helm/matita/contribs/PREDICATIVE-TOPOLOGY/subset_defs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/PREDICATIVE-TOPOLOGY/subset_defs".
  16
  17 include "domain_defs.ma".
  18
  19 (* SUBSETS
  20    - We use predicative subsets coded as propositional functions
  21      according to G.Sambin and S.Valentini "Toolbox"
  22 *)
  23
  24 definition Subset \def \lambda (D:Domain). D \to Prop.
  25
  26 (* subset membership (epsilon) *)
  27 definition sin : \forall D. Subset D \to D \to Prop \def
  28    \lambda (D:Domain). \lambda U,d. cin D d \and U d.
  29
  30 (* subset top (full subset) *)
  31 definition stop \def \lambda (D:Domain). true_f D.
  32
  33 (* subset bottom (empty subset) *)
  34 definition sbot \def \lambda (D:Domain). false_f D.
  35
  36 (* subset and (binary intersection) *)
  37 definition sand: \forall D. Subset D \to Subset D \to Subset D \def
  38    \lambda D,U1,U2,d. U1 d \land U2 d.
  39
  40 (* subset or (binary union) *)
  41 definition sor: \forall D. Subset D \to Subset D \to Subset D \def
  42    \lambda D,U1,U2,d. U1 d \lor U2 d.
  43
  44 (* subset less or equal (inclusion) *)
  45 definition sle: \forall D. Subset D \to Subset D \to Prop \def
  46    \lambda D,U1,U2. \iforall d. U1 d \to U2 d.
  47
  48 (* subset overlap *)
  49 definition sover: \forall D. Subset D \to Subset D \to Prop \def
  50    \lambda D,U1,U2. \iexists d. U1 d \land U2 d.
  51
  52 (* coercions **************************************************************)
  53
  54 (* the class of the subsets of a domain (not an implicit coercion) *)
  55 definition class_of_subsets_of \def
  56    \lambda D. mk_Class (Subset D) (true_f ?) (sle ?).
  57
  58 (* the domain built upon a subset *)
  59 definition domain_of_subset: \forall D. (Subset D) \to Domain \def
  60    \lambda (D:Domain). \lambda U.
  61    mk_Domain (mk_Class D (sin D U) (cle1 D)).
  62
  63 coercion domain_of_subset.
  64
  65 (* the full subset of a domain *)
  66 coercion stop.