helm/matita/library/list/list.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/list/".
  16 include "logic/equality.ma".
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18
  19 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  20   right associative with precedence 46
  21   for @{'cons $hd $tl}.
  22
  23 notation "[ list0 x sep ; ]"
  24   non associative with precedence 90
  25   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  26
  27 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  28   right associative with precedence 47
  29   for @{'append $l1 $l2 }.
  30
  31 inductive list (A:Set) : Set :=
  32   | nil: list A
  33   | cons: A -> list A -> list A.
  34
  35 interpretation "nil" 'nil = (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/1) _).
  36 interpretation "cons" 'cons hd tl =
  37   (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/2) _ hd tl).
  38
  39 (* theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: []. *)
  40
  41 theorem nil_cons:
  42   \forall A:Set.\forall l:list A.\forall a:A.
  43     a::l <> [].
  44   intros.
  45   unfold; intros.
  46   discriminate H.
  47 qed.
  48
  49 let rec id_list A (l: list A) on l :=
  50   match l with
  51   [ nil => []
  52   | (cons hd tl) => hd :: id_list A tl ].
  53
  54 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 :=
  55   match l1 with
  56   [ nil => l2
  57   | (cons hd tl) => hd :: append A tl l2 ].
  58
  59 definition tail := \lambda A:Set. \lambda l: list A.
  60   match l with
  61   [ nil => []
  62   | (cons hd tl) => tl].
  63
  64 interpretation "append" 'append l1 l2 = (cic:/matita/list/append.con _ l1 l2).
  65
  66 theorem append_nil: \forall A:Set.\forall l:list A.l @ [] = l.
  67   intros.
  68   elim l.
  69   reflexivity.
  70   simplify.
  71   rewrite > H.
  72   reflexivity.
  73 qed.
  74
  75 theorem associative_append: \forall A:Set.associative (list A) (append A).
  76   intros; unfold; intros.
  77   elim x.
  78   simplify; reflexivity.
  79   simplify.
  80   rewrite > H.
  81   reflexivity.
  82 qed.
  83
  84 theorem cons_append_commute:
  85   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.\forall a:A.
  86     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  87   intros.
  88   reflexivity.
  89 qed.
  90
  91 (*
  92 theorem nil_append_nil_both:
  93   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.
  94     l1 @ l2 = [] \to l1 = [] \land l2 = [].
  95 *)
  96
  97 (*
  98 include "nat/nat.ma".
  99
 100 theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: [].
 101 reflexivity.
 102 qed.
 103
 104 theorem test_append: [O;O;O;O;O;O] = [O;O;O] @ [O;O] @ [O].
 105 simplify.
 106 reflexivity.
 107 qed.
 108 *)