helm/matita/library/higher_order_defs/functions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/higher_order_defs/functions/".
  16
  17 include "logic/equality.ma".
  18 include "logic/connectives.ma".
  19
  20 definition injective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  21 \def \lambda A,B.\lambda f.
  22   \forall x,y:A.f x = f y \to x=y.
  23
  24 (* we have still to attach exists *)
  25 definition surjective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  26 \def \lambda A,B.\lambda f.
  27   \forall z:B.ex A (\lambda x:A.z=f x).
  28
  29 definition symmetric: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  30 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
  31
  32 definition symmetric2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to A\to B.Prop
  33 \def \lambda A,B.\lambda f.\forall x,y.f x y = f y x.
  34
  35 definition associative: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  36 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y,z.f (f x y) z = f x (f y z).
  37
  38 (* functions and relations *)
  39 definition monotonic : \forall A:Type.\forall R:A \to A \to Prop.
  40 \forall f:A \to A.Prop \def
  41 \lambda A. \lambda R. \lambda f. \forall x,y:A.R x y \to R (f x) (f y).
  42
  43 (* functions and functions *)
  44 definition distributive: \forall A:Type.\forall f,g:A \to A \to A.Prop
  45 \def \lambda A.\lambda f,g.\forall x,y,z:A. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
  46
  47 definition distributive2: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B \to B.
  48 \forall g: B\to B\to B. Prop
  49 \def \lambda A,B.\lambda f,g.\forall x:A.\forall y,z:B. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).