]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
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authorWilmer Ricciotti <ricciott@cs.unibo.it>
Mon, 24 Sep 2007 16:22:16 +0000 (16:22 +0000)
committerWilmer Ricciotti <ricciott@cs.unibo.it>
Mon, 24 Sep 2007 16:22:16 +0000 (16:22 +0000)
helm/software/matita/library/Fsub/defn.ma
helm/software/matita/library/Fsub/part1a.ma
helm/software/matita/library/Fsub/util.ma

index 573b2afe885a1b4768b11c1ac70a4f4e5f65d9da..177edbb4575441575330b299d0e573417c8f0d16 100644 (file)
@@ -168,58 +168,18 @@ intros 2;elim G
   [elim H;elim H1;lapply (in_list_nil ? ? H2);elim Hletin
   |elim H1;elim H2;elim (in_cons_case ? ? ? ? H3)
      [rewrite < H4;simplify;apply in_Base
-     |elim H4;elim t;simplify;apply in_Skip2;apply H;apply (ex_intro ? ? a);
+     |simplify;apply in_Skip;apply H;apply (ex_intro ? ? a);
       apply (ex_intro ? ? a1);assumption]]
 qed.
 
-lemma nat_in_list_case : \forall G,H,n.(in_list nat n (H @ G)) \to 
-                               (in_list nat n G) \lor (in_list nat n H).
-intros 3.elim H
-  [simplify in H1;left;assumption
-  |simplify in H2;elim (in_cons_case ? ? ? ? H2)
-    [right;rewrite > H3;apply in_Base
-    |elim H3;elim (H1 H5) [left;assumption|right;apply in_Skip2;assumption]]]
-qed.
-
-lemma natinG_or_inH_to_natinGH : \forall G,H,n.
-                      (in_list nat n G) \lor (in_list nat n H) \to
-                      (in_list nat n (H @ G)).
-intros.elim H1
-  [elim H
-     [simplify;assumption
-     |simplify;apply in_Skip2;assumption]
-  |generalize in match H2;elim H2
-     [simplify;apply in_Base
-     |lapply (H4 H3);simplify;apply in_Skip;assumption]]
-qed.
-
 lemma natinfv_boundinenv : \forall x,G.(in_list ? x (fv_env G)) \to
                               \exists B,T.(in_list ? (mk_bound B x T) G).
 intros 2;elim G 0
   [simplify;intro;lapply (in_list_nil ? ? H);elim Hletin
   |intros 3;elim t;simplify in H1;elim (in_cons_case ? ? ? ? H1)
      [rewrite < H2;apply (ex_intro ? ? b);apply (ex_intro ? ? t1);apply in_Base
-     |elim H2;elim (H H4);elim H5;apply (ex_intro ? ? a);
-      apply (ex_intro ? ? a1);apply in_Skip
-        [assumption
-        |intro;destruct H7;elim (H3 Hcut1)]]]
-qed.
-
-theorem varinT_varinT_subst : \forall X,Y,T.
-        (in_list ? X (fv_type T)) \to \forall n.
-        (in_list ? X (fv_type (subst_type_nat T (TFree Y) n))).
-intros 3;elim T
-  [simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
-  |simplify in H;simplify;assumption
-  |simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
-  |simplify in H2;simplify;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2);
-   apply natinG_or_inH_to_natinGH;
-     [left;apply (H1 H3)
-     |right;apply (H H3)]
-  |simplify in H2;simplify;elim (nat_in_list_case ? ? ? H2);
-   apply natinG_or_inH_to_natinGH;
-     [left;apply (H1 H3);
-     |right;apply (H H3)]]
+     |elim (H H2);elim H3;apply (ex_intro ? ? a);
+      apply (ex_intro ? ? a1);apply in_Skip;assumption]]
 qed.
 
 lemma incl_bound_fv : \forall l1,l2.(incl ? l1 l2) \to 
@@ -232,10 +192,10 @@ lapply (natinfv_boundinenv ? ? H1).elim Hletin.elim H2.apply ex_intro
      |apply (H ? H3)]]
 qed.
 
-lemma incl_nat_cons : \forall x,l1,l2.
-                  (incl nat l1 l2) \to (incl nat (x :: l1) (x :: l2)).
+lemma incl_cons : \forall x,l1,l2.
+                  (incl ? l1 l2) \to (incl nat (x :: l1) (x :: l2)).
 intros.unfold in H.unfold.intros.elim (in_cons_case ? ? ? ? H1)
-  [rewrite > H2;apply in_Base|elim H2;apply in_Skip2;apply (H ? H4)]
+  [rewrite > H2;apply in_Base|apply in_Skip;apply (H ? H2)]
 qed.
 
 lemma WFT_env_incl : \forall G,T.(WFType G T) \to
@@ -248,7 +208,7 @@ intros 3.elim H
      [apply (H2 ? H6)
      |intros;apply (H4 ? ? H8)
         [unfold;intro;apply H7;apply(H6 ? H9)
-        |simplify;apply (incl_nat_cons ? ? ? H6)]]]
+        |simplify;apply (incl_cons ? ? ? H6)]]]
 qed.
 
