helm/matita/library/nat/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/compare".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/compare.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 let rec eqb n m \def
  22 match n with
  23   [ O \Rightarrow
  24      match m with
  25      [ O \Rightarrow true
  26            | (S q) \Rightarrow false]
  27   | (S p) \Rightarrow
  28            match m with
  29      [ O \Rightarrow false
  30            | (S q) \Rightarrow eqb p q]].
  31
  32 theorem eqb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  33 match (eqb n m) with
  34 [ true  \Rightarrow n = m
  35 | false \Rightarrow n \neq m].
  36 intros.
  37 apply nat_elim2
  38 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
  39 [ true  \Rightarrow n = m
  40 | false \Rightarrow n \neq m]).
  41 intro.elim n1.
  42 simplify.reflexivity.
  43 simplify.apply not_eq_O_S.
  44 intro.
  45 simplify.
  46 intro. apply not_eq_O_S n1.apply sym_eq.assumption.
  47 intros.simplify.
  48 generalize in match H.
  49 elim (eqb n1 m1).
  50 simplify.apply eq_f.apply H1.
  51 simplify.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem eqb_elim : \forall n,m:nat.\forall P:bool \to Prop.
  55 (n=m \to (P true)) \to (n \neq m \to (P false)) \to (P (eqb n m)).
  56 intros.
  57 cut
  58 match (eqb n m) with
  59 [ true  \Rightarrow n = m
  60 | false \Rightarrow n \neq m] \to (P (eqb n m)).
  61 apply Hcut.apply eqb_to_Prop.
  62 elim eqb n m.
  63 apply (H H2).
  64 apply (H1 H2).
  65 qed.
  66
  67 let rec leb n m \def
  68 match n with
  69     [ O \Rightarrow true
  70     | (S p) \Rightarrow
  71         match m with
  72         [ O \Rightarrow false
  73         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
  74
  75 theorem leb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  76 match (leb n m) with
  77 [ true  \Rightarrow n \leq m
  78 | false \Rightarrow n \nleq m].
  79 intros.
  80 apply nat_elim2
  81 (\lambda n,m:nat.match (leb n m) with
  82 [ true  \Rightarrow n \leq m
  83 | false \Rightarrow n \nleq m]).
  84 simplify.exact le_O_n.
  85 simplify.exact not_le_Sn_O.
  86 intros 2.simplify.elim (leb n1 m1).
  87 simplify.apply le_S_S.apply H.
  88 simplify.intros.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  89 qed.
  90
  91 theorem leb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
  92 (n \leq m \to (P true)) \to (n \nleq m \to (P false)) \to
  93 P (leb n m).
  94 intros.
  95 cut
  96 match (leb n m) with
  97 [ true  \Rightarrow n \leq m
  98 | false \Rightarrow n \nleq m] \to (P (leb n m)).
  99 apply Hcut.apply leb_to_Prop.
 100 elim leb n m.
 101 apply (H H2).
 102 apply (H1 H2).
 103 qed.
 104
 105 let rec nat_compare n m: compare \def
 106 match n with
 107 [ O \Rightarrow
 108     match m with
 109       [ O \Rightarrow EQ
 110       | (S q) \Rightarrow LT ]
 111 | (S p) \Rightarrow
 112     match m with
 113       [ O \Rightarrow GT
 114       | (S q) \Rightarrow nat_compare p q]].
 115
 116 theorem nat_compare_n_n: \forall n:nat. nat_compare n n = EQ.
 117 intro.elim n.
 118 simplify.reflexivity.
 119 simplify.assumption.
 120 qed.
 121
 122 theorem nat_compare_S_S: \forall n,m:nat.
 123 nat_compare n m = nat_compare (S n) (S m).
 124 intros.simplify.reflexivity.
 125 qed.
 126
 127 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 128 intro.elim n.apply False_ind.exact not_le_Sn_O O H.
 129 apply eq_f.apply pred_Sn.
 130 qed.
 131
 132 theorem nat_compare_pred_pred:
 133 \forall n,m:nat.lt O n \to lt O m \to
 134 eq compare (nat_compare n m) (nat_compare (pred n) (pred m)).
 135 intros.
 136 apply lt_O_n_elim n H.
 137 apply lt_O_n_elim m H1.
 138 intros.
 139 simplify.reflexivity.
 140 qed.
 141
 142 theorem nat_compare_to_Prop: \forall n,m:nat.
 143 match (nat_compare n m) with
 144   [ LT \Rightarrow n < m
 145   | EQ \Rightarrow n=m
 146   | GT \Rightarrow m < n ].
 147 intros.
 148 apply nat_elim2 (\lambda n,m.match (nat_compare n m) with
 149   [ LT \Rightarrow n < m
 150   | EQ \Rightarrow n=m
 151   | GT \Rightarrow m < n ]).
 152 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 153 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 154 intro.simplify.apply le_S_S. apply le_O_n.
 155 intros 2.simplify.elim (nat_compare n1 m1).
 156 simplify. apply le_S_S.apply H.
 157 simplify. apply eq_f. apply H.
 158 simplify. apply le_S_S.apply H.
 159 qed.
 160
 161 theorem nat_compare_n_m_m_n: \forall n,m:nat.
 162 nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n).
 163 intros.
 164 apply nat_elim2 (\lambda n,m. nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n)).
 165 intros.elim n1.simplify.reflexivity.
 166 simplify.reflexivity.
 167 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 168 simplify.reflexivity.
 169 intros.simplify.elim H.reflexivity.
 170 qed.
 171
 172 theorem nat_compare_elim : \forall n,m:nat. \forall P:compare \to Prop.
 173 (n < m \to P LT) \to (n=m \to P EQ) \to (m < n \to P GT) \to
 174 (P (nat_compare n m)).
 175 intros.
 176 cut match (nat_compare n m) with
 177 [ LT \Rightarrow n < m
 178 | EQ \Rightarrow n=m
 179 | GT \Rightarrow m < n] \to
 180 (P (nat_compare n m)).
 181 apply Hcut.apply nat_compare_to_Prop.
 182 elim (nat_compare n m).
 183 apply (H H3).
 184 apply (H1 H3).
 185 apply (H2 H3).
 186 qed.