helm/coq-contribs/LAMBDA-TYPES/drop_props.v

   1 (*#* #stop file *)
   2
   3 Require lift_gen.
   4 Require drop_defs.
   5
   6 (*#* #caption "main properties of drop" #clauses *)
   7
   8    Section confluence. (*****************************************************)
   9
  10       Tactic Definition IH :=
  11          Match Context With
  12             [ H1: (drop ?1 ?2 c ?3); H2: (drop ?1 ?2 c ?4) |- ? ] ->
  13                LApply (H ?4 ?2 ?1); [ Clear H H2; Intros H | XAuto ];
  14                LApply (H ?3); [ Clear H H1; Intros | XAuto ].
  15
  16 (*#* #caption "confluence, first case" *)
  17 (*#* #cap #alpha c in C, x1 in C1, x2 in C2, d in i *)
  18
  19       Theorem drop_mono : (c,x1:?; d,h:?) (drop h d c x1) ->
  20                           (x2:?) (drop h d c x2) -> x1 = x2.
  21       XElim c.
  22 (* case 1: CSort *)
  23       Intros; Repeat DropGenBase; Rewrite H0; XAuto.
  24 (* case 2: CTail k *)
  25       XElim d.
  26 (* case 2.1: d = 0 *)
  27       XElim h; Intros; Repeat DropGenBase; Try Rewrite <- H0; XEAuto.
  28 (* case 2.2: d > 0 *)
  29       Intros; Repeat DropGenBase; Rewrite H1; Rewrite H2; Rewrite H5 in H3;
  30       LiftGen; IH; XAuto.
  31       Qed.
  32
  33 (*#* #caption "confluence, second case" *)
  34 (*#* #cap #alpha c in C1, c0 in E1, e in C2, e0 in E2, u in V1, v in V2, i in k, d in i *)
  35
  36       Theorem drop_conf_lt: (b:?; i:?; u:?; c0,c:?)
  37                             (drop i (0) c (CTail c0 (Bind b) u)) ->
  38                             (e:?; h,d:?) (drop h (S (plus i d)) c e) ->
  39                             (EX v e0 | u = (lift h d v) &
  40                                        (drop i (0) e (CTail e0 (Bind b) v)) &
  41                                        (drop h d c0 e0)
  42                             ).
  43       XElim i.
  44 (* case 1 : i = 0 *)
  45       Intros until 1.
  46       DropGenBase.
  47       Rewrite H in H0; Clear H.
  48       Inversion H0; XEAuto.
  49 (* case 2 : i > 0 *)
  50       Intros i; XElim c.
  51 (* case 2.1 : CSort *)
  52       Intros; Inversion H0.
  53 (* case 2.2 : CTail k *)
  54       XElim k; Intros; Repeat DropGenBase; Rewrite H2; Clear H2 H3 e t.
  55 (* case 2.2.1 : Bind *)
  56       LApply (H u c0 c); [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
  57       LApply (H x0 h d); [ Clear H H9; Intros H | XAuto ].
  58       XElim H; XEAuto.
  59 (* case 2.2.2 : Flat *)
  60       LApply H0; [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
  61       LApply (H x0 h d); [ Clear H H9; Intros H | XAuto ].
  62       XElim H; XEAuto.
  63       Qed.
  64
  65 (*#* #caption "confluence, third case" *)
  66 (*#* #cap #alpha c in C, a in C1, e in C2, i in k, d in i *)
  67
  68       Theorem drop_conf_ge: (i:?; a,c:?) (drop i (0) c a) ->
  69                             (e:?; h,d:?) (drop h d c e) -> (le (plus d h) i) ->
  70                             (drop (minus i h) (0) e a).
  71       XElim i.
  72 (* case 1 : i = 0 *)
  73       Intros until 1.
  74       DropGenBase; Rewrite H in H0; Clear H c.
  75       Inversion H1; Rewrite H2; Simpl; Clear H1.
  76       PlusO; Rewrite H in H0; Rewrite H1 in H0; Clear H H1 d h.
  77       DropGenBase; Rewrite <- H; XAuto.
  78 (* case 2 : i > 0 *)
  79       Intros i; XElim c.
  80 (* case 2.1 : CSort *)
  81       Intros; Repeat DropGenBase; Rewrite H1; Rewrite H0; XAuto.
  82 (* case 2.2 : CTail k *)
  83       XElim k; Intros; DropGenBase;
  84       ( NewInduction d;
  85       [ NewInduction h; DropGenBase;
  86         [ Rewrite <- H2; Simpl; XAuto | Clear IHh ]
  87       | DropGenBase; Rewrite H2; Clear IHd H2 H4 e t ] ).
