helm/coq-contribs/LAMBDA-TYPES/terms_defs.v

   1 (*#* #stop file *)
   2
   3 Require Export Base.
   4
   5       Inductive Set B := Abbr : B
   6                       |  Abst : B
   7                       |  Void : B.
   8
   9       Inductive Set F := Appl : F
  10                       |  Cast : F.
  11
  12       Inductive Set K := Bind : B -> K
  13                       |  Flat : F -> K.
  14
  15       Inductive Set T := TSort : nat -> T
  16                       |  TBRef : nat -> T
  17                       |  TTail : K -> T -> T -> T.
  18
  19       Hint f3KTT : ltlc := Resolve (f_equal3 K T T).
  20
  21       Definition s: K -> nat -> nat := [k;i] Cases k of
  22          | (Bind _) => (S i)
  23          | (Flat _) => i
  24       end.
  25
  26    Section s_props. (********************************************************)
  27
  28       Theorem s_S: (k:?; i:?) (s k (S i)) = (S (s k i)).
  29       XElim k; XAuto.
  30       Qed.
  31
  32       Theorem s_plus: (k:?; i,j:?) (s k (plus i j)) = (plus (s k i) j).
  33       XElim k; XAuto.
  34       Qed.
  35
  36       Theorem s_plus_sym: (k:?; i,j:?) (s k (plus i j)) = (plus i (s k j)).
  37       XElim k; [ Intros; Simpl; Rewrite plus_n_Sm | Idtac ]; XAuto.
  38       Qed.
  39
  40       Theorem s_minus: (k:?; i,j:?) (le j i) ->
  41                        (s k (minus i j)) = (minus (s k i) j).
  42       XElim k; [ Intros; Unfold s; Cbv Iota | XAuto ].
  43       Rewrite minus_Sn_m; XAuto.
  44       Qed.
  45
  46       Theorem minus_s_s: (k:?; i,j:?) (minus (s k i) (s k j)) = (minus i j).
  47       XElim k; XAuto.
  48       Qed.
  49
  50       Theorem s_le: (k:?; i,j:?) (le i j) -> (le (s k i) (s k j)).
  51       XElim k; Simpl; XAuto.
  52       Qed.
  53
  54       Theorem s_lt: (k:?; i,j:?) (lt i j) -> (lt (s k i) (s k j)).
  55       XElim k; Simpl; XAuto.
  56       Qed.
  57
  58       Theorem s_inj: (k:?; i,j:?) (s k i) = (s k j) -> i = j.
  59       XElim k; XEAuto.
  60       Qed.
  61
  62    End s_props.
  63
  64       Hints Resolve s_le s_lt s_inj.
  65
  66       Tactic Definition SRw :=
  67          Repeat (Rewrite s_S Orelse Rewrite s_plus_sym).
  68
  69       Tactic Definition SRwIn H :=
  70          Repeat (Rewrite s_S in H Orelse Rewrite s_plus in H).
  71
  72       Tactic Definition SRwBack :=
  73          Repeat (Rewrite <- s_S Orelse Rewrite <- s_plus Orelse Rewrite <- s_plus_sym).
  74
  75       Tactic Definition SRwBackIn H :=
  76          Repeat (Rewrite <- s_S in H Orelse Rewrite <- s_plus in H Orelse Rewrite <- s_plus_sym in H).
  77
  78       Hint discr : ltlc := Extern 4 (le ? (plus (s ? ?) ?)) SRwBack.