(* Esercizio -1
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- 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione reperibile
- all'URL seguente:
+ 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione
+ reperibile all'URL seguente:
http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-shannon.ma.html
- 2. Questa volta si fa sul serio:
- l'esercizio proposto è molto difficile, occorre la vostra massima
- concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio, cercate di capire!)
+ 2. Questa volta si fa sul serio:
+
+ l'esercizio proposto è MOLTO difficile, occorre la vostra massima
+ concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio)
*)
* lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
* lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
+Nota su `x = y` e `eqb x y`
+---------------------------
+
+Se vi siete mai chiasti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
+quanto segue prova a chiarirla.
+
+Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
+sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
+anche `y` è il numero `3`.
+
+`eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
+e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
+di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
+un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
+e se il suo
+risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
+ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
+`eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
+I teoremi `eq_to_eqb_true` e
+`not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
+corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
+se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
+
Il teorema di espansione di Shannon
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-Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come `FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)`.
+Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
+
+ FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
formula è equivalente a `F`:
IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
-Ovvero, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale atomo è falso
-in un mondo mondo `v`, altrimenti lo sostituisco con `FTop`.
+Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
+atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
-Vediamo la dimostrazione del primo, che asserisce
+Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
+Il lemma asserisce quanto segue:
∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
-Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver supposto
-che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
+Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
+supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
-una volta assunte le sottofrmule e le ipotesi induttive, si conclude
-con una catena di uguaglianze.
+una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
+si conclude con una catena di uguaglianze.
-Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo,
+Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
-aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` su cui si procede poi per casi.
-In entrambi i casi, usanto i lemmi `eq_to_eqb_true` e `not_eq_to_eqb_false`
-si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` e `(eqb n x = false)`.
+aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
+Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
+In entrambi i casi, usanto i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
+si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
-si procede poi per casi. Entrambi i casi si cncludono con
+si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
-e i lemmi `min_1_sem` e `max_0_sem`.
+e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
DOCEND*)
Si ricorda che:
1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
- simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose` (che
- vengono nuovamente spiegati in seguito).
+ simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
+ oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
+ `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
- 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per combinare le
- ipotesi tra loro o utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
+ 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
+ utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
ipotesi.
4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
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