helm/matita/library/nat/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/compare".
  16
  17 include "nat/orders.ma".
  18 include "datatypes/bool.ma".
  19 include "datatypes/compare.ma".
  20
  21 let rec leb n m \def
  22 match n with
  23     [ O \Rightarrow true
  24     | (S p) \Rightarrow
  25         match m with
  26         [ O \Rightarrow false
  27         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
  28
  29 theorem leb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  30 match (leb n m) with
  31 [ true  \Rightarrow n \leq m
  32 | false \Rightarrow \lnot (n \leq m)].
  33 intros.
  34 apply nat_elim2
  35 (\lambda n,m:nat.match (leb n m) with
  36 [ true  \Rightarrow n \leq m
  37 | false \Rightarrow \lnot (n \leq m)]).
  38 simplify.exact le_O_n.
  39 simplify.exact not_le_Sn_O.
  40 intros 2.simplify.elim (leb n1 m1).
  41 simplify.apply le_S_S.apply H.
  42 simplify.intros.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  43 qed.
  44
  45 theorem leb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
  46 (n \leq m \to (P true)) \to (\not (n \leq m) \to (P false)) \to
  47 P (leb n m).
  48 intros.
  49 cut
  50 match (leb n m) with
  51 [ true  \Rightarrow n \leq m
  52 | false \Rightarrow \lnot (n \leq m)] \to (P (leb n m)).
  53 apply Hcut.apply leb_to_Prop.
  54 elim leb n m.
  55 apply (H H2).
  56 apply (H1 H2).
  57 qed.
  58
  59 let rec nat_compare n m: compare \def
  60 match n with
  61 [ O \Rightarrow
  62     match m with
  63       [ O \Rightarrow EQ
  64       | (S q) \Rightarrow LT ]
  65 | (S p) \Rightarrow
  66     match m with
  67       [ O \Rightarrow GT
  68       | (S q) \Rightarrow nat_compare p q]].
  69
  70 theorem nat_compare_n_n: \forall n:nat. nat_compare n n = EQ.
  71 intro.elim n.
  72 simplify.reflexivity.
  73 simplify.assumption.
  74 qed.
  75
  76 theorem nat_compare_S_S: \forall n,m:nat.
  77 nat_compare n m = nat_compare (S n) (S m).
  78 intros.simplify.reflexivity.
  79 qed.
  80
  81 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
  82 intro.elim n.apply False_ind.exact not_le_Sn_O O H.
  83 apply eq_f.apply pred_Sn.
  84 qed.
  85
  86 theorem nat_compare_pred_pred:
  87 \forall n,m:nat.lt O n \to lt O m \to
  88 eq compare (nat_compare n m) (nat_compare (pred n) (pred m)).
  89 intros.
  90 apply lt_O_n_elim n H.
  91 apply lt_O_n_elim m H1.
  92 intros.
  93 simplify.reflexivity.
  94 qed.
  95
  96 theorem nat_compare_to_Prop: \forall n,m:nat.
  97 match (nat_compare n m) with
  98   [ LT \Rightarrow n < m
  99   | EQ \Rightarrow n=m
 100   | GT \Rightarrow m < n ].
 101 intros.
 102 apply nat_elim2 (\lambda n,m.match (nat_compare n m) with
 103   [ LT \Rightarrow n < m
 104   | EQ \Rightarrow n=m
 105   | GT \Rightarrow m < n ]).
 106 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 107 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 108 intro.simplify.apply le_S_S. apply le_O_n.
 109 intros 2.simplify.elim (nat_compare n1 m1).
 110 simplify. apply le_S_S.apply H.
 111 simplify. apply le_S_S.apply H.
 112 simplify. apply eq_f. apply H.
 113 qed.
 114
 115 theorem nat_compare_n_m_m_n: \forall n,m:nat.
 116 nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n).
 117 intros.
 118 apply nat_elim2 (\lambda n,m. nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n)).
 119 intros.elim n1.simplify.reflexivity.
 120 simplify.reflexivity.
 121 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 122 simplify.reflexivity.
 123 intros.simplify.elim H.reflexivity.
 124 qed.
 125
 126 theorem nat_compare_elim : \forall n,m:nat. \forall P:compare \to Prop.
 127 (n < m \to P LT) \to (n=m \to P EQ) \to (m < n \to P GT) \to
 128 (P (nat_compare n m)).
 129 intros.
 130 cut match (nat_compare n m) with
 131 [ LT \Rightarrow n < m
 132 | EQ \Rightarrow n=m
 133 | GT \Rightarrow m < n] \to
 134 (P (nat_compare n m)).
 135 apply Hcut.apply nat_compare_to_Prop.
 136 elim (nat_compare n m).
 137 apply (H H3).
 138 apply (H2 H3).
 139 apply (H1 H3).
 140 qed.