(* Advanced properties ******************************************************)
-lemma frees_atom_drops: โb,L,i. โฌ*[b, ๐โดiโต] L โ โ โ
- โf. ๐โฆfโฆ โ L โข ๐
*โฆ#iโฆ โ โซฏ*[i]โf.
+lemma frees_atom_drops:
+ โb,L,i. โฉ*[b,๐โจiโฉ] L โ โ โ
+ โf. ๐โชfโซ โ L โข ๐
+โช#iโซ โ โซฏ*[i]โf.
#b #L elim L -L /2 width=1 by frees_atom/
#L #I #IH *
[ #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H // #H destruct
]
qed.
-lemma frees_pair_drops: โf,K,V. K โข ๐
*โฆVโฆ โ f โ
- โi,I,L. โฌ*[i] L โ K.โ{I}V โ L โข ๐
*โฆ#iโฆ โ โซฏ*[i] โf.
+lemma frees_pair_drops:
+ โf,K,V. K โข ๐
+โชVโซ โ f โ
+ โi,I,L. โฉ*[i] L โ K.โ[I]V โ L โข ๐
+โช#iโซ โ โซฏ*[i] โf.
#f #K #V #Hf #i elim i -i
[ #I #L #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H /2 width=1 by frees_pair/
| #i #IH #I #L #H elim (drops_inv_succ โฆ H) -H /3 width=2 by frees_lref/
]
qed.
-lemma frees_unit_drops: โf. ๐โฆfโฆ โ โI,K,i,L. โฌ*[i] L โ K.โค{I} โ
- L โข ๐
*โฆ#iโฆ โ โซฏ*[i] โf.
+lemma frees_unit_drops:
+ โf. ๐โชfโซ โ โI,K,i,L. โฉ*[i] L โ K.โค[I] โ
+ L โข ๐
+โช#iโซ โ โซฏ*[i] โf.
#f #Hf #I #K #i elim i -i
[ #L #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H /2 width=1 by frees_unit/
| #i #IH #Y #H elim (drops_inv_succ โฆ H) -H
#J #L #HLK #H destruct /3 width=1 by frees_lref/
]
qed.
-(*
-lemma frees_sort_pushs: โf,K,s. K โข ๐
*โฆโsโฆ โ f โ
- โi,L. โฌ*[i] L โ K โ L โข ๐
*โฆโsโฆ โ โซฏ*[i] f.
-#f #K #s #Hf #i elim i -i
-[ #L #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H //
-| #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ โฆ H) -H /3 width=1 by frees_sort/
-]
-qed.
-*)
-lemma frees_lref_pushs: โf,K,j. K โข ๐
*โฆ#jโฆ โ f โ
- โi,L. โฌ*[i] L โ K โ L โข ๐
*โฆ#(i+j)โฆ โ โซฏ*[i] f.
+
+lemma frees_lref_pushs:
+ โf,K,j. K โข ๐
+โช#jโซ โ f โ
+ โi,L. โฉ*[i] L โ K โ L โข ๐
+โช#(i+j)โซ โ โซฏ*[i] f.
#f #K #j #Hf #i elim i -i
[ #L #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H //
| #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ โฆ H) -H
#I #Y #HYK #H destruct /3 width=1 by frees_lref/
]
qed.
-(*
-lemma frees_gref_pushs: โf,K,l. K โข ๐
*โฆยงlโฆ โ f โ
- โi,L. โฌ*[i] L โ K โ L โข ๐
*โฆยงlโฆ โ โซฏ*[i] f.
-#f #K #l #Hf #i elim i -i
-[ #L #H lapply (drops_fwd_isid โฆ H ?) -H //
-| #i #IH #L #H elim (drops_inv_succ โฆ H) -H /3 width=1 by frees_gref/
-]
-qed.