 lemma fv_env_extends : \forall H,x,B,C,T,U,G.
@@ -265,11 +225,10 @@ lemma lookup_env_extends : \forall G,H,B,C,D,T,U,V,x,y.
 intros 10;elim H
   [simplify in H1;elim (in_cons_case ? ? ? ? H1)
      [destruct H3;elim (H2 Hcut1)
-     |simplify;elim H3;apply (in_Skip ? ? ? ? H5);intro;destruct H6;
-      apply (H2 Hcut1)] 
+     |simplify;apply (in_Skip ? ? ? ? H3);]
   |simplify in H2;simplify;elim (in_cons_case ? ? ? ? H2)
      [rewrite > H4;apply in_Base
-     |elim H4;apply (in_Skip ? ? ? ? (H1 H6 H3) H5)]]
+     |apply (in_Skip ? ? ? ? (H1 H4 H3))]]
 qed.
 
 lemma in_FV_subst : \forall x,T,U,n.(in_list ? x (fv_type T)) \to
@@ -277,10 +236,9 @@ lemma in_FV_subst : \forall x,T,U,n.(in_list ? x (fv_type T)) \to
 intros 3;elim T
   [simplify in H;elim (in_list_nil ? ? H)
   |2,3:simplify;simplify in H;assumption
-  |*:simplify in H2;simplify;apply natinG_or_inH_to_natinGH;
-   lapply (nat_in_list_case ? ? ? H2);elim Hletin
-     [1,3:left;apply (H1 ? H3)
-     |*:right;apply (H ? H3)]]
+  |*:simplify in H2;simplify;elim (append_to_or_in_list ? ? ? ? H2)
+     [1,3:apply in_list_append1;apply (H ? H3)
+     |*:apply in_list_append2;apply (H1 ? H3)]]
 qed.
 
 (*** lemma on fresh names ***)
@@ -298,8 +256,9 @@ cut (\forall l:(list nat).\exists n.\forall m.
      intros.unfold. intro.
      elim (in_cons_case ? ? ? ? H3)
       [rewrite > H4 in H2.autobatch
-      |elim H4.apply (H1 m ? H6).
-       apply (trans_le ? (max a t));autobatch]]]
+      |elim H4
+         [apply (H1 m ? H4).apply (trans_le ? (max a t));autobatch
+         |assumption]]]]
 qed.
 
