From: Enrico Tassi <enrico.tassi@inria.fr>
Date: Fri, 17 Oct 2008 10:56:02 +0000 (+0000)
Subject: ...
X-Git-Tag: make_still_working~4677
X-Git-Url: http://matita.cs.unibo.it/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=e74a2893a14da614919420a9661462b23dbfd9f6;p=helm.git

...
---

diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/Makefile b/helm/software/matita/contribs/didactic/Makefile
index a904aaef4..bc35339e7 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/Makefile
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/Makefile
@@ -17,5 +17,6 @@ depend.opt:
 exercise:
 	rm -rf ex/
 	mkdir ex/
-	cp *.ma root depends ex/
+	cp *.ma depends ex/
 	for X in ex/*.ma; do perl -ne 'undef $$/;s/\(\*BEGIN.*?END\*\)/.../msg;print' -i $$X; done
+	echo 'baseuri=cic:/matita/didactic/student' > ex/root
diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/depends b/helm/software/matita/contribs/didactic/depends
index 6234ee807..a9d0243fb 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/depends
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/depends
@@ -1,2 +1,2 @@
-induction_support.ma 
-induction.ma induction_support.ma
+induction.ma nat/minus.ma
+nat/minus.ma 
diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/depends.png b/helm/software/matita/contribs/didactic/depends.png
index 3b6104659..0a48f0e8b 100644
Binary files a/helm/software/matita/contribs/didactic/depends.png and b/helm/software/matita/contribs/didactic/depends.png differ
diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
index fd1cc9057..c9c165218 100644
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
+++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction.ma
@@ -1,169 +1,338 @@
-include "induction_support.ma".
+(* Esercitazione di logica 22/10/2008.
+   
+   Esercizio 0: compilare i seguenti campi
+   
+   Nome1: ...
+   Cognome1: ...
+   Matricola1: ...
+   Account1: ...
+   
+   Nome2: ...
+   Cognome2: ...
+   Matricola2: ...
+   Account2: ...
 
+   Prima di abbandonare la postazione:
+
+   * compilare il questionario in fondo al file
+   
+   * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella)
+     /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+     account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+*)
+
+(*DOCBEGIN   
+
+   Come scrivere i simboli
+   =======================
+   
+   Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
+   e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
+   '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
+   dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome
+   '\Rightarrow' sia '=>'.
+   
+   Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
+   Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
+   l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'.
+    
+   * → : \to, ->
+   * ⇒ : \Rightarrow, =>
+   * ℕ : \naturals
+   * ≝ : \def, :=
+   * ≡ : \equiv
+   * ∀ : \forall
+   
+   La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
+   
+   La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
+   significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione)
+   non ha lo stesso significato in Matita.
+   
+   La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
+   restituiscono un numero naturale. 
+   
+   LA sintassi ..
+   ==============
+   * applicazione 
+   * match
+   * min/max a b
+   * sottrazione
+   
+   I comandi per le definizioni
+   ============================
+   
+   Esistono due tipi di definizioni: definizioni ricorsive tramite sintassi
+   simile a BNF, definizione di funzioni per ricorsione strutturale.
+   
+   Definire una nuova sintassi astratta
+   ------------------------------------
+   
+   Definizione 
+   
+DOCEND*)
+
+(* non modificare le seguenti tre righe *)
+include "nat/minus.ma".
+definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
+definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
+
+(* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
 inductive Formula : Type ≝
 | FBot: Formula
 | FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
-| FAtom: nat → Formula
-| FNot: Formula → Formula
-| FAnd: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
+| FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
+| FAnd: Formula → Formula → Formula
 | FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
 | FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
+| FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
 .
 
-let rec sem (v: nat -> nat) (F: Formula) on F ≝
+(* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la 
+   funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
+   (o denotazione) *)
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ 0
   | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
+  (*BEGIN*)
   | FAtom n ⇒ v n
-  | FNot F1 ⇒ 1 - sem v F1
-  | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
+  (*END*)
+  | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
   (*BEGIN*)
   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
   (*END*)
+  | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
   ]
 .
 
