              | apply le_S.
-                assumption
-              | assumption
-              ]
-            | apply le_S.assumption
-            | assumption
-            ]
-          | intros.
-            apply H5
-            [ apply le_S.
-              assumption
-            | assumption
-            ]
-          | intros.
-            apply H6
-            [ apply le_S.assumption
-            | assumption
-            ]
-          | intros.
-            apply H7
-            [ assumption
-            | generalize in match H12.
-              elim (p2 j)
-              [ reflexivity
-              | assumption
-              ]
-            ]
-          | intros.
-            apply H8
-            [ assumption
-            | generalize in match H12.
-              elim (p2 j)
-              [ reflexivity
-              | assumption
-              ]
-            ]
-          | intros.
-            elim (le_to_or_lt_eq (h1 j) n1)
-            [ assumption
-            | generalize in match H12.
-              elim (p2 j)
-              [ simplify in H13.
-                absurd (j = (h n1))
-                [ rewrite < H13.
-                  rewrite > H8
-                  [ reflexivity
-                  | assumption
-                  | autobatch
-                  ]
-                | apply eqb_false_to_not_eq.
-                  generalize in match H14.
-                  elim (eqb j (h n1))
-                  [ apply sym_eq.assumption
-                  | reflexivity
-                  ]
-                ]
-              | simplify in H14.
-                apply False_ind.
-                apply not_eq_true_false.
-                apply sym_eq.assumption
-              ]
-            | apply le_S_S_to_le.
-              apply H9
-              [ assumption
-              | generalize in match H12.
-                elim (p2 j)
-                [ reflexivity
-                | assumption
-                ]
-              ]
-            ]
-          ]
-        ]
-      | assumption  
-      | assumption
-      | assumption  
-      | apply H6
-        [ apply le_n
-        | assumption
-        ]
-      | apply H4
-        [ apply le_n
-        | assumption
-        ]
-      ]
-    | assumption
-    ]
-  | rewrite > false_to_sigma_p_Sn_gen
-    [ apply H3
-      [ intros.
-        apply H4[apply le_S.assumption|assumption]
-      | intros.
-        apply H5[apply le_S.assumption|assumption]
-      | intros.
-        apply H6[apply le_S.assumption|assumption]
-      | intros.
-        apply H7[assumption|assumption]
-      | intros.
-        apply H8[assumption|assumption]
-      | intros.
-        elim (le_to_or_lt_eq (h1 j) n1)
-        [ assumption
-        | absurd (j = (h n1))
-          [ rewrite < H13.
-            rewrite > H8
-            [ reflexivity
-            | assumption
-            | assumption
-            ]
-          | unfold Not.intro.
-            apply not_eq_true_false.
-            rewrite < H10.
-            rewrite < H13.
-            rewrite > H7
-            [ reflexivity
-            | assumption
-            | assumption
-            ]
-          ]
-        | apply le_S_S_to_le.
-          apply H9
-          [ assumption
-          | assumption
-          ]
-        ]
-      ]
-    | assumption
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-
-
-definition p_ord_times \def
-\lambda p,m,x.
-  match p_ord x p with
-  [pair q r \Rightarrow r*m+q].
-  
-theorem  eq_p_ord_times: \forall p,m,x.
-p_ord_times p m x = (ord_rem x p)*m+(ord x p).
-intros.unfold p_ord_times. unfold ord_rem.
-unfold ord.
-elim (p_ord x p).
-reflexivity.
-qed.
-
-theorem div_p_ord_times: 
-\forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_times p m x / m = ord_rem x p.
-intros.rewrite > eq_p_ord_times.
-apply div_plus_times.
-assumption.
-qed.
-
-theorem mod_p_ord_times: 
-\forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_times p m x \mod m = ord x p.
-intros.rewrite > eq_p_ord_times.
-apply mod_plus_times.
-assumption.
-qed.
-
-theorem sigma_p_divides_gen:
-\forall A:Type.
-\forall baseA: A.
-\forall plusA: A \to A \to A. 
-\forall n,m,p:nat.O < n \to prime p \to Not (divides p n) \to 
-\forall g: nat \to A.
