From 7b40df1df60fa1dd2bb1058850474c0f66bd01b4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Stefano Zacchiroli <zack@upsilon.cc>
Date: Thu, 17 Nov 2005 17:10:43 +0000
Subject: [PATCH] filled disambiguation algorithm section

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+2549 4160 lineto
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+640 768 lineto
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-1821 -100 2176 -768 conicto
+1485 4224 moveto
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+1485 4224 lineto
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 start_ol
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@@ -5292,38 +5651,4 @@ start_ol
 640 0 lineto
 640 768 lineto
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-0 slc
-n 24.792003 28.309300 m 23.842003 29.259300 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 26.065813 28.200732 m 27.142003 29.409300 l s
 showpage
diff --git a/helm/papers/matita/matita.tex b/helm/papers/matita/matita.tex
index b5f4c590f..10a443280 100644
--- a/helm/papers/matita/matita.tex
+++ b/helm/papers/matita/matita.tex
@@ -51,7 +51,7 @@
   \end{center}}
 
 \newcounter{example}
-\newenvironment{example}{\stepcounter{example}\emph{Example} \arabic{example}.}
+\newenvironment{example}{\stepcounter{example}\vspace{0.5em}\noindent\emph{Example} \arabic{example}.}
  {}
 \newcommand{\ASSIGNEDTO}[1]{\textbf{Assigned to:} #1}
 \newcommand{\FILE}[1]{\texttt{#1}}
@@ -508,8 +508,6 @@ polymorhpic equality.
 
 \subsubsection{Disambiguation algorithm}
 
-\NOTE{assumo che si sia gia' parlato di refine}
-
 A \emph{disambiguation algorithm} takes as input a content level term and return
 a fully determined CIC term. The key observation on which a disambiguation
 algorithm is based is that given a content level term with more than one sources
@@ -517,96 +515,94 @@ of ambiguity, not all possible combination of interpretation lead to a typable
 CIC term. In the term of Ex.~\ref{ex:disambiguation} for instance the
 interpretation of \texttt{ln} as a function from \IR to \IR and the
 interpretation of \texttt{1} as the Peano number $1$ can't coexists. The notion
-of ``can't coexists'' in the disambiguation of \MATITA{} is inherited from the
-refiner described in Sect.~\ref{sec:metavariables}: as long as
-$\mathit{refine}(c)\neq\epsilon$, the combination of interpretation which led to
-$c$
-can coexists.
+of ``can't coexists'' in the disambiguation of \MATITA{} is defined on top of
+the \emph{refiner} for CIC terms described in~\cite{csc-phd}.
 
-The \emph{naive disambiguation algorithm} takes as input a content level term
-$t$ and proceeds as follows:
+Briefly, a refiner is a function whose input is an \emph{incomplete CIC term}
+$t_1$ --- i.e. a term where metavariables occur (Sect.~\ref{sec:metavariables}
+--- and whose output is either:\NOTE{descrizione sommaria del refiner, pu\'o
+essere spostata altrove}
 
 \begin{enumerate}
+ 
+ \item an incomplete CIC term $t_2$ where $t_2$ is a well-typed term obtained
+  assigning a type to each metavariable in $t_1$ (in case of dependent types,
+  instantiation of some of the metavariable occurring in $t_1$ may occur as
+  well);
 
- \item Create disambiguation domains $\{D_i | i\in\mathit{Dom}(t)\}$, where
-  $\mathit{Dom}(t)$ is the set of ambiguity sources of $t$. Each $D_i$ is a set
-  of CIC terms and can be built as described above.
-
- \item Let $\Phi = \{\phi_i | {i\in\mathit{Dom}(t)},\phi_i\in D_i\}$ be an
-  interpretation for $t$. Given $t$ and an interpretation $\Phi$, a CIC term is
-  fully determined. Iterate over all possible interpretations of $t$ and refine
-  the corresponding CIC terms, keep only interpretations which lead to CIC terms
-  $c$ s.t. $\mathit{refine}(c)\neq\epsilon$ (i.e. interpretations that determine
-  typable terms).
+ \item $\epsilon$, meaning that no well-typed term could be obtained via
+  assignment of type to metavariable in $t_1$ and their instantiation;
 
- \item Let $n$ be the number of interpretations who survived step 2. If $n=0$
-  signal a type error. If $n=1$ we have found exactly one CIC term corresponding
-  to $t$, returns it as output of the disambiguation phase. If $n>1$ we have
-  found many different CIC terms which can correspond to the content level term,
-  let the user choose one of the $n$ interpretations and returns the
-  corresponding term.
+ \item $\bot$, meaning that the refiner is unable to decide whether of the two
+  cases above apply (refinement is semi-decidable).
 
