(* CONTEXT-SENSITIVE FREE VARIABLES *****************************************)
inductive frees: relation3 lenv term rtmap ≝
-| frees_atom: ∀I,f. 𝐈⦃f⦄ → frees (⋆) (⓪{I}) f
-| frees_sort: ∀I,L,V,s,f. frees L (⋆s) f →
+| frees_atom: ∀f,I. 𝐈⦃f⦄ → frees (⋆) (⓪{I}) f
+| frees_sort: ∀f,I,L,V,s. frees L (⋆s) f →
frees (L.ⓑ{I}V) (⋆s) (↑f)
-| frees_zero: ∀I,L,V,f. frees L V f →
+| frees_zero: ∀f,I,L,V. frees L V f →
frees (L.ⓑ{I}V) (#0) (⫯f)
-| frees_lref: ∀I,L,V,i,f. frees L (#i) f →
+| frees_lref: ∀f,I,L,V,i. frees L (#i) f →
frees (L.ⓑ{I}V) (#⫯i) (↑f)
-| frees_gref: ∀I,L,V,p,f. frees L (§p) f →
- frees (L.ⓑ{I}V) (§p) (↑f)
-| frees_bind: ∀I,L,V,T,a,f1,f2,f. frees L V f1 → frees (L.ⓑ{I}V) T f2 →
- f1 ⋓ ⫱f2 ≡ f → frees L (ⓑ{a,I}V.T) f
-| frees_flat: ∀I,L,V,T,f1,f2,f. frees L V f1 → frees L T f2 →
+| frees_gref: ∀f,I,L,V,l. frees L (§l) f →
+ frees (L.ⓑ{I}V) (§l) (↑f)
+| frees_bind: ∀f1,f2,f,p,I,L,V,T. frees L V f1 → frees (L.ⓑ{I}V) T f2 →
+ f1 ⋓ ⫱f2 ≡ f → frees L (ⓑ{p,I}V.T) f
+| frees_flat: ∀f1,f2,f,I,L,V,T. frees L V f1 → frees L T f2 →
f1 ⋓ f2 ≡ f → frees L (ⓕ{I}V.T) f
.
(* Basic inversion lemmas ***************************************************)
-fact frees_inv_atom_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀J. L = ⋆ → X = ⓪{J} → 𝐈⦃f⦄.
-#L #X #f #H elim H -L -X -f /3 width=3 by isid_push/
-[5,6: #I #L #V #T [ #p ] #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #_ #_ #J #_ #H destruct
-|*: #I #L #V [1,3,4: #x ] #f #_ #_ #J #H destruct
+fact frees_inv_atom_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀J. L = ⋆ → X = ⓪{J} → 𝐈⦃f⦄.
+#f #L #X #H elim H -f -L -X /3 width=3 by isid_push/
+[5,6: #f1 #f2 #f [ #p ] #I #L #V #T #_ #_ #_ #_ #_ #J #_ #H destruct
+|*: #f #I #L #V [1,3,4: #x ] #_ #_ #J #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_atom: ∀I,f. ⋆ ⊢ 𝐅*⦃⓪{I}⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
+lemma frees_inv_atom: ∀f,I. ⋆ ⊢ 𝐅*⦃⓪{I}⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
/2 width=6 by frees_inv_atom_aux/ qed-.
-fact frees_inv_sort_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀x. X = ⋆x → 𝐈⦃f⦄.
-#L #X #f #H elim H -L -X -f /3 width=3 by isid_push/
-[ #_ #L #V #f #_ #_ #x #H destruct
-| #_ #L #_ #i #f #_ #_ #x #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
+fact frees_inv_sort_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀x. X = ⋆x → 𝐈⦃f⦄.
+#L #X #f #H elim H -f -L -X /3 width=3 by isid_push/
+[ #f #_ #L #V #_ #_ #x #H destruct
+| #f #_ #L #_ #i #_ #_ #x #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_sort: ∀L,s,f. L ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
+lemma frees_inv_sort: ∀f,L,s. L ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
/2 width=5 by frees_inv_sort_aux/ qed-.
-fact frees_inv_gref_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀x. X = §x → 𝐈⦃f⦄.
-#L #X #f #H elim H -L -X -f /3 width=3 by isid_push/
-[ #_ #L #V #f #_ #_ #x #H destruct
-| #_ #L #_ #i #f #_ #_ #x #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
+fact frees_inv_gref_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀x. X = §x → 𝐈⦃f⦄.
