]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
PoplMark challenge part 1a: new, shorter version w/o equivariance proofs.
authorWilmer Ricciotti <ricciott@cs.unibo.it>
Thu, 21 Jun 2007 16:33:15 +0000 (16:33 +0000)
committerWilmer Ricciotti <ricciott@cs.unibo.it>
Thu, 21 Jun 2007 16:33:15 +0000 (16:33 +0000)
matita/library/Fsub/defn.ma
matita/library/Fsub/part1a.ma
matita/library/Fsub/util.ma

index 550f8271e236324182697029b591ac9f3d8a1d09..0a95b31b5115ebb3082f1aba61f83250114d4b06 100644 (file)
@@ -21,7 +21,7 @@ include "list/list.ma".
 include "Fsub/util.ma".
 
 (*** representation of Fsub types ***)  
-inductive Typ : Type \def
+inductive Typ : Set \def
   | TVar : nat \to Typ            (* type var *)
   | TFree: nat \to Typ            (* free type name *)
   | Top : Typ                     (* maximum type *)
@@ -29,7 +29,7 @@ inductive Typ : Type \def
   | Forall : Typ \to Typ \to Typ. (* universal type *)
   
 (*** representation of Fsub terms ***)
-inductive Term : Type \def
+inductive Term : Set \def
   | Var : nat \to Term            (* variable *)
   | Free : nat \to Term          (* free name *)
   | Abs : Typ \to Term \to Term   (* abstraction *)
@@ -39,7 +39,7 @@ inductive Term : Type \def
   
 (* representation of bounds *)
 
-record bound : Type \def { 
+record bound : Set \def { 
                           istype : bool;    (* is subtyping bound? *)
                           name   : nat ;    (* name *)
                           btype  : Typ      (* type to which the name is bound *)
@@ -257,23 +257,6 @@ inductive JType : Env \to Term \to Typ \to Prop \def
   | T_Sub : \forall G:Env.\forall t:Term.\forall T:Typ.
             \forall S:Typ.(JType G t S) \to (JSubtype G S T) \to (JType G t T).
 
-(*** definitions about swaps ***)
-
-let rec swap_Typ u v T on T \def
-  match T with
-     [(TVar n) \Rightarrow (TVar n)
-     |(TFree X) \Rightarrow (TFree (swap u v X))
-     |Top \Rightarrow Top
-     |(Arrow T1 T2) \Rightarrow (Arrow (swap_Typ u v T1) (swap_Typ u v T2))
-     |(Forall T1 T2) \Rightarrow (Forall (swap_Typ u v T1) (swap_Typ u v T2))].
-     
-definition swap_bound : nat \to nat \to bound \to bound \def
-  \lambda u,v,b.match b with
-     [(mk_bound B X T) \Rightarrow (mk_bound B (swap u v X) (swap_Typ u v T))].
-
-definition swap_Env : nat \to nat \to Env \to Env \def
-  \lambda u,v,G.(map ? ? (\lambda b.(swap_bound u v b)) G). 
-
 (****** PROOFS ********)
 
 lemma subst_O_nat : \forall T,U.((subst_type_O T U) = (subst_type_nat T U O)).
@@ -304,12 +287,6 @@ qed.
 
 (* end of fixme *) 
 
-lemma var_notinbG_notinG : \forall G,x,b.
-                           (\lnot (var_in_env x (b::G))) 
-                           \to \lnot (var_in_env x G).
-intros 3.elim b.unfold.intro.elim H.unfold.simplify.constructor 2.exact H1.
-qed.
-
 lemma boundinenv_natinfv : \forall x,G.
                               (\exists B,T.(in_list ? (mk_bound B x T) G)) \to
                               (in_list ? x (fv_env G)).
@@ -368,7 +345,24 @@ intros 2;elim G 0
            [apply a3
            |apply in_Skip;rewrite < H4;assumption]]]]
 qed.
-           
+
+theorem varinT_varinT_subst : \forall X,Y,T.
+        (in_list ? X (fv_type T)) \to \forall n.
+        (in_list ? X (fv_type (subst_type_nat T (TFree Y) n))).
+intros 3;elim T
+  [simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
+  |simplify in H;simplify;assumption
+  |simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
+  |simplify in H2;simplify;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2);
+   apply natinG_or_inH_to_natinGH;
+     [left;apply (H1 H3)
+     |right;apply (H H3)]
+  |simplify in H2;simplify;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2);
+   apply natinG_or_inH_to_natinGH;
+     [left;apply (H1 H3);
+     |right;apply (H H3)]]
+qed.
+
 lemma incl_bound_fv : \forall l1,l2.(incl ? l1 l2) \to 
                          (incl ? (fv_env l1) (fv_env l2)).
 intros.unfold in H.unfold.intros.apply boundinenv_natinfv.
@@ -379,14 +373,6 @@ lapply (natinfv_boundinenv ? ? H1).elim Hletin.elim H2.apply ex_intro
      |apply (H ? H3)]]
 qed.
 
-(* lemma incl_cons : \forall x,l1,l2.
-                  (incl bound l1 l2) \to (incl bound (x :: l1) (x :: l2)).
-intros.unfold in H.unfold.intros.inversion H1
-  [intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H3);rewrite > Hletin;apply in_Base
-  |intros;apply in_Skip;apply H;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);rewrite > Hletin;
-   assumption]
-qed. *)
-
 lemma incl_nat_cons : \forall x,l1,l2.
                   (incl nat l1 l2) \to (incl nat (x :: l1) (x :: l2)).
 intros.unfold in H.unfold.intros.inversion H1
@@ -395,83 +381,16 @@ intros.unfold in H.unfold.intros.inversion H1
    assumption]
 qed.
 
