helm/matita/library/list/sort.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/list/sort/".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/constructors.ma".
  19 include "list/list.ma".
  20
  21 let rec mem (A:Set) (eq: A → A → bool) x (l: list A) on l ≝
  22  match l with
  23   [ nil ⇒ false
  24   | (cons a l') ⇒
  25     match eq x a with
  26      [ true ⇒ true
  27      | false ⇒ mem A eq x l'
  28      ]
  29   ].
  30
  31 let rec ordered (A:Set) (le: A → A → bool) (l: list A) on l ≝
  32  match l with
  33   [ nil ⇒ true
  34   | (cons x l') ⇒
  35      match l' with
  36       [ nil ⇒ true
  37       | (cons y l'') ⇒
  38           le x y \land ordered A le l'
  39       ]
  40   ].
  41
  42 let rec insert (A:Set) (le: A → A → bool) x (l: list A) on l ≝
  43  match l with
  44   [ nil ⇒ [x]
  45   | (cons he l') ⇒
  46       match le x he with
  47        [ true ⇒ x::l
  48        | false ⇒ he::(insert A le x l')
  49        ]
  50   ].
  51
  52 let rec insertionsort (A:Set) (le: A → A → bool) (l: list A) on l ≝
  53  match l with
  54   [ nil ⇒ []
  55   | (cons he l') ⇒
  56       let l'' ≝ insertionsort A le l' in
  57        insert A le he l''
  58   ].
  59
  60 lemma ordered_injective:
  61   ∀ A:Set. ∀ le:A → A → bool.
  62   ∀ l:list A.
  63   ordered A le l = true
  64   \to ordered A le (tail A l) = true.
  65   intros 3 (A le l).
  66   elim l
  67   [ simplify; reflexivity;
  68   | simplify;
  69     generalize in match H1;
  70     clear H1;
  71     elim l1;
  72     [ simplify; reflexivity;
  73     | cut ((le s s1 \land ordered A le (s1::l2)) = true);
  74       [ generalize in match Hcut;
  75         apply andb_elim;
  76         elim (le s s1);
  77         [ simplify;
  78           fold simplify (ordered ? le (s1::l2));
  79           intros; assumption;
  80         | simplify;
  81           intros (Habsurd);
  82           apply False_ind;
  83           apply (not_eq_true_false);
  84           symmetry;
  85           assumption
  86         ]
  87       | exact H2;
  88       ]
  89     ]
  90   ].
  91 qed.
  92
  93
  94 lemma insert_sorted:
  95   \forall A:Set. \forall le:A\to A\to bool.
  96   (\forall a,b:A. le a b = false \to le b a = true) \to
  97   \forall l:list A. \forall x:A.
  98     ordered A le l = true \to ordered A le (insert A le x l) = true.
  99  intros 5 (A le H l x).
 100  apply (
 101   let rec insert_ind (l: list A) \def
 102   match l in list
 103   return
 104     λli.
 105      l = li → ordered ? le li = true →
 106       ordered ? le (insert A le x li) = true
 107   with
 108    [ nil ⇒ ?
 109    | (cons he l') ⇒
 110        match le x he
 111        return
 112         λb. le x he = b → l = he::l' →
 113          ordered ? le (he::l') = true → ordered ? le
 114           (match b with
 115             [ true ⇒ x::he::l'
 116             | false ⇒ he::(insert A le x l') ]) = true
 117        with
 118         [ true ⇒ ?
 119         | false ⇒ let res ≝ insert_ind l' in ?
 120         ]
 121        (refl_eq ? (le x he))
 122    ] (refl_eq ? l) in insert_ind l);
 123
 124   intros; simplify;
 125   [ rewrite > insert_ind;
 126     [ generalize in match (H ? ? H1); clear H1; intro;
 127       generalize in match H3; clear H3;
 128       elim l'; simplify;
 129       [ rewrite > H4;
 130         reflexivity
 131       | elim (le x s); simplify;
 132         [ rewrite > H4;
 133           reflexivity
 134         | simplify in H3;
 135           rewrite > (andb_true_true ? ? H3);
 136           reflexivity
 137         ]
 138       ]
 139
 140     | apply (ordered_injective ? ? ? H3)
 141     ]
 142   | rewrite > H1;
 143     rewrite > H3;
 144     reflexivity
 145   | reflexivity
 146   ].
 147 qed.
 148
 149 theorem insertionsort_sorted:
 150   ∀A:Set.
 151   ∀le:A → A → bool.∀eq:A → A → bool.
 152   (∀a,b:A. le a b = false → le b a = true) \to
 153   ∀l:list A.
 154   ordered A le (insertionsort A le l) = true.
 155   intros 5 (A le eq le_tot l).
 156   elim l;
 157   [ simplify;
 158     reflexivity;
 159   | apply (insert_sorted A le le_tot (insertionsort A le l1) s);
 160     assumption;
 161   ]
 162 qed.