]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/commitdiff
Proof of Euler theorem.
authorAndrea Asperti <andrea.asperti@unibo.it>
Mon, 18 Dec 2006 10:09:01 +0000 (10:09 +0000)
committerAndrea Asperti <andrea.asperti@unibo.it>
Mon, 18 Dec 2006 10:09:01 +0000 (10:09 +0000)
helm/software/matita/library/nat/euler_theorem.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/nat/gcd.ma
helm/software/matita/library/nat/iteration.ma [new file with mode: 0644]
helm/software/matita/library/nat/permutation.ma

diff --git a/helm/software/matita/library/nat/euler_theorem.ma b/helm/software/matita/library/nat/euler_theorem.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..0655fb9
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,389 @@
+(**************************************************************************)
+(*       __                                                               *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
+(*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+set "baseuri" "cic:/matita/nat/euler_theorem".
+
+include "nat/iteration.ma".
+include "nat/totient.ma".
+
+(* da spostare *)
+lemma le_to_le_to_eq: \forall n,m. n \le m \to m \le n \to n = m.
+apply nat_elim2
+  [intros.apply le_n_O_to_eq.assumption
+  |intros.apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.assumption
+  |intros.apply eq_f.apply H
+    [apply le_S_S_to_le.assumption
+    |apply le_S_S_to_le.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+lemma gcd_n_n: \forall n.gcd n n = n.
+intro.elim n
+  [reflexivity
+  |apply le_to_le_to_eq
+    [apply divides_to_le
+      [apply lt_O_S
+      |apply divides_gcd_n
+      ]
+    |apply divides_to_le
+      [apply lt_O_gcd.apply lt_O_S
+      |apply divides_d_gcd
+        [apply divides_n_n|apply divides_n_n]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+
+lemma count_card: \forall p.\forall n.
+p O = false \to count (S n) p = card n p.
+intros.elim n
+  [simplify.rewrite > H. reflexivity
+  |simplify.
+   rewrite < plus_n_O.
+   apply eq_f.assumption
+  ]
+qed.
+
+lemma count_card1: \forall p.\forall n.
+p O = false \to p n = false \to count n p = card n p.
+intros 3.apply (nat_case n)
+  [intro.simplify.rewrite > H. reflexivity
+  |intros.rewrite > (count_card ? ? H).
+   simplify.rewrite > H1.reflexivity
+  ]
+qed.
+lemma totient_card: \forall n. 
+totient n = card n (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)).
+intro.apply (nat_case n)
+  [reflexivity
+  |intro.apply (nat_case m)
+    [reflexivity
+    |intro.apply count_card1
+      [reflexivity
+      |rewrite > gcd_n_n.reflexivity
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+(* da spostare *)
+lemma gcd_n_times_nm: \forall n,m. O < m \to gcd n (n*m) = n.
+intro.apply (nat_case n)
+  [intros.reflexivity
+  |intros.
+   apply le_to_le_to_eq
+    [apply divides_to_le
+      [apply lt_O_S|apply divides_gcd_n]
+    |apply divides_to_le
+      [apply lt_O_gcd.rewrite > (times_n_O O).
+       apply lt_times[apply lt_O_S|assumption]
+      |apply divides_d_gcd
+        [apply (witness ? ? m1).reflexivity
+        |apply divides_n_n
+        ]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+(* da spostare *)
+lemma eq_gcd_SO_to_not_divides: \forall n,m. (S O) < n \to 
+(gcd n m) = (S O) \to \lnot (divides n m).
+intros.unfold.intro.
+elim H2.
+generalize in match H1.
+rewrite > H3.
+intro.
+cut (O < n2)
+  [elim (gcd_times_SO_to_gcd_SO n n n2 ? ? H4)
+    [cut (gcd n (n*n2) = n)
+      [apply (lt_to_not_eq (S O) n)
+        [assumption|rewrite < H4.assumption]
+      |apply gcd_n_times_nm.assumption
+      ]
+    |apply (trans_lt ? (S O))[apply le_n|assumption]
+    |assumption
+    ]
+  |elim (le_to_or_lt_eq O n2 (le_O_n n2))
+    [assumption
+    |apply False_ind.
+     apply (le_to_not_lt n (S O))
+      [rewrite < H4.
+       apply divides_to_le
+        [rewrite > H4.apply lt_O_S
+        |apply divides_d_gcd
+          [apply (witness ? ? n2).reflexivity
+          |apply divides_n_n
+          ]
+        ]
+      |assumption
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem gcd_Pi_P: \forall n,k. O < k \to k \le n \to
+gcd n (Pi_P (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)) k) = (S O).
+intros 3.elim H
+  [rewrite > Pi_P_S.
+   cut (eqb (gcd (S O) n) (S O) = true)
+    [rewrite > Hcut.
+     change with ((gcd n (S O)) = (S O)).auto
+    |apply eq_to_eqb_true.auto
+    ]
+  |rewrite > Pi_P_S.
+   apply eqb_elim
+    [intro.
+     change with 
+       ((gcd n ((S n1)*(Pi_P (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)) n1))) = (S O)).
+     apply eq_gcd_times_SO
+      [unfold.apply le_S.assumption
+      |apply lt_O_Pi_P.
+      |rewrite > sym_gcd. assumption.
+      |apply H2.
+       apply (trans_le ? (S n1))[apply le_n_Sn|assumption]
+      ]
+    |intro.
+     change with 
+       (gcd n (Pi_P (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)) n1) = (S O)).
+     apply H2.
+     apply (trans_le ? (S n1))[apply le_n_Sn|assumption]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem congruent_map_iter_P_times:\forall f:nat \to nat. \forall a,n:nat.
+O < a \to
+congruent
+(map_iter_P n (\lambda i.eqb (gcd i a) (S O)) (\lambda x.f x) (S O) times)
+(map_iter_P n (\lambda i.eqb (gcd i a) (S O)) 
+ (\lambda x.f x \mod a) (S O) times) a.     
+intros.
+elim n
+  [rewrite > map_iter_P_O.
+   apply (congruent_n_n ? a)
+  |apply (eqb_elim (gcd (S n1) a) (S O))
+    [intro.
+     rewrite > map_iter_P_S_true
+      [rewrite > map_iter_P_S_true
+        [apply congruent_times
+          [assumption
+          |apply congruent_n_mod_n.assumption
+          |assumption
+          ]
+        |apply eq_to_eqb_true.assumption
+        ]
+      |apply eq_to_eqb_true.assumption
+      ]
+    |intro. 