-*)
+
(* Advanced inversion lemmas ************************************************)
-lemma frees_inv_lref_drops: โL,i,f. L โข ๐
*โฆ#iโฆ โ f โ
- โจโจ โโg. โฌ*[โป, ๐โดiโต] L โ โ & ๐โฆgโฆ & f = โซฏ*[i] โg
- | โโg,I,K,V. K โข ๐
*โฆVโฆ โ g &
- โฌ*[i] L โ K.โ{I}V & f = โซฏ*[i] โg
- | โโg,I,K. โฌ*[i] L โ K.โค{I} & ๐โฆgโฆ & f = โซฏ*[i] โg.
+lemma frees_inv_lref_drops:
+ โL,i,f. L โข ๐
+โช#iโซ โ f โ
+ โจโจ โโg. โฉ*[โป,๐โจiโฉ] L โ โ & ๐โชgโซ & f = โซฏ*[i] โg
+ | โโg,I,K,V. K โข ๐
+โชVโซ โ g & โฉ*[i] L โ K.โ[I]V & f = โซฏ*[i] โg
+ | โโg,I,K. โฉ*[i] L โ K.โค[I] & ๐โชgโซ & f = โซฏ*[i] โg.
#L elim L -L
[ #i #g | #L #I #IH * [ #g cases I -I [ #I | #I #V ] -IH | #i #g ] ] #H
[ elim (frees_inv_atom โฆ H) -H #f #Hf #H destruct
(* Properties with generic slicing for local environments *******************)
-lemma frees_lifts: โb,f1,K,T. K โข ๐
*โฆTโฆ โ f1 โ
- โf,L. โฌ*[b, f] L โ K โ โU. โฌ*[f] T โ U โ
- โf2. f ~โ f1 โ f2 โ L โข ๐
*โฆUโฆ โ f2.
+lemma frees_lifts:
+ โb,f1,K,T. K โข ๐
+โชTโซ โ f1 โ
+ โf,L. โฉ*[b,f] L โ K โ โU. โง*[f] T โ U โ
+ โf2. f ~โ f1 โ f2 โ L โข ๐
+โชUโซ โ f2.
#b #f1 #K #T #H lapply (frees_fwd_isfin โฆ H) elim H -f1 -K -T
[ #f1 #K #s #Hf1 #_ #f #L #HLK #U #H2 #f2 #H3
lapply (coafter_isid_inv_dx โฆ H3 โฆ Hf1) -f1 #Hf2
]
qed-.
-lemma frees_lifts_SO: โb,L,K. โฌ*[b, ๐โด1โต] L โ K โ โT,U. โฌ*[1] T โ U โ
- โf. K โข ๐
*โฆTโฆ โ f โ L โข ๐
*โฆUโฆ โ โซฏf.
+lemma frees_lifts_SO:
+ โb,L,K. โฉ*[b,๐โจ1โฉ] L โ K โ โT,U. โง*[1] T โ U โ
+ โf. K โข ๐
+โชTโซ โ f โ L โข ๐
+โชUโซ โ โซฏf.
#b #L #K #HLK #T #U #HTU #f #Hf
@(frees_lifts b โฆ Hf โฆ HTU) // (**) (* auto fails *)
qed.
(* Forward lemmas with generic slicing for local environments ***************)
-lemma frees_fwd_coafter: โb,f2,L,U. L โข ๐
*โฆUโฆ โ f2 โ
- โf,K. โฌ*[b, f] L โ K โ โT. โฌ*[f] T โ U โ
- โf1. K โข ๐
*โฆTโฆ โ f1 โ f ~โ f1 โ f2.
+lemma frees_fwd_coafter:
+ โb,f2,L,U. L โข ๐
+โชUโซ โ f2 โ
+ โf,K. โฉ*[b,f] L โ K โ โT. โง*[f] T โ U โ
+ โf1. K โข ๐
+โชTโซ โ f1 โ f ~โ f1 โ f2.
/4 width=11 by frees_lifts, frees_mono, coafter_eq_repl_back0/ qed-.
