helm/matita/library/list/list.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/list/".
  16 include "logic/equality.ma".
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18
  19 interpretation "leibnitz's equality" 'eq x y =
  20   (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y).
  21
  22 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  23   right associative with precedence 46
  24   for @{'cons $hd $tl}.
  25
  26 notation "[ list0 x sep ; ]"
  27   non associative with precedence 90
  28   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  29
  30 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  31   right associative with precedence 47
  32   for @{'append $l1 $l2 }.
  33
  34 inductive list (A:Set) : Set \def
  35   | nil: list A
  36   | cons: A \to list A \to list A.
  37
  38 interpretation "nil" 'nil = (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/1) _).
  39 interpretation "cons" 'cons hd tl =
  40   (cic:/matita/list/list.ind#xpointer(1/1/2) _ hd tl).
  41
  42 theorem nil_cons:
  43   \forall A:Set.\forall l:list A.\forall a:A.
  44     a::l \neq [].
  45   intros.
  46   unfold; intros.
  47   discriminate H.
  48 qed.
  49
  50 let rec id_list A (l: list A) on l \def
  51   match l with
  52   [ nil \Rightarrow []
  53   | (cons hd tl) \Rightarrow hd :: id_list A tl ].
  54
  55 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 \def
  56   match l1 with
  57   [ nil \Rightarrow l2
  58   | (cons hd tl) \Rightarrow hd :: append A tl l2 ].
  59
  60 interpretation "append" 'append l1 l2 = (cic:/matita/list/append.con _ l1 l2).
  61
  62 theorem append_nil: \forall A:Set.\forall l:list A.l @ [] = l.
  63   intros.
  64   elim l.
  65   reflexivity.
  66   simplify.
  67   rewrite > H.
  68   reflexivity.
  69 qed.
  70
  71 theorem associative_append: \forall A:Set.associative (list A) (append A).
  72   intros; unfold; intros.
  73   elim x.
  74   simplify; reflexivity.
  75   simplify.
  76   rewrite > H.
  77   reflexivity.
  78 qed.
  79
  80 theorem cons_append_commute:
  81   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.\forall a:A.
  82     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  83   intros.
  84   reflexivity.
  85 qed.
  86
  87 (*
  88 theorem nil_append_nil_both:
  89   \forall A:Set.\forall l1,l2:list A.
  90     l1 @ l2 = [] \to l1 = [] \land l2 = [].
  91 *)
  92
  93 (*
  94 include "nat/nat.ma".
  95
  96 theorem test_notation: [O; S O; S (S O)] = O :: S O :: S (S O) :: [].
  97 reflexivity.
  98 qed.
  99
 100 theorem test_append: [O;O;O;O;O;O] = [O;O;O] @ [O;O] @ [O].
 101 simplify.
 102 reflexivity.
 103 qed.
 104 *)