+     rewrite > map_iter_P_S_false
+      [rewrite > map_iter_P_S_false
+        [assumption
+        |apply not_eq_to_eqb_false.assumption
+        ]
+      |apply not_eq_to_eqb_false.assumption
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem lt_S_to_lt: \forall n,m. S n < m \to n < m.
+intros.
+apply (trans_lt ? (S n))
+  [apply le_n|assumption]
+qed.
+
+theorem gcd_SO_to_lt_O: \forall i,n. (S O) < n \to gcd i n = (S O) \to
+O < i.
+intros.
+elim (le_to_or_lt_eq ? ? (le_O_n i))
+  [assumption
+  |absurd ((gcd i n) = (S O))
+    [assumption
+    |rewrite < H2.
+     simplify.
+     unfold.intro.
+     apply (lt_to_not_eq (S O) n H).
+     apply sym_eq.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem gcd_SO_to_lt_n: \forall i,n. (S O) < n \to i \le n \to gcd i n = (S O) \to
+i < n.
+intros.
+elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1)
+  [assumption
+  |absurd ((gcd i n) = (S O))
+    [assumption
+    |rewrite > H3.
+     rewrite > gcd_n_n.
+     unfold.intro.
+     apply (lt_to_not_eq (S O) n H).
+     apply sym_eq.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem permut_p_mod: \forall a,n. S O < n \to O < a \to gcd a n = (S O) \to
+permut_p (\lambda x:nat.a*x \mod n) (\lambda i:nat.eqb (gcd i n) (S O)) n.
+intros.
+lapply (lt_S_to_lt ? ? H) as H3.
+unfold permut_p.
+simplify.
+intros.
+split
+  [split
+    [apply lt_to_le.
+     apply lt_mod_m_m.
+     assumption
+    |rewrite > sym_gcd.
+     rewrite > gcd_mod
+      [apply eq_to_eqb_true.
+       rewrite > sym_gcd.
+       apply eq_gcd_times_SO
+        [assumption
+        |apply (gcd_SO_to_lt_O i n H).
+         apply eqb_true_to_eq.
+         assumption
+        |rewrite > sym_gcd.assumption
+        |rewrite > sym_gcd.apply eqb_true_to_eq.
+         assumption
+        ]
+      |assumption
+      ]
+    ]
+  |intros.
+   lapply (gcd_SO_to_lt_n ? ? H H4 (eqb_true_to_eq ? ? H5)) as H9.
+   lapply (gcd_SO_to_lt_n ? ? H H7 (eqb_true_to_eq ? ? H6)) as H10.
+   lapply (gcd_SO_to_lt_O ? ? H (eqb_true_to_eq ? ? H5)) as H11.
+   lapply (gcd_SO_to_lt_O ? ? H (eqb_true_to_eq ? ? H6)) as H12.
+   unfold Not.intro.
+   apply H8.
+   apply (nat_compare_elim i j)
+    [intro.
+     absurd (j < n)
+      [assumption
+      |apply le_to_not_lt.
+       apply (trans_le ? (j -i))
+        [apply divides_to_le
+          [(*fattorizzare*)
+           apply (lt_plus_to_lt_l i).
+           simplify.
+           rewrite < (plus_minus_m_m)
+            [assumption|apply lt_to_le.assumption]
+          |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides a)
+            [assumption
+            |rewrite > sym_gcd.assumption
+            |apply mod_O_to_divides
+              [assumption
+              |rewrite > distr_times_minus.
+               auto
+              ]
+            ]
+          ]
+        |auto
+        ]
+      ]
+    |intro.assumption
+    |intro.
+     absurd (i < n)
+      [assumption
+      |apply le_to_not_lt.
+       apply (trans_le ? (i -j))
+        [apply divides_to_le
+          [(*fattorizzare*)
+           apply (lt_plus_to_lt_l j).
+           simplify.
+           rewrite < (plus_minus_m_m)
+            [assumption|apply lt_to_le.assumption]
+          |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides a)
+            [assumption
+            |rewrite > sym_gcd.assumption
+            |apply mod_O_to_divides
+              [assumption
+              |rewrite > distr_times_minus.
+               auto
+              ]
+            ]
+          ]
+        |auto
+        ]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem congruent_exp_totient_SO: \forall n,a:nat. (S O) < n \to
+gcd a n = (S O) \to congruent (exp a (totient n)) (S O) n. 
+intros.
+cut (O < a)
+  [apply divides_to_congruent
+    [apply (trans_lt ? (S O)).apply lt_O_S. assumption
+    |change with (O < exp a (totient n)).apply lt_O_exp.assumption
+    |apply (gcd_SO_to_divides_times_to_divides (Pi_P (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)) n))
+      [apply (trans_lt ? (S O)).apply lt_O_S. assumption
+      |apply gcd_Pi_P
+        [apply (trans_lt ? (S O)).apply lt_O_S. assumption
+        |apply le_n
+        ]
+      |rewrite < sym_times.
+       rewrite > times_minus_l.
+       rewrite > (sym_times (S O)).
+       rewrite < times_n_SO.
+       rewrite > totient_card.
+       rewrite > a_times_Pi_P.
+       apply congruent_to_divides
+        [apply (trans_lt ? (S O)).apply lt_O_S. assumption
+        | apply (transitive_congruent n ? 
+                 (map_iter_P n (\lambda i.eqb (gcd i n) (S O)) (\lambda x.a*x \mod n) (S O) times))
+          [apply (congruent_map_iter_P_times ? n n).
+           apply (trans_lt ? (S O))
+            [apply lt_O_S|assumption]
+            |unfold Pi_P.
+             cut ( (map_iter_P n (\lambda i:nat.eqb (gcd i n) (S O)) (\lambda n:nat.n) (S O) times)
+                 = (map_iter_P n (\lambda i:nat.eqb (gcd i n) (S O)) (\lambda x:nat.a*x\mod n) (S O) times))
+              [rewrite < Hcut1.apply congruent_n_n
+              |apply (eq_map_iter_p_permut ? ? ? ? ? (λm.m))
+                [apply assoc_times
+                |apply sym_times
+                |apply (permut_p_mod ? ? H Hcut H1)
+                |simplify.
+                 apply not_eq_to_eqb_false.
+                 unfold.intro.