 (*** lemmata on well-formedness ***)
@@ -308,89 +267,23 @@ lemma fv_WFT : \forall T,x,G.(WFType G T) \to (in_list ? x (fv_type T)) \to
                   (in_list ? x (fv_env G)).
 intros 4.elim H
   [simplify in H2;elim (in_cons_case ? ? ? ? H2)
-     [rewrite > H3;assumption|elim H3;elim (in_list_nil ? ? H5)]
+     [rewrite > H3;assumption|elim (in_list_nil ? ? H3)]
   |simplify in H1;elim (in_list_nil ? x H1)
-  |simplify in H5;elim (nat_in_list_case ? ? ? H5);autobatch
-  |simplify in H5;elim (nat_in_list_case ? ? ? H5)
-     [elim (fresh_name ((fv_type t1) @ (fv_env l)));
-      cut ((¬ (in_list ? a (fv_type t1))) ∧
-           (¬ (in_list ? a (fv_env l))))
+  |simplify in H5;elim (append_to_or_in_list ? ? ? ? H5);autobatch
+  |simplify in H5;elim (append_to_or_in_list ? ? ? ? H5)
+     [apply (H2 H6)
+     |elim (fresh_name ((fv_type t1) @ (fv_env l)));
+      cut (¬ (a ∈ (fv_type t1)) ∧ ¬ (a ∈ (fv_env l)))
         [elim Hcut;lapply (H4 ? H9 H8)
            [cut (x ≠ a)
               [simplify in Hletin;elim (in_cons_case ? ? ? ? Hletin)
-                 [elim (Hcut1 H10)|elim H10;assumption]
-              |intro;apply H8;rewrite < H10;assumption]
+                 [elim (Hcut1 H10)
+                 |assumption]
+              |intro;apply H8;applyS H6]
            |apply in_FV_subst;assumption]
         |split
-           [intro;apply H7;apply natinG_or_inH_to_natinGH;right;assumption
-           |intro;apply H7;apply natinG_or_inH_to_natinGH;left;assumption]]
-     |apply (H2 H6)]]
-qed.
-           
-(*** some exotic inductions and related lemmas ***) 
-
-lemma O_lt_t_len: \forall T.O < (t_len T).
-intros;elim T
-  [1,2,3:simplify;apply le_n
-  |*:simplify;apply lt_O_S]
-qed.
-
-(*
-lemma not_t_len_lt_SO : \forall T.\lnot (t_len T) < (S O).
-intros;elim T
-  [1,2,3:simplify;unfold;intro;unfold in H;elim (not_le_Sn_n ? H)
-  |*:simplify;unfold;rewrite > max_case;elim (leb (t_len t) (t_len t1))
-     [1,3:simplify in H2;apply H1;apply (trans_lt ? ? ? ? H2);unfold;constructor 1
-     |*:simplify in H2;apply H;apply (trans_lt ? ? ? ? H2);unfold;constructor 1]]
-qed.
-*)
-
-lemma Typ_len_ind : \forall P:Typ \to Prop.
-                       (\forall U.(\forall V.((t_len V) < (t_len U)) \to (P V))
-                           \to (P U))
-                       \to \forall T.(P T).
-cut (\forall P:Typ \to Prop.
-        (\forall U.(\forall V.((t_len V) < (t_len U)) \to (P V))
-            \to (P U))
-        \to \forall T,n.(n = (t_len T)) \to (P T))                      
-  [intros;apply (Hcut ? H ? (t_len T));reflexivity
-  |intros 4;generalize in match T;apply (nat_elim1 n);intros;
-   generalize in match H2;elim t 
-     [1,2,3:apply H;intros;simplify in H4;elim (lt_to_not_le ? ? H4 (O_lt_t_len ?))
-     |*:apply H;intros;apply (H1 (t_len V))
-        [1,3:rewrite > H5;assumption
-        |*:reflexivity]]]
-qed.
-
-lemma t_len_arrow1 : \forall T1,T2.(t_len T1) < (t_len (Arrow T1 T2)).
-intros.simplify.
-apply le_S_S.apply le_m_max_m_n.
-qed.
-
-lemma t_len_arrow2 : \forall T1,T2.(t_len T2) < (t_len (Arrow T1 T2)).
-intros.simplify.
-apply le_S_S.apply le_n_max_m_n.
-qed.
-
-lemma t_len_forall1 : \forall T1,T2.(t_len T1) < (t_len (Forall T1 T2)).
-intros.simplify.
-apply le_S_S.apply le_m_max_m_n.
-qed.
-
-lemma t_len_forall2 : \forall T1,T2.(t_len T2) < (t_len (Forall T1 T2)).
-intros.simplify.
-apply le_S_S.apply le_n_max_m_n.
-qed.
-
-lemma eq_t_len_TFree_subst : \forall T,n,X.(t_len T) = 
-                                         (t_len (subst_type_nat T (TFree X) n)).
-intro.elim T
-  [simplify;elim (eqb n n1);simplify;reflexivity
-  |2,3:simplify;reflexivity
-  |simplify;lapply (H n X);lapply (H1 n X);rewrite < Hletin;rewrite < Hletin1;
-   reflexivity
-  |simplify;lapply (H n X);lapply (H1 (S n) X);rewrite < Hletin;
-   rewrite < Hletin1;reflexivity]
+           [intro;apply H7;apply in_list_append1;assumption
+           |intro;apply H7;apply in_list_append2;assumption]]]]
 qed.
 
 (*** lemmata relating subtyping and well-formedness ***)
@@ -454,8 +347,49 @@ intros 6;elim H
         [destruct H7;assumption
         |elim H7;elim H3;apply boundinenv_natinfv;apply (ex_intro ? ? b);
          apply (ex_intro ? ? T);assumption]
-     |elim H7;elim (in_cons_case ? ? ? ? H5)
-        [destruct H10;elim H3;apply boundinenv_natinfv;apply (ex_intro ? ? B);
+     |elim (in_cons_case ? ? ? ? H5)
+        [destruct H8;elim H3;apply boundinenv_natinfv;apply (ex_intro ? ? B);
          apply (ex_intro ? ? U);rewrite < Hcut1;assumption
-        |elim H10;apply (H2 H12 H9)]]]
+        |apply (H2 H8 H7)]]]
+qed.
+
+lemma WFT_to_incl: ∀G,T,U.
+  (∀X.(¬(X ∈ fv_env G)) → (¬(X ∈ fv_type U)) →
+    (WFType (mk_bound true X T::G) (subst_type_nat U (TFree X) O)))
+  → incl ? (fv_type U) (fv_env G).
+intros.elim (fresh_name ((fv_type U)@(fv_env G))).lapply(H a)
+  [unfold;intros;lapply (fv_WFT ? x ? Hletin)
+     [simplify in Hletin1;inversion Hletin1;intros
+        [destruct H4;elim H1;rewrite > Hcut;rewrite < H3.autobatch
+        |destruct H6;rewrite > Hcut1;assumption]
+     |apply in_FV_subst;assumption]
+  |*:intro;apply H1;autobatch]
+qed.
+
+lemma incl_fv_env: ∀X,G,G1,U,P.
+      incl ? (fv_env (G1@(mk_bound true X U::G))) 
+             (fv_env (G1@(mk_bound true X P::G))).
+intros.rewrite < fv_env_extends.apply incl_A_A.
+qed.
+
+lemma JSubtype_Top: ∀G,P.G ⊢ ⊤ ⊴ P → P = ⊤.
+intros.inversion H;intros
+  [assumption|reflexivity
+  |destruct H5|*:destruct H6]
+qed.
+
+(* elim vs inversion *)
+lemma JS_trans_TFree: ∀G,T,X.G ⊢ T ⊴ (TFree X) →
+  ∀U.G ⊢ (TFree X) ⊴ U → G ⊢ T ⊴ U.
+intros 4.cut (∀Y.TFree Y = TFree X → ∀U.G ⊢ (TFree Y) ⊴ U → G ⊢ T ⊴ U)
+  [apply Hcut;reflexivity
+  |elim H;intros
+    [rewrite > H3 in H4;rewrite > (JSubtype_Top ? ? H4);apply SA_Top;assumption
+    |rewrite < H3;assumption
+    |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H1);apply (H3 Y);assumption
+    |*:destruct H5]]
 qed.
+
+lemma fv_append : ∀G,H.fv_env (G @ H) = (fv_env G @ fv_env H).
+intro;elim G;simplify;autobatch paramodulation;
+qed.
\ No newline at end of file
index 7fb8fed9c14c5433fc8cbd503a8f71e02aedb655..86cde322bf5ea926cd736bccc2f34ae5012e561e 100644 (file)
@@ -16,237 +16,149 @@ set "baseuri" "cic:/matita/Fsub/part1a/".
 include "Fsub/defn.ma".
 
