helm/matita/library/higher_order_defs/functions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/higher_order_defs/functions/".
  16
  17 include "logic/equality.ma".
  18 include "logic/connectives.ma".
  19
  20 definition injective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  21 \def \lambda A,B.\lambda f.
  22   \forall x,y:A.eq B (f x) (f y) \to (eq A x y).
  23
  24 (* we have still to attach exists *)
  25 definition surjective: \forall A,B:Type.\forall f:A \to B.Prop
  26 \def \lambda A,B.\lambda f.
  27   \forall z:B.ex A (\lambda x:A.(eq B z (f x))).
  28
  29 definition symmetric: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  30 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y.eq A (f x y) (f y x).
  31
  32 definition associative: \forall A:Type.\forall f:A \to A\to A.Prop
  33 \def \lambda A.\lambda f.\forall x,y,z.eq A (f (f x y) z) (f x (f y z)).
  34
  35 (* functions and relations *)
  36 definition monotonic : \forall A:Type.\forall R:A \to A \to Prop.
  37 \forall f:A \to A.Prop \def
  38 \lambda A. \lambda R. \lambda f. \forall x,y:A.R x y \to R (f x) (f y).
  39
  40 (* functions and functions *)
  41 definition distributive: \forall A:Type.\forall f,g:A \to A \to A.Prop
  42 \def \lambda A.\lambda f,g.\forall x,y,z:A.eq A (f x (g y z)) (g (f x y) (f x z)).
  43
  44