helm/coq-contribs/LAMBDA-TYPES/csubst0_defs.v

   1 Require Export contexts_defs.
   2 Require Export subst0_defs.
   3 Require Export drop_defs.
   4
   5 (*#* #caption "axioms for strict substitution in contexts",
   6    "substituted tail item: second operand",
   7    "substituted tail item: first operand",
   8    "substituted tail item: both operands"
   9 *)
  10 (*#* #cap #cap c, c1, c2 #alpha v in W, u in V, u1 in V1, u2 in V2, k in z, r in q *)
  11
  12       Inductive csubst0 : nat -> T -> C -> C -> Prop :=
  13          | csubst0_snd  : (k:?; i:?; v,u1,u2:?) (subst0 (r k i) v u1 u2) -> (c:?)
  14                           (csubst0 (S i) v (CTail c k u1) (CTail c k u2))
  15          | csubst0_fst  : (k:?; i:?; c1,c2:?; v:?) (csubst0 (r k i) v c1 c2) ->
  16                           (u:?) (csubst0 (S i) v (CTail c1 k u) (CTail c2 k u))
  17          | csubst0_both : (k:?; i:?; v,u1,u2:?) (subst0 (r k i) v u1 u2) ->
  18                           (c1,c2:?) (csubst0 (r k i) v c1 c2) ->
  19                           (csubst0 (S i) v (CTail c1 k u1) (CTail c2 k u2)).
  20
  21 (*#* #stop file *)
  22
  23       Hint csubst0 : ltlc := Constructors csubst0.
  24
  25    Section csubst0_gen_base. (***********************************************)
  26
  27       Theorem csubst0_gen_tail: (k:?; c1,x:?; u1,v:?; i:?)
  28                                 (csubst0 (S i) v (CTail c1 k u1) x) -> (OR
  29                                 (EX u2 | x = (CTail c1 k u2) &
  30                                          (subst0 (r k i) v u1 u2)
  31                                 ) |
  32                                 (EX c2 | x = (CTail c2 k u1) &
  33                                          (csubst0 (r k i) v c1 c2)
  34                                 ) |
  35                                 (EX u2 c2 | x = (CTail c2 k u2) &
  36                                             (subst0 (r k i) v u1 u2) &
  37                                             (csubst0 (r k i) v c1 c2)
  38                                 )).
  39       Intros until 1; InsertEq H '(S i); InsertEq H '(CTail c1 k u1).
  40       XCase H; Clear x v y y0; Intros; Inversion H1.
  41 (* case 1: csubst0_snd *)
  42       Inversion H0; Rewrite H3 in H; Rewrite H5 in H; Rewrite H6 in H; XEAuto.
  43 (* case 2: csubst0_fst *)
  44       Inversion H0; Rewrite H3 in H; Rewrite H4 in H; Rewrite H5 in H; XEAuto.
  45 (* case 2: csubst0_both *)
  46       Inversion H2; Rewrite H5 in H; Rewrite H6 in H; Rewrite H7 in H;
  47       Rewrite H4 in H0; Rewrite H5 in H0; Rewrite H7 in H0; XEAuto.
  48       Qed.
  49
  50    End csubst0_gen_base.
  51
  52       Tactic Definition CSubst0GenBase :=
  53          Match Context With
  54             | [ H: (csubst0 (S ?1) ?2 (CTail ?3 ?4 ?5) ?6) |- ? ] ->
  55                LApply (csubst0_gen_tail ?4 ?3 ?6 ?5 ?2 ?1); [ Clear H; Intros H | XAuto ];
  56                XElim H; Intros H; XElim H; Intros.
  57
  58    Section csubst0_drop. (***************************************************)
  59
  60       Theorem csubst0_drop_ge : (i,n:?) (le i n) ->
  61                                 (c1,c2:?; v:?) (csubst0 i v c1 c2) ->
  62                                 (e:?) (drop n (0) c1 e) ->
  63                                 (drop n (0) c2 e).
