mk_TM alpha write_states
(λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
match pi1 … q with
- [ O ⇒ 〈wr1,Some ? 〈c,N〉〉
- | S _ ⇒ 〈wr1,None ?〉 ])
+ [ O ⇒ 〈wr1,Some ? c,N〉
+ | S _ ⇒ 〈wr1,None ?,N〉 ])
wr0 (λx.x == wr1).
definition R_write ≝ λalpha,c,t1,t2.
λalpha:FinSet.mk_TM alpha move_states
(λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
match a with
- [ None ⇒ 〈move1,None ?〉
+ [ None ⇒ 〈move1,None ?,N〉
| Some a' ⇒ match (pi1 … q) with
- [ O ⇒ 〈move1,Some ? 〈a',R〉〉
- | S q ⇒ 〈move1,None ?〉 ] ])
+ [ O ⇒ 〈move1,Some ? a',R〉
+ | S q ⇒ 〈move1,None ?,N〉 ] ])
move0 (λq.q == move1).
definition R_move_r ≝ λalpha,t1,t2.
λalpha:FinSet.mk_TM alpha move_states
(λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
match a with
- [ None ⇒ 〈move1,None ?〉
+ [ None ⇒ 〈move1,None ?,N〉
| Some a' ⇒ match pi1 … q with
- [ O ⇒ 〈move1,Some ? 〈a',L〉〉
- | S q ⇒ 〈move1,None ?〉 ] ])
+ [ O ⇒ 〈move1,Some ? a',L〉
+ | S q ⇒ 〈move1,None ?,N〉 ] ])
move0 (λq.q == move1).
definition R_move_l ≝ λalpha,t1,t2.
mk_TM alpha tc_states
(λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
match a with
- [ None ⇒ 〈tc_false, None ?〉
+ [ None ⇒ 〈tc_false, None ?,N〉
| Some a' ⇒
match test a' with
- [ true ⇒ 〈tc_true,None ?〉
- | false ⇒ 〈tc_false,None ?〉 ]])
+ [ true ⇒ 〈tc_true,None ?,N〉
+ | false ⇒ 〈tc_false,None ?,N〉 ]])
tc_start (λx.notb (x == tc_start)).
definition Rtc_true ≝
let 〈q',b〉 ≝ q in
let q' ≝ pi1 nat (λi.i<4) q' in
match a with
- [ None ⇒ 〈〈swap3,foo〉,None ?〉 (* if tape is empty then stop *)
+ [ None ⇒ 〈〈swap3,foo〉,None ?,N〉 (* if tape is empty then stop *)
| Some a' ⇒
match q' with
- [ O ⇒ (* q0 *) 〈〈swap1,a'〉,Some ? 〈a',R〉〉 (* save in register and move R *)
+ [ O ⇒ (* q0 *) 〈〈swap1,a'〉,Some ? a',R〉 (* save in register and move R *)
| S q' ⇒ match q' with
- [ O ⇒ (* q1 *) 〈〈swap2,a'〉,Some ? 〈b,L〉〉 (* swap with register and move L *)
+ [ O ⇒ (* q1 *) 〈〈swap2,a'〉,Some ? b,L〉 (* swap with register and move L *)
| S q' ⇒ match q' with
- [ O ⇒ (* q2 *) 〈〈swap3,foo〉,Some ? 〈b,N〉〉 (* copy from register and stay *)
- | S q' ⇒ (* q3 *) 〈〈swap3,foo〉,None ?〉 (* final state *)
+ [ O ⇒ (* q2 *) 〈〈swap3,foo〉,Some ? b,N〉 (* copy from register and stay *)
+ | S q' ⇒ (* q3 *) 〈〈swap3,foo〉,None ?,N〉 (* final state *)
]
]
]])
let 〈q',b〉 ≝ q in
let q' ≝ pi1 nat (λi.i<4) q' in
match a with
- [ None ⇒ 〈〈swap3,foo〉,None ?〉 (* if tape is empty then stop *)
+ [ None ⇒ 〈〈swap3,foo〉,None ?,N〉 (* if tape is empty then stop *)
| Some a' ⇒
match q' with
- [ O ⇒ (* q0 *) 〈〈swap1,a'〉,Some ? 〈a',L〉〉 (* save in register and move L *)
+ [ O ⇒ (* q0 *) 〈〈swap1,a'〉,Some ? a',L〉 (* save in register and move L *)
| S q' ⇒ match q' with
- [ O ⇒ (* q1 *) 〈〈swap2,a'〉,Some ? 〈b,R〉〉 (* swap with register and move R *)
+ [ O ⇒ (* q1 *) 〈〈swap2,a'〉,Some ? b,R〉 (* swap with register and move R *)
| S q' ⇒ match q' with
- [ O ⇒ (* q2 *) 〈〈swap3,foo〉,Some ? 〈b,N〉〉 (* copy from register and stay *)
- | S q' ⇒ (* q3 *) 〈〈swap3,foo〉,None ?〉 (* final state *)
+ [ O ⇒ (* q2 *) 〈〈swap3,foo〉,Some ? b,N〉 (* copy from register and stay *)
+ | S q' ⇒ (* q3 *) 〈〈swap3,foo〉,None ?,N〉 (* final state *)
]
]
]])
match s with
[ inl s1 ⇒
if halt sig M1 s1 then
- if s1==q then 〈inr … (inl … (start sig M2)), None ?〉
- else 〈inr … (inr … (start sig M3)), None ?〉
- else let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
- 〈inl … news1,m〉
+ if s1==q then 〈inr … (inl … (start sig M2)), None ?,N〉
+ else 〈inr … (inr … (start sig M3)), None ?,N〉
+ else let 〈news1,newa,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
+ 〈inl … news1,newa,m〉
| inr s' ⇒
match s' with
- [ inl s2 ⇒ let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
- 〈inr … (inl … news2),m〉
- | inr s3 ⇒ let 〈news3,m〉 ≝ trans sig M3 〈s3,a〉 in
- 〈inr … (inr … news3),m〉
+ [ inl s2 ⇒ let 〈news2,newa,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
