helm/matita/library/Z/times.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       __                                                               *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Z/times".
  16
  17 include "nat/lt_arith.ma".
  18 include "Z/plus.ma".
  19
  20 definition Ztimes :Z \to Z \to Z \def
  21 \lambda x,y.
  22   match x with
  23     [ OZ \Rightarrow OZ
  24     | (pos m) \Rightarrow
  25         match y with
  26          [ OZ \Rightarrow OZ
  27          | (pos n) \Rightarrow (pos (pred ((S m) * (S n))))
  28          | (neg n) \Rightarrow (neg (pred ((S m) * (S n))))]
  29     | (neg m) \Rightarrow
  30         match y with
  31          [ OZ \Rightarrow OZ
  32          | (pos n) \Rightarrow (neg (pred ((S m) * (S n))))
  33          | (neg n) \Rightarrow (pos (pred ((S m) * (S n))))]].
  34
  35 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  36 interpretation "integer times" 'times x y = (cic:/matita/Z/times/Ztimes.con x y).
  37
  38 theorem Ztimes_z_OZ:  \forall z:Z. z*OZ = OZ.
  39 intro.elim z.
  40 simplify.reflexivity.
  41 simplify.reflexivity.
  42 simplify.reflexivity.
  43 qed.
  44
  45 theorem Ztimes_neg_Zopp: \forall n:nat.\forall x:Z.
  46 neg n * x = - (pos n * x).
  47 intros.elim x.
  48 simplify.reflexivity.
  49 simplify.reflexivity.
  50 simplify.reflexivity.
  51 qed.
  52 theorem symmetric_Ztimes : symmetric Z Ztimes.
  53 change with (\forall x,y:Z. x*y = y*x).
  54 intros.elim x.rewrite > Ztimes_z_OZ.reflexivity.
  55 elim y.simplify.reflexivity.
  56 change with (pos (pred ((S n) * (S n1))) = pos (pred ((S n1) * (S n)))).
  57 rewrite < sym_times.reflexivity.
  58 change with (neg (pred ((S n) * (S n1))) = neg (pred ((S n1) * (S n)))).
  59 rewrite < sym_times.reflexivity.
  60 elim y.simplify.reflexivity.
  61 change with (neg (pred ((S n) * (S n1))) = neg (pred ((S n1) * (S n)))).
  62 rewrite < sym_times.reflexivity.
  63 change with (pos (pred ((S n) * (S n1))) = pos (pred ((S n1) * (S n)))).
  64 rewrite < sym_times.reflexivity.
  65 qed.
  66
  67 variant sym_Ztimes : \forall x,y:Z. x*y = y*x
  68 \def symmetric_Ztimes.
  69
  70 theorem associative_Ztimes: associative Z Ztimes.
  71 change with (\forall x,y,z:Z. (x*y)*z = x*(y*z)).
  72 intros.elim x.
  73   simplify.reflexivity.
  74   elim y.
  75     simplify.reflexivity.
  76     elim z.
  77       simplify.reflexivity.
  78       change with
  79        (pos (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
  80        pos (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
  81         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
  82          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
  83       change with
  84        (neg (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
  85        neg (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
  86         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
  87          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
  88     elim z.
  89       simplify.reflexivity.
  90       change with
  91        (neg (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
  92        neg (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
  93         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
  94          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
  95       change with
  96        (pos (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
  97        pos(pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
  98         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
  99         apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
 100   elim y.
 101     simplify.reflexivity.
 102     elim z.
 103       simplify.reflexivity.
 104       change with
 105        (neg (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
 106        neg (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
 107         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
 108          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
 109       change with
 110        (pos (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
 111        pos (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
 112         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
 113          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
 114     elim z.
 115       simplify.reflexivity.
 116       change with
 117        (pos (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
 118        pos (pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
 119         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
 120          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
 121       change with
 122        (neg (pred ((S (pred ((S n) * (S n1)))) * (S n2))) =
 123        neg(pred ((S n) * (S (pred ((S n1) * (S n2))))))).
 124         rewrite < S_pred.rewrite < S_pred.rewrite < assoc_times.reflexivity.
 125          apply lt_O_times_S_S.apply lt_O_times_S_S.
 126 qed.
 127
 128 variant assoc_Ztimes : \forall x,y,z:Z.
 129 (x * y) * z = x * (y * z) \def
 130 associative_Ztimes.
 131
 132 lemma times_minus1: \forall n,p,q:nat. lt q p \to
 133 (S n) * (S (pred ((S p) - (S q)))) =
 134 pred ((S n) * (S p)) - pred ((S n) * (S q)).
 135 intros.
 136 rewrite < S_pred.
 137 rewrite > minus_pred_pred.
 138 rewrite < distr_times_minus.
 139 reflexivity.
 140 (* we now close all positivity conditions *)
 141 apply lt_O_times_S_S.
