helm/matita/library/nat/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/compare".
  16
  17 include "nat/orders.ma".
  18 include "datatypes/bool.ma".
  19
  20 let rec leb n m \def
  21 match n with
  22     [ O \Rightarrow true
  23     | (S p) \Rightarrow
  24         match m with
  25         [ O \Rightarrow false
  26         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
  27
  28 theorem leb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  29 match (leb n m) with
  30 [ true  \Rightarrow (le n m)
  31 | false \Rightarrow (Not (le n m))].
  32 intros.
  33 apply nat_elim2
  34 (\lambda n,m:nat.match (leb n m) with
  35 [ true  \Rightarrow (le n m)
  36 | false \Rightarrow (Not (le n m))]).
  37 simplify.exact le_O_n.
  38 simplify.exact not_le_Sn_O.
  39 intros 2.simplify.elim (leb n1 m1).
  40 simplify.apply le_S_S.apply H.
  41 simplify.intros.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
  42 qed.
  43
  44 theorem le_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
  45 ((le n m) \to (P true)) \to ((Not (le n m)) \to (P false)) \to
  46 P (leb n m).
  47 intros.
  48 cut
  49 match (leb n m) with
  50 [ true  \Rightarrow (le n m)
  51 | false \Rightarrow (Not (le n m))] \to (P (leb n m)).
  52 apply Hcut.apply leb_to_Prop.
  53 elim leb n m.
  54 apply (H H2).
  55 apply (H1 H2).
  56 qed.
  57
  58
  59