-(symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)
-
-\to
-
-sigma_p_gen (S (n*(exp p m))) (\lambda x.divides_b x (n*(exp p m))) A g baseA plusA =
-sigma_p_gen (S n) (\lambda x.divides_b x n) A
-  (\lambda x.sigma_p_gen (S m) (\lambda y.true) A (\lambda y.g (x*(exp p y))) baseA plusA) baseA plusA.
-intros.
-cut (O < p)
-  [rewrite < (sigma_p2_gen ? ? ? ? ? ? ? ? H3 H4 H5).
-   apply (trans_eq ? ? 
-    (sigma_p_gen (S n*S m) (\lambda x:nat.divides_b (x/S m) n) A
-       (\lambda x:nat.g (x/S m*(p)\sup(x\mod S m)))  baseA plusA) )
-    [apply sym_eq.
-     apply (eq_sigma_p_gh_gen ? ? ? ? ? ? g ? (p_ord_times p (S m)))
-      [ assumption
-      | assumption
-      | assumption
-      |intros.
-       lapply (divides_b_true_to_lt_O ? ? H H7).
-       apply divides_to_divides_b_true
-        [rewrite > (times_n_O O).
-         apply lt_times
-          [assumption
-          |apply lt_O_exp.assumption
-          ]
-        |apply divides_times
-          [apply divides_b_true_to_divides.assumption
-          |apply (witness ? ? (p \sup (m-i \mod (S m)))).
-           rewrite < exp_plus_times.
-           apply eq_f.
-           rewrite > sym_plus.
-           apply plus_minus_m_m.
-           autobatch
-          ]
-        ]
-      |intros.
-       lapply (divides_b_true_to_lt_O ? ? H H7).
-       unfold p_ord_times.
-       rewrite > (p_ord_exp1 p ? (i \mod (S m)) (i/S m))
-        [change with ((i/S m)*S m+i \mod S m=i).
-         apply sym_eq.
-         apply div_mod.
-         apply lt_O_S
-        |assumption
-        |unfold Not.intro.
-         apply H2.
-         apply (trans_divides ? (i/ S m))
-          [assumption|
-           apply divides_b_true_to_divides;assumption]
-        |apply sym_times.
-        ]
-      |intros.
-       apply le_S_S.
-       apply le_times
-        [apply le_S_S_to_le.
-         change with ((i/S m) < S n).
-         apply (lt_times_to_lt_l m).
-         apply (le_to_lt_to_lt ? i)
-          [autobatch|assumption]
-        |apply le_exp
-          [assumption
-          |apply le_S_S_to_le.
-           apply lt_mod_m_m.
-           apply lt_O_S
-          ]
-        ]
-      |intros.
-       cut (ord j p < S m)
-        [rewrite > div_p_ord_times
-          [apply divides_to_divides_b_true
-            [apply lt_O_ord_rem
-             [elim H1.assumption
-             |apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-               rewrite > (times_n_O O).
-               apply lt_times
-               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-             ]
-           |cut (n = ord_rem (n*(exp p m)) p)
-              [rewrite > Hcut2.
-               apply divides_to_divides_ord_rem
-                [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-                 rewrite > (times_n_O O).
-                 apply lt_times
-                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-                 |rewrite > (times_n_O O).
-                   apply lt_times
-                  [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-               |assumption
-               |apply divides_b_true_to_divides.
-                assumption
-               ]
-              |unfold ord_rem.
-              rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-                [reflexivity
-               |assumption
-                |assumption
-               |apply sym_times
-               ]
-             ]
-            ]
-          |assumption
-          ]
-        |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
-          [apply le_S_S.
-           rewrite > Hcut1.
-           apply divides_to_le_ord
-            [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-             rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |assumption
-            |apply divides_b_true_to_divides.
-             assumption
-            ]
-          |unfold ord.
-           rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-            [reflexivity
-            |assumption
-            |assumption
-            |apply sym_times
-            ]
-          ]
-        ]
-      |intros.
-       cut (ord j p < S m)
-        [rewrite > div_p_ord_times
-          [rewrite > mod_p_ord_times
-            [rewrite > sym_times.
-             apply sym_eq.
-             apply exp_ord
-              [elim H1.assumption
-              |apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-               rewrite > (times_n_O O).
-               apply lt_times
-                [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-              ]
-           |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
-             [apply le_S_S.