 142 apply lt_O_times_S_S.
 143 simplify.unfold lt.
 144 apply le_SO_minus.  exact H.
 145 qed.
 146
 147 lemma Ztimes_Zplus_pos_neg_pos: \forall n,p,q:nat.
 148 (pos n)*((neg p)+(pos q)) = (pos n)*(neg p)+ (pos n)*(pos q).
 149 intros.
 150 simplify.
 151 change in match (p + n * (S p)) with (pred ((S n) * (S p))).
 152 change in match (q + n * (S q)) with (pred ((S n) * (S q))).
 153 rewrite < nat_compare_pred_pred.
 154 rewrite < nat_compare_times_l.
 155 rewrite < nat_compare_S_S.
 156 apply (nat_compare_elim p q).
 157 intro.
 158 (* uff *)
 159 change with (pos (pred ((S n) * (S (pred ((S q) - (S p)))))) =
 160             pos (pred ((pred ((S n) * (S q))) - (pred ((S n) * (S p)))))).
 161 rewrite < (times_minus1 n q p H).reflexivity.
 162 intro.rewrite < H.simplify.reflexivity.
 163 intro.
 164 change with (neg (pred ((S n) * (S (pred ((S p) - (S q)))))) =
 165             neg (pred ((pred ((S n) * (S p))) - (pred ((S n) * (S q)))))).
 166 rewrite < (times_minus1 n p q H).reflexivity.
 167 (* two more positivity conditions from nat_compare_pred_pred *)
 168 apply lt_O_times_S_S.
 169 apply lt_O_times_S_S.
 170 qed.
 171
 172 lemma Ztimes_Zplus_pos_pos_neg: \forall n,p,q:nat.
 173 (pos n)*((pos p)+(neg q)) = (pos n)*(pos p)+ (pos n)*(neg q).
 174 intros.
 175 rewrite < sym_Zplus.
 176 rewrite > Ztimes_Zplus_pos_neg_pos.
 177 apply sym_Zplus.
 178 qed.
 179
 180 lemma distributive2_Ztimes_pos_Zplus:
 181 distributive2 nat Z (\lambda n,z. (pos n) * z) Zplus.
 182 change with (\forall n,y,z.
 183 (pos n) * (y + z) = (pos n) * y + (pos n) * z).
 184 intros.elim y.
 185   reflexivity.
 186   elim z.
 187     reflexivity.
 188     change with
 189      (pos (pred ((S n) * ((S n1) + (S n2)))) =
 190      pos (pred ((S n) * (S n1) + (S n) * (S n2)))).
 191       rewrite < distr_times_plus.reflexivity.
 192     apply Ztimes_Zplus_pos_pos_neg.
 193   elim z.
 194     reflexivity.
 195     apply Ztimes_Zplus_pos_neg_pos.
 196     change with
 197      (neg (pred ((S n) * ((S n1) + (S n2)))) =
 198      neg (pred ((S n) * (S n1) + (S n) * (S n2)))).
 199     rewrite < distr_times_plus.reflexivity.
 200 qed.
 201
 202 variant distr_Ztimes_Zplus_pos: \forall n,y,z.
 203 (pos n) * (y + z) = ((pos n) * y + (pos n) * z) \def
 204 distributive2_Ztimes_pos_Zplus.
 205
 206 lemma distributive2_Ztimes_neg_Zplus :
 207 distributive2 nat Z (\lambda n,z. (neg n) * z) Zplus.
 208 change with (\forall n,y,z.
 209 (neg n) * (y + z) = (neg n) * y + (neg n) * z).
 210 intros.
 211 rewrite > Ztimes_neg_Zopp.
 212 rewrite > distr_Ztimes_Zplus_pos.
 213 rewrite > Zopp_Zplus.
 214 rewrite < Ztimes_neg_Zopp. rewrite < Ztimes_neg_Zopp.
 215 reflexivity.
 216 qed.
 217
 218 variant distr_Ztimes_Zplus_neg: \forall n,y,z.
 219 (neg n) * (y + z) = (neg n) * y + (neg n) * z \def
 220 distributive2_Ztimes_neg_Zplus.
 221
 222 theorem distributive_Ztimes_Zplus: distributive Z Ztimes Zplus.
 223 change with (\forall x,y,z:Z. x * (y + z) = x*y + x*z).
 224 intros.elim x.
 225 (* case x = OZ *)
 226 simplify.reflexivity.
 227 (* case x = pos n *)
 228 apply distr_Ztimes_Zplus_pos.
 229 (* case x = neg n *)
 230 apply distr_Ztimes_Zplus_neg.
 231 qed.
 232
 233 variant distr_Ztimes_Zplus: \forall x,y,z.
 234 x * (y + z) = x*y + x*z \def
 235 distributive_Ztimes_Zplus.