helm/matita/library/list/list.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/list/".
  16 include "logic/equality.ma".
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18
  19 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  20   right associative with precedence 46
  21   for @{'cons $hd $tl}.
  22
  23 notation "[ list0 x sep ; ]"
  24   non associative with precedence 90
  25   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  26
  27 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  28   right associative with precedence 47
  29   for @{'append $l1 $l2 }.
  30
  31 inductive list (A:Set) : Set :=
  32   | nil: list A
  33   | cons: A -> list A -> list A.
  34
  35 interpretation "nil" 'nil = (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/1) _).
  36 interpretation "cons" 'cons hd tl =
  37   (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/2) _ hd tl).
  38
  39 theorem nil_cons:
  40   \forall A:Set.\forall l:list A.\forall a:A.
  41     a::l <> [].
  42   intros.
  43   unfold; intros.
  44   discriminate H.
  45 qed.
  46
  47 let rec id_list A (l: list A) on l :=
  48   match l with
  49   [ nil => []
  50   | (cons hd tl) => hd :: id_list A tl ].
  51
  52 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 :=
  53   match l1 with
  54   [ nil => l2
  55   | (cons hd tl) => hd :: append A tl l2 ].
  56
  57 interpretation "append" 'append l1 l2 = (cic:/matita/list/append.con _ l1 l2).
  58
  59 theorem append_nil: \forall A:Set.\forall l:list A.l @ [] = l.
  60   intros.
  61   elim l.
  62   reflexivity.
  63   simplify.
  64   rewrite > H.
  65   reflexivity.
  66 qed.
  67
  68 theorem associative_append: \forall A:Set.associative (list A) (append A).
  69   intros; unfold; intros.
  70   elim x.
  71   simplify; reflexivity.
  72   simplify.
  73   rewrite > H.
  74   reflexivity.
  75 qed.
  76
  77 theorem cons_append_commute:
  78   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.\forall a:A.
  79     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  80   intros.
  81   reflexivity.
  82 qed.
  83
  84 (*
  85 theorem nil_append_nil_both:
  86   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.
  87     l1 @ l2 = [] \to l1 = [] \land l2 = [].
  88 *)
  89
  90 (*
  91 include "nat/nat.ma".
  92
  93 theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: [].
  94 reflexivity.
  95 qed.
  96
  97 theorem test_append: [O;O;O;O;O;O] = [O;O;O] @ [O;O] @ [O].
  98 simplify.
  99 reflexivity.
 100 qed.
 101 *)