helm/matita/library/Z/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Z/compare".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/compare.ma".
  19 include "Z/orders.ma".
  20 include "nat/compare.ma".
  21
  22 (* boolean equality *)
  23 definition eqZb : Z \to Z \to bool \def
  24 \lambda x,y:Z.
  25   match x with
  26   [ OZ \Rightarrow
  27       match y with
  28         [ OZ \Rightarrow true
  29         | (pos q) \Rightarrow false
  30         | (neg q) \Rightarrow false]
  31   | (pos p) \Rightarrow
  32       match y with
  33         [ OZ \Rightarrow false
  34         | (pos q) \Rightarrow eqb p q
  35         | (neg q) \Rightarrow false]
  36   | (neg p) \Rightarrow
  37       match y with
  38         [ OZ \Rightarrow false
  39         | (pos q) \Rightarrow false
  40         | (neg q) \Rightarrow eqb p q]].
  41
  42 theorem eqZb_to_Prop:
  43 \forall x,y:Z.
  44 match eqZb x y with
  45 [ true \Rightarrow x=y
  46 | false \Rightarrow \lnot x=y].
  47 intros.elim x.
  48 elim y.
  49 simplify.reflexivity.
  50 simplify.apply not_eq_OZ_neg.
  51 simplify.apply not_eq_OZ_pos.
  52 elim y.
  53 simplify.intro.apply not_eq_OZ_neg n ?.apply sym_eq.assumption.
  54 simplify.apply eqb_elim.intro.simplify.apply eq_f.assumption.
  55 intro.simplify.intro.apply H.apply inj_neg.assumption.
  56 simplify.intro.apply not_eq_pos_neg n1 n ?.apply sym_eq.assumption.
  57 elim y.
  58 simplify.intro.apply not_eq_OZ_pos n ?.apply sym_eq.assumption.
  59 simplify.apply not_eq_pos_neg.
  60 simplify.apply eqb_elim.intro.simplify.apply eq_f.assumption.
  61 intro.simplify.intro.apply H.apply inj_pos.assumption.
  62 qed.
  63
  64 theorem eqZb_elim: \forall x,y:Z.\forall P:bool \to Prop.
  65 (x=y \to (P true)) \to (\lnot x=y \to (P false)) \to P (eqZb x y).
  66 intros.
  67 cut
  68 match (eqZb x y) with
  69 [ true \Rightarrow x=y
  70 | false \Rightarrow \lnot x=y] \to P (eqZb x y).
  71 apply Hcut.
  72 apply eqZb_to_Prop.
  73 elim (eqZb).
  74 apply H H2.
  75 apply H1 H2.
  76 qed.
  77
  78 definition Z_compare : Z \to Z \to compare \def
  79 \lambda x,y:Z.
  80   match x with
  81   [ OZ \Rightarrow
  82     match y with
  83     [ OZ \Rightarrow EQ
  84     | (pos m) \Rightarrow LT
  85     | (neg m) \Rightarrow GT ]
  86   | (pos n) \Rightarrow
  87     match y with
  88     [ OZ \Rightarrow GT
  89     | (pos m) \Rightarrow (nat_compare n m)
  90     | (neg m) \Rightarrow GT]
  91   | (neg n) \Rightarrow
  92     match y with
  93     [ OZ \Rightarrow LT
  94     | (pos m) \Rightarrow LT
  95     | (neg m) \Rightarrow nat_compare m n ]].
  96
  97 theorem Z_compare_to_Prop :
  98 \forall x,y:Z. match (Z_compare x y) with
  99 [ LT \Rightarrow x < y
 100 | EQ \Rightarrow x=y
 101 | GT \Rightarrow y < x].
 102 intros.
 103 elim x. elim y.
 104 simplify.apply refl_eq.
 105 simplify.exact I.
 106 simplify.exact I.
 107 elim y. simplify.exact I.
 108 simplify.
 109 cut match (nat_compare n1 n) with
 110 [ LT \Rightarrow n1<n
 111 | EQ \Rightarrow n1=n
 112 | GT \Rightarrow n<n1] \to
 113 match (nat_compare n1 n) with
 114 [ LT \Rightarrow (S n1) \leq n
 115 | EQ \Rightarrow neg n = neg n1
 116 | GT \Rightarrow (S n) \leq n1].
 117 apply Hcut. apply nat_compare_to_Prop.
 118 elim (nat_compare n1 n).
 119 simplify.exact H.
 120 simplify.exact H.
 121 simplify.apply eq_f.apply sym_eq.exact H.
 122 simplify.exact I.
 123 elim y.simplify.exact I.
 124 simplify.exact I.
 125 simplify.
 126 cut match (nat_compare n n1) with
 127 [ LT \Rightarrow n<n1
 128 | EQ \Rightarrow n=n1
 129 | GT \Rightarrow n1<n] \to
 130 match (nat_compare n n1) with
 131 [ LT \Rightarrow (S n) \leq n1
 132 | EQ \Rightarrow pos n = pos n1
 133 | GT \Rightarrow (S n1) \leq n].
 134 apply Hcut. apply nat_compare_to_Prop.
 135 elim (nat_compare n n1).
 136 simplify.exact H.
 137 simplify.exact H.
 138 simplify.apply eq_f.exact H.
 139 qed.