-              rewrite > Hcut2.
-              apply divides_to_le_ord
-               [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-                rewrite > (times_n_O O).
-                apply lt_times
-                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-               |rewrite > (times_n_O O).
-                apply lt_times
-                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-               |assumption
-               |apply divides_b_true_to_divides.
-                assumption
-               ]
-             |unfold ord.
-              rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-                [reflexivity
-                |assumption
-                |assumption
-                |apply sym_times
-                ]
-              ]
-            ]
-          |assumption
-          ]
-        |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
-          [apply le_S_S.
-           rewrite > Hcut1.
-           apply divides_to_le_ord
-            [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-             rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |assumption
-            |apply divides_b_true_to_divides.
-             assumption
-            ]
-          |unfold ord.
-           rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-            [reflexivity
-            |assumption
-            |assumption
-            |apply sym_times
-            ]
-          ]
-        ]
-      |intros.
-       rewrite > eq_p_ord_times.
-       rewrite > sym_plus.
-       apply (lt_to_le_to_lt ? (S m +ord_rem j p*S m))
-        [apply lt_plus_l.
-         apply le_S_S.
-         cut (m = ord (n*(p \sup m)) p)
-          [rewrite > Hcut1.
-           apply divides_to_le_ord
-            [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-             rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |rewrite > (times_n_O O).
-             apply lt_times
-              [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-            |assumption
-            |apply divides_b_true_to_divides.
-             assumption
-            ]
-          |unfold ord.
-           rewrite > sym_times.
-           rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-            [reflexivity
-            |assumption
-            |assumption
-            |reflexivity
-            ]
-          ]
-        |change with (S (ord_rem j p)*S m \le S n*S m).
-         apply le_times_l.
-         apply le_S_S.
-         cut (n = ord_rem (n*(p \sup m)) p)
-          [rewrite > Hcut1.
-           apply divides_to_le
-            [apply lt_O_ord_rem
-              [elim H1.assumption
-              |rewrite > (times_n_O O).
-               apply lt_times
-                [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-              ]
-            |apply divides_to_divides_ord_rem
-              [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
-               rewrite > (times_n_O O).
-               apply lt_times
-                [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-              |rewrite > (times_n_O O).
-               apply lt_times
-                [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
-              |assumption
-              |apply divides_b_true_to_divides.
-               assumption
-              ]
-            ]
-        |unfold ord_rem.
-         rewrite > sym_times.
-         rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
-          [reflexivity
-          |assumption
-          |assumption
-          |reflexivity
-          ]
-        ]
-      ]
-    ]
-  |apply eq_sigma_p_gen
-  
-    [intros.
-     elim (divides_b (x/S m) n);reflexivity
-    |intros.reflexivity
-    ]
-  ]
-|elim H1.apply lt_to_le.assumption
-]
-qed.
-    
-(*distributive property for sigma_p_gen*)
-theorem distributive_times_plus_sigma_p_generic: \forall A:Type.
-\forall plusA: A \to A \to A. \forall basePlusA: A.
-\forall timesA: A \to A \to A. 
-\forall n:nat. \forall k:A. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to A.
-(symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  basePlusA) = a) \to
-(symmetric A timesA) \to (distributive A timesA plusA) \to
-(\forall a:A. (timesA a basePlusA) = basePlusA)
-  \to
-
-((timesA k (sigma_p_gen n p A g basePlusA plusA)) = 
- (sigma_p_gen n p A (\lambda i:nat.(timesA k (g i))) basePlusA plusA)).
-intros.
-elim n
-[ simplify.
-  apply H5
-| cut( (p n1) = true \lor (p n1) = false)
-  [ elim Hcut
-    [ rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H7).
-      rewrite > (true_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H7) in \vdash (? ? ? %).
-      rewrite > (H4).
-      rewrite > (H3 k (g n1)).
-      apply eq_f.
-      assumption
-    | rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H7).
-      rewrite > (false_to_sigma_p_Sn_gen ? ? ? ? ? ? H7) in \vdash (? ? ? %).
-      assumption
-    ]
-  | elim ((p n1))
-    [ left.
-      reflexivity
-    | right.
-      reflexivity
-    ]
-  ]
-]
-qed.
-
-