  64       XElim i.
  65 (* case 1: i = 0 *)
  66       Intros; Inversion H0.
  67 (* case 2: i > 0 *)
  68       Intros i; XElim n.
  69 (* case 2.1: n = 0 *)
  70       Intros; Inversion H0.
  71 (* case 2.2: n > 0 *)
  72       Intros until 3; Clear H0; InsertEq H2 '(S i); XElim H0; Intros.
  73       DropGenBase.
  74 (* case 2.2.1: csubst0_snd *)
  75       XAuto.
  76 (* case 2.2.2: csubst0_fst *)
  77       XReplaceIn H0 i0 i; DropGenBase; NewInduction k; XEAuto.
  78 (* case 2.2.3: csubst0_both *)
  79       XReplaceIn H0 i0 i; XReplaceIn H2 i0 i.
  80       DropGenBase; NewInduction k; XEAuto.
  81       Qed.
  82
  83       Tactic Definition IH :=
  84          Match Context With
  85             | [ H0: (n:?) (lt n ?1) -> (c1,c2:?; v:?) (csubst0 ?1 v c1 c2) -> (e:C) (drop n (0) c1 e) -> ?;
  86                 H1: (csubst0 ?1 ?2 ?3 ?4); H2: (drop ?5 (0) ?3 ?6) |- ? ] ->
  87                LApply (H0 ?5); [ Clear H0; Intros H0 | XAuto ];
  88                LApply (H0 ?3 ?4 ?2); [ Clear H0 H1; Intros H0 | XAuto ];
  89                LApply (H0 ?6); [ Clear H0 H2; Intros H0 | XAuto ];
  90                XElim H0; Intros H0; [ Idtac | XElim H0 | XElim H0 | XElim H0 ]; Intros
  91             | [ H0: (r ? ?1) = (S ?1) -> (e:?) (drop (S ?2) (0) ?3 e) -> ?;
  92                 H1: (drop (S ?2) (0) ?3 ?4) |- ? ] ->
  93                LApply H0; [ Clear H0; Intros H0 | XAuto ];
  94                LApply (H0 ?4); [ Clear H0 H1; Intros H0 | XAuto ];
  95                XElim H0; Intros H0; [ Idtac | XElim H0 | XElim H0 | XElim H0 ]; Intros.
  96
  97       Theorem csubst0_drop_lt : (i,n:?) (lt n i) ->
  98                                 (c1,c2:?; v:?) (csubst0 i v c1 c2) ->
  99                                 (e:?) (drop n (0) c1 e) -> (OR
 100                                 (drop n (0) c2 e) |
 101                                 (EX k e0 u w | e = (CTail e0 k u) &
 102                                                (drop n (0) c2 (CTail e0 k w)) &
 103                                                (subst0 (minus (r k i) (S n)) v u w)
 104                                 ) |
 105                                 (EX k e1 e2 u | e = (CTail e1 k u) &
 106                                                 (drop n (0) c2 (CTail e2 k u)) &
 107                                                 (csubst0 (minus (r k i) (S n)) v e1 e2)
 108                                 ) |
 109                                 (EX k e1 e2 u w | e = (CTail e1 k u) &
 110                                                  (drop n (0) c2 (CTail e2 k w)) &
 111                                                  (subst0 (minus (r k i) (S n)) v u w) &
 112                                                  (csubst0 (minus (r k i) (S n)) v e1 e2)
 113                                 )).
 114       XElim i.
 115 (* case 1: i = 0 *)
 116       Intros; Inversion H.
 117 (* case 2: i > 0 *)
 118       Intros i; XElim n.
 119 (* case 2.1: n = 0 *)
 120       Intros H0; Clear H0; Intros until 1; InsertEq H0 '(S i); XElim H0;
 121       Clear H c1 c2 v y; Intros; DropGenBase; XRewrite e;
 122       Rewrite <- r_arith0 in H; Try Rewrite <- r_arith0 in H0; Replace i with i0; XEAuto.
 123 (* case 2.2: n > 0 *)
 124       Intros until 3; Clear H0; InsertEq H2 '(S i); XElim H0; Clear c1 c2 v y;
 125       Intros; DropGenBase.
 126 (* case 2.2.1: csubst0_snd *)
 127       XEAuto.
 128 (* case 2.2.2: csubst0_fst *)
 129       Replace i0 with i; XAuto; XReplaceIn H0 i0 i; XReplaceIn H2 i0 i; Clear H3 i0.
 130       Apply (r_dis k); Intros; Rewrite (H3 i) in H0; Rewrite (H3 n) in H4.
 131 (* case 2.2.2.1: bind *)
