helm/matita/library/list/sort.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/list/sort/".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/constructors.ma".
  19 include "list/list.ma".
  20
  21 let rec mem (A:Set) (eq: A → A → bool) x (l: list A) on l ≝
  22  match l with
  23   [ nil ⇒ false
  24   | (cons a l') ⇒
  25     match eq x a with
  26      [ true ⇒ true
  27      | false ⇒ mem A eq x l'
  28      ]
  29   ].
  30
  31 let rec ordered (A:Set) (le: A → A → bool) (l: list A) on l ≝
  32  match l with
  33   [ nil ⇒ true
  34   | (cons x l') ⇒
  35      match l' with
  36       [ nil ⇒ true
  37       | (cons y l'') ⇒
  38           le x y \land ordered A le l'
  39       ]
  40   ].
  41
  42 let rec insert (A:Set) (le: A → A → bool) x (l: list A) on l ≝
  43  match l with
  44   [ nil ⇒ [x]
  45   | (cons he l') ⇒
  46       match le x he with
  47        [ true ⇒ x::l
  48        | false ⇒ he::(insert A le x l')
  49        ]
  50   ].
  51
  52 let rec insertionsort (A:Set) (le: A → A → bool) (l: list A) on l ≝
  53  match l with
  54   [ nil ⇒ []
  55   | (cons he l') ⇒
  56       let l'' ≝ insertionsort A le l' in
  57        insert A le he l''
  58   ].
  59
  60 lemma ordered_injective:
  61   ∀ A:Set. ∀ le:A → A → bool.
  62   ∀ l:list A.
  63   ordered A le l = true
  64   \to ordered A le (tail A l) = true.
  65   intros 3 (A le l).
  66   elim l
  67   [ simplify; reflexivity;
  68   | simplify;
  69     generalize in match H1;
  70     clear H1;
  71     elim l1;
  72     [ simplify; reflexivity;
  73     | cut ((le s s1 \land ordered A le (s1::l2)) = true);
  74       [ generalize in match Hcut;
  75         apply andb_elim;
  76         elim (le s s1);
  77         [ simplify;
  78           fold simplify (ordered ? le (s1::l2));
  79           intros; assumption;
  80         | simplify;
  81           intros (Habsurd);
  82           apply False_ind;
  83           apply (not_eq_true_false);
  84           symmetry;
  85           assumption
  86         ]
  87       | exact H2;
  88       ]
  89     ]
  90   ].
  91 qed.
  92
  93 lemma insert_sorted:
  94   \forall A:Set. \forall le:A\to A\to bool.
  95   (\forall a,b:A. le a b = false \to le b a = true) \to
  96   \forall l:list A. \forall x:A.
  97     ordered A le l = true \to ordered A le (insert A le x l) = true.
  98   intros 5 (A le H l x).
  99   elim l;
 100   [ 2: simplify;
 101        apply (bool_elim ? (le x s));
 102        [ intros;
 103          simplify;
 104          fold simplify (ordered ? le (s::l1));
 105          apply andb_elim;
 106          rewrite > H3;
 107          assumption;
 108        | generalize in match H2;
 109          clear H1; clear H2;
 110          generalize in match s;
 111          clear s;
 112          elim l1
 113          [ simplify;
 114            rewrite > (H x a H2);
 115            reflexivity;
 116          | simplify in \vdash (? ? (? ? ? %) ?);
 117             apply (bool_elim ? (le x s));
 118             [ intros;
 119               simplify;
 120               fold simplify (ordered A le (s::l2));
 121               apply andb_elim;
 122               rewrite > (H x a H3);
 123               simplify;
 124               fold simplify (ordered A le (s::l2));
 125               apply andb_elim;
 126               rewrite > H4;
 127               apply (ordered_injective A le (a::s::l2));
 128               assumption;
 129             | intros;
 130               simplify;
 131               fold simplify (ordered A le (s::(insert A le x l2)));
 132               apply andb_elim;
 133               simplify in H2;
 134               fold simplify (ordered A le (s::l2)) in H2;
 135               generalize in match H2;
 136               apply (andb_elim (le a s));
 137               elim (le a s);
 138               [ change with (ordered A le (s::l2) = true \to ordered A le (s::insert A le x l2) = true);
 139                 intros;
 140                 apply (H1 s);
 141                 assumption;
 142               | simplify; intros; assumption
 143               ]
 144            ]
 145          ]
 146       ]
 147    | simplify; reflexivity;
 148    ]
 149 qed.
 150
 151 theorem insertionsort_sorted:
 152   ∀A:Set.
 153   ∀le:A → A → bool.∀eq:A → A → bool.
 154   (∀a,b:A. le a b = false → le b a = true) \to
 155   ∀l:list A.
 156   ordered A le (insertionsort A le l) = true.
 157   intros 5 (A le eq le_tot l).
 158   elim l;
 159   [ simplify;
 160     reflexivity;
 161   | apply (insert_sorted A le le_tot (insertionsort A le l1) s);
 162     assumption;
 163   ]
 164 qed.
 165
 166 (*
 167 theorem insertionsort_correct:
 168   ∀A:Set.
 169   ∀le:A → A → bool.∀eq:A → A → bool.
 170   (∀a,b:A. le a b = false → le b a = true) \to
 171   ∀l,l':list A.
 172   l' = insertionsort A le l
 173   \to ordered A le l' = true
 174     ∧ ((\forall x:A. mem A eq x l = true \to mem A eq x l' = true)
 175         ∧ (\forall x:A. mem A eq x l = true \to mem A eq x l' = true)).
 176   intros;
 177   split;
 178   [ rewrite > H1;
 179     apply (insertionsort_sorted A le eq H);
 180   | split;
 181     [ TO BE CONTINUED ...
 182 *)