+ 〈inr … (inl … news2),newa,m〉
+ | inr s3 ⇒ let 〈news3,newa,m〉 ≝ trans sig M3 〈s3,a〉 in
+ 〈inr … (inr … news3),newa,m〉
]
].
| inr s3 ⇒ halt sig elseM s3 ]]).
(****************************** lifting lemmas ********************************)
-lemma trans_if_liftM1 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
+lemma trans_if_liftM1 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,newa,move.
halt ? M1 s = false →
- trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
-#sig * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #M3 #acc #s #a #news #move
+ trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,newa,move〉.
+#sig * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #M3 #acc #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
-lemma trans_if_liftM2 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
+lemma trans_if_liftM2 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,newa,move.
halt ? M2 s = false →
- trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inl … s),a〉 = 〈inr… (inl … news),move〉.
-#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #move
+ trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inl … s),a〉 = 〈inr… (inl … news),newa,move〉.
+#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
-lemma trans_if_liftM3 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
+lemma trans_if_liftM3 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,newa,move.
halt ? M3 s = false →
- trans sig M3 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inr … s),a〉 = 〈inr… (inr … news),move〉.
-#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #move
+ trans sig M3 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inr … s),a〉 = 〈inr… (inr … news),newa,move〉.
+#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
#sig #M1 #M2 #M3 #acc * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 #M3 #acc * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 #M3 #acc * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
lemma trans_if_M1true_acc : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a.
halt ? M1 s = true → s==acc = true →
- trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inl … (start ? M2)),None ?〉.
+ trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inl … (start ? M2)),None ?,N〉.
#sig #M1 #M2 #M3 #acc #s #a #Hhalt #Hacc whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Hacc %
qed.
lemma trans_if_M1true_notacc : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a.
halt ? M1 s = true → s==acc = false →
- trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inr … (start ? M3)),None ?〉.
+ trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inr … (start ? M3)),None ?,N〉.
#sig #M1 #M2 #M3 #acc #s #a #Hhalt #Hacc whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Hacc %
qed.
record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
{ states : FinSet;
- trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
+ trans : states × (option sig) → states × (option sig) × move;
start: states;
halt : states → bool
}.
-definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
- match lt with
- [ nil ⇒ leftof sig c rt
- | cons c0 lt0 ⇒ midtape sig lt0 c0 (c::rt) ].
+definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λt:tape sig.
+ match t with
+ [ niltape ⇒ niltape sig
+ | leftof _ _ ⇒ t
+ | rightof a ls ⇒ midtape sig ls a [ ]
+ | midtape ls a rs ⇒
+ match ls with
+ [ nil ⇒ leftof sig a rs
+ | cons a0 ls0 ⇒ midtape sig ls0 a0 (a::rs)
+ ]
+ ].
+
+definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λt:tape sig.
+ match t with
+ [ niltape ⇒ niltape sig
+ | rightof _ _ ⇒ t
+ | leftof a rs ⇒ midtape sig [ ] a rs
+ | midtape ls a rs ⇒
+ match rs with
+ [ nil ⇒ rightof sig a ls
+ | cons a0 rs0 ⇒ midtape sig (a::ls) a0 rs0
+ ]
+ ].
-definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
- match rt with
- [ nil ⇒ rightof sig c lt
- | cons c0 rt0 ⇒ midtape sig (c::lt) c0 rt0 ].
+definition tape_write ≝ λsig.λt: tape sig.λs:option sig.
+ match s with
+ [ None ⇒ t
+ | Some s0 ⇒ midtape ? (left ? t) s0 (right ? t)
+ ].
-definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
+definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:move.
match m with
- [ None ⇒ t
- | Some m' ⇒
- let 〈s,m1〉 ≝ m' in
- match m1 with
- [ R ⇒ tape_move_right ? (left ? t) s (right ? t)
- | L ⇒ tape_move_left ? (left ? t) s (right ? t)
- | N ⇒ midtape ? (left ? t) s (right ? t)
- ] ].
+ [ R ⇒ tape_move_right ? t
+ | L ⇒ tape_move_left ? t
+ | N ⇒ t
+ ].
record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
{ cstate : states;
definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
let current_char ≝ current ? (ctape ?? c) in
- let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
- mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
+ let 〈news,a,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
+ mk_config ?? news (tape_move sig (tape_write ? (ctape ?? c) a) mv).
(******************************** loop ****************************************)
let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
definition nop ≝
λalpha:FinSet.mk_TM alpha nop_states
- (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,None ?〉)
+ (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,None ?,N〉)
start_nop (λ_.true).
definition R_nop ≝ λalpha.λt1,t2:tape alpha.t2 = t1.
λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
match s with
[ inl s1 ⇒
- if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
- else let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in 〈inl … news1,m〉
- | inr s2 ⇒ let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in 〈inr … news2,m〉
+ if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?,N〉
+ else let 〈news1,newa,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in 〈inl … news1,newa,m〉
+ | inr s2 ⇒ let 〈news2,newa,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in 〈inr … news2,newa,m〉
].
definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
#sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
qed.
-lemma trans_seq_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
+lemma trans_seq_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,newa,move.
halt ? M1 s = false →
- trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
-#sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
+ trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,newa,move〉.
+#sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
-lemma trans_seq_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
+lemma trans_seq_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,newa,move.
halt ? M2 s = false →
- trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
-#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
+ trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,newa,move〉 →
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,newa,move〉.
+#sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #newa #move
#Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
qed.
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
#sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
- #s0 #m0 cases t
+ * #s0 #a0 #m0 cases t
[ #Heq #Hhalt
| 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
|#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
halt ? M1 s = true →
- trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
+ trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?,N〉.
#sig #M1 #M2 #s #a #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
qed.
lemma sem_compare : Realize ? compare R_compare.
/2/ qed.
+
+(* new *)
+definition R_compare_new :=
+ λt1,t2.
+ ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
+ (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
+ (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
+(* forse manca il caso no marks in rs *)
+ ∀b,b0,bs,b0s,comma,l1,l2.
+ |bs| = |b0s| →
+ (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
+ (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
+ (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
+ (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
+ c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
+ rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
+ (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
+ t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
+ 〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
+ (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
+ 〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
+ 〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
+ t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
+ reverse ? l1@
+ 〈grid,false〉::
+ reverse ? lb@
+ 〈c',true〉::
+ reverse ? la@ls)
+ 〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
+
+lemma wsem_compare_new : WRealize ? compare R_compare_new.