 (*** Lemma A.1 (Reflexivity) ***)
-
 theorem JS_Refl : ∀T,G.WFType G T → WFEnv G → G ⊢ T ⊴  T.
-intros 3;elim H
-  [apply (SA_Refl_TVar l n H2 H1);
-  |apply (SA_Top l Top H1 (WFT_Top l));
-  |apply (SA_Arrow l t t1 t t1 (H2 H5) (H4 H5))
-  |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 H5));intros;apply (H4 X H6)
-     [intro;apply H6;apply (fv_WFT (Forall t t1) X l)
-        [apply (WFT_Forall ? ? ? H1 H3)
-        |simplify;autobatch]
+intros 3.elim H
+  [apply SA_Refl_TVar [apply H2|assumption]
+  |apply SA_Top [assumption|apply WFT_Top]
+  |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 H5) (H4 H5))
+  |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 H5));intros;apply (H4 ? H6)
+     [intro;apply H6;apply (fv_WFT ? ? ? (WFT_Forall ? ? ? H1 H3));
+      simplify;autobatch
      |autobatch]]
 qed.
 
-(* 
+(*
  * A slightly more general variant to lemma A.2.2, where weakening isn't
  * defined as concatenation of any two disjoint environments, but as
  * set inclusion.
  *)
-lemma JS_weakening : \forall G,T,U.(JSubtype G T U) \to
-                      \forall H.(WFEnv H) \to (incl ? G H) \to (JSubtype H T U).
+
+lemma JS_weakening : ∀G,T,U.G ⊢ T ⊴ U → ∀H.WFEnv H → incl ? G H → H ⊢ T ⊴ U.
 intros 4;elim H
-  [apply (SA_Top ? ? H4);lapply (incl_bound_fv ? ? H5);
-   apply (WFT_env_incl ? ? H2 ? Hletin)
-  |apply (SA_Refl_TVar ? ? H4);lapply (incl_bound_fv ? ? H5);
-   apply (Hletin ? H2)
-  |lapply (H3 ? H5 H6);lapply (H6 ? H1);
-   apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? Hletin1 Hletin)
-  |lapply (H2 ? H6 H7);lapply (H4 ? H6 H7);
-   apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? Hletin Hletin1)
-  |lapply (H2 ? H6 H7);apply (SA_All ? ? ? ? ? Hletin);intros;apply H4
-     [unfold;intro;apply H8;lapply (incl_bound_fv ? ? H7);apply (Hletin1 ? H9)
-     |apply WFE_cons
-        [1,2:assumption
-        |apply (JS_to_WFT1 ? ? ? Hletin)]
-     |unfold;intros;elim (in_cons_case ? ? ? ? H9)
-        [rewrite > H10;apply in_Base
-        |elim H10;apply (in_Skip ? ? ? ? ? H11);apply (H7 ? H12)]]]
+  [apply (SA_Top ? ? H4);apply (WFT_env_incl ? ? H2 ? (incl_bound_fv ? ? H5))
+  |apply (SA_Refl_TVar ? ? H4);apply (incl_bound_fv ? ? H5 ? H2)
+  |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? ? (H3 ? H5 H6));apply H6;assumption
+  |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7) (H4 ? H6 H7))
+  |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7));intros;apply H4
+     [unfold;intro;apply H8;apply (incl_bound_fv ? ? H7 ? H9)
+     |apply (WFE_cons ? ? ? ? H6 H8);autobatch
+     |unfold;intros;inversion H9;intros
+        [destruct H11;rewrite > Hcut;apply in_Base
+        |destruct H13;rewrite < Hcut1 in H10;apply in_Skip;apply (H7 ? H10)]]]
 qed.
 
