helm/matita/contribs/PREDICATIVE-TOPOLOGY/class_defs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* Project started Wed Oct 12, 2005 ***************************************)
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  17 set "baseuri" "cic:/matita/PREDICATIVE-TOPOLOGY/class_defs".
  18
  19 include "../../library/logic/connectives.ma".
  20
  21 (* ACZEL CATEGORIES:
  22    - We use typoids with a compatible membership relation
  23    - The category is intended to be the domain of the membership relation
  24    - The membership relation is necessary because we need to regard the
  25      domain of a propositional function (ie a predicative subset) as a
  26      quantification domain and therefore as a category, but there is no
  27      type in CIC representing the domain of a propositional function
  28    - We set up a single equality predicate, parametric on the category,
  29      defined as the reflexive, symmetic, transitive and compatible closure
  30      of the cle1 predicate given inside the category. Then we prove the
  31      properties of the equality that usually are axiomatized inside the
  32      category structure. This makes categories easier to use
  33 *)
  34
  35 definition true_f \def \lambda (X:Type). \lambda (_:X). True.
  36
  37 definition false_f \def \lambda (X:Type). \lambda (_:X). False.
  38
  39 record Class: Type \def {
  40    class: Type;
  41    cin  : class \to Prop;
  42    cle1 : class \to class \to Prop
  43 }.
  44
  45 coercion class.
  46
  47 inductive ceq (C:Class) (c1:C): C \to Prop \def
  48    | ceq_refl:   cin ? c1 \to ceq ? c1 c1
  49    | ceq_sing_r: \forall c2,c3.
  50                 ceq ? c1 c2 \to cin ? c3 \to cle1 ? c2 c3 \to ceq ? c1 c3
  51    | ceq_sing_l: \forall c2,c3.
  52                 ceq ? c1 c2 \to cin ? c3 \to cle1 ? c3 c2 \to ceq ? c1 c3.