helm/matita/library/logic/equality.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/logic/equality/".
  16
  17 include "higher_order_defs/relations.ma".
  18
  19 inductive eq (A:Type) (x:A) : A \to Prop \def
  20     refl_eq : eq A x x.
  21
  22 theorem reflexive_eq : \forall A:Type. reflexive A (eq A).
  23 simplify.intros.apply refl_eq.
  24 qed.
  25
  26 theorem symmetric_eq: \forall A:Type. symmetric A (eq A).
  27 simplify.intros.elim H. apply refl_eq.
  28 qed.
  29
  30 theorem sym_eq : \forall A:Type.\forall x,y:A. eq A x y  \to eq A y x
  31 \def symmetric_eq.
  32
  33 theorem transitive_eq : \forall A:Type. transitive A (eq A).
  34 simplify.intros.elim H1.assumption.
  35 qed.
  36
  37 theorem trans_eq : \forall A:Type.\forall x,y,z:A. eq A x y  \to eq A y z \to eq A x z
  38 \def transitive_eq.
  39
  40 theorem eq_elim_r:
  41  \forall A:Type.\forall x:A. \forall P: A \to Prop.
  42    P x \to \forall y:A. eq A y x \to P y.
  43 intros. elim sym_eq ? ? ? H1.assumption.
  44 qed.
  45
  46 default "equality"
  47  cic:/matita/logic/equality/eq.ind
  48  cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con
  49  cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con
  50  cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con
  51  cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r.con.
  52
  53 theorem eq_f: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  54 \forall x,y:A. eq A x y \to eq B (f x) (f y).
  55 intros.elim H.reflexivity.
  56 qed.
  57
  58 theorem eq_f2: \forall  A,B,C:Type.\forall f:A\to B \to C.
  59 \forall x1,x2:A. \forall y1,y2:B.
  60 eq A x1 x2\to eq B y1 y2\to eq C (f x1 y1) (f x2 y2).
  61 intros.elim H1.elim H.reflexivity.
  62 qed.