+                 apply (lt_to_not_eq (S O) n)
+                  [assumption|apply sym_eq.assumption]
+                ]
+              ]
+            ]
+          ]
+        ]
+      ] 
+    |elim (le_to_or_lt_eq O a (le_O_n a)) 
+      [assumption
+      |absurd (gcd a n = S O)
+        [assumption
+        |rewrite < H2.
+         simplify.
+         unfold.intro.
+         apply (lt_to_not_eq (S O) n)
+          [assumption|apply sym_eq.assumption] 
+        ]
+      ]     
+    ]       
+qed.  
+     
\ No newline at end of file
index 66bc6f8651565e43880cd73bdd222280cca9121f..cb29da2f87aa67edaf100a3b2533db05e82e1dde 100644 (file)
@@ -603,3 +603,34 @@ apply lt_O_gcd.
 rewrite > (times_n_O O).
 apply lt_times.assumption.assumption.
 qed.
+
+theorem gcd_SO_to_divides_times_to_divides: \forall m,n,p:nat. O < n \to
+gcd n m = (S O) \to n \divides (m*p) \to n \divides p.
+intros.
+cut (n \divides p \lor n \ndivides p)
+  [elim Hcut
+    [assumption
+    |cut (\exists a,b. a*n - b*m = (S O) \lor b*m - a*n = (S O))
+      [elim Hcut1.elim H4.elim H5         
+        [(* first case *)
+          rewrite > (times_n_SO p).rewrite < H6.
+          rewrite > distr_times_minus.
+          rewrite > (sym_times p (a1*m)).
+          rewrite > (assoc_times a1).
+          elim H2.
+          applyS (witness n ? ? (refl_eq ? ?)) (* timeout=50 *).
+         |(* second case *)
+          rewrite > (times_n_SO p).rewrite < H6.
+          rewrite > distr_times_minus.
+          rewrite > (sym_times p (a1*m)).
+          rewrite > (assoc_times a1).
+          elim H2.
+          applyS (witness n ? ? (refl_eq ? ?)).
+        ](* end second case *)
+     |rewrite < H1.apply eq_minus_gcd.
+     ]
+   ]
+ |apply (decidable_divides n p).
+  assumption.
+ ]
+qed.
\ No newline at end of file
diff --git a/helm/software/matita/library/nat/iteration.ma b/helm/software/matita/library/nat/iteration.ma
new file mode 100644 (file)
index 0000000..404cbbd
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,904 @@
+(**************************************************************************)
+(*       ___                                                             *)
+(*      ||M||                                                             *)
+(*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
+(*      ||T||                                                             *)
+(*      ||I||       Developers:                                           *)
+(*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
+(*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
+(*      \   /                                                             *)
+(*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
+(*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
+(*                                                                        *)
+(**************************************************************************)
+
+set "baseuri" "cic:/matita/nat/iteration.ma".
+
+include "nat/permutation.ma".
+include "nat/count.ma".
+
+lemma le_to_le_to_eq: \forall n,m. n \le m \to m \le n \to n = m.
+apply nat_elim2
+  [intros.apply le_n_O_to_eq.assumption
+  |intros.apply sym_eq.apply le_n_O_to_eq.assumption
+  |intros.apply eq_f.apply H
+    [apply le_S_S_to_le.assumption
+    |apply le_S_S_to_le.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+let rec map_iter_P n p (g:nat \to nat) (a:nat) f \def
+  match n with
+   [ O \Rightarrow a
+   | (S k) \Rightarrow 
+      match p (S k) with
+      [true \Rightarrow f (g (S k)) (map_iter_P k p g a f)
+      |false \Rightarrow map_iter_P k p g a f]
+   ].
+
+theorem eq_map_iter_P: \forall g1,g2:nat \to nat.
+\forall p:nat \to bool.
+\forall f:nat \to nat \to nat. \forall a,n:nat.
+(\forall m:nat. m \le n \to g1 m = g2 m) \to 
+map_iter_P n p g1 a f = map_iter_P n p g2 a f.
+intros 6.elim n
+  [simplify.reflexivity.
+  |simplify.elim (p (S n1))
+    [simplify.apply eq_f2
+      [apply H1.apply le_n
+      |simplify.apply H.intros.apply H1.
+       apply le_S.assumption
+      ]
+    |simplify.apply H.intros.apply H1.
+     apply le_S.assumption
+    ]
+ ]
+qed.
+
+(* useful since simply simpifies too much *)
+
+theorem map_iter_P_O: \forall p.\forall g.\forall f. \forall a:nat.
+map_iter_P O p g a f = a.
+intros.simplify.reflexivity.
+qed.
+
+theorem map_iter_P_S_true: \forall p.\forall g.\forall f. \forall a,n:nat.
+p (S n) = true \to 
+map_iter_P (S n) p g a f = f (g (S n)) (map_iter_P n p g a f).
+intros.simplify.rewrite > H.reflexivity.
+qed.
+
+theorem map_iter_P_S_false: \forall p.\forall g.\forall f. \forall a,n:nat.
+p (S n) = false \to 
+map_iter_P (S n) p g a f = map_iter_P n p g a f.
+intros.simplify.rewrite > H.reflexivity.
+qed.
+
+(* map_iter examples *)
+definition Pi_P \def \lambda p. \lambda n.
+map_iter_P n p (\lambda n.n) (S O) times.
+
+lemma Pi_P_S: \forall n.\forall p.
+Pi_P p (S n) = 
+  match p (S n) with
+    [true \Rightarrow (S n)*(Pi_P p n)
+    |false \Rightarrow (Pi_P p n)
+    ].
+intros.reflexivity.
+qed.
+
+lemma lt_O_Pi_P: \forall n.\forall p.
+O < Pi_P p n.
+intros.elim n
+  [simplify.apply le_n
+  |rewrite > Pi_P_S.
+   elim p (S n1)
+    [change with (O < (S n1)*(Pi_P p n1)).
+     rewrite >(times_n_O n1).
+     apply lt_times[apply le_n|assumption]
+    | assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+let rec card n p \def 
+  match n with
+  [O \Rightarrow O
+  |(S m) \Rightarrow 
+      (bool_to_nat (p (S m))) + (card m p)].
+lemma a_times_Pi_P: \forall p. \forall a,n.
+exp a (card n p) * Pi_P p n = map_iter_P n p (\lambda n.a*n) (S O) times.
+intros.elim n
+  [simplify.reflexivity
+  |simplify.apply (bool_elim ? (p (S n1)))
+    [intro.