-lemma decidable_eq_Typ : \forall S,T:Typ.(S = T) ∨ (S ≠ T).
-intro;elim S
-  [elim T
-     [elim (decidable_eq_nat n n1)
-        [rewrite > H;left;reflexivity
-        |right;intro;destruct H1;apply (H Hcut)]
-     |2,3:right;intro;destruct H
-     |*:right;intro;destruct H2]
-  |elim T
-     [2:elim (decidable_eq_nat n n1)
-        [rewrite > H;left;reflexivity
-        |right;intro;destruct H1;apply (H Hcut)]
-     |1,3:right;intro;destruct H
-     |*:right;intro;destruct H2]
-  |elim T
-     [3:left;reflexivity
-     |1,2:right;intro;destruct H
-     |*:right;intro;destruct H2]
-  |elim T
-     [1,2,3:right;intro;destruct H2
-     |elim (H t2)
-        [rewrite > H4;elim (H1 t3)
-           [rewrite > H5;left;reflexivity
-           |right;intro;apply H5;destruct H6;assumption]
-        |right;intro;apply H4;destruct H5;assumption]
-     |right;intro;destruct H4]
-  |elim T
-     [1,2,3:right;intro;destruct H2
-     |right;intro;destruct H4
-     |elim (H t2)
-        [rewrite > H4;elim (H1 t3)
-           [rewrite > H5;left;reflexivity
-           |right;intro;apply H5;destruct H6;assumption]
-        |right;intro;apply H4;destruct H5;assumption]]]
+theorem narrowing:∀X,G,G1,U,P,M,N.
+  G1 ⊢ P ⊴ U → (∀G2,T.G2@G1 ⊢ U ⊴ T → G2@G1 ⊢ P ⊴ T) → G ⊢ M ⊴ N →
+  ∀l.G=l@(mk_bound true X U::G1) → l@(mk_bound true X P::G1) ⊢ M ⊴ N.
+intros 10.elim H2
+  [apply SA_Top
+    [rewrite > H5 in H3;
+     apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3 (JS_to_WFT1 ? ? ? H))
+    |rewrite > H5 in H4;apply (WFT_env_incl ? ? H4);apply incl_fv_env]
+  |apply SA_Refl_TVar
+    [rewrite > H5 in H3;apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3);
+     apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H)
+    |rewrite > H5 in H4;rewrite < fv_env_extends;apply H4]
+  |elim (decidable_eq_nat X n)
+    [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
+      [rewrite < H7;elim l1;simplify
+        [constructor 1|constructor 2;assumption]
+      |rewrite > append_cons;apply H1;
+       lapply (WFE_bound_bound true n t1 U ? ? H3)
+        [apply (JS_to_WFE ? ? ? H4)
+        |rewrite < Hletin;rewrite < append_cons;apply (H5 ? H6)
+        |rewrite < H7;rewrite > H6;elim l1;simplify
+          [constructor 1|constructor 2;assumption]]]
+    |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
+      [rewrite > H6 in H3;apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H3);
+       unfold;intro;apply H7;symmetry;assumption
+      |apply (H5 ? H6)]]
+  |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H4 ? H7) (H6 ? H7))
+  |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H4 ? H7));intros;
+   apply (H6 ? ? (mk_bound true X1 t2::l1))
+      [rewrite > H7;rewrite > fv_env_extends;apply H8
+      |simplify;rewrite < H7;reflexivity]]
 qed.
 