+#f #L #X #H elim H -f -L -X /3 width=3 by isid_push/
+[ #f #_ #L #V #_ #_ #x #H destruct
+| #f #_ #L #_ #i #_ #_ #x #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #_ #_ #_ #_ #_ #x #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_gref: ∀L,l,f. L ⊢ 𝐅*⦃§l⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
+lemma frees_inv_gref: ∀f,L,l. L ⊢ 𝐅*⦃§l⦄ ≡ f → 𝐈⦃f⦄.
/2 width=5 by frees_inv_gref_aux/ qed-.
-fact frees_inv_zero_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → X = #0 →
+fact frees_inv_zero_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → X = #0 →
(L = ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
- ∃∃I,K,V,g. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ⫯g.
-#L #X #f * -L -X -f
+ ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ⫯g.
+#f #L #X * -f -L -X
[ /3 width=1 by or_introl, conj/
-| #I #L #V #s #f #_ #H destruct
+| #f #I #L #V #s #_ #H destruct
| /3 width=7 by ex3_4_intro, or_intror/
-| #I #L #V #i #f #_ #H destruct
-| #I #L #V #l #f #_ #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #H destruct
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #H destruct
+| #f #I #L #V #i #_ #H destruct
+| #f #I #L #V #l #_ #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #_ #_ #_ #H destruct
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_zero: ∀L,f. L ⊢ 𝐅*⦃#0⦄ ≡ f →
+lemma frees_inv_zero: ∀f,L. L ⊢ 𝐅*⦃#0⦄ ≡ f →
(L = ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
- ∃∃I,K,V,g. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ⫯g.
+ ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ⫯g.
/2 width=3 by frees_inv_zero_aux/ qed-.
-fact frees_inv_lref_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀j. X = #(⫯j) →
+fact frees_inv_lref_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀j. X = #(⫯j) →
(L = ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
- ∃∃I,K,V,g. K ⊢ 𝐅*⦃#j⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ↑g.
-#L #X #f * -L -X -f
+ ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃#j⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ↑g.
+#f #L #X * -f -L -X
[ /3 width=1 by or_introl, conj/
-| #I #L #V #s #f #_ #j #H destruct
-| #I #L #V #f #_ #j #H destruct
-| #I #L #V #i #f #Ht #j #H destruct /3 width=7 by ex3_4_intro, or_intror/
-| #I #L #V #l #f #_ #j #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #j #H destruct
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #j #H destruct
+| #f #I #L #V #s #_ #j #H destruct
+| #f #I #L #V #_ #j #H destruct
+| #f #I #L #V #i #Hf #j #H destruct /3 width=7 by ex3_4_intro, or_intror/
+| #f #I #L #V #l #_ #j #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #_ #_ #_ #j #H destruct
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #_ #_ #_ #j #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_lref: ∀L,i,f. L ⊢ 𝐅*⦃#(⫯i)⦄ ≡ f →
+lemma frees_inv_lref: ∀f,L,i. L ⊢ 𝐅*⦃#(⫯i)⦄ ≡ f →
(L = ⋆ ∧ 𝐈⦃f⦄) ∨
- ∃∃I,K,V,g. K ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ↑g.
+ ∃∃g,I,K,V. K ⊢ 𝐅*⦃#i⦄ ≡ g & L = K.ⓑ{I}V & f = ↑g.
/2 width=3 by frees_inv_lref_aux/ qed-.
-fact frees_inv_bind_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀I,V,T,a. X = ⓑ{a,I}V.T →
+fact frees_inv_bind_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀p,I,V,T. X = ⓑ{p,I}V.T →
∃∃f1,f2. L ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f1 & L.ⓑ{I}V ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f2 & f1 ⋓ ⫱f2 ≡ f.
-#L #X #f * -L -X -f
-[ #I #f #_ #J #W #U #b #H destruct
-| #I #L #V #s #f #_ #J #W #U #b #H destruct
-| #I #L #V #f #_ #J #W #U #b #H destruct
-| #I #L #V #i #f #_ #J #W #U #b #H destruct
-| #I #L #V #l #f #_ #J #W #U #b #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #HV #HT #Hf #J #W #U #b #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #J #W #U #b #H destruct
+#f #L #X * -f -L -X
+[ #f #I #_ #q #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #s #_ #q #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #_ #q #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #i #_ #q #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #l #_ #q #J #W #U #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #HV #HT #Hf #q #J #W #U #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #_ #_ #_ #q #J #W #U #H destruct
]
qed-.
-lemma frees_inv_bind: ∀I,L,V,T,a,f. L ⊢ 𝐅*⦃ⓑ{a,I}V.T⦄ ≡ f →
+lemma frees_inv_bind: ∀f,p,I,L,V,T. L ⊢ 𝐅*⦃ⓑ{p,I}V.T⦄ ≡ f →
∃∃f1,f2. L ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f1 & L.ⓑ{I}V ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f2 & f1 ⋓ ⫱f2 ≡ f.