+     change with 
+      (a*exp a (card n1 p) * ((S n1) * (Pi_P p n1)) = 
+       a*(S n1)*map_iter_P n1 p (\lambda n.a*n) (S O) times).
+       rewrite < H.
+       auto
+    |intro.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+definition permut_p \def \lambda f. \lambda p:nat\to bool. \lambda n.
+\forall i. i \le n \to p i = true \to ((f i \le n \land p (f i) = true)
+\land (\forall j. p j = true \to j \le n \to i \neq j \to (f i \neq f j))).
+
+definition extentional_eq_n \def \lambda f,g:nat \to nat.\lambda n.
+\forall x. x \le n \to f x = g x.
+
+lemma extentional_eq_n_to_permut_p: \forall f,g. \forall p. \forall n. 
+extentional_eq_n f g n\to permut_p f p n \to permut_p g p n.
+intros.unfold permut_p.
+intros.
+elim (H1 i H2 H3).
+split
+  [elim H4.split
+    [rewrite < (H  i H2).assumption
+    |rewrite < (H  i H2).assumption
+    ]
+  |intros.
+   unfold.intro.apply (H5 j H6 H7 H8).
+     rewrite > (H  i H2).
+     rewrite > (H  j H7).assumption
+  ]
+qed.
+
+theorem permut_p_compose: \forall f,g.\forall p.\forall n.
+permut_p f p n \to permut_p g p n \to permut_p (compose  ? ? ? g f) p n.
+intros.unfold permut_p.intros.
+elim (H i H2 H3).
+elim H4.
+elim (H1 (f i) H6 H7).
+elim H8.
+split
+  [split
+    [unfold compose.assumption
+    |unfold compose.rewrite < H11.reflexivity
+    ]
+  |intros.
+   unfold compose.
+   apply (H9 (f j))
+    [elim (H j H13 H12).elim H15.rewrite < H18.reflexivity
+    |elim (H j H13 H12).elim H15.assumption.
+    |apply (H5 j H12 H13 H14)
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem permut_p_S_to_permut_p: \forall f.\forall p.\forall n.
+permut_p f p (S n) \to (f (S n)) = (S n) \to permut_p f p n.
+intros.
+unfold permut_p.
+intros.
+split
+  [elim (H i (le_S i n H2) H3).split
+    [elim H4.
+     elim (le_to_or_lt_eq (f i) (S n))
+      [apply le_S_S_to_le.assumption
+      |absurd (f i = (S n))
+        [assumption
+        |rewrite < H1.
+         apply H5
+          [rewrite < H8.assumption
+          |apply le_n
+          |unfold.intro.rewrite > H8 in H2.
+           apply (not_le_Sn_n n).rewrite < H9.assumption
+          ]   
+        ]
+      |assumption
+      ]
+    |elim H4.assumption
+    ]
+  |intros.
+   elim (H i (le_S i n H2) H3).
+   apply H8
+    [assumption|apply le_S.assumption|assumption]
+  ]
+qed.
+
+lemma permut_p_transpose: \forall p.\forall i,j,n.
+i \le n \to j \le n \to p i = p j \to
+permut_p (transpose i j) p n.
+unfold permut_p.intros.
+split
+  [split
+    [unfold transpose.
+     apply (eqb_elim i1 i)
+      [intro.
+       apply (eqb_elim i1 j)
+        [simplify.intro.assumption
+        |simplify.intro.assumption
+        ]
+      |intro.
+       apply (eqb_elim i1 j)
+        [simplify.intro.assumption
+        |simplify.intro.assumption
+        ]
+      ]
+    |unfold transpose.
+     apply (eqb_elim i1 i)
+      [intro.
+       apply (eqb_elim i1 j)
+        [simplify.intro.rewrite < H6.assumption
+        |simplify.intro.rewrite < H2.rewrite < H5.assumption
+        ]
+      |intro.
+       apply (eqb_elim i1 j)
+        [simplify.intro.rewrite > H2.rewrite < H6.assumption
+        |simplify.intro.assumption
+        ]
+      ]
+    ]
+  |intros.unfold Not.
+   intro.apply H7.
+   apply (injective_transpose ? ? ? ? H8).
+  ]
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_P_k: \forall f,g.\forall p.\forall a,k,n:nat.
+p (S n-k) = true \to (\forall i. (S n)-k < i \to i \le (S n) \to (p i) = false) \to
+map_iter_P (S n) p g a f = map_iter_P (S n-k) p g a f.
+intros 5.
+elim k 3
+  [rewrite < minus_n_O.reflexivity
+  |apply (nat_case n1)
+    [intros.
+     rewrite > map_iter_P_S_false
+      [reflexivity
+      |apply H2[simplify.apply lt_O_S.|apply le_n]
+      ]
+    |intros.
+     rewrite > map_iter_P_S_false
+      [rewrite > (H m H1)
+        [reflexivity
+        |intros.
+         apply (H2 i H3).
+         apply le_S.
+         assumption
+        ]
+      |apply H2[auto|apply le_n]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_p_a: \forall p.\forall f.\forall g. \forall a,n:nat. 
+(\forall i.i \le n \to p i = false) \to map_iter_P n p g a f = a.
+intros 5.
+elim n
+  [simplify.reflexivity
+  |rewrite > map_iter_P_S_false
+    [apply H.
+     intros.
+     apply H1.apply le_S.assumption
+    |apply H1.apply le_n
+    ]
+  ]
+qed.
+theorem eq_map_iter_p_transpose: \forall p.\forall f.associative nat f \to
+symmetric2 nat nat f \to \forall g. \forall a,k,n:nat. k < n \to
+(p (S n) = true) \to (p (n-k)) = true \to (\forall i. n-k < i \to i \le n \to (p i) = false)
+\to map_iter_P (S n) p g a f = map_iter_P (S n) p (\lambda m. g (transpose (n-k) (S n) m)) a f.
+intros 8.
+apply (nat_case n)
+  [intro.absurd (k < O)
+    [assumption|apply le_to_not_lt.apply le_O_n]
+  |intros.
+   rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H3).
+   rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H3).
+   rewrite > (eq_map_iter_P_k ? ? ? ? ? ? H4 H5).
+   rewrite > (eq_map_iter_P_k ? ? ? ? ? ? H4 H5).
+   generalize in match H4.
+   rewrite > minus_Sn_m
+    [intro.
+     rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H6).
+     rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H6).