-lemma decidable_eq_bound: ∀b1,b2:bound.(b1 = b2) ∨ (b1 ≠ b2).
-intros;elim b1;elim b2;elim (decidable_eq_nat n n1)
-  [rewrite < H;elim (decidable_eq_Typ t t1)
-     [rewrite < H1;elim (bool_to_decidable_eq b b3)
-        [rewrite > H2;left;reflexivity
-        |right;intro;destruct H3;apply (H2 Hcut)]
-     |right;intro;destruct H2;apply (H1 Hcut1)]
-  |right;intro;destruct H1;apply (H Hcut1)]
-qed.     
-
-(* Lemma A.3 (Transitivity and Narrowing) *)
-
-lemma JS_trans_narrow : \forall Q.
-  (\forall G,T,U.
-     (JSubtype G T Q) \to (JSubtype G Q U) \to 
-     (JSubtype G T U)) \land
-  (\forall G,H,X,P,M,N.
-     (JSubtype (H @ ((mk_bound true X Q) :: G)) M N) \to
-     (JSubtype G P Q) \to
-     (JSubtype (H @ ((mk_bound true X P) :: G)) M N)).
-apply Typ_len_ind;intros 2;
-cut (\forall G,T,P. 
-           (JSubtype G T U) \to 
-           (JSubtype G U P) \to 
-           (JSubtype G T P))
-  [split
-     [assumption
-     |cut (\forall G,M,N.(JSubtype G M N) \to
-           \forall G1,X,G2,P.
-              (G = G2 @ ((mk_bound true X U) :: G1)) \to 
-              (JSubtype G1 P U) \to 
-              (JSubtype (G2 @ ((mk_bound true X P) :: G1)) M N))
-        [intros;apply (Hcut1 ? ? ? H2 ? ? ? ? ? H3);reflexivity
-        |intros;cut (incl ? (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X U)::G1)))
-                    (fv_env (G2 @ ((mk_bound true X P)::G1))))
-           [intros;generalize in match H2;generalize in match Hcut1;
-            generalize in match Hcut;generalize in match G2;elim H1
-              [apply SA_Top
-                 [rewrite > H8 in H4;lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? H3);
-                  apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H4 Hletin)
-                 |rewrite > H8 in H5;apply (WFT_env_incl ? ? H5 ? H7)]
-              |apply SA_Refl_TVar
-                 [rewrite > H8 in H4;apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H4);
-                  apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H3)
-                 |rewrite > H8 in H5;apply (H7 ? H5)]
-              |elim (decidable_eq_nat X n)
-                 [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
-                    [rewrite < H10;elim l1
-                      [simplify;constructor 1
-                      |simplify;elim (decidable_eq_bound (mk_bound true X P) t2)
-                         [rewrite < H12;apply in_Base
-                         |apply (in_Skip ? ? ? ? ? H12);assumption]]
-                   |apply H7
-                      [lapply (H6 ? H7 H8 H9);lapply (JS_to_WFE ? ? ? Hletin);
-                       apply (JS_weakening ? ? ? H3 ? Hletin1);unfold;intros;
-                       elim l1
-                         [simplify;
-                          elim (decidable_eq_bound x (mk_bound true X P))
-                            [rewrite < H12;apply in_Base
-                            |apply (in_Skip ? ? ? ? ? H12);assumption]
-                         |simplify;elim (decidable_eq_bound x t2)
-                            [rewrite < H13;apply in_Base
-                            |apply (in_Skip ? ? ? ? ? H13);assumption]]
-                      |lapply (WFE_bound_bound true n t1 U ? ? H4)
-                         [apply (JS_to_WFE ? ? ? H5)
-                         |rewrite < Hletin;apply (H6 ? H7 H8 H9)
-                         |rewrite > H9;rewrite > H10;elim l1;simplify
-                            [constructor 1
-                            |elim (decidable_eq_bound (mk_bound true n U) t2)
-                               [rewrite > H12;apply in_Base
-                               |apply (in_Skip ? ? ? ? ? H12);assumption]]]]]
-                |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
-                   [rewrite > H9 in H4;
-                    apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H4);
-                    unfold;intro;apply H10;symmetry;assumption
-                   |apply (H6 ? H7 H8 H9)]]
-             |apply SA_Arrow
-                [apply (H5 ? H8 H9 H10)
-                |apply (H7 ? H8 H9 H10)]
-             |apply SA_All
-                [apply (H5 ? H8 H9 H10)
-                |intros;apply (H7 ? ? (mk_bound true X1 t2::l1) H8)
-                   [rewrite > H10;cut ((fv_env (l1@(mk_bound true X P::G1))) =
-                                       (fv_env (l1@(mk_bound true X U::G1))))
-                      [unfold;intro;apply H11;rewrite > Hcut2;assumption
-                      |elim l1
-                         [simplify;reflexivity
-                         |elim t4;simplify;rewrite > H12;reflexivity]]
-                   |simplify;apply (incl_nat_cons ? ? ? H9)
-                   |simplify;rewrite < H10;reflexivity]]]
-          |cut ((fv_env (G2@(mk_bound true X U::G1))) =
-                (fv_env (G2@(mk_bound true X P::G1))))
-             [rewrite > Hcut1;unfold;intros;assumption
-             |elim G2
-                [simplify;reflexivity
-                |elim t;simplify;rewrite > H4;reflexivity]]]]]
-  |intros 4;generalize in match H;elim H1
-     [inversion H5
-        [intros;rewrite < H8;apply (SA_Top ? ? H2 H3)
-        |intros;destruct H9
-        |intros;destruct H10
-        |*:intros;destruct H11]
-     |assumption