-lemma boundin_envappend_case : \forall G,H,b.(var_bind_in_env b (H @ G)) \to 
-                               (var_bind_in_env b G) \lor (var_bind_in_env b H).
-intros 3.elim H
-  [simplify in H1;left;assumption
-  |unfold in H2;inversion H2
-    [intros;simplify in H4;lapply (inj_head ? ? ? ? H4);rewrite > Hletin;
-     right;apply in_Base
-    |intros;simplify in H6;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H6);rewrite < Hletin in H3;
-     rewrite > H5 in H1;lapply (H1 H3);elim Hletin1
-       [left;assumption|right;apply in_Skip;assumption]]]
-qed.
-
-lemma varin_envappend_case: \forall G,H,x.(var_in_env x (H @ G)) \to
-                            (var_in_env x G) \lor (var_in_env x H).
-intros 3.elim H 0
-  [simplify;intro;left;assumption
-  |intros 2;elim t;simplify in H2;inversion H2
-     [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H4);rewrite > Hletin;right;
-      simplify;constructor 1
-     |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H6);
-      lapply H1
-        [rewrite < H5;elim Hletin1
-           [left;assumption|right;simplify;constructor 2;assumption]
-        |unfold var_in_env;unfold fv_env;rewrite > Hletin;rewrite > H5;
-         assumption]]]
-qed.
-
-lemma boundinG_or_boundinH_to_boundinGH : \forall G,H,b.
-                      (var_bind_in_env b G) \lor (var_bind_in_env b H) \to
-                      (var_bind_in_env b (H @ G)).
-intros.elim H1
-  [elim H
-     [simplify;assumption
-     |simplify;apply in_Skip;assumption]
-  |generalize in match H2;elim H2
-     [simplify;apply in_Base
-     |lapply (H4 H3);simplify;apply in_Skip;assumption]]
-qed. 
-
-
-lemma varinG_or_varinH_to_varinGH : \forall G,H,x.
-                          (var_in_env x G) \lor (var_in_env x H) \to
-                          (var_in_env x (H @ G)).
-intros.elim H1 0
-  [elim H
-     [simplify;assumption
-     |elim t;simplify;constructor 2;apply (H2 H3)]
-  |elim H 0
-     [simplify;intro;lapply (in_list_nil nat x H2);elim Hletin
-     |intros 2;elim t;simplify in H3;inversion H3
-        [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H5);rewrite > Hletin;simplify;
-         constructor 1
-        |intros;simplify;constructor 2;rewrite < H6;apply H2;
-         lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H7);rewrite > H6;unfold;unfold fv_env;
-         rewrite > Hletin;assumption]]]
-qed.
-
-lemma varbind_to_append : \forall G,b.(var_bind_in_env b G) \to
-                          \exists G1,G2.(G = (G2 @ (b :: G1))).
-intros.generalize in match H.elim H
-  [apply ex_intro [apply l|apply ex_intro [apply Empty|reflexivity]]
-  |lapply (H2 H1);elim Hletin;elim H4;rewrite > H5;
-   apply ex_intro 
-     [apply a2|apply ex_intro [apply (a1 :: a3)|simplify;reflexivity]]]
-qed.
-  
-
 lemma WFT_env_incl : \forall G,T.(WFType G T) \to
                      \forall H.(incl ? (fv_env G) (fv_env H)) \to (WFType H T).
-intros 4.generalize in match H1.elim H
-  [apply WFT_TFree;unfold in H3;apply (H3 ? H2)
+intros 3.elim H
+  [apply WFT_TFree;unfold in H3;apply (H3 ? H1)
   |apply WFT_Top
-  |apply WFT_Arrow [apply (H3 ? H6)|apply (H5 ? H6)]
+  |apply WFT_Arrow [apply (H2 ? H6)|apply (H4 ? H6)]
   |apply WFT_Forall 
-     [apply (H3 ? H6)
-     |intros;apply H5
-        [unfold;intro;unfold in H7;apply H7;unfold in H6;apply(H6 ? H9)
+     [apply (H2 ? H6)
+     |intros;apply H4
+        [unfold;intro;apply H7;apply(H6 ? H9)
         |assumption
         |simplify;apply (incl_nat_cons ? ? ? H6)]]]
 qed.
@@ -501,110 +420,6 @@ intros 10;elim H
       rewrite > H7 in H1;apply in_Skip;apply (H1 H5 H3)]]
 qed.
 
-
-(*** theorems about swaps ***)
-       
-lemma fv_subst_type_nat : \forall x,T,y,n.(in_list ? x (fv_type T)) \to
-                         (in_list ? x (fv_type (subst_type_nat T (TFree y) n))).
-intros 3;elim T 0
-  [intros;simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
-  |2,3:simplify;intros;assumption
-  |*:intros;simplify in H2;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2)
-     [1,3:simplify;apply natinG_or_inH_to_natinGH;left;apply (H1 ? H3)
-     |*:simplify;apply natinG_or_inH_to_natinGH;right;apply (H ? H3)]]
-qed.
-
-lemma fv_subst_type_O : \forall x,T,y.(in_list ? x (fv_type T)) \to
-                         (in_list ? x (fv_type (subst_type_O T (TFree y)))).
-intros;rewrite > subst_O_nat;apply (fv_subst_type_nat ? ? ? ? H);
-qed.
-
-lemma swap_Typ_inv : \forall u,v,T.(swap_Typ u v (swap_Typ u v T)) = T.
-intros;elim T
-  [1,3:simplify;reflexivity
-  |simplify;rewrite > swap_inv;reflexivity
-  |*:simplify;rewrite > H;rewrite > H1;reflexivity]
-qed.
-
-lemma swap_Typ_not_free : \forall u,v,T.\lnot (in_list ? u (fv_type T)) \to
-                      \lnot (in_list ? v (fv_type T)) \to (swap_Typ u v T) = T.
-intros 3;elim T 0
-  [1,3:intros;simplify;reflexivity
-  |simplify;intros;cut (n \neq u \land n \neq v)
-     [elim Hcut;rewrite > (swap_other ? ? ? H2 H3);reflexivity
-     |split
-        [unfold;intro;apply H;rewrite > H2;apply in_Base
-        |unfold;intro;apply H1;rewrite > H2;apply in_Base]]
-  |*:simplify;intros;cut ((\lnot (in_list ? u (fv_type t)) \land
-                         \lnot (in_list ? u (fv_type t1))) \land
-                        (\lnot (in_list ? v (fv_type t)) \land
-                         \lnot (in_list ? v (fv_type t1))))
-     [1,3:elim Hcut;elim H4;elim H5;clear Hcut H4 H5;rewrite > (H H6 H8);
-      rewrite > (H1 H7 H9);reflexivity
-     |*:split
-        [1,3:split;unfold;intro;apply H2;apply natinG_or_inH_to_natinGH;autobatch
-        |*:split;unfold;intro;apply H3;apply natinG_or_inH_to_natinGH;autobatch]]]
-qed.
-        
-lemma subst_type_nat_swap : \forall u,v,T,X,m.
-         (swap_Typ u v (subst_type_nat T (TFree X) m)) =
-         (subst_type_nat (swap_Typ u v T) (TFree (swap u v X)) m).
-intros 4;elim T
-  [simplify;elim (eqb_case n m);rewrite > H;simplify;reflexivity
-  |2,3:simplify;reflexivity
-  |*:simplify;rewrite > H;rewrite > H1;reflexivity]
-qed.
-
-lemma subst_type_O_swap : \forall u,v,T,X.
-         (swap_Typ u v (subst_type_O T (TFree X))) =
-         (subst_type_O (swap_Typ u v T) (TFree (swap u v X))).
-intros 4;rewrite > (subst_O_nat (swap_Typ u v T));rewrite > (subst_O_nat T);
-apply subst_type_nat_swap;
-qed.
-
-lemma in_fv_type_swap : \forall u,v,x,T.((in_list ? x (fv_type T)) \to
-              (in_list ? (swap u v x) (fv_type (swap_Typ u v T)))) \land
-             ((in_list ? (swap u v x) (fv_type (swap_Typ u v T))) \to
-              (in_list ? x (fv_type T))).
-intros;split
-  [elim T 0
-     [1,3:simplify;intros;elim (in_list_nil ? ? H)
-     |simplify;intros;cut (x = n)
-        [rewrite > Hcut;apply in_Base
-        |inversion H
-           [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H2);rewrite > Hletin;
-            reflexivity
-           |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H4);rewrite < Hletin in H1;
-            elim (in_list_nil ? ? H1)]]
-     |*:simplify;intros;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2)
-        [1,3:apply natinG_or_inH_to_natinGH;left;apply (H1 H3)
-        |*:apply natinG_or_inH_to_natinGH;right;apply (H H3)]]
-  |elim T 0
-     [1,3:simplify;intros;elim (in_list_nil ? ? H)
-     |simplify;intros;cut ((swap u v x) = (swap u v n))
-        [lapply (swap_inj ? ? ? ? Hcut);rewrite > Hletin;apply in_Base
-        |inversion H
-           [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H2);rewrite > Hletin;
-            reflexivity
-           |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H4);rewrite < Hletin in H1;
-            elim (in_list_nil ? ? H1)]]
-     |*:simplify;intros;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2)
-        [1,3:apply natinG_or_inH_to_natinGH;left;apply (H1 H3)
-        |*:apply natinG_or_inH_to_natinGH;right;apply (H H3)]]]
-qed.
-        
-lemma lookup_swap : \forall x,u,v,T,B,G.(in_list ? (mk_bound B x T) G) \to
-    (in_list ? (mk_bound B (swap u v x) (swap_Typ u v T)) (swap_Env u v G)).
-intros 6;elim G 0
-  [intros;elim (in_list_nil ? ? H)
-  |intro;elim t;simplify;inversion H1
-     [intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H3);rewrite < H2 in Hletin;
-      destruct Hletin;rewrite > Hcut;rewrite > Hcut1;rewrite > Hcut2;
-      apply in_Base
-     |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);rewrite < Hletin in H2;
-      rewrite < H4 in H2;apply in_Skip;apply (H H2)]]
-qed.
-
 lemma in_FV_subst : \forall x,T,U,n.(in_list ? x (fv_type T)) \to
                                 (in_list ? x (fv_type (subst_type_nat T U n))).
 intros 3;elim T
@@ -620,27 +435,6 @@ intros 3;elim T
      |*:right;apply (H ? H3)]]
 qed.
 