(* Inversion lemmas with generic slicing for local environments *************)
-lemma frees_inv_lifts_ex: โb,f2,L,U. L โข ๐
*โฆUโฆ โ f2 โ
- โf,K. โฌ*[b, f] L โ K โ โT. โฌ*[f] T โ U โ
- โโf1. f ~โ f1 โ f2 & K โข ๐
*โฆTโฆ โ f1.
+lemma frees_inv_lifts_ex:
+ โb,f2,L,U. L โข ๐
+โชUโซ โ f2 โ
+ โf,K. โฉ*[b,f] L โ K โ โT. โง*[f] T โ U โ
+ โโf1. f ~โ f1 โ f2 & K โข ๐
+โชTโซ โ f1.
#b #f2 #L #U #Hf2 #f #K #HLK #T elim (frees_total K T)
/3 width=9 by frees_fwd_coafter, ex2_intro/
qed-.
-lemma frees_inv_lifts_SO: โb,f,L,U. L โข ๐
*โฆUโฆ โ f โ
- โK. โฌ*[b, ๐โด1โต] L โ K โ โT. โฌ*[1] T โ U โ
- K โข ๐
*โฆTโฆ โ โซฑf.
+lemma frees_inv_lifts_SO:
+ โb,f,L,U. L โข ๐
+โชUโซ โ f โ
+ โK. โฉ*[b,๐โจ1โฉ] L โ K โ โT. โง*[1] T โ U โ
+ K โข ๐
+โชTโซ โ โซฑf.
#b #f #L #U #H #K #HLK #T #HTU elim(frees_inv_lifts_ex โฆ H โฆ HLK โฆ HTU) -b -L -U
#f1 #Hf #Hf1 elim (coafter_inv_nxx โฆ Hf) -Hf
/3 width=5 by frees_eq_repl_back, coafter_isid_inv_sn/
qed-.
-lemma frees_inv_lifts: โb,f2,L,U. L โข ๐
*โฆUโฆ โ f2 โ
- โf,K. โฌ*[b, f] L โ K โ โT. โฌ*[f] T โ U โ
- โf1. f ~โ f1 โ f2 โ K โข ๐
*โฆTโฆ โ f1.
+lemma frees_inv_lifts:
+ โb,f2,L,U. L โข ๐
+โชUโซ โ f2 โ
+ โf,K. โฉ*[b,f] L โ K โ โT. โง*[f] T โ U โ
+ โf1. f ~โ f1 โ f2 โ K โข ๐
+โชTโซ โ f1.
#b #f2 #L #U #H #f #K #HLK #T #HTU #f1 #Hf2 elim (frees_inv_lifts_ex โฆ H โฆ HLK โฆ HTU) -b -L -U
/3 width=7 by frees_eq_repl_back, coafter_inj/
qed-.
(* Note: this is used by rex_conf and might be modified *)
-lemma frees_inv_drops_next: โf1,L1,T1. L1 โข ๐
*โฆT1โฆ โ f1 โ
- โI2,L2,V2,n. โฌ*[n] L1 โ L2.โ{I2}V2 โ
- โg1. โg1 = โซฑ*[n] f1 โ
- โโg2. L2 โข ๐
*โฆV2โฆ โ g2 & g2 โ g1.
+lemma frees_inv_drops_next:
+ โf1,L1,T1. L1 โข ๐
+โชT1โซ โ f1 โ
+ โI2,L2,V2,n. โฉ*[n] L1 โ L2.โ[I2]V2 โ
+ โg1. โg1 = โซฑ*[n] f1 โ
+ โโg2. L2 โข ๐
+โชV2โซ โ g2 & g2 โ g1.
#f1 #L1 #T1 #H elim H -f1 -L1 -T1
[ #f1 #L1 #s #Hf1 #I2 #L2 #V2 #n #_ #g1 #H1 -I2 -L1 -s
lapply (isid_tls n โฆ Hf1) -Hf1 <H1 -f1 #Hf1
projects / helm.git / blobdiff