-     |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H2);apply (H4 H5 H6)
-     |inversion H7
-        [intros;apply (SA_Top ? ? H8);rewrite < H10;apply WFT_Arrow
-           [apply (JS_to_WFT2 ? ? ? H2)
-           |apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H4)]
-        |intros;destruct H11
-        |intros;destruct H12
-        |intros;destruct H13;apply SA_Arrow
-              [rewrite > H12 in H2;rewrite < Hcut in H8;
-               lapply (H6 t2)
-                 [elim Hletin;apply (H15 ? ? ? H8 H2)
-                 |apply (t_len_arrow1 t2 t3)]
-              |rewrite > H12 in H4;rewrite < Hcut1 in H10;
-               lapply (H6 t3)
-                 [elim Hletin;apply (H15 ? ? ? H4 H10)
-                 |apply (t_len_arrow2 t2 t3)]]
-           |intros;destruct H13]
-     |inversion H7
-        [intros;apply (SA_Top ? ? H8);rewrite < H10;apply WFT_Forall
-           [apply (JS_to_WFT2 ? ? ? H2)
-           |intros;lapply (H4 ? H13);lapply (JS_to_WFT1 ? ? ? Hletin);
-            apply (WFT_env_incl ? ? Hletin1);simplify;unfold;intros;
-            assumption]
-        |intros;destruct H11
-        |intros;destruct H12
-        |intros;destruct H13
-        |intros;destruct H13;subst;apply SA_All
-           [lapply (H6 t4)
-              [elim Hletin;apply (H12 ? ? ? H8 H2)
-              |apply t_len_forall1]
-           |intros;(*destruct H12;*)subst;
-            lapply (H6 (subst_type_nat t5 (TFree X) O))
-              [elim Hletin;apply H13
-                 [lapply (H6 t4)
-                    [elim Hletin1;apply (H16 l1 [] X t6);
-                       [simplify;apply H4;assumption
-                       |assumption]
-                    |apply t_len_forall1]
-                 |apply (H10 ? H12)]
-              |rewrite < eq_t_len_TFree_subst;
-               apply t_len_forall2]]]]]
+lemma JS_trans_prova: ∀T,G1.WFType G1 T →
+∀G,R,U.incl ? (fv_env G1) (fv_env G) → G ⊢ R ⊴ T → G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ R ⊴ U.
+intros 3;elim H;clear H
+  [apply (JS_trans_TFree ? ? ? H3 ? H4)
+  |rewrite > (JSubtype_Top ? ? H3);apply SA_Top;autobatch
+  |cut (∃T.T = Arrow t t1) as Htriv
+     [elim Htriv;clear Htriv;rewrite < H in H6;rewrite < H in H7;
+      generalize in match H7;generalize in match H4;generalize in match H2;
+      generalize in match H5;generalize in match H;clear H7 H4 H2 H5 H;elim H6
+        [1,2:destruct H4
+        |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H);apply (H4 H5 H7 H8 H9);assumption
+        |inversion H11;intros
+           [apply SA_Top;rewrite < H14;autobatch
+           |destruct H15
+           |destruct H16
+           |destruct H17;apply SA_Arrow;rewrite < H16;destruct H7
+              [apply H9
+                 [autobatch
+                 |rewrite < Hcut2;rewrite > Hcut;rewrite > H16;assumption
+                 |rewrite < Hcut2;assumption]
+              |apply H10
+                 [autobatch
+                 |rewrite < Hcut3;rewrite < Hcut1;rewrite < H16;assumption
+                 |rewrite > H16;rewrite < Hcut3;rewrite > Hcut1;assumption]]
+           |destruct H17]
+        |destruct H7]
+     |apply (ex_intro ? ? (Arrow t t1));reflexivity]
+  |cut (∃T.T = Forall t t1) as Htriv
+     [elim Htriv;clear Htriv;rewrite < H in H7;rewrite < H in H6.
+      generalize in match H7;generalize in match H4;generalize in match H2;
+      generalize in match H5;generalize in match H;clear H7 H4 H2 H5 H;
+      elim H6
+        [1,2:destruct H4
+        |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H);apply (H4 H5 H7 H8 H9 H10)
+        |destruct H7
+        |inversion H11;intros
+           [apply SA_Top
+              [assumption
+              |rewrite < H14;apply WFT_Forall
+                 [autobatch
+                 |intros;lapply (H4 ? H17);autobatch]]
+           |destruct H15
+           |destruct H16
+           |destruct H17
+           |destruct H17;apply SA_All;destruct H7
+              [rewrite < H16;apply H9;
+                 [autobatch
+                 |rewrite < Hcut2;rewrite > Hcut;rewrite > H16;assumption
+                 |rewrite < Hcut2. assumption]
+              |intros;apply (H10 X)
+                 [intro;apply H19;rewrite < H16;apply H8;assumption
+                 |intro;apply H19;rewrite < H16;apply H8;
+                  apply (WFT_to_incl ? ? ? H3);assumption
+                 |simplify;apply incl_cons;rewrite < H16;assumption
+                 |apply (narrowing X ((mk_bound true X t6)::l2) 
+                            ? ? ? ? ? H12 ? ? [])
+                    [intros;apply H9
+                       [unfold;intros;lapply (H8 ? H21);rewrite < H16;
+                        rewrite > fv_append;autobatch
+                       |rewrite < Hcut2;rewrite > Hcut;
+                        apply (JS_weakening ? ? ? H12)
+                          [autobatch
+                          |unfold;intros;autobatch]
+                       |rewrite < Hcut2;rewrite > Hcut;assumption]
+                    |rewrite < Hcut;rewrite < Hcut3;rewrite < H16;apply H4;
+                     rewrite > H16;assumption
+                    |reflexivity]
+                 |rewrite < Hcut3;rewrite > Hcut1;apply H14;assumption]]]]
+     |apply (ex_intro ? ? (Forall t t1));reflexivity]]
 qed.
 