+     rewrite > transpose_i_j_j.
+     rewrite > transpose_i_j_i.
+     cut (map_iter_P (m-k) p g a f =
+      map_iter_P (m-k) p (\lambda x.g (transpose (S(m-k)) (S(S m)) x)) a f)
+      [rewrite < Hcut.
+       rewrite < H.
+       rewrite < H1 in \vdash (? ? (? % ?) ?).
+       rewrite > H.
+       reflexivity
+      |apply eq_map_iter_P.
+       intros.unfold transpose.
+       cut (eqb m1 (S (m-k)) =false)
+        [cut (eqb m1 (S (S m)) =false)
+          [rewrite > Hcut.
+           rewrite > Hcut1.
+           reflexivity
+          |apply not_eq_to_eqb_false.
+           apply lt_to_not_eq.
+           apply (le_to_lt_to_lt ? m)
+            [apply (trans_le ? (m-k))
+              [assumption|auto]
+            |apply le_S.apply le_n
+            ]
+          ]
+        |apply not_eq_to_eqb_false.
+         apply lt_to_not_eq.
+         unfold.auto
+        ]
+      ]
+    |apply le_S_S_to_le.assumption
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_p_transpose1: \forall p.\forall f.associative nat f \to
+symmetric2 nat nat f \to \forall g. \forall a,k1,k2,n:nat. O < k1 \to k1 < k2 \to k2 \le n \to
+(p k1) = true \to (p k2) = true \to (\forall i. k1 < i \to i < k2 \to (p i) = false)
+\to map_iter_P n p g a f = map_iter_P n p (\lambda m. g (transpose k1 k2 m)) a f.
+intros 10.
+elim n 2
+  [absurd (k2 \le O)
+    [assumption|apply lt_to_not_le.apply (trans_lt ? k1 ? H2 H3)]
+  |apply (eqb_elim (S n1) k2)
+   [intro.
+    rewrite < H4.
+    intros.
+    cut (k1 = n1 - (n1 -k1))
+     [rewrite > Hcut.
+      apply (eq_map_iter_p_transpose p f H H1 g a (n1-k1))
+        [cut (k1 \le n1)[auto|auto]
+        |assumption
+        |rewrite < Hcut.assumption
+        |rewrite < Hcut.intros.
+         apply (H9 i H10).unfold.auto   
+       ]
+     |apply sym_eq.
+       apply plus_to_minus.
+       auto.
+     ]
+   |intros.
+     cut ((S n1) \neq k1)
+      [apply (bool_elim ? (p (S n1)))
+       [intro. 
+        rewrite > map_iter_P_S_true
+          [rewrite > map_iter_P_S_true
+            [cut ((transpose k1 k2 (S n1)) = (S n1))
+              [rewrite > Hcut1.
+               apply eq_f.
+               apply (H3 H5)
+                [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H6)
+                  [auto
+                  |absurd (S n1=k2)[apply sym_eq.assumption|assumption]
+                  ]
+                |assumption
+                |assumption
+                |assumption
+                ]
+              |unfold transpose.
+               rewrite > (not_eq_to_eqb_false ? ? Hcut).
+               rewrite > (not_eq_to_eqb_false ? ? H4).
+               reflexivity
+              ]
+            |assumption
+            ]
+          |assumption
+          ]
+        |intro.
+          rewrite > map_iter_P_S_false
+          [rewrite > map_iter_P_S_false
+            [apply (H3 H5)
+              [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H6)
+                [auto
+                |absurd (S n1=k2)[apply sym_eq.assumption|assumption]
+                ]
+              |assumption
+              |assumption
+              |assumption
+              ]
+            |assumption
+            ]
+          |assumption
+          ]
+        ]
+      |unfold.intro.
+       absurd (k1 < k2)
+        [assumption
+        |apply le_to_not_lt.
+         rewrite < H10.
+         assumption
+        ]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+lemma decidable_n:\forall p.\forall n.
+(\forall m. m \le n \to (p m) = false) \lor 
+(\exists m. m \le n \land (p m) = true \land 
+\forall i. m < i \to i \le n \to (p i) = false).
+intros.
+elim n
+  [apply (bool_elim ? (p O))
+    [intro.right.
+     apply (ex_intro ? ? O).
+     split
+      [split[apply le_n|assumption]
+      |intros.absurd (O<i)[assumption|apply le_to_not_lt.assumption]
+      ]
+    |intro.left.
+     intros.apply (le_n_O_elim m H1).assumption
+    ]
+  |apply (bool_elim ? (p (S n1)))
+    [intro.right.
+     apply (ex_intro ? ? (S n1)).
+     split
+      [split[apply le_n|assumption]
+      |intros.absurd (S n1<i)[assumption|apply le_to_not_lt.assumption]
+      ]
+    |elim H
+      [left.
+       intros.
+       elim (le_to_or_lt_eq m (S n1) H3)
+        [apply H1.apply le_S_S_to_le.assumption
+        |rewrite > H4.assumption
+        ]
+      |right.
+       elim H1.elim H3.elim H4.
+       apply (ex_intro ? ? a).
+       split
+        [split[apply le_S.assumption|assumption]
+        |intros.elim (le_to_or_lt_eq i (S n1) H9)
+          [apply H5[assumption|apply le_S_S_to_le.assumption]
+          |rewrite > H10.assumption
+          ]
+        ]
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+lemma decidable_n1:\forall p.\forall n,j. j \le n \to (p j)=true \to
+(\forall m. j < m \to m \le n \to (p m) = false) \lor 
+(\exists m. j < m \land m \le n \land (p m) = true \land 
+\forall i. m < i \to i \le n \to (p i) = false).
+intros.
+elim (decidable_n p n)
+  [absurd ((p j)=true)
+    [assumption
+    |unfold.intro.
+     apply not_eq_true_false.
+     rewrite < H3.
+     apply H2.assumption
+    ]
+  |elim H2.clear H2.
+   apply (nat_compare_elim j a)
+    [intro.
+     right.
+     apply (ex_intro ? ? a).
+     elim H3.clear H3.
+     elim H4.clear H4.
+     split
+      [split
+        [split
+          [assumption|assumption]
+        |assumption
+        ]
+      |assumption
+      ]
+    |intro.
+     rewrite > H2.
+     left.
+     elim H3 2.assumption
+    |intro.
+     absurd (p j = true)
+      [assumption
+      |unfold.intro.
+       apply not_eq_true_false.