  88 (* case 2.2.1 : Bind, d = 0, h > 0 *)
  89       LApply (H a c); [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
  90       LApply (H e h (0)); XAuto.
  91 (* case 2.2.2 : Bind, d > 0 *)
  92       LApply (H a c); [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
  93       LApply (H x0 h d); [ Clear H H4; Intros H | XAuto ].
  94       LApply H; [ Clear H; Simpl in H3; Intros H | XAuto ].
  95       Rewrite <- minus_Sn_m; XEAuto.
  96 (* case 2.2.3 : Flat, d = 0, h > 0 *)
  97       LApply H0; [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
  98       LApply (H e (S h) (0)); XAuto.
  99 (* case 2.2.4 : Flat, d > 0 *)
 100       LApply H0; [ Clear H H0 H1; Intros H | XAuto ].
 101       LApply (H x0 h (S d)); [ Clear H H4; Intros H | XAuto ].
 102       LApply H; [ Clear H; Simpl in H3; Intros H | XAuto ].
 103       Rewrite <- minus_Sn_m in H; [ Idtac | XEAuto ].
 104       Rewrite <- minus_Sn_m; XEAuto.
 105       Qed.
 106
 107    End confluence.
 108
 109    Section transitivity. (***************************************************)
 110
 111 (*#* #caption "transitivity, first case" *)
 112 (*#* #cap #alpha c1 in C1, c2 in C2, e1 in D1, e2 in D2, d in i, i in k *)
 113
 114       Theorem drop_trans_le : (i,d:?) (le i d) ->
 115                               (c1,c2:?; h:?) (drop h d c1 c2) ->
 116                               (e2:?) (drop i (0) c2 e2) ->
 117                               (EX e1 | (drop i (0) c1 e1) & (drop h (minus d i) e1 e2)).
 118       XElim i.
 119 (* case 1 : i = 0 *)
 120       Intros.
 121       DropGenBase; Rewrite H1 in H0.
 122       Rewrite <- minus_n_O; XEAuto.
 123 (* case 2 : i > 0 *)
 124       Intros i IHi; XElim d.
 125 (* case 2.1 : d = 0 *)
 126       Intros; Inversion H.
 127 (* case 2.2 : d > 0 *)
 128       Intros d IHd; XElim c1.
 129 (* case 2.2.1 : CSort *)
 130       Intros.
 131       DropGenBase; Rewrite H0 in H1.
 132       DropGenBase; Rewrite H1; XEAuto.
 133 (* case 2.2.2 : CTail k *)
 134       Intros c1 IHc; XElim k; Intros;
 135       DropGenBase; Rewrite H0 in H1; Rewrite H2; Clear IHd H0 H2 c2 t;
 136       DropGenBase.
 137 (* case 2.2.2.1 : Bind *)
 138       LApply (IHi d); [ Clear IHi; Intros IHi | XAuto ].
 139       LApply (IHi c1 x0 h); [ Clear IHi H8; Intros IHi | XAuto ].
 140       LApply (IHi e2); [ Clear IHi H0; Intros IHi | XAuto ].
 141       XElim IHi; XEAuto.
 142 (* case 2.2.2.2 : Flat *)
 143       LApply (IHc x0 h); [ Clear IHc H8; Intros IHc | XAuto ].
 144       LApply (IHc e2); [ Clear IHc H0; Intros IHc | XAuto ].
 145       XElim IHc; XEAuto.
 146       Qed.
 147
 148 (*#* #caption "transitivity, second case" *)
 149 (*#* #cap #alpha c1 in C1, c2 in C, e2 in C2, d in i, i in k *)
 150
 151       Theorem drop_trans_ge : (i:?; c1,c2:?; d,h:?) (drop h d c1 c2) ->
 152                               (e2:?) (drop i (0) c2 e2) -> (le d i) ->
 153                               (drop (plus i h) (0) c1 e2).
 154       XElim i.
 155 (* case 1: i = 0 *)
 156       Intros.
 157       DropGenBase; Rewrite <- H0.
 158       Inversion H1; Rewrite H2 in H; XAuto.
 159 (* case 2 : i > 0 *)
 160       Intros i IHi; XElim c1; Simpl.
 161 (* case 2.1: CSort *)
 162       Intros.
 163       DropGenBase; Rewrite H in H0.
 164       DropGenBase; Rewrite H0; XAuto.
 165 (* case 2.2: CTail *)
 166       Intros c1 IHc; XElim d.
 167 (* case 2.2.1: d = 0 *)
