helm/matita/library/logic/equality.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/logic/equality/".
  16
  17 include "higher_order_defs/relations.ma".
  18
  19 inductive eq (A:Type) (x:A) : A \to Prop \def
  20     refl_eq : eq A x x.
  21
  22 interpretation "leibnitz's equality"
  23    'eq x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) _ x y).
  24 alias symbol "eq" (instance 0) = "leibnitz's equality".
  25
  26
  27 theorem reflexive_eq : \forall A:Type. reflexive A (eq A).
  28 simplify.intros.apply refl_eq.
  29 qed.
  30
  31 theorem symmetric_eq: \forall A:Type. symmetric A (eq A).
  32 simplify.intros.elim H. apply refl_eq.
  33 qed.
  34
  35 theorem sym_eq : \forall A:Type.\forall x,y:A. x=y  \to y=x
  36 \def symmetric_eq.
  37
  38 theorem transitive_eq : \forall A:Type. transitive A (eq A).
  39 simplify.intros.elim H1.assumption.
  40 qed.
  41
  42 theorem trans_eq : \forall A:Type.\forall x,y,z:A. x=y  \to y=z \to x=z
  43 \def transitive_eq.
  44
  45 theorem eq_elim_r:
  46  \forall A:Type.\forall x:A. \forall P: A \to Prop.
  47    P x \to \forall y:A. y=x \to P y.
  48 intros. elim sym_eq ? ? ? H1.assumption.
  49 qed.
  50
  51 default "equality"
  52  cic:/matita/logic/equality/eq.ind
  53  cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con
  54  cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con
  55  cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con
  56  cic:/matita/logic/equality/eq_elim_r.con.
  57
  58 theorem eq_f: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  59 \forall x,y:A. x=y \to f x = f y.
  60 intros.elim H.reflexivity.
  61 qed.
  62
  63 theorem eq_f2: \forall  A,B,C:Type.\forall f:A\to B \to C.
  64 \forall x1,x2:A. \forall y1,y2:B.
  65 x1=x2 \to y1=y2 \to f x1 y1 = f x2 y2.
  66 intros.elim H1.elim H.reflexivity.
  67 qed.