helm/coq-contribs/LAMBDA-TYPES/pc3_defs.v

   1 (*#* #stop file *)
   2
   3 Require Export pr2_defs.
   4 Require Export pr3_defs.
   5 Require Export pc1_defs.
   6
   7       Inductive pc2 [c:C; t1,t2:T] : Prop :=
   8          | pc2_r : (pr2 c t1 t2) -> (pc2 c t1 t2)
   9          | pc2_x : (pr2 c t2 t1) -> (pc2 c t1 t2).
  10
  11       Hint pc2 : ltlc := Constructors pc2.
  12
  13       Inductive pc3 [c:C] : T -> T -> Prop :=
  14          | pc3_r : (t:?) (pc3 c t t)
  15          | pc3_u : (t2,t1:?) (pc2 c t1 t2) ->
  16                    (t3:?) (pc3 c t2 t3) -> (pc3 c t1 t3).
  17
  18       Hint pc3 : ltlc := Constructors pc3.
  19
  20    Section pc2_props. (******************************************************)
  21
  22       Theorem pc2_s : (c,t2,t1:?) (pc2 c t1 t2) -> (pc2 c t2 t1).
  23       Intros.
  24       Inversion H; XAuto.
  25       Qed.
  26
  27       Theorem pc2_shift : (h:?; c,e:?) (drop h (0) c e) ->
  28                           (t1,t2:?) (pc2 c t1 t2) ->
  29                           (pc2 e (app c h t1) (app c h t2)).
  30       Intros until 2; XElim H0; Intros.
  31 (* case 1 : pc2_r *)
  32       XAuto.
  33 (* case 2 : pc2_x *)
  34       XEAuto.
  35       Qed.
  36
  37    End pc2_props.
  38
  39       Hints Resolve pc2_s pc2_shift : ltlc.
  40
  41    Section pc3_props. (******************************************************)
  42
  43       Theorem pc3_pr2_r : (c,t1,t2:?) (pr2 c t1 t2) -> (pc3 c t1 t2).
  44       XEAuto.
  45       Qed.
  46
  47       Theorem pc3_pr2_x : (c,t1,t2:?) (pr2 c t2 t1) -> (pc3 c t1 t2).
  48       XEAuto.
  49       Qed.
  50
  51       Theorem pc3_pc2 : (c,t1,t2:?) (pc2 c t1 t2) -> (pc3 c t1 t2).
  52       XEAuto.
  53       Qed.
  54
  55       Theorem pc3_t : (t2,c,t1:?) (pc3 c t1 t2) ->
  56                       (t3:?) (pc3 c t2 t3) -> (pc3 c t1 t3).
  57       Intros t2 c t1 H; XElim H; XEAuto.
  58       Qed.
  59
  60       Hints Resolve pc3_t : ltlc.
  61
  62       Theorem pc3_s : (c,t2,t1:?) (pc3 c t1 t2) -> (pc3 c t2 t1).
  63       Intros; XElim H; [ XAuto | XEAuto ].
  64       Qed.
  65
  66       Hints Resolve pc3_s : ltlc.
  67
  68       Theorem pc3_pr3_r : (c:?; t1,t2) (pr3 c t1 t2) -> (pc3 c t1 t2).
  69       Intros; XElim H; XEAuto.
  70       Qed.
  71
  72       Theorem pc3_pr3_x : (c:?; t1,t2) (pr3 c t2 t1) -> (pc3 c t1 t2).
  73       Intros; XElim H; XEAuto.
  74       Qed.
  75
  76       Hints Resolve pc3_pr3_r pc3_pr3_x : ltlc.
  77
  78       Theorem pc3_pr3_t : (c:?; t1,t0:?) (pr3 c t1 t0) ->
  79                           (t2:?) (pr3 c t2 t0) -> (pc3 c t1 t2).
  80       Intros; Apply (pc3_t t0); XAuto.
  81       Qed.
  82
  83       Theorem pc3_thin_dx : (c:? ;t1,t2:?) (pc3 c t1 t2) ->
  84                             (u:?; f:?) (pc3 c (TTail (Flat f) u t1)
  85                                               (TTail (Flat f) u t2)).
  86       Intros; XElim H; [XAuto | Intros ].
  87       EApply pc3_u; [ Inversion H | Apply H1 ]; XAuto.
  88       Qed.
  89
  90       Theorem pc3_tail_1 : (c:?; u1,u2:?) (pc3 c u1 u2) ->
  91                            (k:?; t:?) (pc3 c (TTail k u1 t) (TTail k u2 t)).