+       rewrite < H4.
+       elim H3.clear H3.
+       apply (H6 j H2).assumption
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.    
+
+lemma decidable_n2:\forall p.\forall n,j. j \le n \to (p j)=true \to
+(\forall m. j < m \to m \le n \to (p m) = false) \lor 
+(\exists m. j < m \land m \le n \land (p m) = true \land 
+\forall i. j < i \to i < m \to (p i) = false).
+intros 3.
+elim n
+  [left.
+   apply (le_n_O_elim j H).intros.
+   absurd (m \le O)
+    [assumption|apply lt_to_not_le.assumption]
+  |elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1)
+    [cut (j \le n1)
+      [elim (H Hcut H2)
+        [apply (bool_elim ? (p (S n1)))
+          [intro.
+           right.
+           apply (ex_intro ? ? (S n1)).
+           split
+            [split
+              [split
+                [assumption|apply le_n]
+              |assumption
+              ]
+            |intros.
+             apply (H4 i H6).
+             apply le_S_S_to_le.
+             assumption
+            ]
+          |intro.
+           left.
+           intros.
+           elim (le_to_or_lt_eq ? ? H7)
+            [apply H4
+              [assumption|apply le_S_S_to_le.assumption]
+            |rewrite > H8.assumption
+            ]
+          ]
+        |right.
+         elim H4.clear H4.
+         elim H5.clear H5.
+         elim H4.clear H4.
+         elim H5.clear H5.
+         apply (ex_intro ? ? a).
+         split
+          [split
+            [split[assumption|apply le_S.assumption]
+            |assumption
+            ]
+          |assumption
+          ]
+        ]
+      |apply le_S_S_to_le.
+       assumption
+      ]
+    |left.
+     intros.
+     absurd (j < m)
+      [assumption
+      |apply le_to_not_lt.
+       rewrite > H3.
+       assumption
+      ]
+    ]
+  ]
+qed.
+
+(* tutti d spostare *)
+theorem lt_minus_to_lt_plus:
+\forall n,m,p. n - m < p \to n < m + p.
+intros 2.
+apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
+  [simplify.intros.auto.
+  |intros 2.rewrite < minus_n_O.
+   intro.assumption
+  |intros.
+   simplify.
+   cut (n1 < m1+p)
+    [auto
+    |apply H.
+     apply H1
+    ]
+  ]
+qed.
+
+theorem lt_plus_to_lt_minus:
+\forall n,m,p. m \le n \to n < m + p \to n - m < p.
+intros 2.
+apply (nat_elim2 ? ? ? ? n m)
+  [simplify.intros 3.
+   apply (le_n_O_elim ? H).
+   simplify.intros.assumption
+  |simplify.intros.assumption.
+  |intros.
+   simplify.
+   apply H
+    [apply le_S_S_to_le.assumption
+    |apply le_S_S_to_le.apply H2
+    ]
+  ]
+qed. 
+
+theorem minus_m_minus_mn: \forall n,m. n\le m \to n=m-(m-n).
+intros.
+apply sym_eq.
+apply plus_to_minus.
+auto.
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_p_transpose2: \forall p.\forall f.associative nat f \to
+symmetric2 nat nat f \to \forall g. \forall a,k,n:nat. O < k \to k \le n \to
+(p (S n) = true) \to (p k) = true 
+\to map_iter_P (S n) p g a f = map_iter_P (S n) p (\lambda m. g (transpose k (S n) m)) a f.
+intros 10.
+cut (k = (S n)-(S n -k))
+  [generalize in match H3.clear H3.
+   generalize in match g.
+   generalize in match H2.clear H2.
+   rewrite > Hcut.
+   (*generalize in match Hcut.clear Hcut.*)
+   (* generalize in match H3.clear H3.*)
+   (* something wrong here 
+     rewrite > Hcut in \vdash (?\rarr ?\rarr %). *)
+   apply (nat_elim1 (S n - k)).
+     intros.
+     elim (decidable_n2 p n (S n -m) H4 H6)
+      [apply (eq_map_iter_p_transpose1 p f H H1 f1 a)
+        [assumption.
+        |unfold.auto.
+        |apply le_n
+        |assumption
+        |assumption
+        |intros.apply H7
+          [assumption|apply le_S_S_to_le.assumption]
+        ]
+      |elim H7.clear H7.
+       elim H8.clear H8.
+       elim H7.clear H7.
+       elim H8.clear H8.
+       apply (trans_eq  ? ? 
+        (map_iter_P (S n) p (\lambda i.f1 (transpose a1 (S n) (transpose (S n -m) a1 i))) a f))
+        [apply (trans_eq  ? ? 
+         (map_iter_P (S n) p (\lambda i.f1 (transpose a1 (S n) i)) a f))
+          [cut (a1 = (S n -(S n -a1)))
+            [rewrite > Hcut1.
+             apply H2
+              [apply lt_plus_to_lt_minus
+                [apply le_S.assumption
+                |rewrite < sym_plus.
+                 apply lt_minus_to_lt_plus.
+                 assumption
+                ]
+              |rewrite < Hcut1.
+               apply (trans_lt ? (S n -m))[assumption|assumption]
+              |rewrite < Hcut1.assumption
+              |assumption
+              |rewrite < Hcut1.assumption
+              ]
+           |apply minus_m_minus_mn.
+            apply le_S.assumption
+           ]
+         |apply (eq_map_iter_p_transpose1 p f H H1)
+          [assumption
+          |assumption
+          |apply le_S.assumption
+          |assumption
+          |assumption
+          |assumption
+          ]
+        ]
+      |apply (trans_eq  ? ? 
+        (map_iter_P (S n) p (\lambda i.f1 (transpose a1 (S n) (transpose (S n -m) a1 (transpose (S n -(S n -a1)) (S n) i)))) a f)) 
+        [cut (a1 = (S n) -(S n -a1))
+          [apply H2 
+            [apply lt_plus_to_lt_minus
+              [apply le_S.assumption
+              |rewrite < sym_plus.
+               apply lt_minus_to_lt_plus.
+               assumption
+              ]
+            |rewrite < Hcut1.
+             apply (trans_lt ? (S n -m))[assumption|assumption]
+            |rewrite < Hcut1.assumption
+            |assumption
+            |rewrite < Hcut1.assumption
+            ]
+          |apply minus_m_minus_mn.
+           apply le_S.assumption
+          ]
+        |apply eq_map_iter_P.
