helm/matita/library/nat/compare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/compare".
  16
  17 include "datatypes/bool.ma".
  18 include "datatypes/compare.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 let rec eqb n m \def
  22 match n with
  23   [ O \Rightarrow
  24      match m with
  25      [ O \Rightarrow true
  26            | (S q) \Rightarrow false]
  27   | (S p) \Rightarrow
  28            match m with
  29      [ O \Rightarrow false
  30            | (S q) \Rightarrow eqb p q]].
  31
  32 theorem eqb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  33 match (eqb n m) with
  34 [ true  \Rightarrow n = m
  35 | false \Rightarrow n \neq m].
  36 intros.
  37 apply (nat_elim2
  38 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
  39 [ true  \Rightarrow n = m
  40 | false \Rightarrow n \neq m])).
  41 intro.elim n1.
  42 simplify.reflexivity.
  43 simplify.apply not_eq_O_S.
  44 intro.
  45 simplify.
  46 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
  47 intros.simplify.
  48 generalize in match H.
  49 elim ((eqb n1 m1)).
  50 simplify.apply eq_f.apply H1.
  51 simplify.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
  52 qed.
  53
  54 theorem eqb_elim : \forall n,m:nat.\forall P:bool \to Prop.
  55 (n=m \to (P true)) \to (n \neq m \to (P false)) \to (P (eqb n m)).
  56 intros.
  57 cut
  58 (match (eqb n m) with
  59 [ true  \Rightarrow n = m
  60 | false \Rightarrow n \neq m] \to (P (eqb n m))).
  61 apply Hcut.apply eqb_to_Prop.
  62 elim (eqb n m).
  63 apply ((H H2)).
  64 apply ((H1 H2)).
  65 qed.
  66
  67 theorem eqb_n_n: \forall n. eqb n n = true.
  68 intro.elim n.simplify.reflexivity.
  69 simplify.assumption.
  70 qed.
  71
  72 theorem eq_to_eqb_true: \forall n,m:nat.
  73 n = m \to eqb n m = true.
  74 intros.apply (eqb_elim n m).
  75 intros. reflexivity.
  76 intros.apply False_ind.apply (H1 H).
  77 qed.
  78
  79 theorem not_eq_to_eqb_false: \forall n,m:nat.
  80 \lnot (n = m) \to eqb n m = false.
  81 intros.apply (eqb_elim n m).
  82 intros. apply False_ind.apply (H H1).
  83 intros.reflexivity.
  84 qed.
  85
  86 let rec leb n m \def
  87 match n with
  88     [ O \Rightarrow true
  89     | (S p) \Rightarrow
  90         match m with
  91         [ O \Rightarrow false
  92         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
  93
  94 theorem leb_to_Prop: \forall n,m:nat.
  95 match (leb n m) with
  96 [ true  \Rightarrow n \leq m
  97 | false \Rightarrow n \nleq m].
  98 intros.
  99 apply (nat_elim2
 100 (\lambda n,m:nat.match (leb n m) with
 101 [ true  \Rightarrow n \leq m
 102 | false \Rightarrow n \nleq m])).
 103 simplify.exact le_O_n.
 104 simplify.exact not_le_Sn_O.
 105 intros 2.simplify.elim ((leb n1 m1)).
 106 simplify.apply le_S_S.apply H.
 107 simplify.intros.apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.
 108 qed.
 109
 110 theorem leb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
 111 (n \leq m \to (P true)) \to (n \nleq m \to (P false)) \to
 112 P (leb n m).
 113 intros.
 114 cut
 115 (match (leb n m) with
 116 [ true  \Rightarrow n \leq m
 117 | false \Rightarrow n \nleq m] \to (P (leb n m))).
 118 apply Hcut.apply leb_to_Prop.
 119 elim (leb n m).
 120 apply ((H H2)).
 121 apply ((H1 H2)).
 122 qed.
 123
 124 let rec nat_compare n m: compare \def
 125 match n with
 126 [ O \Rightarrow
 127     match m with
 128       [ O \Rightarrow EQ
 129       | (S q) \Rightarrow LT ]
 130 | (S p) \Rightarrow
 131     match m with
 132       [ O \Rightarrow GT
 133       | (S q) \Rightarrow nat_compare p q]].
 134
 135 theorem nat_compare_n_n: \forall n:nat. nat_compare n n = EQ.
 136 intro.elim n.
 137 simplify.reflexivity.
 138 simplify.assumption.
 139 qed.
 140
 141 theorem nat_compare_S_S: \forall n,m:nat.
 142 nat_compare n m = nat_compare (S n) (S m).
 143 intros.simplify.reflexivity.
 144 qed.
 145
 146 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 147 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 148 apply eq_f.apply pred_Sn.
 149 qed.
 150
 151 theorem nat_compare_pred_pred:
 152 \forall n,m:nat.lt O n \to lt O m \to
 153 eq compare (nat_compare n m) (nat_compare (pred n) (pred m)).
 154 intros.
 155 apply (lt_O_n_elim n H).
 156 apply (lt_O_n_elim m H1).
 157 intros.
 158 simplify.reflexivity.
 159 qed.
 160
 161 theorem nat_compare_to_Prop: \forall n,m:nat.
 162 match (nat_compare n m) with
 163   [ LT \Rightarrow n < m
 164   | EQ \Rightarrow n=m
 165   | GT \Rightarrow m < n ].
 166 intros.
 167 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.match (nat_compare n m) with
 168   [ LT \Rightarrow n < m
 169   | EQ \Rightarrow n=m
 170   | GT \Rightarrow m < n ])).
 171 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 172 simplify.apply le_S_S.apply le_O_n.
 173 intro.simplify.apply le_S_S. apply le_O_n.
 174 intros 2.simplify.elim ((nat_compare n1 m1)).
 175 simplify. apply le_S_S.apply H.
 176 simplify. apply eq_f. apply H.
 177 simplify. apply le_S_S.apply H.
 178 qed.
 179
 180 theorem nat_compare_n_m_m_n: \forall n,m:nat.
 181 nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n).
 182 intros.
 183 apply (nat_elim2 (\lambda n,m. nat_compare n m = compare_invert (nat_compare m n))).
 184 intros.elim n1.simplify.reflexivity.
 185 simplify.reflexivity.
 186 intro.elim n1.simplify.reflexivity.
 187 simplify.reflexivity.
 188 intros.simplify.elim H.reflexivity.
 189 qed.
 190
 191 theorem nat_compare_elim : \forall n,m:nat. \forall P:compare \to Prop.
 192 (n < m \to P LT) \to (n=m \to P EQ) \to (m < n \to P GT) \to
 193 (P (nat_compare n m)).
 194 intros.
 195 cut (match (nat_compare n m) with
 196 [ LT \Rightarrow n < m
 197 | EQ \Rightarrow n=m
 198 | GT \Rightarrow m < n] \to
 199 (P (nat_compare n m))).
 200 apply Hcut.apply nat_compare_to_Prop.
 201 elim ((nat_compare n m)).
 202 apply ((H H3)).
 203 apply ((H1 H3)).
 204 apply ((H2 H3)).
 205 qed.