 132       IH; XRewrite e; Try Rewrite <- (H3 n) in H; Try Rewrite <- (H3 n) in H0;
 133       Try Rewrite <- r_arith1 in H4; Try Rewrite <- r_arith1 in H5; XEAuto.
 134 (* case 2.2.2.2: flat *)
 135       IH; XRewrite e; Try Rewrite <- (H3 n) in H2; Try Rewrite <- (H3 n) in H4; XEAuto.
 136 (* case 2.2.3: csubst0_both *)
 137       Replace i0 with i; XAuto; XReplaceIn H0 i0 i; XReplaceIn H2 i0 i; XReplaceIn H3 i0 i; Clear H4 i0.
 138       Apply (r_dis k); Intros; Rewrite (H4 i) in H2; Rewrite (H4 n) in H5.
 139 (* case 2.2.2.1: bind *)
 140       IH; XRewrite e; Try Rewrite <- (H4 n) in H; Try Rewrite <- (H4 n) in H2;
 141       Try Rewrite <- r_arith1 in H5; Try Rewrite <- r_arith1 in H6; XEAuto.
 142 (* case 2.2.3.2: flat *)
 143       IH; XRewrite e; Try Rewrite <- (H4 n) in H3; Try Rewrite <- (H4 n) in H5; XEAuto.
 144       Qed.
 145
 146       Theorem csubst0_drop_ge_back : (i,n:?) (le i n) ->
 147                                      (c1,c2:?; v:?) (csubst0 i v c1 c2) ->
 148                                      (e:?) (drop n (0) c2 e) ->
 149                                      (drop n (0) c1 e).
 150       XElim i.
 151 (* case 1 : i = 0 *)
 152       Intros; Inversion H0.
 153 (* case 2 : i > 0 *)
 154       Intros i; XElim n.
 155 (* case 2.1 : n = 0 *)
 156       Intros; Inversion H0.
 157 (* case 2.2 : n > 0 *)
 158       Intros until 3; Clear H0; InsertEq H2 '(S i); XElim H0; Intros;
 159       DropGenBase.
 160 (* case 2.2.1 : csubst0_snd *)
 161       XAuto.
 162 (* case 2.2.2 : csubst0_fst *)
 163       XReplaceIn H0 i0 i; NewInduction k; XEAuto.
 164 (* case 2.2.3 : csubst0_both *)
 165       XReplaceIn H0 i0 i; XReplaceIn H2 i0 i; NewInduction k; XEAuto.
 166       Qed.
 167
 168    End csubst0_drop.
 169
 170       Tactic Definition CSubst0Drop :=
 171          Match Context With
 172             | [ H1: (lt ?2 ?1);
 173                 H2: (csubst0 ?1 ?3 ?4 ?5); H3: (drop ?2 (0) ?4 ?6) |- ? ] ->
 174                LApply (csubst0_drop_lt ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 175                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 176                LApply (H_x ?6); [ Clear H_x H3; Intros H3 | XAuto ];
 177                XElim H3;
 178                [ Intros | Intros H3; XElim H3; Intros
 179                | Intros H3; XElim H3; Intros | Intros H3; XElim H3; Intros ]
 180             | [ H1: (le ?1 ?2);
 181                 H2: (csubst0 ?1 ?3 ?4 ?5); H3: (drop ?2 (0) ?4 ?6) |- ? ] ->
 182                LApply (csubst0_drop_ge ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 183                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 184                LApply (H_x ?6); [ Clear H_x H3; Intros | XAuto ]
 185             | [H2: (csubst0 ?1 ?3 ?4 ?5); H3: (drop ?1 (0) ?4 ?6) |- ? ] ->
 186                LApply (csubst0_drop_ge ?1 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 187                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x H2; Intros H2 | XAuto ];
 188                LApply (H2 ?6); [ Clear H2 H3; Intros | XAuto ]
 189             | [H2: (csubst0 ?1 ?3 ?4 ?5); H3: (drop ?1 (0) ?5 ?6) |- ? ] ->
 190                LApply (csubst0_drop_ge_back ?1 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 191                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 192                LApply (H_x ?6); [ Clear H_x H3; Intros | XAuto ]
 193             | [H2: (csubst0 ?1 ?3 ?4 ?5); H3: (drop ?2 (0) ?5 ?6) |- ? ] ->
 194                LApply (csubst0_drop_ge_back ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 195                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 196                LApply (H_x ?6); [ Clear H_x H3; Intros | XAuto ].
 197