+         cut (a1 = (S n) -(S n -a1))
+          [intros.
+           apply eq_f.
+           rewrite < Hcut1.
+           rewrite < transpose_i_j_j_i.
+           rewrite > (transpose_i_j_j_i (S n -m)).
+           rewrite > (transpose_i_j_j_i a1 (S n)).
+           rewrite > (transpose_i_j_j_i (S n -m)).
+           apply sym_eq.
+           apply eq_transpose
+            [unfold.intro.
+             apply (not_le_Sn_n n).
+             rewrite < H12.assumption
+            |unfold.intro.
+             apply (not_le_Sn_n n).
+             rewrite > H12.assumption
+            |unfold.intro.
+             apply (not_le_Sn_n a1).
+             rewrite < H12 in \vdash (? (? %) ?).assumption
+            ]
+          |apply minus_m_minus_mn.
+           apply le_S.assumption
+          ]
+        ]
+      ]
+    ]
+  |apply minus_m_minus_mn.
+   apply le_S.assumption
+  ]
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_p_transpose3: \forall p.\forall f.associative nat f \to
+symmetric2 nat nat f \to \forall g. \forall a,k,n:nat. O < k \to k \le (S n) \to
+(p (S n) = true) \to (p k) = true 
+\to map_iter_P (S n) p g a f = map_iter_P (S n) p (\lambda m. g (transpose k (S n) m)) a f.
+intros.
+elim (le_to_or_lt_eq ? ? H3)
+  [apply (eq_map_iter_p_transpose2 p f H H1 g a k n H2)
+    [apply le_S_S_to_le.assumption|assumption|assumption]
+  |rewrite > H6.
+   apply eq_map_iter_P.
+   intros.
+   apply eq_f.apply sym_eq. apply transpose_i_i. 
+  ]
+qed.
+
+lemma permut_p_O: \forall p.\forall h.\forall n.
+permut_p h p n \to p O = false \to \forall m. (S m) \le n \to p (S m) = true \to O < h(S m).
+intros.unfold permut_p in H.
+apply not_le_to_lt.unfold.intro.
+elim (H (S m) H2 H3).
+elim H5.
+absurd (p (h (S m)) = true)
+  [assumption
+  |apply (le_n_O_elim ? H4).
+   unfold.intro.
+   apply not_eq_true_false.
+   rewrite < H9.rewrite < H1.reflexivity
+  ]
+qed.
+
+theorem eq_map_iter_p_permut: \forall p.\forall f.associative nat f \to
+symmetric2 nat nat f \to \forall n.\forall g. \forall h.\forall a:nat.
+permut_p h p n \to p O = false \to
+map_iter_P n p g a f = map_iter_P n p (compose ? ? ? g h) a f .
+intros 5.
+elim n
+  [simplify.reflexivity 
+  |apply (bool_elim ? (p (S n1)))
+    [intro.
+     apply (trans_eq ? ? (map_iter_P (S n1) p (\lambda m.g ((transpose (h (S n1)) (S n1)) m)) a f))
+      [unfold permut_p in H3.
+       elim (H3 (S n1) (le_n ?) H5).
+       elim H6. clear H6.
+       apply (eq_map_iter_p_transpose3 p f H H1 g a (h(S n1)) n1)
+        [apply (permut_p_O ? ? ? H3 H4)
+          [apply le_n|assumption]
+        |assumption
+        |assumption
+        |assumption
+        ]
+      |apply (trans_eq ? ? (map_iter_P (S n1) p (\lambda m.
+        (g(transpose (h (S n1)) (S n1) 
+         (transpose (h (S n1)) (S n1) (h m)))) ) a f))
+        [rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H5).
+         rewrite > (map_iter_P_S_true ? ? ? ? ? H5).
+         apply eq_f2
+          [rewrite > transpose_i_j_j.
+           rewrite > transpose_i_j_i.
+           rewrite > transpose_i_j_j.
+           reflexivity
+          |apply (H2 (\lambda m.(g(transpose (h (S n1)) (S n1) m))) ?)
+            [unfold.intros.
+             split
+              [split
+                [simplify.
+                 unfold permut_p in H3.
+                 elim (H3 i (le_S ? ? H6) H7).
+                 elim H8. clear H8.
+                 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H10)
+                  [unfold transpose.
+                   rewrite > (not_eq_to_eqb_false ? ? (lt_to_not_eq ? ? H8)). 
+                   cut (h i \neq h (S n1))
+                    [rewrite > (not_eq_to_eqb_false ? ? Hcut). 
+                     simplify.
+                     apply le_S_S_to_le.
+                     assumption
+                    |apply H9
+                      [apply H5
+                      |apply le_n
+                      |apply lt_to_not_eq.
+                       unfold.apply le_S_S.assumption
+                      ]
+                    ]
+                  |rewrite > H8.
+                   apply (eqb_elim (S n1) (h (S n1)))
+                    [intro.
+                     absurd (h i = h (S n1))
+                      [rewrite > H8.
+                       assumption
+                      |apply H9
+                        [assumption
+                        |apply le_n
+                        |apply lt_to_not_eq.
+                         unfold.apply le_S_S.assumption
+                        ]
+                      ]
+                    |intro.
+                     unfold transpose.
+                     rewrite > (not_eq_to_eqb_false ? ? H12).
+                     rewrite > (eq_to_eqb_true ? ? (refl_eq ? (S n1))).
+                     simplify.
+                     elim (H3 (S n1) (le_n ? ) H5).
+                     elim H13.clear H13.
+                     elim (le_to_or_lt_eq ? ? H15)
+                      [apply le_S_S_to_le.assumption
+                      |apply False_ind.
+                       apply H12.
+                       apply sym_eq.assumption
+                      ]
+                    ]
+                  ]
+                |simplify.
+                 unfold permut_p in H3.
+                 unfold transpose.
+                 apply (eqb_elim (h i) (S n1))
+                  [intro.
+                   apply (eqb_elim (h i) (h (S n1)))
+                    [intro.simplify.assumption
+                    |intro.simplify.
+                     elim (H3 (S n1) (le_n ? ) H5).
+                     elim H10. assumption
+                    ]
+                  |intro.
+                   apply (eqb_elim (h i) (h (S n1)))
+                    [intro.simplify.assumption
+                    |intro.simplify.
+                     elim (H3 i (le_S ? ? H6) H7).
+                     elim H10. assumption
+                    ]
+                  ]
+                ]
+              |simplify.intros.unfold Not.intro.