+#t #i #outc #Hloop
+lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
+-Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
+[ #tapea whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
+ [ %
+ [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
+ whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
+ | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
+ #Htrue @Htrue ]
+ | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
+ cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
+ ]
+| #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
+ whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases Hleft -Hleft
+ #ls0 * #c' * #rs0 * >Htapea #Hdes destruct (Hdes) * *
+ cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
+ [2: #Htapeb lapply (Htapeb Hc') -Htapeb #Htapeb #_ #_ %
+ [%[#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc)
+ cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ <Htapeb @(H … (refl…))
+ |#c1 #Heqc destruct (Heqc)
+ ]
+ |#b #b0 #bs #b0s #comma #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_
+ #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
+ ]
+ |#_ (* no marks in rs ??? *) #_ #Hleft %
+ [ %
+ [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
+ | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
+ ]
+ |#b #b0 #bs #b0s #comma #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
+ #Heq destruct (Heq) #_ >append_cons; <associative_append #Hrs
+ cases (Hleft … Hc' … Hrs) -Hleft
+ [2: #c1 #memc1 cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
+ [cases (memb_append … memc1) -memc1 #memc1
+ [@Hbs2 @memc1 |>(memb_single … memc1) %]
+ |@Hl1 @memc1
+ ]
+ |* (* manca il caso in cui dopo una parte uguale il
+ secondo nastro finisca ... ???? *)
+ #_ cases (true_or_false (b==b0)) #eqbb0
+ [2: #_ #Htapeb %2 lapply (Htapeb … (\Pf eqbb0)) -Htapeb #Htapeb
+ cases (IH … Htapeb) * #_ #Hout #_
+ @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
+ @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
+ [%[%[@(\Pf eqbb0) | %] | %]
+ |>(Hout … (refl …)) -Hout >Htapeb @eq_f3 [2,3:%]
+ >reverse_append >reverse_append >associative_append
+ >associative_append %
+ ]
+ |lapply Hbs1 lapply Hbs2 lapply Hb0s2 lapply Hrs
+ -Hbs1 -Hbs2 -Hb0s2 -Hrs
+ @(list_cases2 … Hlen)
+ [#Hrs #_ #_ #_ >associative_append >associative_append #Htapeb #_
+ lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
+ cases (IH … Htapeb) -IH * #Hout #_ #_ %1 %
+ [>(\P eqbb0) %
+ |>(Hout grid (refl …) (refl …)) @eq_f
+ normalize >associative_append %
+ ]
+ |* #a1 #ba1 * #a2 #ba2 #tl1 #tl2 #HlenS #Hrs #Hb0s2 #Hbs2 #Hbs1
+ cut (ba1 = false) [@(Hbs2 〈a1,ba1〉) @memb_hd] #Hba1 >Hba1
+ >associative_append >associative_append #Htapeb #_
+ lapply (Htapeb … (\P eqbb0) … (refl …) (refl …)) -Htapeb #Htapeb
+ cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #_
+ cut (ba2=false) [@(Hb0s2 〈a2,ba2〉) @memb_hd] #Hba2 >Hba2
+ #IH cases(IH a1 a2 ??? (l1@[〈b0,false〉]) l2 HlenS ???? (refl …) ??)
+ [4:#x #memx @Hbs1 @memb_cons @memx
+ |5:#x #memx @Hbs2 @memb_cons @memx
+ |6:#x #memx @Hb0s2 @memb_cons @memx
+ |7:#x #memx cases (memb_append …memx) -memx #memx
+ [@Hl1 @memx | >(memb_single … memx) %]
+ |8:@(Hbs1 〈a1,ba1〉) @memb_hd
+ |9: >associative_append >associative_append %
+ |-IH -Hbs1 -Hbs2 -Hrs *
+ #Ha1a2 #Houtc %1 %
+ [>(\P eqbb0) @eq_f destruct (Ha1a2) %
+ |>Houtc @eq_f3
+ [>reverse_cons >associative_append %
+ |%
+ |>associative_append %
+ ]
+ ]
+ |-IH -Hbs1 -Hbs2 -Hrs *
+ #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * *
+ #Hcd #H1 #H2 #Houtc %2
+ @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
+ @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc) %
+ [%[%[@Hcd | >H1 %] |>(\P eqbb0) >Hba2 >H2 %]
+ |>Houtc @eq_f3
+ [>(\P eqbb0) >reverse_append >reverse_cons
+ >reverse_cons >associative_append >associative_append
+ >associative_append >associative_append %
+ |%
+ |%
+ ]
+ ]
+ ]
+ ]
+ ]
+ ]
+ ]
+ ]
+]
+qed.
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(ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
(mark ?) (move_l ? · init_current) tc_true)) tc_true)))
(nop ?) tc_true.
+
+definition R_match_tuple_step_true_new ≝ λt1,t2.
+ ∃ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs \wedge
+ \fst cur ≠ grid ∧
+ (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
+ only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
+ bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
+ only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
+ table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
+ ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
+ rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
+ (* facciamo match *)
+ (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
+ t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
+ (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
+ ∨
+ (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
+ (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
+ ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
+ (* condizioni su l5 l6 l7 *)
+ t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
+ (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
+ l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
+ ∨
+ (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
+ non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
+ non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
+ (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
(* universal version
definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
definition while_trans ≝ λsig. λM : TM sig. λq:states sig M. λp.
let 〈s,a〉 ≝ p in
- if s == q then 〈start ? M, None ?〉
+ if s == q then 〈start ? M, None ?,N〉
else trans ? M p.
definition whileTM ≝ λsig. λM : TM sig. λqacc: states ? M.
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