-definition if_then_else ≝
- λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" 
-non associative with precedence 19 
-for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
 
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" 
-non associative with precedence 19 
-for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+   if e then risultato1 else risultato2
+   
+   Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
+   è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
+   
+   Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
+   'n' ed 'm'. 
+   
+   * [[ formula ]]_v
+   
+   Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in 
+   particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
 
+  Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3 
+*)
+definition if_then_else ≝ λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else e t f).
+notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
+interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
 
+
+(* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
+   degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
  match F with
   [ FBot ⇒ FBot
   | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
-  | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
-  | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
+  | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
   (*BEGIN*)
   | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
   | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
   | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
   (*END*)
+  | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
   ].
 
-definition equiv ≝ λv,F1,F2. sem v F1 = sem v F2.
-
-notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \sub v \nbsp b)" 
-non associative with precedence 45
-for @{ 'equivF $v $a $b }.
+(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
 
-notation > "a ≡_ term 90 v b" non associative with precedence 50
-for @{ equiv $v $a $b }.
+  * F [ G / x ]
+  
+  Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
+  la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'. 
+  
+  * F ≡ G
+  
+  Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'. 
+  Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
+  in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
 
-interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF v a b = (equiv v a b).
+  Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4 
+*)
+notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
+definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
+notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
+notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
+interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
 
-theorem substitution:
-  ∀F1,F2,F,x,v. equiv v F1 F2 → equiv v (subst x F1 F) (subst x F2 F).
-assume F1 : Formula.
-assume F2 : Formula.
+(* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
+theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
+assume G1 : Formula.
+assume G2 : Formula.
+(*BEGIN*)
 assume F : Formula.
 assume x : ℕ.
-assume v : (ℕ → ℕ).
-suppose (F1 ≡_v F2) (H).
-we proceed by induction on F to prove (subst x F1 F ≡_v subst x F2 F). 
-case Bot.
-  the thesis becomes (FBot ≡_v (subst x F2 FBot)).
-  the thesis becomes (FBot ≡_v FBot).
-  the thesis becomes (sem v FBot = sem v FBot).
-  the thesis becomes (0 = sem v FBot).
+(*END*)
+suppose (G1 ≡ G2) (H).
+we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]). 
+case FBot.
+  the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
+  the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
+  the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
+  assume v : (ℕ → ℕ).
+  the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
   the thesis becomes (0 = 0).
   done.  
-case Top.
+case FTop.
   (*BEGIN*)
-  the thesis becomes (FTop ≡_v FTop).
-  the thesis becomes (sem v FTop = sem v FTop).
+  the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
+  the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
+  assume v : (ℕ → ℕ).
   the thesis becomes (1 = 1).
   (*END*)
   done.
-case Atom.
+case FAtom.
   assume n : ℕ.
   the thesis becomes 
-    (if eqb n x then F1 else (FAtom n) ≡_v subst x F2 (FAtom n)).    
-  the thesis becomes 
-    (if eqb n x then F1 else (FAtom n) ≡_v
-     if eqb n x then F2 else (FAtom n)).
-  we proceed by cases on (eqb n x) to prove True. (*CSC*)
-  case True.
-    the thesis becomes (F1 ≡_v F2).
+    (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).    
+  the thesis becomes
+    (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
+     if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
+  we proceed by cases on (eqb n x) to prove 
+    (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
+     if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
+  case true.
+    the thesis becomes (G1 ≡ G2).
     done.
-  case False.
-    the thesis becomes (FAtom n ≡_v FAtom n).
-    the thesis becomes (sem v (FAtom n) = sem v (FAtom n)).
+  case false.
+    (*BEGIN*)
+    the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
+    the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
+    assume v : (ℕ → ℕ).
     the thesis becomes (v n = v n).
+    (*END*)
     done.
-case Not.
-  assume (*BEGIN*)f : Formula.(*END*)
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).   
-  the thesis becomes (FNot (subst x F1 f) ≡_v FNot (subst x F2 f)).
-  the thesis becomes (sem v (FNot (subst x F1 f)) = sem v (FNot (subst x F2 f))).
-  the thesis becomes (1 - sem v (subst x F1 f) = sem v (FNot (subst x F2 f))).
-  the thesis becomes (1 - sem v (subst x F1 f) = 1 - sem v (subst x F2 f)).
-  by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH1).
-  conclude (1-sem v (subst x F1 f)) = (1-sem v (subst x F2 f)) by IH1.
-  done.
-case And.
-  assume f : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).    
-  assume f1 : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).    
-  by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
-  by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+case FAnd.
+  assume F1 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).    
+  assume F2 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).    
   the thesis becomes 
-    (sem v (FAnd (subst x F1 f) (subst x F1 f1)) = 
-     sem v (FAnd (subst x F2 f) (subst x F2 f1))).
+    (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
+  assume v : (ℕ → ℕ). 
   the thesis becomes 
-    (min (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) = 
-     min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
+    (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) = 
+     min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+  by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
+  by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
+  by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
+  by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
   conclude 
-    (min (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1))) 
-    = (min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.
-    = (*BEGIN*)(min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1)))(*END*) by (*BEGIN*)IH3(*END*).
+      (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) 
+    = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
+    = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
+  (*END*)
   done.
-(*BEGIN*)
-case Or. 
-  assume f : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).    
-  assume f1 : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).    
-  by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
-  by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+case FOr.
+  (*BEGIN*) 
+  assume F1 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).    
+  assume F2 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).    
   the thesis becomes 
-    (sem v (FOr (subst x F1 f) (subst x F1 f1)) = 
-     sem v (FOr (subst x F2 f) (subst x F2 f1))).
+    (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
+  assume v : (ℕ → ℕ). 
   the thesis becomes 
-    (max (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) = 
-     max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
+    (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) = 
+     max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+  by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
+  by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
+  by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
+  by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
   conclude 
-    (max (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1))) 
-    = (max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.
-    = (max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))) by IH3.
-  done. 
-case Implication.
-  assume f : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).
-  assume f1 : Formula.
-  by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).
+      (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) 
+    = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
+    = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
+  (*END*)
+  done.
+case FImpl.
+  (*BEGIN*)
+  assume F1 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
+  assume F2 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
   the thesis becomes 
-    (max (1 - sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) =
-     max (1 - sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
-  by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
-  by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+    (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
+        max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+  assume v : (ℕ → ℕ).       
+  by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
+  by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
   conclude 
-      (max (1-sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)))
-    = (max (1-sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.  
-    = (max (1-sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))) by IH3.
+      (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
+    = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.  
+    = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
   done. 
-(*END*)
+case FNot.
+  (*BEGIN*)
+  assume F1 : Formula.
+  by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).   
+  the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
+  the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
+  assume v : (ℕ → ℕ).
+  the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
+  the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
+  by IH we proved (∀v1.[[ F1[	 G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
+  by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
+  conclude 
+      (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) 
+    = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
+  (*END*)
+  done.
 qed.
+    
+(* Questionario
+
+   Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
+
+   1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di 
+      laboratorio?
+   
+      [ ] per niente        [ ] poco     [ ] molto       
      