+               unfold permut_p in H3.
+               elim (H3 i (le_S i ? H6) H7).
+               apply (H13 j H8 (le_S j ? H9) H10).
+               apply (injective_transpose ? ? ? ? H11)
+              ]
+            |assumption
+            ]
+          ]
+        |apply eq_map_iter_P.
+         intros.
+         rewrite > transpose_transpose.reflexivity
+        ]
+      ]
+  |intro.
+   rewrite > (map_iter_P_S_false ? ? ? ? ? H5).
+   rewrite > (map_iter_P_S_false ? ? ? ? ? H5).
+   apply H2
+    [unfold permut_p.
+     unfold permut_p in H3.
+     intros.
+     elim (H3 i (le_S i ? H6) H7).
+     elim H8.
+      split
+        [split
+          [elim (le_to_or_lt_eq ? ? H10)
+            [apply le_S_S_to_le.assumption
+            |absurd (p (h i) = true)
+              [assumption
+              |rewrite > H12.
+               rewrite > H5.
+               unfold.intro.apply not_eq_true_false.
+               apply sym_eq.assumption
+              ]
+            ]
+          |assumption
+          ]
+        |intros.
+         apply H9
+          [assumption|apply (le_S ? ? H13)|assumption]
+        ]
+      |assumption
+      ]
+    ]
+  ]           
+qed.
index 768e0bd6091c50c0b4bc93ff767b4820e978c2c3..209c0c12e2744783f644ac5c023b8e5c7bf0f62e 100644 (file)
@@ -694,42 +694,62 @@ theorem permut_to_eq_map_iter_i:\forall f:nat\to nat \to nat.associative nat f \
 symmetric2 nat nat f \to \forall k,n:nat.\forall g,h:nat \to nat.
 permut h (k+n) \to (\forall m:nat. m \lt n \to h m = m) \to
 map_iter_i k g f n = map_iter_i k (\lambda m.g(h m)) f n.
-intros 4.elim k.
-simplify.rewrite > (permut_n_to_eq_n h).reflexivity.assumption.assumption.
-apply (trans_eq ? ? (map_iter_i (S n) (\lambda m.g ((transpose (h (S n+n1)) (S n+n1)) m)) f n1)).
-unfold permut in H3.
-elim H3.
-apply (eq_map_iter_i_transpose2 f H H1 n1 n ? ? g).
-apply (permut_n_to_le h n1 (S n+n1)).
-apply le_plus_n.assumption.assumption.apply le_plus_n.apply le_n.
-apply H5.apply le_n.apply le_plus_n.apply le_n.
-apply (trans_eq ? ? (map_iter_i (S n) (\lambda m.
-(g(transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) 
-(transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) (h m)))) )f n1)).
-simplify.fold simplify (transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) (S n+n1)).
-apply eq_f2.apply eq_f.
-rewrite > transpose_i_j_j.
-rewrite > transpose_i_j_i.
-rewrite > transpose_i_j_j.reflexivity.
-apply (H2 n1 (\lambda m.(g(transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) m)))).
-apply permut_S_to_permut_transpose.
-assumption.
-intros.
-unfold transpose.
-rewrite > (not_eq_to_eqb_false (h m) (h (S n+n1))).
-rewrite > (not_eq_to_eqb_false (h m) (S n+n1)).
-simplify.apply H4.assumption.
-rewrite > H4.
-apply lt_to_not_eq.apply (trans_lt ? n1).assumption.
-simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_plus_n.assumption.
-unfold permut in H3.elim H3.
-simplify.unfold Not.intro.
-apply (lt_to_not_eq m (S n+n1)).apply (trans_lt ? n1).assumption.
-simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_plus_n.
-unfold injn in H7.
-apply (H7 m (S n+n1)).apply (trans_le ? n1).
-apply lt_to_le.assumption.apply le_plus_n.apply le_n.
-assumption.
-apply eq_map_iter_i.intros.
-rewrite > transpose_transpose.reflexivity.
+intros 4.elim k
+  [simplify.rewrite > (permut_n_to_eq_n h)
+    [reflexivity|assumption|assumption]
+  |apply (trans_eq ? ? (map_iter_i (S n) (\lambda m.g ((transpose (h (S n+n1)) (S n+n1)) m)) f n1))
+    [unfold permut in H3.
+     elim H3.
+     apply (eq_map_iter_i_transpose2 f H H1 n1 n ? ? g)
+      [apply (permut_n_to_le h n1 (S n+n1))
+        [apply le_plus_n|assumption|assumption|apply le_plus_n|apply le_n]
+      |apply H5.apply le_n
+      |apply le_plus_n
+      |apply le_n
+      ]
+    |apply (trans_eq ? ? (map_iter_i (S n) (\lambda m.
+      (g(transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) 
+      (transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) (h m)))) )f n1))
+      [simplify.fold simplify (transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) (S n+n1)).
+       apply eq_f2
+        [apply eq_f.
+         rewrite > transpose_i_j_j.
+         rewrite > transpose_i_j_i.
+         rewrite > transpose_i_j_j.
+         reflexivity.
+        |apply (H2 n1 (\lambda m.(g(transpose (h (S n+n1)) (S n+n1) m))))
+          [apply permut_S_to_permut_transpose.assumption
+          |intros.
+           unfold transpose.
+           rewrite > (not_eq_to_eqb_false (h m) (h (S n+n1)))
+            [rewrite > (not_eq_to_eqb_false (h m) (S n+n1))
+              [simplify.apply H4.assumption
+              |rewrite > H4
+                [apply lt_to_not_eq.
+                 apply (trans_lt ? n1)
+                  [assumption|simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_plus_n]
+                |assumption
+                ]
+              ]
+            |unfold permut in H3.elim H3.
+             simplify.unfold Not.intro.
+             apply (lt_to_not_eq m (S n+n1))
+              [apply (trans_lt ? n1)
+                [assumption|simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_plus_n]
+              |unfold injn in H7.
+               apply (H7 m (S n+n1))
+                [apply (trans_le ? n1)
+                  [apply lt_to_le.assumption|apply le_plus_n]
+                |apply le_n
+                |assumption
+                ]
+              ]
+            ]
+          ]
+        ]
+      |apply eq_map_iter_i.intros.
+       rewrite > transpose_transpose.reflexivity
+      ]
+    ]
+  ]
 qed.
\ No newline at end of file