-lemma in_dom_swap : \forall u,v,x,G.
-                       ((in_list ? x (fv_env G)) \to 
-                       (in_list ? (swap u v x) (fv_env (swap_Env u v G)))) \land
-                       ((in_list ? (swap u v x) (fv_env (swap_Env u v G))) \to
-                       (in_list ? x (fv_env G))).
-intros;split
-  [elim G 0
-     [simplify;intro;elim (in_list_nil ? ? H)
-     |intro;elim t 0;simplify;intros;inversion H1
-        [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H3);rewrite > Hletin;apply in_Base
-        |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);rewrite < Hletin in H2;
-         rewrite > H4 in H;apply in_Skip;apply (H H2)]]
-  |elim G 0
-     [simplify;intro;elim (in_list_nil ? ? H)
-     |intro;elim t 0;simplify;intros;inversion H1
-        [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H3);rewrite < H2 in Hletin;
-         lapply (swap_inj ? ? ? ? Hletin);rewrite > Hletin1;apply in_Base
-        |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);rewrite < Hletin in H2;
-         rewrite > H4 in H;apply in_Skip;apply (H H2)]]]
-qed.
-
 (*** lemma on fresh names ***)
 
 lemma fresh_name : \forall l:(list nat).\exists n.\lnot (in_list ? n l).
@@ -696,7 +490,7 @@ cut (\forall l:(list nat).\exists n.\forall m.
           |elim (leb a t);autobatch]]]]
 qed.
 
-(*** lemmas on well-formedness ***)
+(*** lemmata on well-formedness ***)
 
 lemma fv_WFT : \forall T,x,G.(WFType G T) \to (in_list ? x (fv_type T)) \to
                   (in_list ? x (fv_env G)).
@@ -736,80 +530,6 @@ intros 4.elim H
      |apply (H2 H6)]]
 qed.
            
-lemma WFE_consG_to_WFT : \forall G.\forall b,X,T.
-                         (WFEnv ((mk_bound b X T)::G)) \to (WFType G T).
-intros.
-inversion H
-  [intro;reduce in H1;destruct H1
-  |intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H5);lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);
-   destruct Hletin;rewrite > Hletin1;rewrite > Hcut2;assumption]
-qed.
-         
-lemma WFE_consG_WFE_G : \forall G.\forall b.
-                         (WFEnv (b::G)) \to (WFEnv G).
-intros.
-inversion H
-  [intro;reduce in H1;destruct H1
-  |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H5);rewrite > Hletin;assumption]
-qed.
-
-(* silly, but later useful *)
-
-lemma env_append_weaken : \forall G,H.(WFEnv (H @ G)) \to
-                             (incl ? G (H @ G)).
-intros 2;elim H
-  [simplify;unfold;intros;assumption
-  |simplify in H2;simplify;unfold;intros;apply in_Skip;apply H1
-     [apply (WFE_consG_WFE_G ? ? H2)
-     |assumption]]
-qed.
-
-lemma WFT_swap : \forall u,v,G,T.(WFType G T) \to
-                    (WFType (swap_Env u v G) (swap_Typ u v T)).
-intros.elim H
-  [simplify;apply WFT_TFree;lapply (natinfv_boundinenv ? ? H1);elim Hletin;
-   elim H2;apply boundinenv_natinfv;apply ex_intro
-     [apply a
-     |apply ex_intro 
-        [apply (swap_Typ u v a1)
-        |apply lookup_swap;assumption]]
-  |simplify;apply WFT_Top
-  |simplify;apply WFT_Arrow
-     [assumption|assumption]
-  |simplify;apply WFT_Forall
-     [assumption
-     |intros;rewrite < (swap_inv u v);
-      cut (\lnot (in_list ? (swap u v X) (fv_type t1)))
-        [cut (\lnot (in_list ? (swap u v X) (fv_env e)))
-           [generalize in match (H4 ? Hcut1 Hcut);simplify;
-            rewrite > subst_type_O_swap;intro;assumption
-           |lapply (in_dom_swap u v (swap u v X) e);elim Hletin;unfold;
-            intros;lapply (H7 H9);rewrite > (swap_inv u v) in Hletin1;
-            apply (H5 Hletin1)] 
-        |generalize in match (in_fv_type_swap u v (swap u v X) t1);intros;
-         elim H7;unfold;intro;lapply (H8 H10);
-         rewrite > (swap_inv u v) in Hletin;apply (H6 Hletin)]]]
-qed.
-
-lemma WFE_swap : \forall u,v,G.(WFEnv G) \to (WFEnv (swap_Env u v G)).
-intros 3.elim G 0
-  [intro;simplify;assumption
-  |intros 2;elim t;simplify;constructor 2
-     [apply H;apply (WFE_consG_WFE_G ? ? H1)
-     |unfold;intro;lapply (in_dom_swap u v n l);elim Hletin;lapply (H4 H2);
-      (* FIXME trick *)generalize in match H1;intro;inversion H1
-        [intros;absurd ((mk_bound b n t1)::l = [])
-           [assumption|apply nil_cons]
-        |intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H10);lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H10);
-         destruct Hletin2;rewrite < Hcut1 in H8;rewrite < Hletin3 in H8;
-         apply (H8 Hletin1)]
-     |apply (WFT_swap u v l t1);inversion H1
-        [intro;absurd ((mk_bound b n t1)::l = [])
-           [assumption|apply nil_cons]
-        |intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H6);lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H6);
-         destruct Hletin;rewrite > Hletin1;rewrite > Hcut2;assumption]]]
-qed.
-
 (*** some exotic inductions and related lemmas ***) 
 
 lemma not_t_len_lt_SO : \forall T.\lnot (t_len T) < (S O).
@@ -820,15 +540,6 @@ intros;elim T
      |*:simplify in H2;apply H;apply (trans_lt ? ? ? ? H2);unfold;constructor 1]]
 qed.
 
-lemma t_len_gt_O : \forall T.(t_len T) > O.
-intro;elim T
-  [1,2,3:simplify;unfold;unfold;constructor 1
-  |*:simplify;lapply (max_case (t_len t) (t_len t1));rewrite > Hletin;
-   elim (leb (t_len t) (t_len t1))
-     [1,3:simplify;unfold;unfold;constructor 2;unfold in H1;unfold in H1;assumption
-     |*:simplify;unfold;unfold;constructor 2;unfold in H;unfold in H;assumption]]
-qed.
-
 lemma Typ_len_ind : \forall P:Typ \to Prop.
                        (\forall U.(\forall V.((t_len V) < (t_len U)) \to (P V))
                            \to (P U))
@@ -923,47 +634,7 @@ intro.elim T
    rewrite < Hletin1;reflexivity]
 qed.
 
