helm/coq-contribs/LAMBDA-TYPES/lift_gen.v

   1 (*#* #stop file *)
   2
   3 Require lift_defs.
   4
   5    Section lift_ini. (*******************************************************)
   6
   7       Tactic Definition IH :=
   8          Match Context With
   9             | [ H1: (lift ?1 ?2 t) = (lift ?1 ?2 ?3) |- ? ] ->
  10                LApply (H ?3 ?1 ?2); [ Clear H H1; Intros | XAuto ]
  11             | [ H1: (lift ?1 ?2 t0) = (lift ?1 ?2 ?3) |- ? ] ->
  12                LApply (H0 ?3 ?1 ?2); [ Clear H0 H1; Intros | XAuto ].
  13
  14 (*#* #start file *)
  15
  16 (*#* #caption "main properties of lift" #clauses lift_props *)
  17
  18 (*#* #caption "injectivity" *)
  19 (*#* #cap #alpha x in T1, t in T2, d in i *)
  20
  21       Theorem lift_inj : (x,t:?; h,d:?) (lift h d x) = (lift h d t) -> x = t.
  22
  23 (*#* #stop file *)
  24
  25       XElim x.
  26 (* case 1 : TSort *)
  27       Intros; Rewrite lift_sort in H; LiftGenBase; XAuto.
  28 (* case 2 : TBRef n *)
  29       Intros; Apply (lt_le_e n d); Intros.
  30 (* case 2.1 : n < d *)
  31       Rewrite lift_bref_lt in H; [ LiftGenBase; XAuto | XAuto ].
  32 (* case 2.2 : n >= d *)
  33       Rewrite lift_bref_ge in H; [ LiftGenBase; XAuto | XAuto ].
  34 (* case 3 : TTail k *)
  35       XElim k; Intros; [ Rewrite lift_bind in H1 | Rewrite lift_flat in H1 ];
  36       LiftGenBase; Rewrite H1; IH; IH; XAuto.
  37       Qed.
  38
  39    End lift_ini.
  40
  41    Section lift_gen_lift. (**************************************************)
  42
  43       Tactic Definition IH :=
  44          Match Context With
  45             | [ H_x: (lift ?0 ?1 t) = (lift ?2 (plus ?3 ?0) ?4) |- ? ] ->
  46                LApply (H ?4 ?0 ?2 ?1 ?3); [ Clear H; Intros H | XAuto ];
  47                LApply H; [ Clear H H_x; Intros H | XAuto ];
  48                XElim H; Intros
  49             | [ H_x: (lift ?0 ?1 t0) = (lift ?2 (plus ?3 ?0) ?4) |- ? ] ->
  50                LApply (H0 ?4 ?0 ?2 ?1 ?3); [ Clear H0; Intros H0 | XAuto ];
  51                LApply H0; [ Clear H0 H_x; Intros H0 | XAuto ];
  52                XElim H0; Intros.
  53
  54 (*#* #start file *)
  55
  56 (*#* #caption "generation lemma for lift" *)
  57 (*#* #cap #cap t1 #alpha t2 in T, x in T2, d1 in i1, d2 in i2 *)
  58
  59       Theorem lift_gen_lift : (t1,x:?; h1,h2,d1,d2:?) (le d1 d2) ->
  60                               (lift h1 d1 t1) = (lift h2 (plus d2 h1) x) ->
  61                               (EX t2 | x = (lift h1 d1 t2) &
  62                                        t1 = (lift h2 d2 t2)
  63                               ).
  64
  65 (*#* #stop file *)
  66
  67       XElim t1; Intros.
  68 (* case 1 : TSort *)
  69       Rewrite lift_sort in H0.
  70       LiftGenBase; Rewrite H0; Clear H0 x.
  71       EApply ex2_intro; Rewrite lift_sort; XAuto.
  72 (* case 2 : TBRef n *)
  73       Apply (lt_le_e n d1); Intros.
  74 (* case 2.1 : n < d1 *)
  75       Rewrite lift_bref_lt in H0; [ Idtac | XAuto ].
  76       LiftGenBase; Rewrite H0; Clear H0 x.
  77       EApply ex2_intro; Rewrite lift_bref_lt; XEAuto.
  78 (* case 2.2 : n >= d1 *)
  79       Rewrite lift_bref_ge in H0; [ Idtac | XAuto ].
  80       Apply (lt_le_e n d2); Intros.
  81 (* case 2.2.1 : n < d2 *)
  82       LiftGenBase; Rewrite H0; Clear H0 x.
  83       EApply ex2_intro; [ Rewrite lift_bref_ge | Rewrite lift_bref_lt ]; XEAuto.
  84 (* case 2.2.2 : n >= d2 *)
  85       Apply (lt_le_e n (plus d2 h2)); Intros.
  86 (* case 2.2.2.1 : n < d2 + h2 *)
  87       EApply lift_gen_bref_false; [ Idtac | Idtac | Apply H0 ];
  88       [ XAuto | Rewrite plus_permute_2_in_3; XAuto ].
  89 (* case 2.2.2.2 : n >= d2 + h2 *)
  90       Rewrite (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1)) in H0; [ Idtac | XEAuto ].
  91       LiftGenBase; Rewrite H0; Clear H0 x.
  92       EApply ex2_intro;
  93       [ Rewrite le_minus_plus; [ Idtac | XEAuto ]
  94       | Rewrite (le_plus_minus_sym h2 n); [ Idtac | XEAuto ] ];
  95       Rewrite lift_bref_ge; XEAuto.
  96 (* case 3 : TTail k *)
  97       NewInduction k.
  98 (* case 3.1 : Bind *)
  99       Rewrite lift_bind in H2.
 100       LiftGenBase; Rewrite H2; Clear H2 x.
 101       IH; Rewrite H; Rewrite H2; Clear H H2 x0.
 102       Arith4In H4 d2 h1; IH; Rewrite H; Rewrite H0; Clear H H0 x1 t t0.
 103       EApply ex2_intro; Rewrite lift_bind; XAuto.
 104 (* case 3.2 : Flat *)
 105       Rewrite lift_flat in H2.
 106       LiftGenBase; Rewrite H2; Clear H2 x.
 107       IH; Rewrite H; Rewrite H2; Clear H H2 x0.
 108       IH; Rewrite H; Rewrite H0; Clear H H0 x1 t t0.
 109       EApply ex2_intro; Rewrite lift_flat; XAuto.
 110       Qed.
 111
 112    End lift_gen_lift.
 113
 114       Tactic Definition LiftGen :=
 115          Match Context With
 116             | [ H: (lift ?1 ?2 ?3) = (lift ?1 ?2 ?4) |- ? ] ->
 117                LApply (lift_inj ?3 ?4 ?1 ?2); [ Clear H; Intros | XAuto ]
 118             | [ H: (lift ?0 ?1 ?2) = (lift ?3 (plus ?4 ?0) ?5) |- ? ] ->
 119                LApply (lift_gen_lift ?2 ?5 ?0 ?3 ?1 ?4); [ Intros H_x | XAuto ];
 120                LApply H_x; [ Clear H H_x; Intros H | XAuto ];
 121                XElim H; Intros
 122             | [ H: (lift (1) (0) ?1) = (lift (1) (S ?2) ?3) |- ? ] ->
 123                LApply (lift_gen_lift ?1 ?3 (1) (1) (0) ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 124                LApply H_x; [ Clear H_x H; Intros H | Arith7' ?2; XAuto ];
 125                XElim H; Intros
 126             | _ -> LiftGenBase.