/2 width=4 by frees_inv_bind_aux/ qed-.
-fact frees_inv_flat_aux: ∀L,X,f. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀I,V,T. X = ⓕ{I}V.T →
+fact frees_inv_flat_aux: ∀f,L,X. L ⊢ 𝐅*⦃X⦄ ≡ f → ∀I,V,T. X = ⓕ{I}V.T →
∃∃f1,f2. L ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f1 & L ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f2 & f1 ⋓ f2 ≡ f.
-#L #X #f * -L -X -f
-[ #I #f #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #s #f #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #f #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #i #f #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #l #f #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #T #p #f1 #f2 #f #_ #_ #_ #J #W #U #H destruct
-| #I #L #V #T #f1 #f2 #f #HV #HT #Hf #J #W #U #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
+#f #L #X * -f -L -X
+[ #f #I #_ #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #s #_ #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #_ #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #i #_ #J #W #U #H destruct
+| #f #I #L #V #l #_ #J #W #U #H destruct
+| #f1 #f2 #f #p #I #L #V #T #_ #_ #_ #J #W #U #H destruct
+| #f1 #f2 #f #I #L #V #T #HV #HT #Hf #J #W #U #H destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
]
qed-.
-lemma frees_inv_flat: ∀I,L,V,T,f. L ⊢ 𝐅*⦃ⓕ{I}V.T⦄ ≡ f →
+lemma frees_inv_flat: ∀f,I,L,V,T. L ⊢ 𝐅*⦃ⓕ{I}V.T⦄ ≡ f →
∃∃f1,f2. L ⊢ 𝐅*⦃V⦄ ≡ f1 & L ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f2 & f1 ⋓ f2 ≡ f.
/2 width=4 by frees_inv_flat_aux/ qed-.
(* Basic forward lemmas ****************************************************)
-lemma frees_fwd_isfin: ∀L,T,f. L ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f → 𝐅⦃f⦄.
-#L #T #f #H elim H -L -T -f
+lemma frees_fwd_isfin: ∀f,L,T. L ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f → 𝐅⦃f⦄.
+#f #L #T #H elim H -f -L -T
/3 width=5 by sor_isfin, isfin_isid, isfin_tl, isfin_push, isfin_next/
qed-.
(* Basic properties ********************************************************)
lemma frees_eq_repl_back: ∀L,T. eq_repl_back … (λf. L ⊢ 𝐅*⦃T⦄ ≡ f).
-#L #T #f1 #H elim H -L -T -f1
+#L #T #f1 #H elim H -f1 -L -T
[ /3 width=3 by frees_atom, isid_eq_repl_back/
-| #I #L #V #s #f1 #_ #IH #f2 #Hf12
+| #f1 #I #L #V #s #_ #IH #f2 #Hf12
elim (eq_inv_px … Hf12) -Hf12 /3 width=3 by frees_sort/
-| #I #L #V #f1 #_ #IH #f2 #Hf12
+| #f1 #I #L #V #_ #IH #f2 #Hf12
elim (eq_inv_nx … Hf12) -Hf12 /3 width=3 by frees_zero/
-| #I #L #V #i #f1 #_ #IH #f2 #Hf12
+| #f1 #I #L #V #i #_ #IH #f2 #Hf12
elim (eq_inv_px … Hf12) -Hf12 /3 width=3 by frees_lref/
-| #I #L #V #l #f1 #_ #IH #f2 #Hf12
+| #f1 #I #L #V #l #_ #IH #f2 #Hf12
elim (eq_inv_px … Hf12) -Hf12 /3 width=3 by frees_gref/
| /3 width=7 by frees_bind, sor_eq_repl_back3/
| /3 width=7 by frees_flat, sor_eq_repl_back3/
#L #T @eq_repl_sym /2 width=3 by frees_eq_repl_back/
qed-.
-lemma frees_sort_gen: ∀L,s,f. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ f.
-#L elim L -L
+lemma frees_sort_gen: ∀f,L,s. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃⋆s⦄ ≡ f.
+#f #L elim L -L
/4 width=3 by frees_eq_repl_back, frees_sort, frees_atom, eq_push_inv_isid/
qed.
-lemma frees_gref_gen: ∀L,p,f. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃§p⦄ ≡ f.
-#L elim L -L
+lemma frees_gref_gen: ∀f,L,p. 𝐈⦃f⦄ → L ⊢ 𝐅*⦃§p⦄ ≡ f.
+#f #L elim L -L
/4 width=3 by frees_eq_repl_back, frees_gref, frees_atom, eq_push_inv_isid/
qed.
projects / helm.git / blobdiff