-lemma swap_env_not_free : \forall u,v,G.(WFEnv G) \to 
-                                        \lnot (in_list ? u (fv_env G)) \to
-                                        \lnot (in_list ? v (fv_env G)) \to
-                                        (swap_Env u v G) = G.
-intros 3.elim G 0
-  [simplify;intros;reflexivity
-  |intros 2;elim t 0;simplify;intros;lapply (notin_cons ? ? ? ? H2);
-   lapply (notin_cons ? ? ? ? H3);elim Hletin;elim Hletin1;
-   lapply (swap_other ? ? ? H4 H6);lapply (WFE_consG_to_WFT ? ? ? ? H1);
-   cut (\lnot (in_list ? u (fv_type t1)))
-     [cut (\lnot (in_list ? v (fv_type t1)))
-        [lapply (swap_Typ_not_free ? ? ? Hcut Hcut1);
-         lapply (WFE_consG_WFE_G ? ? H1);
-         lapply (H Hletin5 H5 H7);
-         rewrite > Hletin2;rewrite > Hletin4;rewrite > Hletin6;reflexivity
-        |unfold;intro;apply H7;
-         apply (fv_WFT ? ? ? Hletin3 H8)] 
-     |unfold;intro;apply H5;apply (fv_WFT ? ? ? Hletin3 H8)]]
-qed.
-
-(*** alternate "constructor" for universal types' well-formedness ***)
-
-lemma WFT_Forall2 : \forall G,X,T,T1,T2.
-                       (WFEnv G) \to
-                       (WFType G T1) \to
-                       \lnot (in_list ? X (fv_type T2)) \to
-                       \lnot (in_list ? X (fv_env G)) \to
-                       (WFType ((mk_bound true X T)::G) 
-                          (subst_type_O T2 (TFree X))) \to
-                    (WFType G (Forall T1 T2)).
-intros.apply WFT_Forall
-  [assumption
-  |intros;generalize in match (WFT_swap X X1 ? ? H4);simplify;
-   rewrite > swap_left;
-   rewrite > (swap_env_not_free X X1 G H H3 H5);
-   rewrite > subst_type_O_swap;rewrite > swap_left;
-   rewrite > (swap_Typ_not_free ? ? T2 H2 H6);
-   intro;apply (WFT_env_incl ? ? H7);unfold;simplify;intros;assumption]
-qed.
-
-(*** lemmas relating subtyping and well-formedness ***)
+(*** lemmata relating subtyping and well-formedness ***)
 
 lemma JS_to_WFE : \forall G,T,U.(JSubtype G T U) \to (WFEnv G).
 intros;elim H;assumption.
@@ -980,22 +651,10 @@ intros;elim H
      |elim H3;assumption]
   |elim H2;elim H4;split;apply WFT_Arrow;assumption
   |elim H2;split
-     [lapply (fresh_name ((fv_env e) @ (fv_type t1)));
-      elim Hletin;cut ((\lnot (in_list ? a (fv_env e))) \land
-                       (\lnot (in_list ? a (fv_type t1))))
-        [elim Hcut;apply (WFT_Forall2 ? a t2 ? ? (JS_to_WFE ? ? ? H1) H6 H9 H8);
-         lapply (H4 ? H8);elim Hletin1;assumption
-        |split;unfold;intro;apply H7;apply natinG_or_inH_to_natinGH
-           [right;assumption
-           |left;assumption]]
-     |lapply (fresh_name ((fv_env e) @ (fv_type t3)));
-      elim Hletin;cut ((\lnot (in_list ? a (fv_env e))) \land
-                       (\lnot (in_list ? a (fv_type t3))))
-        [elim Hcut;apply (WFT_Forall2 ? a t2 ? ? (JS_to_WFE ? ? ? H1) H5 H9 H8);
-         lapply (H4 ? H8);elim Hletin1;assumption
-        |split;unfold;intro;apply H7;apply natinG_or_inH_to_natinGH
-           [right;assumption
-           |left;assumption]]]]
+     [apply (WFT_Forall ? ? ? H6);intros;elim (H4 X H7);
+      apply (WFT_env_incl ? ? H9);simplify;unfold;intros;assumption
+     |apply (WFT_Forall ? ? ? H5);intros;elim (H4 X H7);
+      apply (WFT_env_incl ? ? H10);simplify;unfold;intros;assumption]]
 qed.
 
 lemma JS_to_WFT1 : \forall G,T,U.(JSubtype G T U) \to (WFType G T).
@@ -1006,113 +665,6 @@ lemma JS_to_WFT2 : \forall G,T,U.(JSubtype G T U) \to (WFType G U).
 intros;lapply (JS_to_WFT ? ? ? H);elim Hletin;assumption.
 qed.
 