 168       XElim h; Intros.
 169 (* case 2.2.1.1: h = 0 *)
 170       DropGenBase; Rewrite <- H in H0;
 171       DropGenBase; Rewrite <- plus_n_O; XAuto.
 172 (* case 2.2.1.2: h > 0 *)
 173       DropGenBase; Rewrite <- plus_n_Sm.
 174       Apply drop_drop; RRw; XEAuto. (**) (* explicit constructor *)
 175 (* case 2.2.2: d > 0 *)
 176       Intros d IHd; Intros.
 177       DropGenBase; Rewrite H in IHd; Rewrite H in H0; Rewrite H2 in IHd; Rewrite H2; Clear IHd H H2 c2 t;
 178       DropGenBase; Apply drop_drop; NewInduction k; Simpl; XEAuto. (**) (* explicit constructor *)
 179       Qed.
 180
 181    End transitivity.
 182
 183       Tactic Definition DropDis :=
 184          Match Context With
 185             [ H1: (drop ?1 ?2 ?3 ?4); H2: (drop ?1 ?2 ?3 ?5) |- ? ] ->
 186                LApply (drop_mono ?3 ?5 ?2 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 187                LApply (H_x ?4); [ Clear H_x H1; Intros H1; Rewrite H1 in H2 | XAuto ]
 188             | [ H1: (drop ?0 (0) ?1 (CTail ?2 (Bind ?3) ?4));
 189                 H2: (drop ?5 (S (plus ?0 ?6)) ?1 ?7) |- ? ] ->
 190                LApply (drop_conf_lt ?3 ?0 ?4 ?2 ?1); [ Clear H1; Intros H1 | XAuto ];
 191                LApply (H1 ?7 ?5 ?6); [ Clear H1 H2; Intros H1 | XAuto ];
 192                XElim H1; Intros
 193             | [ _: (drop ?0 (0) ?1 ?2); _: (drop ?5 (0) ?1 ?7);
 194                 _: (lt ?5 ?0) |- ? ] ->
 195                LApply (drop_conf_ge ?0 ?2 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 196                LApply (H_x ?7 ?5 (0)); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 197                Simpl in H_x; LApply H_x; [ Clear H_x; Intros | XAuto ]
 198             | [ _: (drop ?1 (0) ?2 (CTail ?3 (Bind ?) ?));
 199                 _: (drop (1) ?1 ?2 ?4) |- ? ] ->
 200                LApply (drop_conf_ge (S ?1) ?3 ?2); [ Intros H_x | XEAuto ];
 201                LApply (H_x ?4 (1) ?1); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 202                LApply H_x; [ Clear H_x; Intros | Rewrite plus_sym; XAuto ]; (
 203                Match Context With
 204                   [ H: (drop (minus (S ?1) (1)) (0) ?4 ?3) |- ? ] ->
 205                     Simpl in H; Rewrite <- minus_n_O in H )
 206             | [ H0: (drop ?0 (0) ?1 ?2); H2: (lt ?6 ?0);
 207                 H1: (drop (1) ?6 ?1 ?7) |- ? ] ->
 208                LApply (drop_conf_ge ?0 ?2 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 209                LApply (H_x ?7 (1) ?6); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 210                LApply H_x; [ Clear H_x; Intros | Rewrite plus_sym; XAuto ]
 211             | [ H0: (drop ?0 (0) ?1 ?2);
 212                 H1: (drop ?5 ?6 ?1 ?7) |- ? ] ->
 213                LApply (drop_conf_ge ?0 ?2 ?1); [ Intros H_x | XAuto ];
 214                LApply (H_x ?7 ?5 ?6); [ Clear H_x; Intros H_x | XAuto ];
 215                LApply H_x; [ Clear H_x; Intros | XAuto ]
 216             | [ H0: (lt ?1 ?2);
 217                 H1: (drop ?3 ?2 ?4 ?5); H2: (drop ?1 (0) ?5 ?6) |- ? ] ->
 218                LApply (drop_trans_le ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 219                LApply (H_x ?4 ?5 ?3); [ Clear H_x H1; Intros H_x | XAuto ];
 220                LApply (H_x ?6); [ Clear H_x H2; Intros H_x | XAuto ];
 221                XElim H_x; Intros
 222             | [ H0: (le ?1 ?2);
 223                 H1: (drop ?3 ?1 ?4 ?5); H2: (drop ?2 (0) ?5 ?6) |- ? ] ->
 224                LApply (drop_trans_ge ?2 ?4 ?5 ?1 ?3); [ Clear H1; Intros H1 | XAuto ];
 225                LApply (H1 ?6); [ Clear H1 H2; Intros H1 | XAuto ];
 226                LApply H1; [ Clear H1; Intros | XAuto ].
 227
 228 (*#* #single *)