  92       Intros until 1; XElim H; Intros.
  93 (* case 1 : pc3_r *)
  94       XAuto.
  95 (* case 2 : pc3_u *)
  96       EApply pc3_u; [ Inversion H | Apply H1 ]; XAuto.
  97       Qed.
  98
  99       Theorem pc3_tail_2 : (c:?; u,t1,t2:?; k:?) (pc3 (CTail c k u) t1 t2) ->
 100                            (pc3 c (TTail k u t1) (TTail k u t2)).
 101       Intros.
 102       XElim H; [ Idtac | Intros; Inversion H ]; XEAuto.
 103       Qed.
 104
 105       Theorem pc3_tail_12 : (c:?; u1,u2:?) (pc3 c u1 u2) ->
 106                             (k:?; t1,t2:?) (pc3 (CTail c k u2) t1 t2) ->
 107                             (pc3 c (TTail k u1 t1) (TTail k u2 t2)).
 108       Intros.
 109       EApply pc3_t; [ Apply pc3_tail_1 | Apply pc3_tail_2 ]; XAuto.
 110       Qed.
 111
 112       Theorem pc3_tail_21 : (c:?; u1,u2:?) (pc3 c u1 u2) ->
 113                             (k:?; t1,t2:?) (pc3 (CTail c k u1) t1 t2) ->
 114                             (pc3 c (TTail k u1 t1) (TTail k u2 t2)).
 115       Intros.
 116       EApply pc3_t; [ Apply pc3_tail_2 | Apply pc3_tail_1 ]; XAuto.
 117       Qed.
 118
 119       Theorem pc3_pr3_u : (c:?; t2,t1:?) (pr2 c t1 t2) ->
 120                           (t3:?) (pc3 c t2 t3) -> (pc3 c t1 t3).
 121       XEAuto.
 122       Qed.
 123
 124       Theorem pc3_pr3_u2 : (c:?; t0,t1:?) (pr2 c t0 t1) ->
 125                            (t2:?) (pc3 c t0 t2) -> (pc3 c t1 t2).
 126       Intros; Apply (pc3_t t0); XAuto.
 127       Qed.
 128
 129       Theorem pc3_shift : (h:?; c,e:?) (drop h (0) c e) ->
 130                           (t1,t2:?) (pc3 c t1 t2) ->
 131                           (pc3 e (app c h t1) (app c h t2)).
 132       Intros until 2; XElim H0; Clear t1 t2; Intros.
 133 (* case 1 : pc3_r *)
 134       XAuto.
 135 (* case 2 : pc3_u *)
 136       XEAuto.
 137       Qed.
 138
 139       Theorem pc3_pc1: (t1,t2:?) (pc1 t1 t2) -> (c:?) (pc3 c t1 t2).
 140       Intros; XElim H; Intros.
 141 (* case 1: pc1_r *)
 142       XAuto.
 143 (* case 2 : pc1_u *)
 144       XElim H; XEAuto.
 145       Qed.
 146
 147    End pc3_props.
 148
 149       Hints Resolve pc3_pr2_r pc3_pr2_x pc3_pc2 pc3_pr3_r pc3_pr3_x
 150                     pc3_t pc3_s pc3_pr3_t pc3_thin_dx pc3_tail_1 pc3_tail_2
 151                     pc3_tail_12 pc3_tail_21 pc3_pr3_u pc3_shift pc3_pc1 : ltlc.
 152
 153       Tactic Definition Pc3T :=
 154          Match Context With
 155             | [ _: (pr3 ?1 ?2 (TTail ?3 ?4 ?5)); _: (pc3 ?1 ?6 ?4) |- ? ] ->
 156                LApply (pc3_t (TTail ?3 ?4 ?5) ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 157                LApply (H_x (TTail ?3 ?6 ?5)); [ Clear H_x; Intros | Apply pc3_s; XAuto ]
 158             | [ _: (pc3 ?1 ?2 ?3); _: (pr3 ?1 ?3 ?4) |- ? ] ->
 159                LApply (pc3_t ?3 ?1 ?2); [ Intros H_x | XAuto ];
 160                LApply (H_x ?4); [ Clear H_x; Intros | XAuto ].