-(*** lemma relating subtyping and swaps ***)
-
-lemma JS_swap : \forall u,v,G,T,U.(JSubtype G T U) \to
-                   (JSubtype (swap_Env u v G) (swap_Typ u v T) (swap_Typ u v U)).
-intros 6.elim H
-  [simplify;apply SA_Top
-     [apply WFE_swap;assumption
-     |apply WFT_swap;assumption]
-  |simplify;apply SA_Refl_TVar
-     [apply WFE_swap;assumption
-     |unfold in H2;unfold;lapply (in_dom_swap u v n e);elim Hletin;
-      apply (H3 H2)]
-  |simplify;apply SA_Trans_TVar
-     [apply (swap_Typ u v t1)
-     |apply lookup_swap;assumption
-     |assumption]
-  |simplify;apply SA_Arrow;assumption
-  |simplify;apply SA_All
-     [assumption
-     |intros;lapply (H4 (swap u v X))
-        [simplify in Hletin;rewrite > subst_type_O_swap in Hletin;
-         rewrite > subst_type_O_swap in Hletin;rewrite > swap_inv in Hletin;
-         assumption
-        |unfold;intro;apply H5;unfold;
-         lapply (in_dom_swap u v (swap u v X) e);
-         elim Hletin;rewrite > swap_inv in H7;apply H7;assumption]]]
-qed.
-
-lemma fresh_WFT : \forall x,G,T.(WFType G T) \to \lnot (in_list ? x (fv_env G))
-                     \to \lnot (in_list ? x (fv_type T)).
-intros;unfold;intro;apply H1;apply (fv_WFT ? ? ? H H2);
-qed.
-
-lemma fresh_subst_type_O : \forall x,T1,B,G,T,y.
-                  (WFType ((mk_bound B x T1)::G) (subst_type_O T (TFree x))) \to
-                  \lnot (in_list ? y (fv_env G)) \to (x \neq y) \to
-                  \lnot (in_list ? y (fv_type T)).
-intros;unfold;intro;
-cut (in_list ? y (fv_env ((mk_bound B x T1) :: G)))
-  [simplify in Hcut;inversion Hcut
-     [intros;apply H2;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H5);rewrite < H4 in Hletin;
-      assumption
-     |intros;apply H1;rewrite > H6;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H7);
-      rewrite > Hletin;assumption]
-  |apply (fv_WFT (subst_type_O T (TFree x)) ? ? H);
-   apply fv_subst_type_O;assumption]
-qed.
-
-(*** alternate "constructor" for subtyping between universal types ***)
-
-lemma SA_All2 : \forall G,S1,S2,T1,T2,X.(JSubtype G T1 S1) \to
-                   \lnot (in_list ? X (fv_env G)) \to
-                   \lnot (in_list ? X (fv_type S2)) \to
-                   \lnot (in_list ? X (fv_type T2)) \to
-                   (JSubtype ((mk_bound true X T1) :: G)
-                      (subst_type_O S2 (TFree X))
-                      (subst_type_O T2 (TFree X))) \to
-                   (JSubtype G (Forall S1 S2) (Forall T1 T2)).
-intros;apply (SA_All ? ? ? ? ? H);intros;
-lapply (decidable_eq_nat X X1);elim Hletin
-  [rewrite < H6;assumption
-  |elim (JS_to_WFT ? ? ? H);elim (JS_to_WFT ? ? ? H4);
-   cut (\lnot (in_list ? X1 (fv_type S2)))
-     [cut (\lnot (in_list ? X1 (fv_type T2)))
-        [cut (((mk_bound true X1 T1)::G) =
-              (swap_Env X X1 ((mk_bound true X T1)::G)))
-           [rewrite > Hcut2;
-            cut (((subst_type_O S2 (TFree X1)) =
-                   (swap_Typ X X1 (subst_type_O S2 (TFree X)))) \land
-                 ((subst_type_O T2 (TFree X1)) =
-                   (swap_Typ X X1 (subst_type_O T2 (TFree X)))))
-              [elim Hcut3;rewrite > H11;rewrite > H12;apply JS_swap;
-               assumption
-              |split
-                 [rewrite > (subst_type_O_swap X X1 S2 X);
-                  rewrite > (swap_Typ_not_free X X1 S2 H2 Hcut); 
-                  rewrite > swap_left;reflexivity
-                 |rewrite > (subst_type_O_swap X X1 T2 X);
-                  rewrite > (swap_Typ_not_free X X1 T2 H3 Hcut1); 
-                  rewrite > swap_left;reflexivity]]
-           |simplify;lapply (JS_to_WFE ? ? ? H);
-            rewrite > (swap_env_not_free X X1 G Hletin1 H1 H5);
-            cut ((\lnot (in_list ? X (fv_type T1))) \land
-                 (\lnot (in_list ? X1 (fv_type T1))))
-              [elim Hcut2;rewrite > (swap_Typ_not_free X X1 T1 H11 H12);
-               rewrite > swap_left;reflexivity
-              |split
-                 [unfold;intro;apply H1;apply (fv_WFT T1 X G H7 H11)
-                 |unfold;intro;apply H5;apply (fv_WFT T1 X1 G H7 H11)]]]
-        |unfold;intro;apply H5;lapply (fv_WFT ? X1 ? H10)
-           [inversion Hletin1
-              [intros;simplify in H13;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H13);
-               rewrite < H12 in Hletin2;lapply (H6 Hletin2);elim Hletin3
-              |intros;simplify in H15;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H15);
-               rewrite < Hletin2 in H12;rewrite < H14 in H12;lapply (H5 H12);
-               elim Hletin3]
-           |rewrite > subst_O_nat;apply in_FV_subst;assumption]]
-     |unfold;intro;apply H5;lapply (fv_WFT ? X1 ? H9)
-        [inversion Hletin1
-           [intros;simplify in H13;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H13);
-            rewrite < H12 in Hletin2;lapply (H6 Hletin2);elim Hletin3
-           |intros;simplify in H15;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H15);
-            rewrite < Hletin2 in H12;rewrite < H14 in H12;lapply (H5 H12);
-            elim Hletin3]
-        |rewrite > subst_O_nat;apply in_FV_subst;assumption]]]
-qed.
-
 lemma WFE_Typ_subst : \forall H,x,B,C,T,U,G.
                       (WFEnv (H @ ((mk_bound B x T) :: G))) \to (WFType G U) \to
                       (WFEnv (H @ ((mk_bound C x U) :: G))).
@@ -1140,20 +692,6 @@ intros 7;elim H 0
          unfold;intros;assumption]]]
 qed.
 
-lemma t_len_pred: \forall T,m.(S (t_len T)) \leq m \to (t_len T) \leq (pred m).
-intros 2;elim m
-  [elim (not_le_Sn_O ? H)
-  |simplify;apply (le_S_S_to_le ? ? H1)]
-qed.
-
-lemma pred_m_lt_m : \forall m,T.(t_len T) \leq m \to (pred m) < m.
-intros 2;elim m 0
-  [elim T
-     [4,5:simplify in H2;elim (not_le_Sn_O ? H2)
-     |*:simplify in H;elim (not_le_Sn_n ? H)]
-  |intros;simplify;unfold;constructor 1]
-qed.
-
 lemma WFE_bound_bound : \forall B,x,T,U,G. (WFEnv G) \to
                                   (in_list ? (mk_bound B x T) G) \to
                                   (in_list ? (mk_bound B x U) G) \to T = U.
@@ -1180,5 +718,4 @@ intros 6;elim H
               [apply B|apply ex_intro [apply U|assumption]]]
         |intros;apply (H2 ? H7);rewrite > H14;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H15);
          rewrite > Hletin1;assumption]]]
-qed.         
-
+qed.
\ No newline at end of file
index 55d97c266dd66395ef7c85c277df251e54e25d39..e1026f3d73346dda840a7c3fdc7b6c02539c6754 100644 (file)
@@ -42,36 +42,46 @@ apply Typ_len_ind;intro;elim U
         |apply H2
            [apply t_len_arrow2
            |*:assumption]]
-     |(*FIXME*)generalize in match H3;intro;inversion H3
+     |(* no shortcut? *)
+      (*FIXME*)generalize in match H3;intro;inversion H3
         [intros;destruct H8
         |intros;destruct H7
         |intros;destruct H11;rewrite > Hcut;rewrite > Hcut1;split;assumption
         |intros;destruct H11]]
-  |elim (fresh_name ((fv_type t1) @ (fv_env G)));
-   cut ((\lnot (in_list ? a (fv_type t1))) \land
-        (\lnot (in_list ? a (fv_env G))))
-     [elim Hcut;cut (WFType G t)
-        [apply (SA_All2 ? ? ? ? ? a ? H7 H6 H6)
-           [apply H2
-              [apply t_len_forall1
-              |*:assumption]
-           |apply H2
-              [rewrite > subst_O_nat;rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
-               apply t_len_forall2
-              |(*FIXME*)generalize in match H3;intro;inversion H3
-                 [intros;destruct H11
-                 |intros;destruct H10
-                 |intros;destruct H14
-                 |intros;destruct H14;rewrite < Hcut2 in H11;
-                  rewrite < Hcut3 in H11;rewrite < H13;rewrite < H13 in H11;
-                  apply (H11 ? H7 H6)]
-              |apply WFE_cons;assumption]]
-        |(*FIXME*)generalize in match H3;intro;inversion H3
-           [intros;destruct H11
-           |intros;destruct H10
-           |intros;destruct H14
-           |intros;destruct H14;rewrite > Hcut1;assumption]]
-     |split;unfold;intro;apply H5;apply natinG_or_inH_to_natinGH;autobatch]]
+  |cut (WFType G t)
+     [lapply (H2 t ? ? Hcut H4)
+        [apply t_len_forall1
+        |apply (SA_All ? ? ? ? ? Hletin);intros;apply H2
+           [rewrite > subst_O_nat;rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
+            apply t_len_forall2
+           |generalize in match H3;intro;inversion H3
+              [intros;destruct H9
+              |intros;destruct H8
+              |intros;destruct H12
+              |intros;destruct H12;subst;apply H9
+                 [assumption
+                 |unfold;intro;apply H5;
+                  elim (fresh_name ((fv_env e)@(fv_type t3)));
+                  cut ((\lnot (in_list ? a (fv_env e))) \land
+                       (\lnot (in_list ? a (fv_type t3))))
+                    [elim Hcut1;lapply (H9 ? H13 H14);
+                     lapply (fv_WFT ? X ? Hletin1)
+                       [simplify in Hletin2;inversion Hletin2
+                          [intros;lapply (inj_head_nat ? ? ? ? H16);subst;
+                           elim (H14 H11)
+                          |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H18);
+                           rewrite < Hletin3 in H15;assumption]
+                       |rewrite >subst_O_nat;apply varinT_varinT_subst;
+                        assumption]
+                    |split;unfold;intro;apply H12;apply natinG_or_inH_to_natinGH
+                       [right;assumption
+                       |left;assumption]]]]
+           |apply WFE_cons;assumption]]
+     |(*FIXME*)generalize in match H3;intro;inversion H3
+        [intros;destruct H8
+        |intros;destruct H7
+        |intros;destruct H11
+        |intros;destruct H11;subst;assumption]]]
 qed.
 
