--- /dev/null
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008.
+
+ Note per gli esercizi:
+
+ http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
+
+*)
+
+(* Esercizio 0
+ ===========
+
+ Compilare i seguenti campi:
+
+ Nome1: ...
+ Cognome1: ...
+ Matricola1: ...
+ Account1: ...
+
+ Nome2: ...
+ Cognome2: ...
+ Matricola2: ...
+ Account2: ...
+
+ Prima di abbandonare la postazione:
+
+ * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
+ /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+ account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+ * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+ usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
+*)
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il teorema di dualità
+=====================
+
+Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
+se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
+loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
+
+L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
+
+ * Scambia FTop con FBot e viceversa
+
+ * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+
+ * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+ prima sottoformula.
+
+ Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+ `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+
+Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
+definire altre nozioni:
+
+* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+ Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+
+* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+ Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+ `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue
+*)
+include "nat/minus.ma".
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
+definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
+
+(* Ripasso
+ =======
+
+ Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
+ rapperesentati da un numero naturale
+*)
+inductive Formula : Type ≝
+| FBot: Formula
+| FTop: Formula
+| FAtom: nat → Formula
+| FAnd: Formula → Formula → Formula
+| FOr: Formula → Formula → Formula
+| FImpl: Formula → Formula → Formula
+| FNot: Formula → Formula
+.
+
+(* Esercizio 1
+ ===========
+
+ Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
+ esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
+ atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
+ maggiore di 1.
+
+ Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
+ e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
+ usare la funzione `min`.
+*)
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
+ match F with
+ [ FBot ⇒ 0
+ | FTop ⇒ 1
+ | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
+ | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
+ | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
+ | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
+ | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
+ ]
+.
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue.
+*)
+notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
+interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
+
+definition v20 ≝ λx.
+ if eqb x 0 then 2
+ else if eqb x 1 then 1
+ else 0.
+
+(* Test 1
+ ======
+
+ La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
+ `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
+
+*)
+eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
+
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
+librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
+sono necessari i seguenti lemmi:
+
+* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
+* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
+* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
+* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue.
+*)
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
+lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
+lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
+lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
+let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
+ match F with
+ [ FBot ⇒ FBot
+ | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
+ | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
+ (*BEGIN*)
+ | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
+ | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
+ | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
+ (*END*)
+ | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
+ ].
+
+notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
+definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
+notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
+notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
+interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+
+theorem shannon :
+ ∀F,x,v. [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v.
+intros; elim F;
+[1,2: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0); reflexivity;
+|4,5,6: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H H1; simplify; intros; rewrite > H; rewrite > H1; reflexivity;
+|7: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H; simplify; intros; rewrite > H; reflexivity;
+| cases (sem_bool (FAtom x) v); rewrite > H; simplify;
+ cases (decidable_eq_nat n x); destruct H1;
+ [1,3: rewrite > eqb_n_n; simplify; rewrite >H;reflexivity;.
+ |*:simplify in H; rewrite > (not_eq_to_eqb_false ?? H1); simplify; reflexivity;]]
+qed.
+
+
+
+
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