 \end{enumerate}
 
-The above algorithm is highly inefficient since the number of possible
-interpretations $\Phi$ grows exponentially with the number of ambiguity sources.
-The actual algorithm used in \MATITA{} is far more efficient being, in the
-average case, linear in the number of ambiguity sources.
-
-The efficient algorithm --- thoroughly described along with an analysis of its
-complexity in~\cite{disambiguation} --- exploit the refiner and the metavariable
-extension (Sect.~\ref{sec:metavariables}) of the calculus used in \MATITA.
-
-\TODO{FINQUI}
-
-The efficient algorithm can be applied if the logic can be extended with
-metavariables and a refiner can be implemented. This is the case for CIC and
-several other logics.
-\emph{Metavariables}~\cite{munoz} are typed, non linear placeholders that can
-occur in terms; $?_i$ usually denotes the $i$-th metavariable, while $?$ denotes
-a freshly created metavariable. A \emph{refiner}~\cite{McBride} is a
-function whose input is a term with placeholders and whose output is either a
-new term obtained instantiating some placeholder or $\epsilon$, meaning that no
-well typed instantiation could be found for the placeholders occurring in
-the term (type error).
-
-The efficient algorithm starts with an interpretation $\Phi_0 = \{\phi_i |
-\phi_i = ?, i\in\mathit{Dom}(t)\}$,
-which associates a fresh metavariable to each
-source of ambiguity. Then it iterates refining the current CIC term (i.e. the
-term obtained interpreting $t$ with $\Phi_i$). If the refinement succeeds the
-next interpretation $\Phi_{i+1}$ will be created \emph{making a choice}, that is
-replacing a placeholder with one of the possible choice from the corresponding
-disambiguation domain. The placeholder to be replaced is chosen following a
-preorder visit of the ambiguous term. If the refinement fails the current set of
-choices cannot lead to a well-typed term and backtracking is attempted.
-Once an unambiguous correct interpretation is found (i.e. $\Phi_i$ does no
-longer contain any placeholder), backtracking is attempted
-anyway to find the other correct interpretations.
-
-The intuition which explain why this algorithm is more efficient is that as soon
-as a term containing placeholders is not typable, no further instantiation of
-its placeholders could lead to a typable term. For example, during the
-disambiguation of user input \texttt{\TEXMACRO{forall} x. x*0 = 0}, an
-interpretation $\Phi_i$ is encountered which associates $?$ to the instance
-of \texttt{0} on the right, the real number $0$ to the instance of \texttt{0} on
-the left, and the multiplication over natural numbers (\texttt{mult} for short)
-to \texttt{*}. The refiner will fail, since \texttt{mult} require a natural
-argument, and no further instantiation of the placeholder will be tried.
-
-If, at the end of the disambiguation, more than one possible interpretations are
-possible, the user will be asked to choose the intended one (see
-Fig.~\ref{fig:disambiguation}).
-
-\begin{figure}[htb]
-%   \centerline{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{disambiguation-1}}
-  \caption{\label{fig:disambiguation} Disambiguation: interpretation choice}
-\end{figure}
+On top of a CIC refiner \MATITA{} implement an efficient disambiguation
+algorithm, which is outlined below. It takes as input a content level term $c$
+and proceeds as follows:
+
+\begin{enumerate}
+
+ \item Create disambiguation domains $\{D_i | i\in\mathit{Dom}(c)\}$, where
+  $\mathit{Dom}(c)$ is the set of ambiguity sources of $c$. Each $D_i$ is a set
+  of CIC terms and can be built as described above.
 
-Details of the disambiguation algorithm of \WHELP{} can
-be found in~\cite{disambiguation}, where an equivalent algorithm
-that avoids backtracking is also presented.
+ \item An \emph{interpretation} $\Phi$ for $c$ is a map associating an
+  incomplete CIC term to each ambiguity source of $c$. Given $c$ and one of its
+  interpretations an incomplete CIC term is fully determined replacing each
+  ambiguity source of $c$ with its mapping in the interpretation and injecting
+  the remaining structure of the content level in the CIC level (e.g. replacing
+  the application of the content level with the application of the CIC level).
+  This operation is informally called ``interpreting $c$ with $\Phi$''.
+  
+  Create an initial interpretation $\Phi_0 = \{\phi_i | \phi_i = \_,
+  i\in\mathit{Dom}(c)\}$, which associates a fresh metavariable to each source
+  of ambiguity of $c$. During this step, implicit terms are expanded to fresh
+  metavariables as well.
+
+ \item Refine the current incomplete CIC term (i.e.  the term obtained
+  interpreting $t$ with $\Phi_i$).
+
+  If the refinement succeeds or is undetermined the next interpretation
+  $\Phi_{i+1}$ will be created \emph{making a choice}, that is replacing in the
+  current interpretation one of the metavariable appearing in $\Phi_i$ with one
+  of the possible choice from the corresponding disambiguation domain. The
+  metavariable to be replaced is chosen following a preorder visit of the
+  ambiguous term. Then, step 3 is attempted again with the new interpretation.
+    
+  If the refinement fails the current set of choices cannot lead to a well-typed
+  term and backtracking of the current interpretation is attempted.
+    
+ \item Once an unambiguous correct interpretation is found (i.e. $\Phi_i$ does
+  no longer contain any placeholder), backtracking is attempted anyway to find
+  the other correct interpretations.
+
+ \item Let $n$ be the number of interpretations who survived step 4. If $n=0$
+  signal a type error. If $n=1$ we have found exactly one (incomplete) CIC term
+  corresponding to the content level term $c$, returns it as output of the
+  disambiguation phase. If $n>1$ we have found many different (incomplete) CIC
+  terms which can correspond to the content level term, let the user choose one
+  of the $n$ interpretations and returns the corresponding term.
+
+\end{enumerate}
 
+The efficiency of this algorithm resides in the fact that as soon as an
+incomplete CIC term is not typable, no further instantiation of the
+metavariables of the corresponding interpretation is attemped.
+% For example, during the disambiguation of the user input
+% \texttt{\TEXMACRO{forall} x. x*0 = 0}, an interpretation $\Phi_i$ is
+% encountered which associates $?$ to the instance of \texttt{0} on the right,
+% the real number $0$ to the instance of \texttt{0} on the left, and the
+% multiplication over natural numbers (\texttt{mult} for short) to \texttt{*}.
+% The refiner will fail, since \texttt{mult} require a natural argument, and no
+% further instantiation of the placeholder will be tried.
+
+Details of the disambiguation algorithm along with an analysis of its complexity
+can be found in~\cite{disambiguation}, where a formulation without backtracking
+(corresponding to the actual \MATITA{} implementation) is also presented.
+
+\subsubsection{Disambiguation stages}
 
 \subsection{notazione}
 \label{sec:notation}
-- 
2.39.2