helm/matita/library/nat/congruence.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/congruence".
  16
  17 include "nat/relevant_equations.ma".
  18 include "nat/primes.ma".
  19
  20 definition S_mod: nat \to nat \to nat \def
  21 \lambda n,m:nat. (S m) \mod n.
  22
  23 definition congruent: nat \to nat \to nat \to Prop \def
  24 \lambda n,m,p:nat. mod n p = mod m p.
  25
  26 theorem congruent_n_n: \forall n,p:nat.congruent n n p.
  27 intros.unfold congruent.reflexivity.
  28 qed.
  29
  30 theorem transitive_congruent: \forall p:nat. transitive nat
  31 (\lambda n,m. congruent n m p).
  32 intros.unfold transitive.unfold congruent.intros.
  33 whd.apply (trans_eq ? ? (y \mod p)).
  34 apply H.apply H1.
  35 qed.
  36
  37 theorem le_to_mod: \forall n,m:nat. n \lt m \to n = n \mod m.
  38 intros.
  39 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m O n (n/m) (n \mod m)).
  40 constructor 1.assumption.simplify.reflexivity.
  41 apply div_mod_spec_div_mod.
  42 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
  43 qed.
  44
  45 theorem mod_mod : \forall n,p:nat. O<p \to n \mod p = (n \mod p) \mod p.
  46 intros.
  47 rewrite > (div_mod (n \mod p) p) in \vdash (? ? % ?).
  48 rewrite > (eq_div_O ? p).reflexivity.
  49 (* uffa: hint non lo trova lt vs. le*)
  50 apply lt_mod_m_m.
  51 assumption.
  52 assumption.
  53 qed.
  54
  55 theorem mod_times_mod : \forall n,m,p:nat. O<p \to O<m \to n \mod p = (n \mod (m*p)) \mod p.
  56 intros.
  57 apply (div_mod_spec_to_eq2 n p (n/p) (n \mod p)
  58 (n/(m*p)*m + (n \mod (m*p)/p))).
  59 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  60 constructor 1.
  61 apply lt_mod_m_m.assumption.
  62 rewrite > times_plus_l.
  63 rewrite > assoc_plus.
  64 rewrite < div_mod.
  65 rewrite > assoc_times.
  66 rewrite < div_mod.
  67 reflexivity.
  68 rewrite > (times_n_O O).
  69 apply lt_times.
  70 assumption.assumption.assumption.
  71 qed.
  72
  73 theorem congruent_n_mod_n :
  74 \forall n,p:nat. O < p \to congruent n (n \mod p) p.
  75 intros.unfold congruent.
  76 apply mod_mod.assumption.
  77 qed.
  78
  79 theorem congruent_n_mod_times :
  80 \forall n,m,p:nat. O < p \to O < m \to congruent n (n \mod (m*p)) p.
  81 intros.unfold congruent.
  82 apply mod_times_mod.assumption.assumption.
  83 qed.
  84
  85 theorem eq_times_plus_to_congruent: \forall n,m,p,r:nat. O< p \to
  86 n = r*p+m \to congruent n m p.
  87 intros.unfold congruent.
  88 apply (div_mod_spec_to_eq2 n p (div n p) (mod n p) (r +(div m p)) (mod m p)).
  89 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  90 constructor 1.
  91 apply lt_mod_m_m.assumption.
  92 rewrite > sym_times.
  93 rewrite > distr_times_plus.
  94 rewrite > sym_times.
  95 rewrite > (sym_times p).
  96 rewrite > assoc_plus.
  97 rewrite < div_mod.
  98 assumption.assumption.
  99 qed.
 100
 101 theorem divides_to_congruent: \forall n,m,p:nat. O < p \to m \le n \to
 102 divides p (n - m) \to congruent n m p.
 103 intros.elim H2.
 104 apply (eq_times_plus_to_congruent n m p n2).
 105 assumption.
 106 rewrite < sym_plus.
 107 apply minus_to_plus.assumption.
 108 rewrite > sym_times. assumption.
 109 qed.
 110
 111 theorem congruent_to_divides: \forall n,m,p:nat.
 112 O < p \to congruent n m p \to divides p (n - m).
 113 intros.unfold congruent in H1.
 114 apply (witness ? ? ((n / p)-(m / p))).
 115 rewrite > sym_times.
 116 rewrite > (div_mod n p) in \vdash (? ? % ?).
 117 rewrite > (div_mod m p) in \vdash (? ? % ?).
 118 rewrite < (sym_plus (m \mod p)).
 119 rewrite < H1.
 120 rewrite < (eq_minus_minus_minus_plus ? (n \mod p)).
 121 rewrite < minus_plus_m_m.
 122 apply sym_eq.
 123 apply times_minus_l.
 124 assumption.assumption.
 125 qed.
 126
 127 theorem mod_times: \forall n,m,p:nat.
 128 O < p \to mod (n*m) p = mod ((mod n p)*(mod m p)) p.
 129 intros.
 130 change with (congruent (n*m) ((mod n p)*(mod m p)) p).
 131 apply (eq_times_plus_to_congruent ? ? p
 132 ((n / p)*p*(m / p) + (n / p)*(m \mod p) + (n \mod p)*(m / p))).
 133 assumption.
 134 apply (trans_eq ? ? (((n/p)*p+(n \mod p))*((m/p)*p+(m \mod p)))).
 135 apply eq_f2.
 136 apply div_mod.assumption.
 137 apply div_mod.assumption.
 138 apply (trans_eq ? ? (((n/p)*p)*((m/p)*p) + (n/p)*p*(m \mod p) +
 139 (n \mod p)*((m / p)*p) + (n \mod p)*(m \mod p))).
 140 apply times_plus_plus.
 141 apply eq_f2.
 142 rewrite < assoc_times.
 143 rewrite > (assoc_times (n/p) p (m \mod p)).
 144 rewrite > (sym_times p (m \mod p)).
 145 rewrite < (assoc_times (n/p) (m \mod p) p).
 146 rewrite < times_plus_l.
 147 rewrite < (assoc_times (n \mod p)).
 148 rewrite < times_plus_l.
 149 apply eq_f2.
 150 apply eq_f2.reflexivity.
 151 reflexivity.reflexivity.
 152 reflexivity.
 153 qed.
 154
 155 theorem congruent_times: \forall n,m,n1,m1,p. O < p \to congruent n n1 p \to
 156 congruent m m1 p \to congruent (n*m) (n1*m1) p.
 157 unfold congruent.
 158 intros.
 159 rewrite > (mod_times n m p H).
 160 rewrite > H1.
 161 rewrite > H2.
 162 apply sym_eq.
 163 apply mod_times.assumption.
 164 qed.
 165
 166 theorem congruent_pi: \forall f:nat \to nat. \forall n,m,p:nat.O < p \to
 167 congruent (pi n f m) (pi n (\lambda m. mod (f m) p) m) p.
 168 intros.
 169 elim n.change with (congruent (f m) (f m \mod p) p).
 170 apply congruent_n_mod_n.assumption.
 171 change with (congruent ((f (S n1+m))*(pi n1 f m))
 172 (((f (S n1+m))\mod p)*(pi n1 (\lambda m.(f m) \mod p) m)) p).
 173 apply congruent_times.
 174 assumption.
 175 apply congruent_n_mod_n.assumption.
 176 assumption.
 177 qed.