 (* 
@@ -95,8 +105,7 @@ intros 4;elim H
      [unfold;intro;apply H8;lapply (incl_bound_fv ? ? H7);apply (Hletin1 ? H9)
      |apply WFE_cons
         [1,2:assumption
-        |lapply (incl_bound_fv ? ? H7);apply (WFT_env_incl ? ? ? ? Hletin1);
-         apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H1)]
+        |apply (JS_to_WFT1 ? ? ? Hletin)]
      |unfold;intros;inversion H9
         [intros;lapply (inj_head ? ? ? ? H11);rewrite > Hletin1;apply in_Base
         |intros;lapply (inj_tail ? ? ? ? ? H13);rewrite < Hletin1 in H10;
@@ -105,104 +114,103 @@ qed.
 
 (* Lemma A.3 (Transitivity and Narrowing) *)
 
-lemma JS_trans_narrow : \forall n.
-  (\forall G,T,Q,U.
-     (t_len Q) \leq n \to (JSubtype G T Q) \to (JSubtype G Q U) \to 
+lemma JS_trans_narrow : \forall Q.
+  (\forall G,T,U.
+     (JSubtype G T Q) \to (JSubtype G Q U) \to 
      (JSubtype G T U)) \land
-  (\forall G,H,X,P,Q,M,N.
-     (t_len Q) \leq n \to 
+  (\forall G,H,X,P,M,N.
      (JSubtype (H @ ((mk_bound true X Q) :: G)) M N) \to
      (JSubtype G P Q) \to
      (JSubtype (H @ ((mk_bound true X P) :: G)) M N)).
-intro;apply (nat_elim1 n);intros 2;
-cut (\forall G,T,Q.(JSubtype G T Q) \to 
-        \forall U.(t_len Q \leq m) \to (JSubtype G Q U) \to (JSubtype G T U))
-  [cut (\forall G,M,N.(JSubtype G M N) \to
-           \forall G1,X,Q,G2,P.
-              (G = G2 @ ((mk_bound true X Q) :: G1)) \to (t_len Q) \leq m \to
-              (JSubtype G1 P Q) \to 
+apply Typ_len_ind;intros 2;
+cut (\forall G,T,P. 
+           (JSubtype G T U) \to 
+           (JSubtype G U P) \to 
+           (JSubtype G T P))
+  [split
+     [assumption
+     |cut (\forall G,M,N.(JSubtype G M N) \to
+           \forall G1,X,G2,P.
+              (G = G2 @ ((mk_bound true X U) :: G1)) \to 
+              (JSubtype G1 P U) \to 
               (JSubtype (G2 @ ((mk_bound true X P) :: G1)) M N))
-     [split
-        [intros;apply (Hcut ? ? ? H2 ? H1 H3)
-        |intros;apply (Hcut1 ? ? ? H3 ? ? ? ? ? ? H2 H4);reflexivity]
-     |intros 9;cut (incl ? (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X Q)::G1)))
-                   (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X P)::G1))))
-        [intros;
-(*                 [rewrite > H6 in H2;lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? H8);
-                  apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H2 Hletin) *)
-         generalize in match Hcut1;generalize in match H2;
-         generalize in match H1;generalize in match H4;
-         generalize in match G1;generalize in match G2;elim H1
-           [apply SA_Top
-              [rewrite > H9 in H5;lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? H7);
-               apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H5 Hletin)
-              |rewrite > H9 in H6;apply (WFT_env_incl ? ? H6);elim l
-                 [simplify;unfold;intros;assumption
-                 |simplify;apply (incl_nat_cons ? ? ? H11)]]
-           |apply SA_Refl_TVar
-              [rewrite > H9 in H5;lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? H7);
-               apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H5 Hletin)
-              |apply H10;rewrite < H9;assumption]           
-           |elim (decidable_eq_nat X n1)
-              [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
-                 [rewrite < H12;elim l
-                    [simplify;apply in_Base
-                    |simplify;apply in_Skip;assumption]
-                 |lapply (JS_to_WFE ? ? ? H9);rewrite > H10 in Hletin;
-                  rewrite > H10 in H5;
-                  lapply (WFE_bound_bound ? ? ? Q ? Hletin H5)
-                    [lapply (H7 ? ? H8 H6 H10 H11);rewrite > Hletin1 in Hletin2;
-                     apply (Hcut ? ? ? ? ? H3 Hletin2);
-                     lapply (JS_to_WFE ? ? ? Hletin2);
-                     apply (JS_weakening ? ? ? H8 ? Hletin3);unfold;intros;
-                     elim l;simplify;apply in_Skip;assumption
-                    |rewrite > H12;elim l
-                       [simplify;apply in_Base
-                       |simplify;apply in_Skip;assumption]]]
-              |rewrite > H10 in H5;apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
-                 [apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H5);unfold;
-                  intro;apply H12;symmetry;assumption
-                 |apply (H7 ? ? H8 H6 H10 H11)]]
-           |apply SA_Arrow
-              [apply (H6 ? ? H9 H5 H11 H12)
-              |apply (H8 ? ? H9 H7 H11 H12)]
-           |apply SA_All
-              [apply (H6 ? ? H9 H5 H11 H12)
-              |intros;apply (H8 ? ? (mk_bound true X1 t2::l) l1)
-                 [unfold;intro;apply H13;rewrite > H11 in H14;apply (H12 ? H14)
-                 |assumption
-                 |apply H7;rewrite > H11;unfold;intro;apply H13;apply (H12 ? H14)
-                 |simplify;rewrite < H11;reflexivity
-                 |simplify;apply incl_nat_cons;assumption]]]
-        |elim G2 0
-           [simplify;unfold;intros;assumption
-           |intro;elim t 0;simplify;intros;apply incl_nat_cons;assumption]]]
-  |intros 4;(*generalize in match H1;*)elim H1
+        [intros;apply (Hcut1 ? ? ? H2 ? ? ? ? ? H3);reflexivity
+        |intros;cut (incl ? (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X U)::G1)))
+                    (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X P)::G1))))
+           [intros;generalize in match H2;generalize in match Hcut1;
+            generalize in match Hcut;generalize in match G2;elim H1
+              [apply SA_Top
+                 [rewrite > H8 in H4;lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? H3);
+                  apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H4 Hletin)
+                 |rewrite > H8 in H5;apply (WFT_env_incl ? ? H5 ? H7)]
+              |apply SA_Refl_TVar
+                 [rewrite > H8 in H4;apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H4);
+                  apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H3)
+                 |rewrite > H8 in H5;apply (H7 ? H5)]
+              |elim (decidable_eq_nat X n)
+                 [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
+                    [rewrite < H10;elim l
+                      [simplify;constructor 1
+                      |simplify;constructor 2;assumption]
+                   |apply H7
+                      [lapply (H6 ? H7 H8 H9);lapply (JS_to_WFE ? ? ? Hletin);
+                       apply (JS_weakening ? ? ? H3 ? Hletin1);unfold;intros;
+                       elim l;simplify;constructor 2;assumption
+                      |lapply (WFE_bound_bound true n t1 U ? ? H4)
+                         [apply (JS_to_WFE ? ? ? H5)
+                         |rewrite < Hletin;apply (H6 ? H7 H8 H9)
+                         |rewrite > H9;rewrite > H10;elim l;simplify
