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-(*DOCBEGIN
-
+(*
Come scrivere i simboli
=======================
La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
restituiscono un numero naturale.
- LA sintassi ..
- ==============
- * applicazione
- * match
- * min/max a b
- * sottrazione
+ La sintassi di Matita
+ =====================
+
+ Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
+ differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
+ per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
+ di programmazione.
- I comandi per le definizioni
- ============================
+ * applicazione
- Esistono due tipi di definizioni: definizioni ricorsive tramite sintassi
- simile a BNF, definizione di funzioni per ricorsione strutturale.
+ Se 'f' è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di 'f'
+ agli argomenti 'x' e 'y' si scrive '(f x y)' e non 'f(x,y)'. Le parentesi
+ possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
+ vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
+ Esempio: 'f x y + f y x' si legge '(f x y) + (f y x)'.
+
+ * minimo e massimo
- Definire una nuova sintassi astratta
- ------------------------------------
+ Le funzioni 'min' e 'max' non fanno eccezione, per calcolare il
+ massimo tra 'x' e 'y' si scrive '(max x y)' e non 'max{x,y}'
- Definizione
+ * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
+ 'let rec' (ricorsione) e il costrutto 'match' (analisi per casi).
-DOCEND*)
+ Ad esempio la funzione count definita a lezione come
+
+ count ⊤ ≝ 1
+ count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
+ ...
+
+ la si esprime come
+
+ let rec count F on F ≝
+ match F with
+ [ ⊤ ⇒ 1
+ | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
+ ...
+ ].
+
+ * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
+ simile a BNF. Per esempio per definire
+
+ <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
+
+ si usa il seguente comando
+
+ inductive A : Type ≝
+ | Plus : A → A → A
+ | Times : A → A → A
+ | Zero : A
+ | One : A
+ .
+
+ La ratio è che 'Plus' prende due argomenti di tipo A per darmi un A,
+ mentre 'Zero' non prende nessun argomento per darmi un A. Al posto di usare
+ operatori infissi (0 + 0) la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
+ Quindi (0+0) si scriverà come (Plus Zero Zero).
+
+*)
(* non modificare le seguenti tre righe *)
include "nat/minus.ma".
definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
+
(* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
inductive Formula : Type ≝
| FBot: Formula
| FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
.
+
(* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
(o denotazione) *)
]
.
+
(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
if e then risultato1 else risultato2
Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3
*)
-definition if_then_else ≝ λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else e t f).
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else _ $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
+(* TESTARE LA DEFINIZIONE DI SEM *)
+definition v110 ≝ λx.
+ if eqb x 0 then 1 (* Atom 0 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 1 then 1 (* Atom 1 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 2 then 0 (* Atom 2 ↦ 0 *)
+ else 0. (* Atom _ ↦ 0 *)
+
+
+definition formula1 ≝ (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)).
+
+
+eval normalize on [[ formula1 ]]_v110.
+
+
(* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
| FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
].
+(* AGGIUNGERE ALCUNI TEST *)
+
+
(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
* F [ G / x ]
notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+
+
(* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
assume G1 : Formula.
(*END*)
done.
qed.
+
+eval normalize on
+ (substitution (FAtom 1) (FAtom 1) formula1 1 (λ_.refl_eq ??) v110).
(* Questionario
projects / helm.git / commitdiff