      
+   2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
+      quanto visto a lezione?
+   
+      [ ] per niente        [ ] poco     [ ] molto       
+
+
+   3) Gli esercizi erano
+    
+      [ ] troppo facili     [ ] alla tua portata      [ ] impossibili       
+
+     
+   4) Il tempo a disposizione è stato     
+   
+      [ ] poco              [ ] giusto          [ ] troppo       
+
+     
+   5) Cose che miglioreresti nel software Matita
+     
+      .........
+
       
+   6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio
+   
+        .........
+
+   
+*) 
+   
+         
diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction_support.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/induction_support.ma
deleted file mode 100644
index b8fc7ffc8..000000000
--- a/helm/software/matita/contribs/didactic/induction_support.ma
+++ /dev/null
@@ -1,25 +0,0 @@
-include "nat/minus.ma".
-
-definition max : nat → nat → nat ≝
- λa,b:nat.
- let rec max n m on n ≝
-  match n with
-  [ O ⇒ b
-  | S n ⇒ 
-      match m with
-      [ O ⇒ a
-      | S m ⇒ max n m]]
- in 
-   max a b.
-   
-definition min : nat → nat → nat ≝
- λa,b:nat.
- let rec min n m on n ≝
-  match n with
-  [ O ⇒ a
-  | S n ⇒ 
-      match m with
-      [ O ⇒ b
-      | S m ⇒ min n m]]
- in 
-   min a b.
\ No newline at end of file