+                            [constructor 1
+                            |constructor 2;assumption]]]]
+                |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
+                   [rewrite > H9 in H4;
+                    apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H4);
+                    unfold;intro;apply H10;symmetry;assumption
+                   |apply (H6 ? H7 H8 H9)]]
+             |apply SA_Arrow
+                [apply (H5 ? H8 H9 H10)
+                |apply (H7 ? H8 H9 H10)]
+             |apply SA_All
+                [apply (H5 ? H8 H9 H10)
+                |intros;apply (H7 ? ? (mk_bound true X1 t2::l) H8)
+                   [rewrite > H10;cut ((fv_env (l@(mk_bound true X P::G1))) =
+                                       (fv_env (l@(mk_bound true X U::G1))))
+                      [unfold;intro;apply H11;unfold;rewrite > Hcut2;assumption
+                      |elim l
+                         [simplify;reflexivity
+                         |elim t4;simplify;rewrite > H12;reflexivity]]
+                   |simplify;apply (incl_nat_cons ? ? ? H9)
+                   |simplify;rewrite < H10;reflexivity]]]
+          |cut ((fv_env (G2@(mk_bound true X U::G1))) =
+                (fv_env (G2@(mk_bound true X P::G1))))
+             [rewrite > Hcut1;unfold;intros;assumption
+             |elim G2
+                [simplify;reflexivity
+                |elim t;simplify;rewrite > H4;reflexivity]]]]]
+  |intros 4;generalize in match H;elim H1
      [inversion H5
         [intros;rewrite < H8;apply (SA_Top ? ? H2 H3)
         |intros;destruct H9
         |intros;destruct H10
         |*:intros;destruct H11]
      |assumption
-     |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H2);apply (H4 H5 H6)
+     |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H2);apply (H4 H5 H6)
      |inversion H7
         [intros;apply (SA_Top ? ? H8);rewrite < H10;apply WFT_Arrow
            [apply (JS_to_WFT2 ? ? ? H2)
            |apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H4)]
         |intros;destruct H11
         |intros;destruct H12
-        |intros;destruct H13;elim (H (pred m))
-           [apply SA_Arrow
+        |intros;destruct H13;apply SA_Arrow
               [rewrite > H12 in H2;rewrite < Hcut in H8;
-               apply (H15 ? ? ? ? ? H8 H2);lapply (t_len_arrow1 t2 t3);
-               unfold in Hletin;lapply (trans_le ? ? ? Hletin H6);
-               apply (t_len_pred ? ? Hletin1)
+               lapply (H6 t2)
+                 [elim Hletin;apply (H15 ? ? ? H8 H2)
+                 |apply (t_len_arrow1 t2 t3)]
               |rewrite > H12 in H4;rewrite < Hcut1 in H10;
-               apply (H15 ? ? ? ? ? H4 H10);lapply (t_len_arrow2 t2 t3);
-               unfold in Hletin;lapply (trans_le ? ? ? Hletin H6);
-               apply (t_len_pred ? ? Hletin1)]
-           |apply (pred_m_lt_m ? ? H6)]
-        |intros;destruct H13]
+               lapply (H6 t3)
+                 [elim Hletin;apply (H15 ? ? ? H4 H10)
+                 |apply (t_len_arrow2 t2 t3)]]
+           |intros;destruct H13]
      |inversion H7
         [intros;apply (SA_Top ? ? H8);rewrite < H10;apply WFT_Forall
            [apply (JS_to_WFT2 ? ? ? H2)
@@ -212,65 +220,32 @@ cut (\forall G,T,Q.(JSubtype G T Q) \to
         |intros;destruct H11
         |intros;destruct H12
         |intros;destruct H13
-        |intros;destruct H13;elim (H (pred m))
-           [elim (fresh_name ((fv_env e1) @ (fv_type t1) @ (fv_type t7)));
-            cut ((\lnot (in_list ? a (fv_env e1))) \land 
-                 (\lnot (in_list ? a (fv_type t1))) \land
-                 (\lnot (in_list ? a (fv_type t7))))
-              [elim Hcut2;elim H18;clear Hcut2 H18;apply (SA_All2 ? ? ? ? ? a)
-                 [rewrite < Hcut in H8;rewrite > H12 in H2;
-                  apply (H15 ? ? ? ? ? H8 H2);lapply (t_len_forall1 t2 t3);
-                  unfold in Hletin;lapply (trans_le ? ? ? Hletin H6);
-                  apply (t_len_pred ? ? Hletin1)
-                 |5:lapply (H10 ? H20);rewrite > H12 in H5;
-                  lapply (H5 ? H20 (subst_type_O t5 (TFree a)))
-                    [apply (H15 ? ? ? ? ? ? Hletin)
-                       [rewrite < Hcut1;rewrite > subst_O_nat;
-                        rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
-                        lapply (t_len_forall2 t2 t3);unfold in Hletin2;
-                        lapply (trans_le ? ? ? Hletin2 H6);
-                        apply (t_len_pred ? ? Hletin3)
-                       |rewrite < Hcut in H8;
-                        apply (H16 e1 (nil ?) a t6 t2 ? ? ? Hletin1 H8);
-                        lapply (t_len_forall1 t2 t3);unfold in Hletin2;
-                        lapply (trans_le ? ? ? Hletin2 H6);
-                        apply (t_len_pred ? ? Hletin3)]
-                    |rewrite > subst_O_nat;rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
-                     lapply (t_len_forall2 t2 t3);unfold in Hletin1;
-                     lapply (trans_le ? ? ? Hletin1 H6);
-                     apply (trans_le ? ? ? ? Hletin2);constructor 2;
-                     constructor 1
-                    |rewrite > Hcut1;rewrite > H12 in H4;
-                     lapply (H4 ? H20);rewrite < Hcut1;apply JS_Refl
-                       [apply (JS_to_WFT2 ? ? ? Hletin1)
-                       |apply (JS_to_WFE ? ? ? Hletin1)]]
-                 |*:assumption]
-              |split
-                 [split
-                    [unfold;intro;apply H17;
-                     apply (natinG_or_inH_to_natinGH ? (fv_env e1));right;
-                     assumption
-                    |unfold;intro;apply H17;
-                     apply (natinG_or_inH_to_natinGH 
-                               ((fv_type t1) @ (fv_type t7)));left;
-                     apply natinG_or_inH_to_natinGH;right;assumption]
-                 |unfold;intro;apply H17;
-                  apply (natinG_or_inH_to_natinGH 
-                            ((fv_type t1) @ (fv_type t7)));left;
-                  apply natinG_or_inH_to_natinGH;left;assumption]]
-           |apply (pred_m_lt_m ? ? H6)]]]]
+        |intros;destruct H13;subst;apply SA_All
+           [lapply (H6 t4)
+              [elim Hletin;apply (H12 ? ? ? H8 H2)
+              |apply t_len_forall1]
+           |intros;(*destruct H12;*)subst;
+            lapply (H6 (subst_type_O t5 (TFree X)))
+              [elim Hletin;apply H13
+                 [lapply (H6 t4)
+                    [elim Hletin1;apply (H16 e1 [] X t6);
+                       [simplify;apply H4;assumption
+                       |assumption]
+                    |apply t_len_forall1]
+                 |apply (H10 ? H12)]
+              |rewrite > subst_O_nat;rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
+               apply t_len_forall2]]]]]
 qed.
 