-theorem JS_trans : \forall G,T,U,V.(JSubtype G T U) \to 
-                                   (JSubtype G U V) \to
-                                   (JSubtype G T V).
-intros;elim JS_trans_narrow;autobatch;
+theorem JS_trans : ∀G,T,U,V.G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ U ⊴ V → G ⊢ T ⊴ V.
+intros 5;apply (JS_trans_prova ? G);autobatch;
 qed.
 
-theorem JS_narrow : \forall G1,G2,X,P,Q,T,U.
-                       (JSubtype (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) T U) \to
-                       (JSubtype G1 P Q) \to
-                       (JSubtype (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) T U).
-intros;elim JS_trans_narrow;autobatch;
+theorem JS_narrow : ∀G1,G2,X,P,Q,T,U.
+                       (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) ⊢ T ⊴ U → G1 ⊢ P ⊴ Q →
+                       (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) ⊢ T ⊴ U.
+intros;apply (narrowing ? ? ? ? ? ? ? H1 ? H) [|autobatch]
+intros;apply (JS_trans ? ? ? ? ? H2);apply (JS_weakening ? ? ? H1);
+     [autobatch|unfold;intros;autobatch]
 qed.
index 5446efe56d8ee05bc78eb819ae037d5cc7e753e9..ac93f8ccf34d87a34db374802bcb18afe4ab2751 100644 (file)
@@ -45,7 +45,7 @@ qed.
 
 inductive in_list (A:Type): A → (list A) → Prop ≝
 | in_Base : ∀ x,l.(in_list A x (x::l))
-| in_Skip : ∀ x,y,l.(in_list A x l) → (x ≠ y) → (in_list A x (y::l)).
+| in_Skip : ∀ x,y,l.(in_list A x l) → (in_list A x (y::l)).
 
 notation > "hvbox(x ∈ l)"
   non associative with precedence 30 for @{ 'inlist $x $l }.
@@ -54,12 +54,6 @@ notation < "hvbox(x \nbsp ∈ \nbsp l)"
 interpretation "item in list" 'inlist x l =
   (cic:/matita/Fsub/util/in_list.ind#xpointer(1/1) _ x l).
 
-lemma in_Skip2 : ∀x,y,l.(in_list nat x l) → (in_list nat x (y::l)).
-intros;elim (decidable_eq_nat x y)
-  [rewrite > H1;apply in_Base
-  |apply (in_Skip ? ? ? ? H H1)]
-qed.
-
 definition incl : \forall A.(list A) \to (list A) \to Prop \def
   \lambda A,l,m.\forall x.(in_list A x l) \to (in_list A x m).               
               
@@ -74,17 +68,70 @@ definition map : \forall A,B,f.((list A) \to (list B)) \def
 lemma in_list_nil : \forall A,x.\lnot (in_list A x []).
 intros.unfold.intro.inversion H
   [intros;lapply (sym_eq ? ? ? H2);destruct Hletin
-  |intros;destruct H5]
+  |intros;destruct H4]
 qed.
 
-lemma in_cons_case : â\88\80A.â\88\80x,h:A.â\88\80t:list A.x â\88\88 h::t â\86\92 x = h â\88¨ (x â\89  h â\88§ (x â\88\88 t)).
+lemma in_cons_case : â\88\80A.â\88\80x,h:A.â\88\80t:list A.x â\88\88 h::t â\86\92 x = h â\88¨ (x â\88\88 t).
 intros;inversion H;intros
   [destruct H2;left;symmetry;assumption
-  |destruct H5;right;split [rewrite > Hcut|rewrite > Hcut1] assumption ]
+  |destruct H4;right;applyS H1]
+qed.
+
+lemma append_nil:\forall A:Type.\forall l:list A. l@[]=l.
+intros.
+elim l;intros;autobatch.
+qed.
+
+lemma append_cons:\forall A.\forall a:A.\forall l,l1. 
+l@(a::l1)=(l@[a])@l1.
+intros.
+rewrite > associative_append.
+reflexivity.
+qed.
+
+lemma in_list_append1: \forall A.\forall x:A.
+\forall l1,l2. x \in l1 \to x \in l1@l2.
+intros.
+elim H
+  [simplify.apply in_Base
+  |simplify.apply in_Skip.assumption
+  ]
+qed.
+
+lemma in_list_append2: \forall A.\forall x:A.
+\forall l1,l2. x \in l2 \to x \in l1@l2.
+intros 3.
+elim l1
+  [simplify.assumption
+  |simplify.apply in_Skip.apply H.assumption
+  ]
+qed.
+
+theorem append_to_or_in_list: \forall A:Type.\forall x:A.
+\forall l,l1. x \in l@l1 \to (x \in l) \lor (x \in l1).
+intros 3.
+elim l
+  [right.apply H
+  |simplify in H1.inversion H1;intros
+    [destruct H3.left.rewrite < Hcut.
+     apply in_Base
+    |destruct H5.
+     elim (H l2)
+      [left.apply in_Skip.
+       rewrite < H4.assumption
+      |right.rewrite < H4.assumption
+      |rewrite > Hcut1.rewrite > H4.assumption
+      ]
+    ]
+  ]
 qed.
 
 lemma max_case : \forall m,n.(max m n) = match (leb m n) with
       [ false \Rightarrow n
       | true \Rightarrow m ].
 intros;elim m;simplify;reflexivity;
+qed.
+
+lemma incl_A_A: ∀T,A.incl T A A.
+intros.unfold incl.intros.assumption.
 qed.
\ No newline at end of file