interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
+
(*DOCBEGIN
La libreria di Matita
Il teorema di espansione di Shannon
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+Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come `FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)`.
+
Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
-formula ha in un mondo `v` la stessa semantica di `F`:
+formula è equivalente a `F`:
- if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x])
+ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
Ovvero, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale atomo è falso
-nel mondo `v`, altrimenti lo sostituisco con `FTop`.
+in un mondo mondo `v`, altrimenti lo sostituisco con `FTop`.
-DOCEND*)
+La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
-definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
+Vediamo la dimostrazione del primo, che asserisce
+
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
+
+Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver supposto
+che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
+I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
+una volta assunte le sottofrmule e le ipotesi induttive, si conclude
+con una catena di uguaglianze.
+
+Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo,
+occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
+aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` su cui si procede poi per casi.
+In entrambi i casi, usanto i lemmi `eq_to_eqb_true` e `not_eq_to_eqb_false`
+si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` e `(eqb n x = false)`.
+Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
+
+Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
+ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
+si procede poi per casi. Entrambi i casi si cncludono con
+una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
+e i lemmi `min_1_sem` e `max_0_sem`.
+
+DOCEND*)
lemma shannon_false:
∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= (1 - [[ f ]]_v) by H1.
= ([[ FNot f ]]_v).
done.
+(*END*)
qed.
lemma shannon_true:
∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= (1 - [[ f ]]_v) by H1.
= ([[ FNot f ]]_v).
done.
+(*END*)
qed.
theorem shannon :
∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
= ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
done.
+(*END*)
qed.
(*DOCBEGIN
avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
-La dimostrazione
-================
-
-...
-
-Il caso (FAtom n)
------------------
-
-Questo è il caso più difficile di tutta la dimostrazione.
-
-La tesi è `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v)`
-
-Per dimostrarla è necessario utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per
-ottenere l'ipotesi agiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` che chiameremo `H` e il lemma
-`sem_bool` per ottenre l'ipotesi aggiuntiva `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1`
-che chiameremo `H1`.
-
-Si procede poi per casi sull'ipotesi `H`, e in ogni suo sotto caso si procede
-per casi su `H1`.
-
-Nei casi in cui è presente l'ipotesi aggiuntiva `n ≠ x` è bene
-ottenre tramite il lemma `not_eq_to_eqb_false` l'ipotesi aggiuntiva
-`eqb n x = false`.
-
-Abbiamo quindi quattro casi, in tutti si procede con un comando `conclude`:
-
-1. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Utilizzando l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0` e espandendo alcune definizioni
- si ottiene che la parte sinistra della conclusione è
-
- ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
-
- Usando l'ipotesi `n = x`, poi il lemma `eqb_n_n` e espandendo alcune
- definizioni si ottiene `0`. Tornando ad usare le due ipotesi
- `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0` si ottiene una formula uguale al
- lato destro della conclusione.
-
-2. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
-3. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Si ottiene l'ipotesi aggiuntiva `eqb n x = false` usando il lemma
- `not_eq_to_eqb_false` insieme all'ipotesi `n ≠ x`. Usando il comando
- conlude e l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0`, la nuova ipotesi appena
- ottenuta e espandendo alcune definizioni si ottiene una formula
- uguale a quella di destra.
-
-4. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
I comandi da utilizzare
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* `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
- `A ∨ B`) oppure su una espressione come `eqb n m`.
+ `A ∨ B`).
Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
-
- Esempio: `we proceed by cases on (eqb x 0) to prove Q.`
* `case ... .`
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