 theorem JS_trans : \forall G,T,U,V.(JSubtype G T U) \to 
                                    (JSubtype G U V) \to
                                    (JSubtype G T V).
-intros;elim (JS_trans_narrow (t_len U));apply (H2 ? ? ? ? ? H H1);constructor 1;
+intros;elim JS_trans_narrow;autobatch;
 qed.
 
 theorem JS_narrow : \forall G1,G2,X,P,Q,T,U.
                        (JSubtype (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) T U) \to
                        (JSubtype G1 P Q) \to
                        (JSubtype (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) T U).
-intros;elim (JS_trans_narrow (t_len Q));apply (H3 ? ? ? ? ? ? ? ? H H1);
-constructor 1;
+intros;elim JS_trans_narrow;autobatch;
 qed.
index 2e50ed5c014e581f70b89be131f48bf5dfef6fce..fa59484f5dd27e94b73bbdd9625badce717984a0 100644 (file)
@@ -19,17 +19,6 @@ include "list/list.ma".
 
 (*** useful definitions and lemmas not really related to Fsub ***)
 
-lemma eqb_case : \forall x,y.(eqb x y) = true \lor (eqb x y) = false.
-intros;elim (eqb x y);autobatch;
-qed.
-       
-lemma eq_eqb_case : \forall x,y.((x = y) \land (eqb x y) = true) \lor
-                                ((x \neq y) \land (eqb x y) = false).
-intros;lapply (eqb_to_Prop x y);elim (eqb_case x y)
-  [rewrite > H in Hletin;simplify in Hletin;left;autobatch
-  |rewrite > H in Hletin;simplify in Hletin;right;autobatch]
-qed.
-
 let rec max m n \def
   match (leb m n) with
      [true \Rightarrow n
@@ -52,13 +41,6 @@ definition map : \forall A,B,f.((list A) \to (list B)) \def
       |(cons (a:A) (t:(list A))) \Rightarrow 
         (cons B (f a) (map t))] in map.
 
-definition swap : nat \to nat \to nat \to nat \def
-  \lambda u,v,x.match (eqb x u) with
-    [true \Rightarrow v
-    |false \Rightarrow match (eqb x v) with
-       [true \Rightarrow u
-       |false \Rightarrow x]].
-
 lemma in_list_nil : \forall A,x.\lnot (in_list A x []).
 intros.unfold.intro.inversion H
   [intros;lapply (sym_eq ? ? ? H2);absurd (a::l = [])
@@ -67,67 +49,8 @@ intros.unfold.intro.inversion H
      [assumption|apply nil_cons]]
 qed.
 
-lemma notin_cons : \forall A,x,y,l.\lnot (in_list A x (y::l)) \to
-                      (y \neq x) \land \lnot (in_list A x l).
-intros.split
-  [unfold;intro;apply H;rewrite > H1;constructor 1
-  |unfold;intro;apply H;constructor 2;assumption]
-qed.
-
-lemma swap_left : \forall x,y.(swap x y x) = y.
-intros;unfold swap;rewrite > eqb_n_n;simplify;reflexivity;
-qed.
-
-lemma swap_right : \forall x,y.(swap x y y) = x.
-intros;unfold swap;elim (eq_eqb_case y x)
-  [elim H;rewrite > H2;simplify;rewrite > H1;reflexivity
-  |elim H;rewrite > H2;simplify;rewrite > eqb_n_n;simplify;reflexivity]
-qed.
-
-lemma swap_other : \forall x,y,z.(z \neq x) \to (z \neq y) \to (swap x y z) = z.
-intros;unfold swap;elim (eq_eqb_case z x)
-  [elim H2;lapply (H H3);elim Hletin
-  |elim H2;rewrite > H4;simplify;elim (eq_eqb_case z y)
-     [elim H5;lapply (H1 H6);elim Hletin
-     |elim H5;rewrite > H7;simplify;reflexivity]]
-qed. 
-
-lemma swap_inv : \forall u,v,x.(swap u v (swap u v x)) = x.
-intros;unfold in match (swap u v x);elim (eq_eqb_case x u)
-  [elim H;rewrite > H2;simplify;rewrite > H1;apply swap_right
-  |elim H;rewrite > H2;simplify;elim (eq_eqb_case x v)
-     [elim H3;rewrite > H5;simplify;rewrite > H4;apply swap_left
-     |elim H3;rewrite > H5;simplify;apply (swap_other ? ? ? H1 H4)]]
-qed.
-
-lemma swap_inj : \forall u,v,x,y.(swap u v x) = (swap u v y) \to x = y.
-intros;unfold swap in H;elim (eq_eqb_case x u)
-  [elim H1;elim (eq_eqb_case y u)
-     [elim H4;rewrite > H5;assumption
-     |elim H4;rewrite > H3 in H;rewrite > H6 in H;simplify in H;
-      elim (eq_eqb_case y v)
-        [elim H7;rewrite > H9 in H;simplify in H;rewrite > H in H8;
-         lapply (H5 H8);elim Hletin
-        |elim H7;rewrite > H9 in H;simplify in H;elim H8;symmetry;assumption]]
-  |elim H1;elim (eq_eqb_case y u)
-     [elim H4;rewrite > H3 in H;rewrite > H6 in H;simplify in H;
-      elim (eq_eqb_case x v)
-        [elim H7;rewrite > H9 in H;simplify in H;rewrite < H in H8;
-         elim H2;assumption
-        |elim H7;rewrite > H9 in H;simplify in H;elim H8;assumption]
-     |elim H4;rewrite > H3 in H;rewrite > H6 in H;simplify in H;
-      elim (eq_eqb_case x v)
-        [elim H7;rewrite > H9 in H;elim (eq_eqb_case y v)
-           [elim H10;rewrite > H11;assumption
-           |elim H10;rewrite > H12 in H;simplify in H;elim H5;symmetry;
-            assumption]
-        |elim H7;rewrite > H9 in H;elim (eq_eqb_case y v)
-           [elim H10;rewrite > H12 in H;simplify in H;elim H2;assumption
-           |elim H10;rewrite > H12 in H;simplify in H;assumption]]]]
-qed.
-
 lemma max_case : \forall m,n.(max m n) = match (leb m n) with
       [ false \Rightarrow n
       | true \Rightarrow m ].
 intros;elim m;simplify;reflexivity;
-qed. 
\ No newline at end of file
+qed.
\ No newline at end of file