From dfe4fff39d66e00326f4ff7cfbcbdf96ac178a66 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Enrico Tassi Date: Sat, 1 Nov 2008 18:34:46 +0000 Subject: [PATCH] added shannon --- .../matita/contribs/didactic/shannon.ma | 208 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 208 insertions(+) create mode 100644 helm/software/matita/contribs/didactic/shannon.ma diff --git a/helm/software/matita/contribs/didactic/shannon.ma b/helm/software/matita/contribs/didactic/shannon.ma new file mode 100644 index 000000000..ccbaf956d --- /dev/null +++ b/helm/software/matita/contribs/didactic/shannon.ma @@ -0,0 +1,208 @@ +(* Esercitazione di logica 29/10/2008. + + Note per gli esercizi: + + http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html + +*) + +(* Esercizio 0 + =========== + + Compilare i seguenti campi: + + Nome1: ... + Cognome1: ... + Matricola1: ... + Account1: ... + + Nome2: ... + Cognome2: ... + Matricola2: ... + Account2: ... + + Prima di abbandonare la postazione: + + * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella) + /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui + account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma + + * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare + usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa +*) + +(*DOCBEGIN + +Il teorema di dualità +===================== + +Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`, +se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le +loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`). + +L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`: + + * Scambia FTop con FBot e viceversa + + * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa + + * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la + prima sottoformula. + + Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in + `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`. + +Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario +definire altre nozioni: + +* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi. + Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`. + +* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`. + Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce + `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa. + +DOCEND*) + +(* ATTENZIONE + ========== + + Non modificare quanto segue +*) +include "nat/minus.ma". +definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f]. +notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }. +notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }. +interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f). +definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n. +definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m. + +(* Ripasso + ======= + + Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono + rapperesentati da un numero naturale +*) +inductive Formula : Type ≝ +| FBot: Formula +| FTop: Formula +| FAtom: nat → Formula +| FAnd: Formula → Formula → Formula +| FOr: Formula → Formula → Formula +| FImpl: Formula → Formula → Formula +| FNot: Formula → Formula +. + +(* Esercizio 1 + =========== + + Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente + esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli + atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero + maggiore di 1. + + Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else + e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile + usare la funzione `min`. +*) +let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝ + match F with + [ FBot ⇒ 0 + | FTop ⇒ 1 + | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*) + | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2) + | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2) + | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2) + | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1) + ] +. + +(* ATTENZIONE + ========== + + Non modificare quanto segue. +*) +notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }. +notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }. +notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }. +interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a). + +definition v20 ≝ λx. + if eqb x 0 then 2 + else if eqb x 1 then 1 + else 0. + +(* Test 1 + ====== + + La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui + `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`. + +*) +eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. + +(*DOCBEGIN + +La libreria di Matita +===================== + +Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da +librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione +sono necessari i seguenti lemmi: + +* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1` +* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x` +* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1` +* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v` +* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v` +* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3` + +DOCEND*) + +(* ATTENZIONE + ========== + + Non modificare quanto segue. +*) +lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed. +lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed. +lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed. +lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed. +lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed. +lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed. +let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝ + match F with + [ FBot ⇒ FBot + | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*) + | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*)) + (*BEGIN*) + | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2) + | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2) + | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2) + (*END*) + | FNot F ⇒ FNot (subst x G F) + ]. + +notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }. +notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }. +interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t). +definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v. +notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }. +notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }. +interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b). + +theorem shannon : + ∀F,x,v. [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v. +intros; elim F; +[1,2: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0); reflexivity; +|4,5,6: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H H1; simplify; intros; rewrite > H; rewrite > H1; reflexivity; +|7: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H; simplify; intros; rewrite > H; reflexivity; +| cases (sem_bool (FAtom x) v); rewrite > H; simplify; + cases (decidable_eq_nat n x); destruct H1; + [1,3: rewrite > eqb_n_n; simplify; rewrite >H;reflexivity;. + |*:simplify in H; rewrite > (not_eq_to_eqb_false ?? H1); simplify; reflexivity;]] +qed. + + + + \ No newline at end of file -- 2.39.2